Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Проблемы ценообразования опционов и подходы к моделированию рынка производных финансовых инструментов 13
1.1. Механизм функционирования и характеристики рынка производных финансовых инструментов 13
1.2. Ценообразование опционов на российском срочном рынке 20
1.3. Модели оценки стоимости производных инструментов на полных и неполных рынках 24
1.4. Обоснование выбора класса безгранично делимых распределений в задаче моделирования динамики цен базовых активов 33
Выводы 47
ГЛАВА 2. Методика ценообразования производных инструментов в рамках риск-нейтрального подхода : 48
2.1. Риск-нейтральное оценивание производных финансовых инструментов 48
2.2. Спецификации безгранично делимых распределений в рамках экспоненциальной модели Леви 61
2.3. Методы оценки параметров безгранично делимых распределений 86
2.4. Методы перехода к эквивалентным мартингальным мерам 94
2.5. Методы вычисления цен опционов 98
Выводы 104
ГЛАВА 3. Анализ эффективности ценообразования опционов на российском срочном рынке 106
3.1. Информационная база исследования 106
3.2. Алгоритм исследования 112
3.3. Исследование статистических свойств рыночной динамики базовых активов 116
3.4. Моделирование динамики цен фьючерсных контрактов на основе геометрических процессов Леви 120
3.5. Вычисление справедливой стоимости опциона с применением метода Монте-Карло 123
3.6. Построение гипотез об эффективности ценообразования российского срочного рынка 125
3.7. Анализ полученных результатов 128
Выводы 132
Заключение 134
Список литературы
- Ценообразование опционов на российском срочном рынке
- Обоснование выбора класса безгранично делимых распределений в задаче моделирования динамики цен базовых активов
- Методы перехода к эквивалентным мартингальным мерам
- Моделирование динамики цен фьючерсных контрактов на основе геометрических процессов Леви
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Последние десятилетия стали периодом интенсивного развития срочного сегмента финансового рынка, важной экономической функцией которого является функция первичного ценообразования. В цене срочного контракта заложена информация относительно рыночных перспектив базового актива, поэтому их эффективное ценообразование играет определяющую роль в функционировании финансового рынка. Однако на сегодняшний день процесс развития российского срочного рынка сдерживают проблемы оценки стоимости опционов.
С научной точки зрения неэффективное ценообразование выражается в несоответствии между эмпирическими свойствами динамики цен базовых активов и свойствами используемых моделей. В основе традиционных моделей оценки справедливой стоимости опционов лежит предположения о нормальном распределении доходностей базовых активов и полноте рынка. Однако чрезвычайно большие ценовые движения (скачки) не столь редки, как предсказывает нормальная кривая. Скачкообразные изменения приводят к неполноте рынка, т. е. невозможности полного хеджирования рисков. Ценообразование, основанное исключительно на нормальном распределении, не способно адекватно отражать все многообразие рынка, что приводит к серьезным неточностям в оценках.
С практической точки зрения существующее рыночное ценообразование опционов приводит к искаженным ожиданиям участников относительно будущего состояния рыночной динамики базового актива, что снижает активность торгов и увеличивает риски инвестиционной деятельности.
Актуальность исследования обусловлена высокой практической значимостью и недостаточной проработкой проблемы оценки справедливой стоимости опционов на неполном неликвидном рынке. Эта проблема особенно актуальна в условиях развивающегося российского срочного рынка, что вызвало необходимость в создании эффективного инструмента адекватной оценки стоимости опционных контрактов.
Степень разработанности проблемы. Изучением теоретических вопросов функционирования срочного рынка и формирования цен производных активов занимались такие классики экономической науки как Дж. М. Кейнс, Дж. Р. Хикс, Н. Калдор, К. Эрроу, Д. Дебре.
Теория производных финансовых инструментов, в частности, опционов представлена в трудах П. Джеймса, Дж. Халла, Э. Хауга, С. Нэфчи, Л. Макмиллана, С. Вайна, Ш. Натенберга, А. Бэйрда, М. Чекулаева, А. Н. Буренина, А. Б. Фельдмана, А. Н. Балабушкина.
