Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задачи оценки функциональной зависимости финансово-экономических показателей 11
1.1. Оценка зависимости объема привлеченных депозитов от ставки процента 12
1.2. Оценка зависимости цены бескупонной облигации от времени эмиссии 29
1.3. Определение формы функций полезности экономических благ ...36
Глава 2. Математические модели неопределенности задания функциональной зависимости показателей 48
2.1. Модель неопределенности задания дискретной функциональной зависимости 51
2.2. Дискретная модель учёта экспертной информации с введёнными ограничениями на приращения 62
2.3. Модели неопределенности задания непрерывных функций 77
Глава 3. Применение метода рандомизированных траекторий для оценки зависимости финансово-экономических показателей 93
3.1. Оценка зависимости объема депозитов от ставки процента 95
3.2. Оценка зависимости цены облигации от времени эмиссии 102
3.3. Оценка зависимости полезности экономического блага от его объема 127
Заключение 137
Список литературы 139
- Оценка зависимости цены бескупонной облигации от времени эмиссии
- Определение формы функций полезности экономических благ
- Дискретная модель учёта экспертной информации с введёнными ограничениями на приращения
- Оценка зависимости цены облигации от времени эмиссии
Введение к работе
Тему диссертационной работы, связанную с применением экономико-математических методов для моделирования функциональной зависимости финансово-экономических показателей, необходимо рассматривать в контексте и единстве трёх взаимосвязанных направлений: анализа, наблюдения (мониторинга) и предсказания рассматриваемых показателей.
Задача мониторинга и прогнозирования динамики финансово-экономических показателей неизменно актуальна для эффективного управления в сфере экономической деятельности и в эпоху экономической стабильности, и во времена кризиса. При нахождении рынка в равновесии можно рассчитывать на более долгосрочные прогнозы. В случае нестабильной ситуации на рынках приходится опираться на краткосрочные прогнозы. Выявление тенденций динамики финансово-экономических показателей и определение функциональной зависимости между ними является важной составляющей экономической деятельности любого уровня. Для предсказания развития экономических процессов становится важным не только использование и развитие существующих экономико-математических методов и инструментальных средств, но и поиск новых.
Вопросам выбора эффективного инструментария анализа и прогнозирования финансово-экономических показателей посвящено множество монографических и журнальных публикаций (см., например, журналы «Финансы», «Рынок ценных бумаг», «Инвестиции», «Деньги и кредит», «The Banker», «Strategy&Business»), как отечественных ученых (С.А. Айвазян, В.Н. Вапник, И.И. Елисеева, Г.Б. Клейнер, П.В. Конюховский, Н.В. Хованов и др.), так и зарубежных (J.P. Aubin, Ch. Dougherty, M.G. Kendall, J.E.Stiglitz, A. Stuart, L.Tacacs etc.), что также свидетельствует и о научной актуальности выбранной темы диссертационного исследования.
4 Практическая актуальность диссертационной работы подтверждается тем, что в эконометрике часто возникают ситуации, когда из-за недостатка статистической информации приходится применять экспертные оценки, когда невозможно объяснить применимость тех или иных эконометрических методов, но исследователь вынужден применять такие слабо обоснованные методы и модели. В данной работе разработаны экономико-математические модели и инструментальные методики на основе метода рандомизированных траекторий (функций), которые могут использоваться в подобных ситуациях. Они апробированы на нескольких конкретных финансово-экономических задачах. Таким образом, вполне очевидна практическая актуальность темы диссертации, посвященной разработке экономико-математических методов оценивания динамики и функциональной зависимости финансово-экономических показателей в условиях неопределенности.
Цель диссертационного исследования состоит в разработке комплекса экономико-математических методов и инструментальных методик оценки функциональной зависимости финансово-экономические показателей в условиях неопределенности. Разработанные инструментальные методики основаны на общей модели байесовской рандомизации теоретико-множественной неопределенности. Они используются для решения трех конкретных финансово-экономических задач: 1) оценка зависимости между объемом привлекаемых депозитов и величиной процентной ставки; 2) оценка зависимости между ценой бескупонной облигации и временем её эмиссии; 3) оценка зависимости между полезностью (для конкретного субъекта экономической деятельности) экономического блага и объемом этого блага.
Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие основные задачи:
1) выявить, исходя из анализа конкретных примеров, схему определения функциональной зависимости объёма привлечённых банковских
5 депозитов от ставки процента по этим депозитам;
определить по статистическим данным функциональную зависимость цены обыкновенной бескупонной облигации от времени, прошедшего с момента эмиссии этой облигации;
выявить основные особенности задания функциональной формы зависимости полезности экономических благ (в частности, полезности денег) от объема этих благ;
разработать, на основе метода рандомизации функций, модель неопределенности выбора из конечного класса дискретных траекторий, заданных на целочисленной конечной решетке; построить, исходя из этой модели, методику оценки статистических характеристик стохастического процесса с равновероятными монотонными реализациями;
разработать методику учета ограничений на функции и их приращения в рамках модели неопределенности выбора дискретной монотонной траектории, описывающей функциональную зависимость финансово-экономических показателей;
на основе теории стохастических процессов, индуцированных квазиравномерно распределенными рандомизированными параметрами, построить методику оценки стохастических процессов со степенными и логарифмическими реализациями;
применить различные варианты стохастических процессов с равновероятными дискретными реализациями для исследования функциональной зависимости объема привлеченных банковских депозитов от ставки процента по этим депозитам;
исследовать влияние дополнительной интервальной информации о дискретных траекториях на точность оценки и прогноза цены обыкновенной бескупонной облигации в зависимости от времени с момента эмиссии этой облигации;
9) оценить, с использованием методики рандомизированных логарифмических функций, точность и достоверность определения монотонных функций полезности денег в условиях неопределенности.
Сформулированные выше задачи предопределили объект и предмет проведённого исследования. В качестве объекта изучения выступают эмпирические данные о зависимости финансово-экономических показателей, а именно: статистические данные о зависимости объёма привлечённых депозитов от величины процентной ставки; наблюдаемые временные ряды цен простых бескупонных облигаций; данные о реально используемых в маркетинге функций полезности покупателя. Предметом диссертационного исследования является выявление общих для трех указанных объектов моделей, методов и инструментальных методик задания функциональной зависимости показателей на основе общей концепции рандомизации выбора из множества допустимых функций.
Теоретической и методологической основой диссертационного исследования являются методы системного анализа сложных финансово-экономических процессов, аппарат теории вероятности, теории случайных процессов, эконометрики, математической статистики, экспертных оценок, квалиметрии.
Информационную основу апробации представленных в работе расчётных методик составили числовые и графические данные различных сайтов Интернета, а также материалы баз данных информационных агентств Интерфакс, Cbonds, СКРИН, Российской торговой системы (РТС).
Научная новизна диссертационной работы заключается в разработке нового комплекса экономико-математических моделей и методик оценки функциональной зависимости финансово-экономических показателей в условиях неопределённости. К числу основных результатов, полученных лично автором и определяющих научную новизну диссертационного
7 исследования, относятся следующие:
на основе метода рандомизации функций разработана модель неопределенности выбора из конечного класса дискретных траекторий, заданных на целочисленной конечной решетке; построена, исходя из этой модели, методика оценки статистических характеристик стохастического процесса с равновероятными монотонными реализациями;
разработана методика учета ограничений на функции и их приращения в рамках модели неопределенности выбора дискретной монотонной траектории, описывающей функциональную зависимость финансово-экономических показателей;
на основе теории стохастических процессов, индуцированных квазиравномерно распределенными рандомизированными параметрами, разработана методика оценки стохастических процессов со степенными и логарифмическими реализациями;
продемонстрирована практическая эффективность разработанного комплекса экономико-математических моделей и методик оценки функциональной зависимости финансово-экономических показателей в условиях неопределённости на примерах: (1) исследования функциональной зависимости объема привлеченных банковских депозитов от ставки процента по этим депозитам; (2) анализа влияния дополнительной интервальной информации о дискретных траекториях на точность оценки и прогноза цены обыкновенной бескупонной облигации; (3) оценки, с использованием методики рандомизированных логарифмических функций, точности и достоверности определения монотонных функций в классических моделях полезности денег. Основные результаты и выводы диссертационной работы докладывались
и обсуждались на заседаниях кафедры экономической кибернетики экономического факультета СПбГУ (2008-2009), на заседаниях кафедры высшей математики СПбГЛТА (2008-2009). Автором сделан пленарный
8 доклад по теме «Рандомизированная оценка функциональной зависимости финансово-экономических показателей» на научной конференции СПбГЛТА (27.01.09).
