Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Экономика перестрахования 10
1. Экономическая сущность перестрахования 10
2. Основные формы перестрахования 14
3. Анализ нормативных требований к перестраховочной защите 24
4. Аналитический обзор моделей перестрахования 28
Выводы 35
Глава 2. Моделирование перестраховочной защиты и методы ее оптимизации 37
1. Модель оптимизации перестраховочной защиты в общей форме 37
2. Оптимизация условий одного вида перестрахования 41
3. Задача оптимизации перестрахования нескольких страховых продуктов одним видом перестрахования 69
4. Оптимизация комбинации видов перестрахования одного страхового продукта 82
5. Оптимизация перестраховочной защиты нескольких страховых продуктов 93
Выводы 95
Глава 3. Методика формирования оптимальной перестраховочной защиты и анализ численных расчетов 99
1. Математическое и информационное обеспечение расчетов. Программный пакет ReDesign 1.0 99
2. Определение оптимальных условий одного вида перестрахования 108
3. Поиск оптимальных условий перестрахования для нескольких страховых продуктов 120
4. Определение оптимальной перестраховочной программы одного страхового продукта 141
5. Поиск оптимальной перестраховочной защиты для нескольких страховых продуктов 149
Выводы 157
Заключение 160
Библиография 164
- Анализ нормативных требований к перестраховочной защите
- Задача оптимизации перестрахования нескольких страховых продуктов одним видом перестрахования
- Оптимизация комбинации видов перестрахования одного страхового продукта
- Поиск оптимальных условий перестрахования для нескольких страховых продуктов
Введение к работе
Страховщики используют различные способы управления этим риском. С одной стороны, страховщик может повысить тарифы, ужесточить отбор договоров страхования, отказывая в страховании клиентам, характеризующимся высокой вероятностью возникновения убытков по страховому полису. Такие меры могут привести к потере рынка и к переходу страхователей в другие страховые компании. Другим способом управления риском является перестрахование договоров, заключающееся в передаче части ответственности по принятым рискам другим страховым компаниям (перестраховщикам). Такая передача производится за определенную плату, подобно тому, как страхователь уплачивает взнос страховой компании за передачу ей собственного риска.
Объектом исследования данной работы является процесс перестрахования.
Экономическая сущность перестрахования рассмотрена в §1 Главы 1. Показано, что перестрахование позволяет, используя финансовые возможности перестраховщика, принимать страховые риски, значительно превосходящие собственные финансовые ресурсы.
Основные виды перестрахования рассмотрены в §2 Главы 1 диссертации. Главное различие между ними состоит в принципе погашения обязательств по договорам, например, выплаты могут производиться в фиксированных пропорциях или в установленных пределах с заранее определенной очередностью. Для предотвращения возможных финансовых потерь компания формирует перестраховочную защиту, то есть принимает решение о выборе видов перестрахования, а также о величине собственной части риска (так называемом размере собственного удержания) по каждому виду. Отметим, что страховая компания предпочитает использовать комплексную защиту портфеля, состоящую из нескольких видов перестрахования одновременно. Комплексная защита предполагает разделение ответственности по страховому полису на несколько частей и перестрахование каждой из них одним видом перестрахования. Такой вид комплексной защиты получил название перестраховочной программы.
Поскольку государство заинтересовано в поддержании устойчивости страхового сектора, оно регулирует процесс перестрахования посредством нормативных актов. В §3 Главы 1 произведен анализ нормативных требований, предъявляемых государством к страховщикам в области перестрахования.
Основой определения перестраховочной защиты являются обычаи международного делового оборота, традиции и сложившаяся практика страховщика, что оставляет большую степень свободы при выборе решения о перестраховании. Многочисленные методы и рекомендации по принятию решения о размере собственного удержания и выборе видов перестрахования не дают оценки оптимальности такого решения. Перед страховщиком стоит задача выбора оптимальной перестраховочной программы, которая бы с одной стороны обеспечивала достаточный уровень прибыльности страховых операций, с другой — снизила бы их убыточность.