Решение задачи ценообразования опционных контрактов обусловило появление целого ряда исследовательских работ, посвященных построению реалистичных моделей расчета справедливой стоимости опционов. Под справедливой понимается такая цена опциона, которая исключает проведение сделок, позволяющих получить прибыль лишь за счет неправильной оценки опциона, т.е. не создающая возможностей для арбитража. Математический аппарат оценки стоимости производных финансовых инструментов развит такими учеными как П. Блэк, М. Шоулз, Дж. Кокс, С. Росс, М. Рубинштейн, Р. Мертон, С. Г. Коу, Р. Джэрроу, Д. Хиз. Модели оценки опционов, охватывающие современные достижения в области ценового моделирования, изложены в работах: К. Конолли, М. Томсета, Р. Колба, А. Н. Ширяева, А. Мортона, М. Гармана, С. Колхагена, Р. Ролла, Р. Джеске, Х. Джонсона, Э. Дермана, У. Тойя.
В ценообразовании опционов первоочередной задачей является построение достоверного вероятностного прогноза цены базового актива.
Вопросы моделирования ценовой динамики отражены в трудах ученых:
Л. Башелье, П. Самуэльсон, Ч. Доу, которые описывали ценовое движение гауссовскими процессами. Начиная с 90-х гг. широко используются негауссовские безгранично делимые распределения, которые представлены в работах Р. Конта, П. Танкова, К. Сато, В. Шоутенса, Д. Апплебаума, О. Баендорф-Нильсона, Дж. Бертоина, С. З. Боярченко, С. И. Левандорского, Д. Мадана, Е. Сенете, Е. Мордеки, Г. Бакши, З. Чена и др.
Среди общего класса безгранично делимых распределений особого внимания заслуживает класс устойчивых распределений. Наибольший вклад в развитие теории устойчивых распределений внесли работы В. М. Золотарева, В. В. Учайкина, Дж. П. Нолана, Б. Мальденброта, Г. Самординского, М. Такку.
На протяжении последних лет исследования в области статистического моделирования привели к появлению безгранично делимых модификаций устойчивого распределения. Наиболее известными являются работы С. Рачева, Ч. Менна, Ф. Фабози, Й. Кима, Дж. Росинского, Д. Чанга, И. Копонена.
Необходимость совершенствования подходов к оценке справедливой стоимости опционов на неполных и неликвидных рынках обуславливает актуальность темы исследования, предопределяя ее структуру, цель и задачи.
Цель диссертационного исследования состоит в разработке методического подхода к оценке справедливой стоимости опционов в условиях российского срочного рынка.
Сформулированная цель предполагает решение следующих задач:
1. Выявить проблемы существующего ценообразования опционов на российском срочном рынке и определить перспективные направления развития математического аппарата оценки стоимости опционов.
2. Обосновать выбор безгранично делимых распределений для моделирования цен базовых активов, позволяющих адекватно отразить эмпирические свойства их динамики.
3. Предложить процедуру поиска риск-нейтральной меры в условиях неликвидного срочного рынка.
4. Разработать основанную на риск-нейтральном подходе методику определения справедливой цены опциона, отражающую специфику российского срочного рынка.
5. Выполнить численное моделирование справедливой стоимости опционов на основе разработанного методического подхода и осуществить сравнительный анализ модельных и рыночных цен.
6. Провести анализ функционирования срочного рынка в рамках гипотез относительно эффективности ценообразования, обращающихся на нем производных инструментов на разных временных периодах рыночной динамики.
Объект исследования — ценообразование опционов на российском срочном рынке.
Предмет исследования — модели и методы оценки справедливой стоимости опционов на неполном и неликвидном рынке.
Область исследования соответствует паспорту специальности ВАК РФ 08.00.13 «Математические и инструментальные методы экономики» пунктам 1.1. Разработка и развитие математического аппарата анализа экономических систем: математической экономики, эконометрики, прикладной статистики, теории игр, оптимизации, теории принятия решений, дискретной математики и других методов, используемых в экономико-математическом моделировании, 1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов.
Теоретической и методологической основой являются исследования в области стохастической финансовой математики, математической статистики и эконометрики, теории вероятностей и случайных процессов, методы статистического анализа финансовых временных рядов, численные методы оценки параметров и характеристик распределений доходностей финансовых активов.
Программный комплекс статистического анализа финансовых временных рядов и моделирования справедливой стоимости производных активов реализован с использованием пакетов прикладных программ MS Excel, Oracle Crystal Ball, MathWorks MATLAB, IHS Econometric Views, Matrixer.