Разработанные модификации метода рандомизированных траекторий и соответствующие инструментальные методики оценки функциональной зависимости финансово-экономических показателей могут быть интересны как с точки зрения теории, так и практики, они также могут использоваться (и частично используются в настоящее время) при чтении широкого спектра спецкурсов по теории принятия экономических решений в условиях неопределенности, по эконометрике и по математической статистике для магистров, специалистов и аспирантов экономических специальностей.
Основные результаты и выводы диссертационной работы представлены в работах [2, 9, 11, 13, 17. 22. 43. 44. 45], опубликованных в научных изданиях и журналах, в том числе в изданиях и журналах, включённых ВАК в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание учёной степени кандидата наук.
Цели и задачи диссертационного исследования обусловили структуру диссертационной работы, которая состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка литературы.
В первой главе исследуется ряд реальных задач, связанных с оценкой функциональной зависимости различных финансово-экономических показателей: объёма привлечённых банковских депозитов и величины процентной ставки по этим депозитам, цены простой бескупонной облигации и времени, прошедшего от момента ее эмиссии, полезности экономического блага (например, денег) и объёма этого блага. Рассматриваются возможные виды функциональной зависимости этих финансово-экономических показателей. Выявлены основные виды функций полезности и предложены различные модифицированные подходы к определению функции полезности.
9 Помимо конкретных случаев выявления эмпирической функциональной зависимости между исследуемыми финансовыми показателями рассматривается ряд экономико-математических моделей и теоретических положений, объясняющих появление соответствующих монотонных зависимостей.
Цель этого исследования состоит в выявлении общей экономико-математической модели, позволяющей описать все указанные реальные задачи как задачи оценки (прогнозирования) функциональной зависимости в условиях неопределенности, когда траектория g(x;0) оцениваемой зависимости известна исследователю с точностью до множества G = {g(x;9) :х є Х,в є 0} допустимых функций.
Во второй главе рассматривается общая для всех трех указанных объектов первой главы модель задания неопределенности, состоящая в рандомизации множества возможных траекторий, описывающих функциональную зависимость соответствующих финансово-экономических показателей.
Анализируются различные варианты рандомизации неопределенности
выбора функции g(x;0) из множества G = {g(x;0):xe Х,0 є0}, порождающей
стохастический процесс g(x) = g(x;в), соответствующий теоретико-
вероятностной модели неопределенности задания функциональной
зависимости. Рассмотрена модель задания стохастического процесса
g(x) = g(x;8) с равновероятными дискретными траекториями,
представляющими собой функциональные пути на целочисленной решетке; исследуются статистические параметры и асимптотика поведения этого стохастического процесса. Разработана методика учета влияния на статистические параметры стохастического процесса g(x) = g(x;0) дополнительной информации о дискретных функциях g(x;6) дискретного аргумента .v = 0,1,...,/я и их приращениях. Рассматриваются часто
10
встречающиеся в экономике модели для ситуаций, когда исследуемая
функция, описывающая связь финансово-экономических показателей,
известна с точностью до совокупности однопараметрических функций
одного аргумента. На основе понятия стохастического процесса,
индуцированного случайным квазиравномерно распределенным параметром
9, строится система моделей неопределенности задания непрерывных
функциональных зависимостей. На основе всех введенных в настоящей главе
теоретико-вероятностных моделей неопределенности задания
функциональной зависимости разрабатываются конкретные методики практического оценивания, мониторинга и прогнозирования статистических свойств соответствующих стохастических процессов.
Цель третьей главы заключается в использовании разработанных во второй главе двух вариантов метода рандомизированных показателей для оценки различных вариантов функциональной зависимости финансово-экономических показателей, выявленных в первой главе.