Вопросы, связанные с перестрахованием, рассматривались в актуарной литературе. Главным образом решалась задача определения стоимости перестраховочной защиты, т.е. суммы, которую страховая компания должна перечислить перестраховщику за оказание услуг перестрахования. В этих . работах, перестраховочная защита чаще всего представляла собой перестрахование превышения потерь. Авторы статей и публикаций, исходя из принципа финансовой эквивалентности страховщика и перестраховщика, определяли стоимость защиты, а также вероятность разорения страховой компании. Обзор литературы и анализ существующих методов решений дан в §4 Главы 1. Помимо широко известных методов решения подобных задач, приведена методика компании Swiss Re.
Данная методика отличается от остальных работ постановкой задачи. В большинстве работ рассматривается задача определения стоимости защиты и вероятности разорения при прочих заранее заданных условиях (лимиты, комиссионные, функция распределения убытков и пр.). Методика компании Swiss Re дает рекомендации не только по определению некоторых стоимости защиты, но и по определению лимитов различных видов перестрахования. Основой методики является использование различных финансовых коэффициентов, для которых установлены диапазоны допустимых значений. Перестраховочная программа должна быть устроена так, чтобы значения финансовых коэффициентов были допустимыми. Таким образом, методика позволяет решать более общую задачу построения перестраховочной защиты.
Целью настоящего исследования является разработка методов оптимизации перестраховочной защиты на основе имеющейся статистики страховой компании. Помимо решения проблемы в общем виде, в работе рассмотрен ряд частных случаев перестраховочной защиты. Необходимость рассмотрения этих частных случаев возникает из-за потребности в детальном анализе зависимости финансовых показателей страховщика (премии, убытков, прибыли и пр.) от условий договора перестрахования.
Эффективность перестраховочной защиты можно анализировать с помощью финансовых показателей. Для успешного управления процессом перестрахования необходимо знать степень влияния условий договора перестрахования на финансовые показатели. Поэтому, помимо решения задачи поиска оптимальной перестраховочной программы, исследованы зависимости финансовых показателей от условий договора перестрахования.
Новизна работы заключается в разработке оригинального комплексного подхода к проблеме построения перестраховочной защиты. Особенности подхода в следующем: во-первых, предполагалось, что страховщик стремится к максимизации прибыли от страховых операций. Данное предположение адекватно отражает российскую реальность. В развитых странах, основную часть доходов страховой компании составляет инвестиционная деятельность, страховая деятельность является способом привлечения денежных средств. В настоящее время ни ценные бумаги российского фондового рынка, ни какие-либо иные источники инвестиционного дохода, разрешенные Департаментом страхового надзора Министерства финансов РФ, не обеспечивают достаточной доходности, чтобы сделать инвестиционный доход основным источником прибыли.
Во-вторых, вместо вероятности разорения, требующей значительного объема статистики, необходимой для ее расчета, рассматривался иной важнейший показатель, характеризующий деятельность компании - убыточность (отношение убытков к премии). Предполагалось, что страховая компания заинтересована в том, чтобы показатель убыточности находился вблизи заданного значения, а прибыль, при данном значении убыточности, была максимальной. Таким образом, задача поиска оптимальной перестраховочной программы сведена к решению задачи поиска условного максимума.
В-третьих, решение задачи велось с двух точек зрения: детерминированной и вероятностной. Модель, в которой использовался первый подход мы будем называть детерминированной, а в которой использовался второй подход - вероятностной. Детерминированная модель предполагает анализ процесса перестрахования с позиции ех post, т.е. оптимальная защита определялась для прошедшего периода, для которого уже известны значения убытков по всем договорам. Детерминированный подход пригоден для анализа эффективности перестраховочной защиты, которая использовалась в прошлом периоде.