Информационную базу исследования составили:
— данные информационно-аналитических материалов по исследуемой проблеме, представленные в научной литературе, периодической печати и сети интернет;
— статистические источники в виде итогов торгов срочного сектора фондовой биржи РТС – ФОРТС (www.forts.ru), и информация, полученная из отчетов брокерской фирмы ФИНАМ ().
Научная новизна работы заключается в разработке методического подхода к оценке справедливой стоимости опционных контрактов с учетом специфики российского срочного рынка. Новыми являются следующие результаты:
1. Обосновано использование моделей динамики цен базовых активов, основанных на безгранично делимых распределениях, которые позволяют учесть скачкообразные изменения финансовых показателей на неполных рынках, в отличие от модели геометрического броуновского движения.
2. Предложена процедура оценки рыночной меры, в основу которой положена калибровка моделируемых безгранично делимых распределений к эмпирическим распределениям доходностей базовых активов, в условиях, когда калибровка модельных и рыночных цен опционов невозможна (в случае неликвидного рынка), либо не позволяет получить корректные оценки меры (в случае неэффективного рынка).
3. В рамках риск-нейтрального подхода разработана методика оценки справедливой стоимости производных инструментов на неполном и неликвидном рынке.
4. На основе сопоставления справедливых цен опционов с их рыночными котировками показано, что на российском рынке опционов наблюдаются нереализуемые арбитражные возможности, препятствующие обеспечению эффективности рынка и выполнению им информационной функции.
Теоретическая значимость результатов. Сформулированные в диссертационном исследовании положения и выводы развивают методологическую базу анализа динамики цен финансовых активов и оценки справедливой стоимости производных инструментов, адаптируя ее к российским условиям.
Практическая значимость результатов. Разработанный методический подход дает участникам срочного рынка математически корректный инструмент оценки справедливой стоимости производных активов, имеющий: а) более реалистичные предпосылки по сравнению с существующими методами; б) потенциал практического применения в деятельности частных и институциональных инвесторов, давая им возможность принимать обоснованные решения по хеджированию риска и планированию своей деятельности в будущем, что, в свою очередь, поможет привлечь на опционный рынок новых участников и повысить его ликвидность и эффективность.
Результаты исследования также могут быть использованы в учебных дисциплинах «Финансовая математика» и «Экономико-математическое моделирование» для студентов экономических специальностей.
Апробация работы. Основные положения и результаты исследования обсуждались на международной научной конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2008), конференции студентов и аспирантов (с международным участием) «Экономика и бизнес: позиция молодых ученых» (г. Барнаул, 2008, 2009), конференции молодых ученых «Социально-экономическое развитие России: идеи молодых ученых»
(ИЭОПП СО РАН, г. Новосибирск, 2008 – 2010), методическом семинаре в Институте Экономики и организации промышленного производства СО РАН (г. Новосибирск, 2009), Первом Российском Экономическом Конгрессе, Новая Экономическая Ассоциация (г. Москва, 2009), Всероссийском Симпозиуме с международным участием «Сложные системы в экстремальных условиях» (г. Красноярск, 2010), IX Международном Симпозиуме «Экономика и Бизнес: Экономическое Развитие и Рост» (г. Несебр, Болгария, 2010), Пермской зимней школе: «Рыночный риск» (г. Пермь, 2011).
В работе ООО «УК «Теллура Капитал» использован модельный комплекс как аналитический инструмент для оценки справедливой стоимости производных финансовых инструментов.
Материалы, методы и результаты диссертации используются на кафедре «Математическое моделирование бизнес-процессов» Сибирского государственного университета телекоммуникаций и информатики в преподавании учебных дисциплин «Модели рисковых инвестиционных процессов» и «Интегрированный риск-менеджмент на уровне предприятия».
Внедрение результатов исследования в указанных организациях подтверждено соответствующими документами.
Публикации. По теме диссертации опубликовано двадцать работ общим объемом 8.2 п.л., в том числе две статьи в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций результатов диссертаций (1.2 а.л.), семнадцать в сборниках материалов и научных трудов конференций (5.9 а.л.) и одна в монографии (1.1 а.л.).
Содержание диссертационного исследования
Структура диссертации обусловлена целью, задачами и логикой исследования. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы и 9 приложений.
В первой главе выделены проблемы ценообразования опционов на российском срочном рынке. Рассмотрены модели ценообразования опционов, используемые для описания полных и неполных рынков, их предпосылки, возможности и границы применения, а также основные эмпирические свойства динамики цен базовых активов, которые необходимо учитывать при выборе моделей для оценки меры рынка и справедливой стоимости опциона.