Для достижения этой цели подробно рассматривается пример моделирования неопределенности при помощи стохастических процессов, индуцированных квазиравномерно распределенными случайными параметрами, для оценки степенной функциональной зависимости доли вкладчиков, открывших депозитные счета в банке, от предлагаемой банком годовой доходности по вкладам. Рассматривается также применение модели стохастических процессов со степенными реализациями для оценки точности и достоверности определения функциональной зависимости нормированной цены облигации от нормированного времени после выпуска рассматриваемой облигации. Для той же задачи оценки зависимости цены облигации от времени используется модель стохастического задания стохастического процесса g(x) = g(x;9) с равновероятными дискретными траекториями. При этом учитывается влияние дополнительной информации
о дискретных функциях g(x;0) дискретного аргумента и их приращений на статистические параметры стохастического процесса g(x) = g(x;0). Рассматривается схема оценки параметров стохастического процесса с траекториями разной вероятности и Байесовская схема оценивания допустимых траекторий процесса с учётом эмпирических, априорных и апостериорных оценок вероятностей. В последнем параграфе этой главы рассматривается методика оценки зависимости полезности экономического блага (в частности, денег) от его объема, основанная на стохастическом процессе с логарифмическими реализациями, задаваемом квазиравномерно распределенным случайным параметром.
В заключении представлены основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту.
Оценка зависимости цены бескупонной облигации от времени эмиссии
В предыдущем параграфе был проведен анализ задачи оценки функциональной зависимости между двумя финансово-экономическими показателями (величиной предлагаемых банками процентных ставок и объёмом привлечённых депозитов). Теперь рассматривается случай оценки функциональной зависимости между одним финансово-экономическим показателем, ценой простой бескупонной облигации, и временем, прошедшим от момента её эмиссии. Для представления задачи оценки зависимости цены облигации от времени эмиссии, как задачи определения функциональной связи двух показателей в условиях неопределённости, когда оцениваемая функция известна исследователю с точностью до множества допустимых функций, опишем кратко основные положения теории формирования рыночной цены облигации.
Облигация (от лат. obligatio — обязательство) - это долговая ценная бумага, обязывающая эмитента в течение ее конечного срока обращения выплатить владельцу номинальную стоимость и проценты (в форме купонных выплат) согласно порядку, определенному при эмиссии.
Облигации являются неотъемлемой составляющей рынка ценных бумаг. Облигация, как и иной товар, имеет цену, и ее можно купить и продать. Цена облигации выражается в денежных единицах и/или в процентах от ее номинальной стоимости. Как и цена товара, цена облигации формируется на основе баланса спроса и предложения.
Облигации российского фондового рынка различаются по принадлежности к группе эмитентов (юридических лиц, выпустивших эти ценные бумаги). Облигации могут быть: государственные; муниципальные; банковские; корпоративные. По законодательству физические лица не могут быть эмитентами облигаций.
Под продажей облигации может подразумеваться одно из двух действий: размещение облигации - то есть продажа эмитентом бумаги ее первому владельцу путем заключения гражданско-правовых сделок; продажа облигации ее владельцем третьему лицу, который становится новым владельцем облигации, и перед которым эмитент несет обязательство выплаты ее номинальной стоимости и процентного дохода.
Рассмотрим кратко различные характеристики облигаций, лежащие в основе их классификации.
Облигации могут быть проданы: с дисконтом - приобретая облигацию, будущий владелец заплатит за нее меньше чем ее номинальная стоимость; по номинальной стоимости; с премией - приобретая облигацию, будущий владелец заплатит за облигацию сумму, превышающую ее номинальную стоимость.
Вне зависимости от уплаченной при приобретении облигации суммы, в дату погашения владелец получит сумму, равную номинальной стоимости облигации.
По сроку обращения облигации могут быть краткосрочные, среднесрочные и долгосрочные. Например, в США государственные краткосрочные облигации называются векселями Казначейства (Treasury bills) и имеют срок обращения 13, 26 или 52 недели. Среднесрочные облигации называются билетами Казначейства (Treasury notes) и выпускаются на срок от 1 года до 10 лет. И, наконец, долгосрочные называются облигациями Казначейства (Treasury bonds), их срок обращения от 10 до 30 лет.