Вероятностная модель предназначена для определения оптимальной перестраховочной защиты в будущем периоде. При использовании вероятностного подхода . к задаче, критерием оптимальности было максимальное значение математического ожидания прибыли, а ограничение накладывалось на математическое ожидание убыточности.
В дальнейшем, если не будет оговорено иное, под прибылью будем понимать, для детерминированной модели прибыль, которую бы получил бы страховщик, если бы он использовал выбранную перестраховочную защиту. Для вероятностной модели под прибылью будем понимать математическое ожидание прибыли при использовании данной перестраховочной защиты. Для детерминированной модели под убыточностью будем понимать значение убыточности, которая реализовывалась бы, если бы использовалась выбранная перестраховочная защита. Для вероятностной модели под убыточностью будем понимать математическое ожидание убыточности при использовании данной перестраховочной защиты.
В Главе 2 производится постановка задач определения оптимальной защиты при различных вариантах комбинирования видов перестрахования. Там же приведены классификация задач и их решения.
В §1 Главы 2 произведена математическая постановка задачи, как в рамках детерминированной модели, так и в рамках вероятностной модели. Показано, что решение задачи при вероятностном подходе сводится к решению задачи при детерминированном подходе. Поэтому методы решения той и другой задач ничем не отличаются. По этой причине, при решении этих задач, не делалась разница между той или иной постановками. Результаты расчетов рассматривались параллельно.
В §2 Главы 2 рассмотрен случай перестрахования продукта одним из двух видов пропорционального перестрахования: квотным или эксцедентным. Под страховым продуктом понимается совокупность независимых однородных рисков. В §3 Главы 2 сделано обобщение задачи на несколько страховых продуктов: определить вид перестрахования для каждого продукта (квотный или эксцедента сумм), а также условия договора перестрахования (размер собственного удержания). При этом требуется, чтобы реализовывалось заданное значение убыточности, подсчитанное для всех продуктов, а прибыль компании, при данном значении убыточности, была максимальной. Постановка задачи, алгоритмы решения представлены в §3 Главы 2 (как было сказано, методы решения в случаях детерминированного и вероятностного подходов одинаковы).
Достаточно часто компании используют комплексную защиту своего портфеля, которая называется перестраховочной программой. В §4 Главы 2 произведена постановка и решение задачи определения оптимальной перестраховочной программы для одного продукта.
При планировании деятельности компании может встать проблема определения перестраховочной программы для каждого продукта. При этом должно реализовываться требуемое значение убыточности (подсчитанное по всем продуктам), а прибыль (также подсчитанная по всем продуктам) при данном значении убыточности должна быть максимальной. Математическая постановка задачи и методы решения приводятся в §5 Главы 2.
Решение задачи нельзя считать законченным, лишь разработав алгоритмы расчетов. Недостаточная разработанность методологии оптимизации перестраховочной защиты стала причиной отсутствия соответствующих программных продуктов, поэтому создание таких пакетов представляет практический интерес. Страховщик нуждается в программном продукте для определения перестраховочной защиты, исходя из реальной статистики. Для решения каждой задачи, разработаны программы на языке VBA 6.0. На основе программ, написанных для решения задач, автором разработан программный пакет ReDesign 1.0. Данный программный продукт дает возможность страховщику определять оптимальную перестраховочную защиту при различных дополнительных условиях (например, он может заранее иксировать ограничения на лимиты, виды перестрахования, и пр.). Подробное описание продукта приведено в §1 Главы 3. Используя выборочную статистику ОС АО «Ингосстрах», рассчитаны оптимальные условия договора перестрахования при различных значениях убыточности в рамках детерминированной модели. Для расчетов в рамках вероятностной модели, использовалась гипотетическая статистика, где значения страховых сумм и премий брались из реальной статистики, значения же убытков были гипотетическими. Согласно распространенному мнению, чем выше убыточность, тем ниже прибыль. По результатам расчетов оказалось, что зависимость может быть и положительной. Проделанные расчеты позволили не только исследовать зависимости финансовых показателей от условий договора перестрахования, но и сделать практические рекомендации по организации перестраховочной защиты. Результаты расчетов, графики зависимостей и рекомендации страховщикам приведены в Главе 3.