Во второй главе представлена разработанная методика оценки справедливой стоимости опционов, основанная на риск-нейтральном подходе. Приведены характеристики и статистические свойства класса процессов Леви для описания движения цен базовых активов. Обосновано использование математического аппарата эконометрического моделирования для оценки параметров распределений цен базовых активов и риск-нейтрального моделирования для задач перехода к эквивалентным мартингальным мерам и вычисления безарбиртажных цен опционов.
В третьей главе на основе предложенной методики проведено численное моделирование справедливых цен наиболее ликвидных опционных контракта, торгуемых на срочной площадке биржи РТС (базовыми активами являются фьючерс на индекс РТC, фьючерс на акции ОАО «Газпром» и фьючерс на акции ОАО «Сбербанк»). Получены результаты сопоставления динамики рыночных и справедливых цен для рассматриваемых инструментов на различных временных отрезках и различных ценах исполнения. Проведено тестирование выдвинутых гипотез относительно эффективности работы срочного рынка, характеризующих его информационную функцию.
Ценообразование опционов на российском срочном рынке
Появление и широкое использование срочного сегмента (рынка производных инструментов) коренным образом меняет принципы функционирования финансового рынка в целом из-за большого числа прямых и обратных связей между рынками производных и базовых контрактов, т. е. базовый рынок определяет обороты срочного рынка, а срочный сектор влияет на объем его сделок. Конъюнктура срочного рынка является индикатором ожиданий для всех участников относительно будущего состояния рыночной динамики, определяя ориентиры возможной стоимости базовых активов. Таким образом, финансовый рынок с двумя развитыми сегментами — базовым и срочным — функционирует эффективнее по сравнению с рынком, на котором отсутствует срочная составляющая.
Рынок производных инструментов в настоящее время является наиболее динамично развивающимся сегментом финансового рынка. По-настоящему бурное развитие он получил в 1970-1990-е гг. В 1973 г. была создана Чикагская биржа опционов (Chicago Board Options Exchange, СВОЕ), на которой торговались опционы на акции 16 компаний, в 1990 г. в качестве базовых активов на ней выступают акции более 1200 компаний и разнообразные фондовые индексы. Эти цифры говорят о том, что созданные финансовые инструменты привлекательны для широкого круга участников финансовых рынков, число которых резко увеличилось. С момента открытия СВОЕ, которая в настоящее время является крупнейшим рынком опционов, популярность их биржевой торговли неуклонно возрастает и в настоящее время опционные биржи существуют по всему миру, а количество стандартизированных опционных контрактов давно превысило разнообразие базовых активов.
Основным предназначением срочного рынка является управление риском, под которым понимается как страхование от риска индивидуальных участников, так и перераспределение рисков между всеми участниками рынка. В некоторых случаях срочные сделки позволяют увеличить ликвидность базового рынка, открывая перед участниками дополнительные возможности по управлению ценовыми рисками. Однако формирование развитого срочного рынка не только способствует снижению общего системного риска на рынке базовых инструментов, но вместе с тем усложняя процесс инвестирования, привносит дополнительные риски.
Поскольку в работе в качестве объекта исследования выступают фьючерсные опционы, приведем их основные характеристики.
Опционные контракты дают владельцу право, а не обязанность использовать это право, что отличает их от фьючерсных контрактов, когда владелец обязывается купить или продать лежащий в его основе актив. В то время как при оформлении фьючерсного контракта не требуется никаких расходов, чтобы приобрести опционный контракт, инвестор должен заплатить премию. Существует два типа опционных контрактов: опционы колл, которые дают право владельцу купить и опционы пут, которые дают право продать, лежащий в основе актив в определенную дату по определенной цене. В работе рассматриваются только опционы колл, поскольку цену опциона пут можно вычислить из колл-пут паритета, зная цену соответствующего опциона колл. Каждый опционный контракт характеризуется двумя параметрами, зафиксированными в момент эмиссии: контрактной ценой — ценой исполнения или страйком и контрактной датой — датой истечения (датой исполнения или погашения). Опционы подразделяются на американские, которые могут быть исполнены в любое время до даты истечения и европейские — только в дату истечения. Большинство опционов, которые торгуются на биржах,— американские, на российском срочном рынке — только американские. При этом европейские опционы обычно легче анализировать, чем американские, и некоторые свойства американского опциона часто выводятся из свойств его европейского аналога [5, 12].