В мировой практике слово "облигация" обычно используется для обозначения долгосрочного финансового инструмента, имеющего срок погашения, как минимум, более 1 года. В России, однако, термин "облигация" применяется практически для любой долговой ценной бумаги. Например, ГКО - государственные краткосрочные облигации, выпускались обычно на срок 3, 6, 12 месяцев. В мировой практике для финансовых инструментов сроком обращения менее 1 года используется термин вексель или коммерческая бумага. В принципе классификация облигаций по сроку до погашения не может быть универсальной, поскольку в каждой стране понятия "долгосрочной" и "краткосрочной" могут существенно различаться.
Для привлечения покупателей эмитент может выпустить купонные облигации, т.е. облигации, держателю которых выплачивается не только номинальная стоимость в момент погашения, но и периодический купонный процент. Купонные облигации являются наиболее распространенным видом облигаций, при этом наиболее часто срок купонного периода составляет 6 месяцев. Иными словами, держатель купонной облигации, при её покупке, даёт свои деньги в долг какой-то компании, которая обязуется выплачивать проценты за использование полученных денежных средств, а в конце срока погасить облигацию по номинальной стоимости (то есть выплатить держателю стоимость облигации, которая была зафиксирована на момент ее выпуска). Процентные выплаты по купонной облигации осуществляются раз в полгода или раз в квартал на протяжении всего срока обращения облигации. Этим купонная облигация несколько похожа на срочный депозитный вклад, с той лишь разницей, что при досрочном изъятии своих средств из банка выплачивается значительно меньший процент, чем в договоре, а держатель облигации может продать её в любой момент и получить все полагающиеся проценты за то время, пока облигация была у него.
Дисконтные облигации (облигации с нулевым купоном) обеспечивают доход владельца облигации тем, что, приобретая облигацию с дисконтом (т.е. по цене, ниже номинала), он в момент погашения получает номинальную стоимость. Других выплат (купонов) облигация не предусматривает. В бескупонной форме выпускаются обычно кратко- и среднесрочные облигации, однако в начале 80-х годов в США появились и долгосрочные облигации, не предусматривающие купонных выплат.
Определение формы функций полезности экономических благ
В этом параграфе будут рассмотрены наиболее часто используемые в экономических исследованиях функции полезности экономических благ (в частности, функции полезности денег). Для выявления особенностей задания функциональной формы зависимости полезности экономических благ от объема этих благ, остановимся сначала на определении места понятия «полезность» среди трёх взаимосвязанных типов ценности.
В экономической теории термин «благо» («экономическое благо»), понимаемый в широком смысле, означает товар или услугу, произведенные некоторым «производителем» и способные удовлетворять определенные потребности некоторого «потребителя». В роли производителя и потребителя могут выступать любые субъекты экономической жизни, как физические или юридические лица (отдельные граждане, фирмы, предприятия, коммерческие банки и т.п.), так и отрасли производства, национальные экономики и т.д.
Посредническая деятельность «торговцев» не только обеспечивает необходимый для жизни общества оборот производимых и потребляемых благ, но и позволяет отождествлять в рамках экономических моделей «благо произведенное» и «благо потребленное», хотя два этих блага могут быть разделены и в пространстве, и во времени [41].
Такая трактовка понятия «благо» является достаточно общей для того, чтобы быть применимой к продуктам различной природы (от реальных товаров и услуг до информации и результатов творчества), и давно используется в работах, посвященных экономической теории ценности [37,53,71]. В любом экономическом благе, понимаемого в указанном широком смысле, можно усмотреть три основных аспекта его «ценности» (value): «полезность» (utility) блага, делающую его потребительной ценностью (value in use) для какого-либо «потребителя»; «стоимость» (value of cost), т. е. ценность издержек на создание блага; «цену», или «меновую ценность» (exchange value), позволяющую «посреднику», купившему произведенное благо у производителя, планировать продажу этого блага потребителю..