Основные положения диссертации изложены в статьях [59]-[63]. Основные результаты работы обсуждались и были одобрены на научных семинарах кафедры математических методов анализа экономики экономического факультета МГУ «Динамические модели экономики» (апрель 1998, октябрь 2001) и «Инвестиционное проектирование» (март 2003). Результаты работы были представлены на конференциях «Ломоносов 2001» (работа отмечена дипломом Ученого Совета МГУ) и «Ломоносовские чтения 2001». Отдельные положения диссертации премировались на конкурсе студенческих работ Промышленно-страховой компании (2001 г.), а также дважды (1999, 2000 гг.) на конкурсе студенческих работ ОСАО «Ингосстрах». Результаты работы были включены в курс лекций «Перестрахование», прочитанный автором зимой 2001 г. в магистратуре экономического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.
Автор выражает благодарность за помощь в написании работы Котлобовскому И.Б., Едакову А.В., Беликовой Д.А., Воробьеву П.В., Горбачеву Н.В., Иванову Ф.А., Каневской Е.А., Козлову В.В., Логинову П.В., Милому А.В., Скибину К.В., Чудиной И.Н.
Анализ нормативных требований к перестраховочной защите
Государство, как одна из сторон имеющая в процессе страхования свои интересы (заключающиеся в сборе налогов и обеспечении социальной стабильности населения), регулирует процесс перестрахования устанавливая нормативные требования. В Гражданском кодексе Российской Федерации законодательно установлен страховой интерес у страховщика в связи с возможными страховыми выплатами. В Законе «Об организации страхового дела в Российской Федерации» в главе 3 «Обеспечение финансовой устойчивости страховщиков» ст. 25, сказано, что «основой финансовой устойчивости страховщиков является наличие у них оплаченного уставного капитала и страховых резервов, а также система перестрахования». Государство заинтересовано в финансовой устойчивости страховщиков, поэтому ограничивает объем принимаемой на себя ответственности. Максимальный размер ответственности по каждому риску, который может принять на себя страховая компания, ограничен 10% размеров собственных средств. Согласно п.3.6 Условий лицензирования «Максимальная ответственность по отдельному риску по договору страхования не может превышать 10% собственных средств». Следует учесть, что страховщику достаточно легко застраховать риск, превышающий установленный норматив, при этом формально соблюдая требования. Схема проста: вместо одного договора, страховщик заключает с клиентом несколько договоров, причем все договора по отдельности «не пересекаются», а в сумме покрывают риск. Например, если размер собственных средств составляет 10 млн. руб., а объект нужно застраховать на сумму 2 млн. руб., и если заключен один договор на сумму 2 млн. руб., то 1 млн. руб. должен быть перестрахован. Чтобы не производить перестрахование (например, если вероятность страхового случая достаточно мала), страховщик заключает 2 договора по 1 млн. руб. каждый, причем по первому договору покрываются убытки до 1 млн. руб., по второму - от 1 млн. руб. до 2 млн. руб. Формально требования Условий лицензирования соблюдаются, а по существу - нет.
Кроме того, в отчетности, предоставляемой в Департамент страхового надзора Министерства финансов Российской Федерации, страховщик указывает лишь суммарную страховую сумму по всем договорам и число заключенных договоров. Поэтому органу надзора трудно проконтролировать соблюдение норматива, разве что детально анализируя каждый крупный риск. Даже при соблюдении норматива, суммарная ответственность по принятым рискам может превышать не только 10% размера собственных средств, но и все 100% собственных средств. Поэтому, было бы целесообразным установление норматива, ограничивающего максимальный размер суммарной ответственности по всем договорам (например, некоторой величиной, выраженной в процентах от размера собственных средств).