В сравнении с инвестированием в базовые активы, инвестирование в опционы характеризуется высокой доходностью и высоким риском, так как при работе на рынке опционов возможно использование очень большого финансового рычага.
Механизм функционирования срочного рынка обусловлен активностью трех категорий его участников: хеджеров, спекулянтов, арбитражеров [12, 14, 16]. Хеджеры — участники рынка, страхующие ценовые риски. Многие компании-производители и финансовые организации приходят на срочный рынок, чтобы уменьшить или передать другим участникам ценовые риски базовых активов, лежащие в основе срочного контракта, с целью гарантировать ожидаемую прибыль. Спекулянты — участники, стремящиеся получить прибыль за счет разницы котировок финансовых инструментов, образующейся во времени. Они выполняют две важные функции: помимо того, что принимают на себя риски изменения цены, передаваемые от хеджеров, частые спекулятивные операции, осуществляемые на срочном рынке, обеспечивают его необходимым объемом ликвидности, что делает хеджирующие стратегии работоспособными.
Если хеджеры и спекулянты, проводя сделки, изменяют свой риск: хеджеры снижают, спекулянты — повышают, то арбитражные операции не обусловлены каким-либо риском.
Термин «арбитраж» в разных секторах финансового рынка понимается по-разному. В отличие от фондовых рынков, на которых распространен пространственный арбитраж — получение прибыли за счет использования разницы цен на разных рынках в данный момент времени, для рынка срочных контрактов характерен временной арбитраж, к которому относятся только те сделки, прибыль по которым фиксируется в момент совершения арбитража.
Обоснование выбора класса безгранично делимых распределений в задаче моделирования динамики цен базовых активов
Финансовый рынок является полным, если каждому состоянию рынка может быть поставлен в соответствие единственный элементарный актив, который обеспечивает единичный доход при данном состоянии рынка и нулевой — в остальных [1]. При этом каждый элементарный актив является независимым, т. е. не может быть заменен какой-либо комбинацией других элементарных активов. Другими словами полный рынок представляет собой набор связанных рынков, охватывающий все возможные в будущем случайные события и предоставляющий инвестору при реализации любого из этих событий получать гарантированный доход. В динамике под «состоянием рынка» необходимо понимать траекторию развития экономической системы. Соответственно, критерием полноты рынка является возможность формирования полного набора элементарных активов на основе портфелей существующих инструментов рынка. Экономическая целесообразность полных рынков состоит в том, что участники имеют возможность сформировать позиции с любым необходимым профилем риска (распределением риска актива в зависимости от состояния рынка), поскольку существуют опционные контракты со всевозможными ценами исполнения, т. е. любое изменение цены любого базового актива может быть хеджировано. Тогда для любого финансового инструмента можно подобрать из торгуемых на рынке инструментов хеджирующий портфель так, что совокупная стоимость инвестиций (хеджируемый инструмент плюс хеджирующий портфель) не будет подвержена влиянию факторов риска [5].
Предположения, которые лежат в основе теории полного рынка соответствуют представлениям об идеальной модели развитой финансовой системы, включающей максимально широкий спектр производных инструментов. Полные рынки обеспечивают свободу перераспределения рисков между участниками рынка. Более того, они всегда Парето-эффективны, т. е. ни один инструмент рынка не позволяет выигрывать одним участникам без проигрыша других. Использование опционов является одним из наиболее эффективных средств достижения полноты финансового рынка [22].
Вопросам ценообразования опционов на полных рынках посвящено множество исследований, основанных как на классической теории вероятностей, так и на современных достижениях науки в области финансовой математики. В настоящее время существует два основных подхода к расчету справедливой стоимости опционов на полных рынках. Первый подход базируется на положениях вероятностной финансовой математики, разработанных Башелье, а второй, предложенный Блэком и Шоулзом, — на принципах непрерывного динамического хеджирования. Классификация подходов к моделированию полных рынков приведена в табл. 1.1.
Первое математическое описание стохастического процесса, называемого винеровским, или процессом броуновского движения, дано Башелье [25]. Если считать цену базового актива случайной величиной и знать ее распределение на момент экспирации, то можно вычислить математическое ожидание выплат по опциону и принять его за справедливую стоимость этого инструмента.