Очевидна аналогии системы трех указанных аспектов ценности блага (потребительная ценность, затратная ценность и меновая ценность) с системой трех видов экономических субъектов (потребитель, производитель и посредник), которая аналогична, в свою очередь, системе трех составляющих экономической деятельности (потребление, производство и распределение). Очевидно также, что компоненты всех трех рассматриваемых «триад», - (полезность-стоимость-цена), (потребитель-производитель-посредник), (потребление-производство-распределение) -являются абстракциями и редко встречаются в чистом виде в реальной экономической жизни. Зачастую, реальный субъект экономики совмещает в той или иной мере функции и потребителя, и производителя, и посредника-торговца, т. е. в определенной мере участвует и в потреблении, и в производстве, и в распределении благ. Но эти абстракции могут облегчить анализ реальных экономических процессов и использоваться для создания простых моделей определения ценности благ.
Существует тесная связь, признаваемая многими специалистами (см., например, [1,6,41,18,36,51]), определяемого в терминах общей экономической теории понятия потребительской ценности блага и более конкретного понятия качества товаров, используемого в квалиметрии и определяемого в терминологическом стандарте ISO 8402 Международной организации по стандартизации следующим образом: «Качество — совокупность характеристик объекта, относящихся к его способности удовлетворить установленные и предполагаемые потребности» [21]. Аналогично определяется качество продукции и в сборнике нормативно-методических документов [28]: «Качество — совокупность свойств и характеристик продукции или услуги, которые придают им способность удовлетворять обусловленные или предполагаемые потребности».
Действительно, «квалиметрическое» понимание качества товаров и услуг очень близко к трактовке понятия «потребительная ценность» (value in use), четко определенного уже во времена А. Смита. Такая же связь потребительской ценности и качества прослеживается и в общей теории полезности экономических благ, развитой австрийской школой политической экономии (К. Менгер, Е. Бем-Баверк, Ф. Визер), создавшей модель «экономики потребительных ценностей», основанную на предположении о возможности оценки «полезности», которая является функцией качества и количества товаров и услуг, составляющих набор благ, ценность которого подлежит оценке. Хотя деньги сами по себе не могут быть непосредственно потреблены человеком, но их полезность косвенно может быть оценена в соответствии с полезностью потребляемых экономических благ, которые можно приобрести за фиксированную сумму денег.
Явная формулировка понятия функции полезности (точнее, функции полезности денег) восходит к идеям Даниила Бернулли и Габриеля Крамера, возникшим в связи с обсуждением так называемого «Петербургского парадокса», обнаруженного в 1713 г. Николаем Бернулли. Этот парадокс связан с тем, что, если предположить полезность денег прямо пропорциональной их объему то в простой азартной игре (получившей название «Петербургской игры»), связанной с бросанием правильной монеты и описываемой ниже, игрок имеет бесконечное математическое ожидание случайного выигрыша.
Действительно, пусть в основе игры лежит последовательность независимых случайных испытаний, состоящих в подбрасывании «правильной» монеты. Иными словами, множество элементарных исходов Qw ={со[ \со } каждого из независимых испытаний Е(0 содержит два элементарных исхода: исход в,(0 = сох состоит выпадении «орла», а исход 2 -(о2 - ъ выпадении «решетки». При этом вероятности элементарных событий {(у,(0}еП(0, {Й),(,)}СП(,) равны между собой: Р({со\ )}) = Р{{со }) = \/2. Пусть правила игры таковы, что игра останавливается и игрок получает 2" ] денежных единиц, если впервые «орел» появляется при п-м случайном бросании монеты. Очевидно, что вероятность Рп того, что «орел» появится первый раз в п-м испытании равна Рп=2 ". Если полезность объема х выигрыша определяется для игрока функцией полезности и = и(х) = Л-х, Л 0, то математическое ожидание Еу-Л-Ех случайного выигрыша у равно бесконечности.
Дискретная модель учёта экспертной информации с введёнными ограничениями на приращения
В разных практических задачах используются стохастические процессы с равновероятными монотонными дискретными реализациями (траекториями), проходящими через узлы заданной целочисленной решётки. Число таких реализаций вычисляется по формуле, приведённой в предыдущем параграфе. Введение ограничений существенно сокращает количество рассматриваемых траекторий процесса, понижая тем самым трудоёмкость вычисления оценок статистических характеристик стохастического процесса. В этом параграфе разрабатывается, на основе метода рандомизации функций, модель неопределенности выбора из конечного класса дискретных траекторий, с введёнными ограничениями на эти траектории и/или на их приращения. Строится, исходя из этой модели, методика оценки статистических характеристик стохастического процесса с равновероятными монотонными реализациями с учётом введённых ограничений на эти траектории, описывающие функциональную зависимость финансово-экономических показателей. Введение интервальных ограничений на траектории процессов, описанных в первом параграфе этой главы, приводит к выделению классов равновероятных, ограниченных с одной или с двух сторон траекторий. Рассмотрим случай, когда у исследователя имеется дополнительная информация фиксируемая в виде вектора ограничений на соответствующие приращения возможных реализаций процесса с = (с(1),...,с(ш))в точках / = 0,1,...,т.