Следующим нормативным актом, который регулирует деятельность страховщиков в области перестрахования (косвенным образом), является Положение о порядке расчета страховщиками нормативного соотношения активов и принятых ими обязательств (утверждено Приказом Министерства финансов Российской Федерации от 2 ноября 2001 № 90н). Согласно этому Положению, для обеспечения платежеспособности, фактический размер маржи платежеспособности страховщика должен быть не ниже ее нормативного размера. Нормативный размер маржи платежеспособности рассчитывается отдельно по страхованию жизни и по видам страхования иным, чем страхование жизни. Нормативный размер маржи платежеспособности по страхованию жизни равен произведению 5 процентов резерва по страхованию жизни на поправочный коэффициент. Поправочный коэффициент определяется как отношение резерва по страхованию жизни за минусом доли перестраховщиков в резерве, к величине указанного резерва. В случае, если поправочный коэффициент меньше 0.85, в целях расчета он принимается равным 0.85.
При расчете нормативного размера маржи платежеспособности по страхованию иному, чем страхование жизни, перестраховочные операции находят свое отражение посредством поправочных коэффициентов. В поправочных коэффициентах учитываются доля перестраховщиков в выплатах, резерве заявленных, но неурегулированных обязательств и резерве произошедших, но незаявленных убытков. Доля перестраховщиков в страховых взносах не учитывается.
Для страховщиков, осуществляющих операции по страхованию жизни и по видам страхования иным, чем страхование жизни, нормативный размер маржи платежеспособности рассчитывается как сумма маржи платежеспособности установленной отдельно для операций по страхованию жизни и по видам иным, чем страхование жизни.
В случае, если фактический размер маржи платежеспособности ниже ее нормативного размера, страховщик, в месячный срок, должен представить в Департамент страхового надзора Министерства финансов Российской Федерации план оздоровления финансового положения. Финансовое оздоровление можно производить не только путем увеличения фактического размера маржи платежеспособности, но и путем снижения ее нормативного размера. Одним из способов снижения нормативного размера является снижение величины поправочного коэффициента, что можно сделать путем увеличения доли выплат перестраховщиков в общей сумме выплат. Заметим, что при расчете нормативного размера маржи платежеспособности по видам страхования иным, чем страхование жизни не учитывается, что перестраховщику перечисляется некоторая доля взносов. Влияние перестрахования на поправочный коэффициент отразится лишь спустя некоторое время, соответствующее наступлению определенного числа страховых случаев. Поэтому целесообразно увеличить влияние фактора перестрахования в нормативном размере маржи платежеспособности, например, используя вместо размера страховых взносов по прямым договорам страхования только те взносы, которые остаются страховщику, т.е. вычитать из них часть, переданную перестраховщикам.
Задача оптимизации перестрахования нескольких страховых продуктов одним видом перестрахования
В 1 настоящей главы предложено решение задачи определения максимальной прибыли страховщика при заданном значении убыточности. Под прибылью понималась разница между премией страховщика и выплаченными им убытками. Под убыточностью понималось отношение выплат страховщика к премии страховщика. В наших обозначениях, прибыль равна PRo=Po-Lo (или, при вероятностном подходе Ро -E(LQ)), убыточность LRo=L(/Po (или E(LQ)/PO) .
Эта задача решалась для перестрахования QS и Surplus. В предположениях детерминированной модели, при оптимальных значениях лимитов компания будет получать максимальную прибыль при том условии, что будет сохраняться структура страхового портфеля и структура убытков. Иными словами, если статистика следующего года будет незначительно отличаться от статистики данного года, то при оптимальных значениях приоритетов компания гарантирует себе получение прибыли близкой к максимальной.
При предположениях вероятностной модели, страховая компания будет получать максимальную прибыль в среднем, за некоторый промежуток времени. Отметим, что при этом предполагалось, что страховой портфель перестраховывается лишь одним видом перестрахования.