Подход, основанный на реплицирующем портфеле Биномиальная модель (Sharpe, 1978) Модель Блэка-Шоулза (Black, Scholes, 1973)
Риск-нейтральный подход (единственная мартингальная мера) Модель Кокса-Росса-Рубинштейна (Сох, Ross, Rubinstein, 1979) Модель Блэка-Шоулза-Мертона (Black, Scholes,Merton, 1973)
Идея оценки опционов и других производных с использованием риск-нейтральных вероятностей опирается на работу Эрроу об ожидаемых значениях будущих выплат (значение которых зависит от наступления возможного события в будущем) на полных рынках [22]. Для ценообразования опционов на основе реплицирующего портфеля Шарпом [147] была предложена первая дискретная модель полного рынка — биномиальная модель. Кокс, Росс и Рубинштейн развили биномиальный подход, используя для вычисления цены опциона биномиальные деревья с модифицированными (риск-нейтральными) вероятностями исходов — модель Кокса - Росса - Рубинштейна, CRR model [45]. Построение их модели основано на предположении о том, что в каждом интервале до погашения опциона цена базового актива следует биномиальному процессу: цена или возрастает или падает на заданную величину. Таким образом, получается множество возможных значений цены базового актива и для каждого значения вычисляется цена опциона. После этого, используя возможность построения безрискового портфеля из актива и опционов, производится свертка полученного дерева цен. Преимущество такого подхода состоит в возможности его использования для любых видов опционов. Биномиальное распределение в случае большого числа повторений аппроксимирует нормальное распределение, биномиальная модель дает оценки европейских опционов, эквивалентные оценкам, полученным по модели Блэка-Шоулза. В последующем риск-нейтральный подход в оценке стоимости опционов в дискретном времени был развит Харрисоном и Крепсом [79], Харисоном и Плиской [80], Крепсом [99] в терминах эквивалентной мартингальной меры.
Второй подход основан на репликации портфеля, составленного из акции и опциона, взятых в соответствующей пропорции [32]. Суть подхода состоит в том, что опционная позиция может быть полностью защищена от риска при помощи стратегии хеджирования (в виде портфеля из базовых активов), которая в любой момент времени генерирует выплаты, тождественные выплатам по опциону. Таким образом, в модели подразумевается, что существует идеальный хедж — безрисковый портфель из базовых и производных активов, волатильность стоимости которого равна нулю. Построение такого хеджа, т. е. сведение риска портфеля к нулю, возможно только на полном рынке [23]. При этом основное предположение в модели Блэка-Шоулза заключается в том, что стоимость акции следует логнормальному диффузионному процессу — геометрическому броуновскому движению, т. е. ее логарифмические доходности в каждый момент времени имеют нормальное распределение со средним /jdt и дисперсией 7 dt\A\. Диффузионный процесс представляет собой вид непрерывного случайного блуждания около функции тренда на коротком временном интервале. Поскольку процесс геометрического броуновского движения является мартингалом (таким случайным процессом, что наилучшим предсказанием поведения процесса в будущем является его настоящее состояние), то хеджирование на рынке базовых активов превращается в справедливую игру (игру с нулевой суммой). При этом единственность в каждый момент времени идеального хеджа для любого набора базовых активов приводит к тому, что на полном рынке существует единственный безарбитражный уровень цены для каждого производного инструмента (из-за мартингальности траекторий рынка базовых активов). Этот факт вытекает из второй фундаментальной теоремы ценообразования активов и является ключевым в современных финансах [52].
Методы перехода к эквивалентным мартингальным мерам
Индекс хвоста распределения к можно определить как порядок наивысшего абсолютного конечного момента. Чем выше индекс хвоста, тем тоньше хвост; для гауссовского или экспоненциального хвоста к = +оо (все моменты конечны), а для степенных распределений с плотностью индекс хвоста равен а. Название «устойчивое» возникло в связи со свойством устойчивости при суммировании: если процесс X имеет устойчивое распределение и Х([),...,Х(п) независимые реплики X, тогда существует положительное число сп и вектор d, такие что: X +... + X d=cnX + d, т. е. сумма двух независимых случайных величин, имеющих устойчивое распределение с индексом а имеет такое же «-устойчивое распределение с тем же индексом а, О а 2 . Однако это свойство инвариантности не сохраняется для разных а. Общая параметризация распределения представлена в гл 2 (п. 2.1.)