Получаем выделенный в [38, с.57; 33, с.91] подкласс J(m,n,c) класса J(m,ri), состоящий из монотонных траекторий класса J(m,n): дискретных функций j (i;9) = jXi;m,n;8), j(і;в) є {ОД,...,п}, дискретного аргумента /є {0,1,...,«?}, заданных на целочисленной решетке [0,m]x[0,n] = {(i,j):i = 0,l,...,m, j = 0,1,...,n) и удовлетворяющих условию монотонности ( j(i -\;в) j(i; 9)), двум краевым условиям ( ДО; 9) = 0, j(m;9) = n), а также дополнительным ограничениям на приращения: d(i;9) = Д/;0) - Д/-ВД c(i), где с(і) є {0,...,n},c(l) + ... + c(i) = с(1,/),с(1,іи) п . Односторонние ограничения на приращения приводят к следующим двусторонним ограничениям на приращения отсюда получаются двусторонние ограничения и на сами траектории из класса Можно доказать взаимнооднозначное соответствие траекторий, заданных на решётке [0,т]х[0,п] из класса J(m,n,c) с ограничениями на приращения и траекторий, заданных на решётке меньшей размерности [О, т] х [0, п - с(1, т)] из класса J{m, п - с(1, от)). Установленное взаимно-однозначное соответствие этих классов траекторий позволяет определить количество траекторий в классе J(m,n,c), равное количеству траекторий в классе J(m,n-c(l,m)): В качестве примера траекторий j{i\0) = j{i;m,n;6) J{m,n,c) взаимнооднозначно отображённых на траектории j(i;0) = j (i;m,n;0)eJ(m,n-c(l,m)) можно рассмотреть следующий случай. Траекториям, заданным на решётке [0,9]х[0,14], у(/;9,14;0)є 7(9,14, с), с введённым вектором ограничений на приращения этих траекторий с = (0,1,1,0,3,1,2,1,0) (сложим эти ограничения и получим с(1,т) = 9), будут взаимнооднозначно соответствовать траектории, заданные на решётке [0,9]х[0,5], значительно меньшей размерности: J(i;9,5;0) є ./(9,14-9). Рассмотрим теперь рандомизированный равновероятный выбор траекторий из указанного класса j(i;6) = j{i;m,n-,e)є J{m,n,c), моделируемый стохастическим процессом, равновероятные монотонные дискретные реализации которого проходят через узлы заданной целочисленной решётки и принадлежат классу J(m, п, с).
Такая равновероятная рандомизация теоретико-множественной неопределенности выбора конкретной траектории j{i;6) = ]{і\т,п;в) из множества J(m,n,c) дает стохастический процесс J(i;m,n,c) порожденный равномерно распределенным случайным параметром в : Можно сказать, что мы имеем дело со стохастическим процессом 7(0 = Опираясь на формулу выведенную для определения количества траекторий в классе J(m,n,c), можно вывести формулу числа траекторий, проходящей через узлы решётки произвольной размерности [рА:2]х[7р/2]с[0,т]х[0,л]: N([kx,k2]x[lxJ2]\c) = N(k2-k,J2-l{,c) = N{k2-k 2-l,-c(kx+\,k2)) траекторий J(i;6) = j(i;m,n;6), проходящих через узлы целочисленной решётки [р&2]х[/р/2]с[0, и]х[0,/7] и через точки(кх,/,),(А:2,/2), с(Аг, +1,Аг2) = с(1,А;2) —:(1, ).