В реальной практике страховой портфель состоит из нескольких страховых продуктов или классов страхования (например, договоров страхования от несчастного случая, страхования имущества, ответственности и пр.), каждый из которых перестраховывается отдельно. Определим страховой продукт как совокупность однородных независимых рисков. Например, один страховой продукт - страхование ответственности владельцев транспорта, другой - страхование имущества и т.д. Кроме того, мы будем считать, что страховой продукт перестраховывается только одним из двух видов страхования QS или Surplus.
Как и ранее, будем проводить наши рассуждения без различия между детерминированной и вероятностной моделями, поскольку алгоритм решения задачи, как было показано, один и тот же.
Пусть виды перестрахования для каждого страхового продукта фиксированы. Теперь под убыточностью мы будем понимать суммарные убытки, по всем страховым продуктам, за вычетом убытков, уплаченных перестраховщиком деленные на совокупную премию, собранную по всем страховым продуктам, за вычетом премии, переданной перестраховщику. Под прибылью будем по-прежнему понимать разницу премии и убытков страховщика.
Представляет практический интерес решение следующей задачи: определить такие значения лимитов перестрахования QS или Surplus, для каждого страхового продукта, чтобы реализовывалась требуемое значение убыточности. При этом значении убыточности, прибыль страховой компании должна быть максимальной. Кроме того, необходимо определить какой именно вид перестрахования следует использовать для каждого страхового продукта: QS или Surplus. Таким образом, требуется решить следующую задачу: определить для каждого страхового продукта, где планируется применять перестрахование QS или Surplus, вид перестрахования, значения лимитов для выбранного вида перестрахования, так чтобы реализовывалась требуемая убыточность и прибыль, при данном значении убыточности, была максимальной. Представим метод определения величины лимита при перестраховании каждого продукта, если заранее установлен вид перестрахования для каждого из них. При этом требуется, чтобы реализовывалась заданная убыточность. Пусть в компании N страховых продуктов, для которых требуется решить задачу. Используя метод определения премии, убытков, прибыли и убыточности, изложенный в 1, мы определяем для каждого продукта / следующие функции страховщика-цедента: а) для перестрахования Surplus: Зависимость премии от лимита Poi(a), Зависимость убытков от лимита Loi(aJ, Зависимость прибыли от лимита PRot(a) = Poi(aJ - Loi(cij), Зависимость убыточности от лимита LRot(aJ = Loi(a /Poi(a . где а,- - значение нижнего лимита при перестраховании Surplus /-го продукта. Считается, что значения к и с заданы заранее. б) для перестрахования QS: Зависимость премии от лимита РОІФІ), Зависимость убытков от лимита Lot(bi), Зависимость прибыли от лимита РЯОІФІ) = РОІФІ) - Loi(bj), Зависимость убыточности от лимита LRot(bi)= Lot(bj)/Poi(bi) где bi — значение лимита при перестраховании QS /-го продукта. Считается, что значения q и с заданы заранее. Здесь и далее мы будем обозначать за а, значение лимита при перестраховании QS и значение нижнего лимита для перестрахования Surplus. Требование того, чтобы убыточность принимала значение LR, записывается в следующем виде
Оптимизация комбинации видов перестрахования одного страхового продукта
Рассмотренные вьппе алгоритмы касались только одного вида перестрахования, для одного или нескольких продуктов страховой компании. Как уже было сказано, на практике страховщики используют перестраховочные программы, которые включают в себя несколько видов перестрахования одновременно. Так, например, в рамках одной программы, часть страховой суммы, не превышающей $10 000 перестраховывается перестрахованием QS, часть страховой суммы, которая больше $10 000, но не превышает $15 000 перестраховывается перестрахованием Surplus со значением комиссионных 20%, часть страховой суммы, которая превышает $15 000, но не превышает $100000 перестраховывается перестрахованием Surplus со значением комиссионных 25%. Программы могут быть самыми разнообразными. В рассмотренном нами случае второй договор перестрахования называется Surplus Ist, третий — Surplus 2 . Возникает задача определения оптимальной перестраховочной программы.