Исследованиями подтверждено, что временные ряды во многих областях экономики и финансов имеют степенной закон [43, 72, 78]. Устойчивые распределения успешно применялись для описания динамики доходностеи облигаций, обменных курсов, цен товаров и недвижимости [19, 124, 143]. Однако в последние годы стали появляться исследования с доказательством неприменимости устойчивой модели [78, 95, 104].
Открытие Мальденброта [64] вызвало обширную дискуссию о подходящей модели распределения доходностеи активов. Хотя эмпирически было подтверждено, что устойчивые распределения хорошо аппроксимируют центральную часть наблюдаемой плотности вероятности, но использование устойчивых распределений, хвосты которых настолько толстые, что даже дисперсия становится бесконечна, делает невозможным применение этого распределения для риск-менеджмента [137]. Это подняло вопрос о том насколько «толстохвосты» распределения доходностей.
С начала 90х ученые искали распределение, которое сможет оценить поведение хвостов доходностей активов. Многочисленные исследования посвящены оценке индекса хвоста доходностей активов, основанных на дневных [128] и более высокочастотных данных [48]. Результаты показывают, что большинство временных рядов доходностей акций характеризуются индексом хвоста в области [2.5; 4]. Это означает, что хвосты тоньше, чем ожидается при гипотезе Парето-хвостов, но конечность третьего и, в частности, четвертого моментов до сих пор остается под вопросом [150]. При этом результаты чувствительны к частоте данных, что указывает на относительно низкую сходимость к нормальному распределению.
Таким образом, хотя в литературе принято считать, что плотность нормального распределения слишком тонкохвоста, чтобы быть подходящей моделью для распределения финансовых доходностей, а плотность устойчивого распределения слишком толстохвоста, но единое мнение относительно действительной формы хвостов отсутствует [104, 131]. Это объясняется тем, что невозможно найти модель, которая точно сможет описать поведение всех рынков в любом месте и в любое время. Невозможно определить «настоящее» распределение финансовых переменных, но как сказано в [104] «для практического применения существенный вопрос состоит не в том, чтобы определить истинный асимптотический хвост, но в том, чтобы дать лучшее описание хвостов в области полезного применения».
В настоящее время широко распространено мнение, что распределение доходностей активов может описываться как толстохвостое в смысле степенного закона, но с конечной дисперсией. Таким образом, мы приходим к широкому классу безгранично делимых случайных процессов (процессов Леви), который включает в себя класс устойчивых случайных процессов. При этом безгранично делимые случайные процессы могут иметь конечную или бесконечную дисперсию. Устойчивые негауссовские случайные процессы имеют бесконечную дисперсию, в то время как процесс броуновского движения является единственным устойчивым процессом с конечной дисперсией (рис. 1.4).
Эмпирические наблюдения в совокупности с предельными теоремами теории вероятностей позволяют сделать вывод, что функция плотности вероятности (ФПВ) ценовых изменений должна сходиться к бесконечно делимой ФПВ для длинных временных горизонтов. Математическое определение безгранично делимых распределений дано в главе 2.
В этой связи развивается два направления в рамках безгранично делимых распределений: переход от устойчивого распределения к модификациям устойчивого и переход от нормального распределения к распределениям нормальных смесей дисперсии-среднего с плотностью вероятности, имеющей «полутолстые хвосты» (рис. 1.5). Процессы этих семейств распределений лучше аппроксимируют динамику исторических цен, а формулы оценки стоимости опционов, основанные на этих процессах, дают более точные результаты, чем ранние модели [21]. Подробнее об этих моделях — в главе 2.
В последние годы развивается направление моделирования динамики финансовых активов с помощью фрактальных (самоподобных) процессов, предложенных Мальденбротом в начале 60-х гг. [114]. Однако фрактальные процессы имеют нестационарные приращения, а стационарность доходностей является важной гипотезой при статистическом оценивании. Взаимосвязь процессов Леви с фрактальными процессами имеет место в двух случаях; при высокой волатильности в ситуациях, когда приращения независимы и имеют толстые хвосты (устойчивые процессы Леви) или даже при отсутствии ВЫСОКОЙ волатильности фрактальность может появиться из сильной зависимости между приращениями (фрактальное броуновское движение). Поэтому единственный фрактальный процесс Леви — это симметричный устойчивый процесс (Levy flights), в котором предполагается стационарность приращений [47, 58, 96]. Взаимосвязь между фрактальными процессами, процессами Леви и гауссовскими процессами приведены на рис. 1.6. На пересечении процессов Леви и фрактальных процессов находятся устойчивые процессы. Нижний левый «лепесток» включает процессы, основанные на броуновском субординаторе (гамма-дисперсии и нормально-обратно гауссовский). Таким образом, класс процессов Леви включает два важных класса процессов (гауссовские и фрактальные) в качестве частных случаев.