В данном параграфе рассмотрена и решена поиска оптимальной перестраховочной программы, которая будет удовлетворять упомянутым вьппе критериям оптимальности, а именно, во-первых, должна реализовываться заданная убыточность, во-вторых, значение прибыли при заданном значении убыточности было максимальным. Как и ранее, будем решать задачу в рамках детерминированной и вероятностной моделей. В данном параграфе рассматривается только один страховой продукт.
В перестраховочную программу будем включать два упомянутых вида договорного перестрахования: QS и Surplus.
Рассмотренные в 2-3 этой главы формулы для значений премии и убытков верны по отдельности, т.е. в том случае, когда используется только один вид перестрахования для рассматриваемого портфеля договоров. В случае перестраховочной программы требуется произвести некоторую корректировку формул. Пусть перестраховочная программа состоит из: Перестрахования QS с лимитом х,, Перестрахования Surplus Ist с лимитами х2 и х3, причем х, , х2 х3. Случай х2 = х3 означает, что данный вид перестрахования отсутствует. В 2-3 данной главы предполагалось, что х2 и х3 связаны соотношением х2 = (к +1) - х3, где к — целое число. Здесь будем считать, что значения лимитов х2 и х3 удовлетворяют лишь соотношению х2 х3. Перестрахования Surplus 2nd с лимитами х4 и х5, причем х3 х4 , х5. Как и ранее, случай хА = х5 означает, что данный вид перестрахования отсутствует. При такой перестраховочной программе, перестраховщику (или перестраховщикам), перестраховывающему лейер [0, х{ ] перестрахованием QS, полагается перечислить часть премии в размере где индексы под суммами означают, что первая сумма берется по договорам, страховая сумма которых не превышает значение лимита х,, вторая сумма берется по договорам, страховая сумма которых больше лимита. Индекс «г7» означает, что рассматривается квотное перестрахование, поскольку в дальнейшем будут использоваться индексы «г2» и «гЗ» обозначающие перестрахование Surplus Ist и Surplus 2 соответственно. Убытки, которые придется оплачивать перестраховщику по договору перестрахования QS, составят Напомним, что в нашем примере перестрахование Surplus используется дважды. Для этих двух договоров перестрахования приведем формулы для премии и убытков. Используя формулы для доли ответственности перестраховщика, получим, что премия, подлежащая перечислению перестраховщику, равна: где к принимает значения 2 и 3 для договоров перестрахования Surplus Ist и Surplus 2 соответственно. Индекс j=2 при k=2,j=4 при к=Ъ. Первая сумма берется по договорам, страховая сумма которых больше нижнего лимита, но не больше верхнего, вторая сумма -по договорам, страховая сумма которых больше верхнего лимита. В целях удобства в дальнейших рассуждениях, проведем преобразование формулы, заключающееся в разделении переменных. Перепишем формулу в следующем виде
Поиск оптимальных условий перестрахования для нескольких страховых продуктов
Ниже представлены решения задачи определения оптимальных значений лимитов для случая трех страховых продуктов. Расчеты проведены как для реальной страховой статистики одной страховой компании (в рамках детерминированной модели), так и для гипотетической статистики, которая позволяет исследовать зависимость прибыли от убыточности при различных значениях финансового результата компании без операций перестрахования (в рамках вероятностной модели).
Рассмотрим случай, для перестрахования каждого продукта используется только перестрахование Surplus. Для реальной статистики, которой располагал автор, решения существовали только для значений убыточности LB от 8% до 14%. Значение числа долей лейера для каждого продукта взято равным .
Ниже используются условные сокращения: «Огневые» - для продукта страхования огневых рисков, «Туристов» - для страхования туристов, «Автостр.»- страхование гражданской ответственности владельцев транспортных средств. При отсутствии перестрахования компания имела убыточность 9.8% и прибыль $337 000.
В строке «Убыточность» стоят значения убыточности. В графе «Лимиты» стоят значения лимита для конкретного страхового продукта при указанной убыточности. Максимальная прибыль, которая реализуется при такой убыточности стоит в строке «Прибыль».
Для наглядного представления, построим график, где будем откладывать зависимость максимальной прибыли от убыточности. На графике явно виден максимум, который реализуется при LR =9.8% (перестрахование отсутствует). Значение прибыли нормируем значением прибыли компании при отсутствии перестрахования.
Приведенный график отражает зависимость максимальной прибыли от планового значения убыточности (а не зависимость прибыли от убыточности при разных значениях лимита, как рассматривалось в предыдущем параграфе). Наглядно очевиден другой факт, который аналогичен факту, изложенному в параграфах о перестраховании QS и Surplus: можно получать одинаковую прибыль при различных значениях убыточностях. Это очень важный с точки зрения глобального управления страховой компанией факт который ранее в актуарной литературе замечен не был. Оказывается, что при большем или меньшем значение убыточности может реализовываться одинаковое значение прибыли.
Среди страховщиков распространено мнение, что чем выше убыточность, тем ниже прибыль. Здесь видно, что такое утверждение при использовании перестрахования может не выполняться.
Как продемонстрировано на графике, при использовании перестрахования можно добиваться большей прибыли при большем значении убыточности. Это видно на данном примере: при убыточности LR =8% максимальная прибыль составляет $162665 а при убыточности LR =9% максимальная прибыль составляет $317996. Отметим, что данный уровень убыточности соответствует ситуации, когда перестрахование практически отсутствует. Действительно, для убыточности равной 10%, оптимальными являются следующие значения нижнего лимита: при перестраховании страхового продукта «огневые риски» - $25888 (при максимальной страховой сумме $26000), при перестраховании продукта «страхование туристов» - $148154 (при максимальной страховой сумме $150000), для продукта страхования ответственности автовладельцев $212 (считаем, что комиссионные и число долей в лейере уже зафиксировано). Таким образом, реально, перестраховывается только продукт страхования ответственности автовладельцев. Таким образом, расчеты для реальной статистики показали, что использование перестрахования приводит к снижению прибыли (одновременно повышая или снижая размер убыточности).
Теперь необходимо решить более сложную задачу выбора оптимального сочетания видов перестрахования для данных трех продуктов. Обратимся к имеющейся статистике. Вспомним, что данная задача решается построением двух функций убыточности для каждого продукта, и далее производится простой перебор восьми вариантов назначения видов перестрахования по трем продуктам. Для каждого продукта, как было указано ранее, можно назначить как перестрахование QS, так и Surplus. Тогда возникает вопрос: как правильно определить какой вид перестрахования лучше всего назначить для каждого продукта. А если определен вид перестрахования, то, как лучше всего определить лимиты?
Используя метод динамического программирования, эта задача была решена численно, с использованием перебора. Для этого, были составлены дискретные функции убыточности для каждого продукта, и произведен выбор оптимальных значений лимитов для каждого страхового продукта. Из решений, представленных ниже, можно заметить следующий факт: не всевозможные комбинации реализуются при указанных убыточностях от 8% до 14%. Почти при каждом значении убыточности существуют комбинации, которые не реализуются. Конечно, страховщик может назначать виды перестрахования продуктов произвольно. Но, если он осуществляет финансовое планирование в компании, то анализ того, что будет, и анализ того, как должно быть, могут показать, что некоторые значения финансовых показателей деятельности страховой компании недостижимы. Это вытекает из результатов, представленных ниже. Например, при значении убыточности LR =12%, не реализуется комбинация видов перестрахования, при которой для продукта огневого страхования применяется перестрахование QS, для продукта страхования туристов QS, для продукта страхования ответственности автовладельцев Surplus.
Таким образом, если страховщик применяет такую комбинацию видов перестрахования и планирует получить в итоге показатель убыточности на уровне 12%, то такие две цели недостижимы одновременно, т.к. являются взаимоисключающими.