Моделирование динамики цен фьючерсных контрактов на основе геометрических процессов Леви
На рынках опционов существует три типа волатильности: историческая, выявленная (подразумеваемая, неявная) и реализованная («летопись прогнозов» выявленной волатильности). Историческая волатильность рассчитывается как стандартное отклонение доходностей базисного актива за определенный промежуток времени, исходя из действительных цен на базовый актив. Также как и прогноз направленного изменения цены актива, расчет привязан к анализу исторических данных и предпосылке, что тенденция повторится в будущем.
Неявная волатильность отличается от исторической тем, что она выражает ожидаемую волатильность процесса базового актива, и, в определенном смысле, описывает предполагаемую природу развития процесса (рис. 1.7). Подразумеваемая волатильность опционов рассчитывается из значения рыночной цены опциона. Таким образом, историческая волатильность опирается на исторические данные изменения цены базового актива, а подразумеваемая волатильность напротив отталкивается от ожиданий участников рынка, т. е. от текущих рыночных цен.
На рис. 1.8 представлен график выявленной волатильности как функции от денежности опциона. В формуле Блэка-Шоулза параметр т, задающий волатильность цен базового актива, является константой и график волатильности — прямая линия. Наклон улыбки волатильности зависит от времени до истечения и становится более явным для небольших значениях параметра срока жизни: в одних случаях улыбка более явная, в других случаях более пологая или имеет крутой скос, может быть даже «ухмылкой»[54, 59].
Улыбка волатильности наглядно демонстрирует, что предположение о постоянной волатильности цены акции в модели Блэка-Шоулза является еще более сильным допущением, не подтверждающимся на практике, особенно на коротких временных интервалах. Для устранения этого факта некоторые исследователи пытаются вывести улыбку из различных отклонений и искажений на рынке, при этом оставляя гауссовские предположения нетронутыми [53]. Другие изобретают эвристические модели для описания динамики поверхности волатильности. Возможен отказ от допущения о постоянной волатильности в пользу стохастической волатильности или волатильности в соответствии с процессом GARCH. Впервые оценка опционов с использованием процесса GARCH была обоснована в работе Дюана [55] и впоследствии получила широкое распространение. Успех моделей оценки опционов, адаптированных к GARCH-волатильности, основан на том, что они учитывают как корреляцию между волатильностью и доходностью, так и зависимость текущей волатильности от предыдущей динамики [82]. Серия моделей, появившаяся в 1987 г., описывает волатильность некоторым стохастическим процессом [69, 84, 84]. Преимущество использования моделей стохастической волатильности (stochastic volatility) заключается в использовании дополнительного наблюдения — волатильности, которое увеличивает точность оценки. Эти модели позволяют смоделировать квази длинную зависимость, часто наблюдаемую на финансовых рынках, которую не возможно учесть при работе с процессами Леви. Однако ценой их использования является решение частных дифференциальных уравнений высокого порядка с изменяющимися коэффициентами. В результате становится невозможно получить аналитические формулы, особенно для американских опционов, для которых аналитические формулы неизвестны и необходимо с самого начала прибегать к численным методам, хотя для европейских опционов существует несколько трактуемых случаев.
Модели стохастической волатильности трудно использовать для получения практических алгоритмов, которые легко реализовать и обеспечить сравнимые результаты и не могут уловить важную лептокуртическую особенность рынков. Модели скачкообразной диффузии с одной стороны легче реализовать, лучше улавливают рыночный феномен и сравнимы с моделями стохастической волатильности в терминах точности оценки [69].
В отличие от модели броуновского движения, в которой реализованная волатильность имеет постоянные непрерывные пределы, модели, основанные на процессах Леви приводят к стохастической реализованной волатильности. В частности, процессы Леви с толстыми хвостами приращений с конечным индексом хвоста могут приводить к высокой вариабельности реализованной волатильности, таким образом, воспроизводя эффект «стохастической волатильности» в отсутствии дополнительных случайных факторов.