Оценка зависимости цены облигации от времени эмиссии
Рассмотренные во втором параграфе первой главы конкретные примеры, свидетельствуют о возможности выявления монотонной зависимости между временем от момента эмиссии дисконтной облигации и ее ценой. Эта монотонная зависимость носит, как правило, статистический характер, что не позволяет точно указать какую-то одну единственную монотонную функцию, описывающую изучаемую зависимость. Поэтому исследователь оказывается, как и примерах, приведенных в первом и третьем параграфах первой главы, в ситуации теоретико-множественной неопределенности, когда имеется целый класс G = {g (х; в): х є X = (х_, х+), 9 є 0 = [9_, 9+)} параметризованных функций g(x; 9), заданных с точностью до параметра 9, возможные значения которого лежат в некотором интервале 0 = [9_, 9+ ]. В этом параграфе рассматривается пример применения, описанной в третьем параграфе второй главы модели неопределенности задания непрерывных функциональных зависимостей из классов, содержащих бесконечное множество непрерывных функций. Рассматривается применение методики оценки стохастических процессов со степенными реализациями, на основе теории стохастических процессов, индуцированных квазиравномерно распределенным рандомизированным параметром в. Используются формулы для вычисления числовых характеристик этих процессов. В качестве примера применения метода рандомизированных траекторий, использующего модель стохастического процесса, порожденного квазиравномерно распределенным параметром, рассмотрим задачу оценки функциональной зависимости у = у(х) цены у бескупонной облигации от времени х, прошедшего после момента х = х_ выпуска этой облигации (х х+), где дг+ - последний момент, когда облигация котируется на рынке). Предполагается, что наблюдаемая рыночная цена у = у(х) облигации принимает значения из интервала [у_,у+], где у_ = у(х_) есть рыночная цена облигации в первый момент х_ котировки на финансовом рынке, а у+ = у(х+) - цена в последний момент х+ котировки. Дисконтные облигации рассматриваются, как наиболее простые и позволяющие определить их доходность по графику функциональной зависимости между ценой облигации и времени, прошедшего от ее эмиссии (или, что тоже самое, времени до погашения облигации).
Любая дисконтная облигация обладает фиксированными ценами первичной продажи и погашения, а также фиксированными датами эмиссии и погашения, следовательно, динамика цены этой облигации определяется графиком, соединяющим значения цены в момент первичной продажи и в момент погашения. Вид графика функциональной зависимости цены дисконтной облигации от времени, прошедшего от момента эмиссии, определяется конкретными финансово-экономическими обстоятельствами. Реальная кривая зависимости может отклоняться от тренда, при этом в зависимости от рыночной ситуации эти отклонения могут носить разный характер и быть довольно значительными. Сам же основной тренд, представляющий математическое ожидание цены, в определенных условиях может быть довольно устойчивым. В случае, когда доходность до погашения рассматриваемой облигации не претерпевает резких скачков, можно ожидать, что текущая рыночная цена облигации будет повышаться на всем промежутке времени [.r_,x+].
Разумеется, реальная цена не всегда повышается и может, при определенных обстоятельствах, даже падать. Однако зачастую условие возрастания функции у = у(х) выполняется почти на всем промежутке [х_,.т+] и наблюдаемые отклонения от монотонного возрастания имеют небольшую величину. Пример такой «почти монотонной» (возрастающей) зависимости цены акции от времени был приведен в 1.2, где был рассмотрен пример погашенной 17.03.08 облигации Банка России (ОБР), размещённой с 17.09.07 по 14.03.08: ОБР04003-7, код CRBN07, эмитент ЦБРФ - Банк России. Эта облигация была выпущена в момент времени х_ = 0, когда ее цена у_ = у(х_) была равна 975,6 руб, и набрала на последний момент лг+ =181 котировки цену у+=у(х+) = 1000 [64]. Пусть, как и в предыдущем параграфе, исследователь считает, что функциональная зависимость между рассматриваемыми показателями х и у задается соотношением z = g(t;6) = ie между новыми переменными - между нормированным временем t = (х-х_)/(х+-х_), t є [ОД] и нормированной ценой облигации z = (y-y_)/(y+-yj, ze[0,l], хе[х_,х+], х_ 0, ує[у_,у+], у_ 0, а вє[в_,в+), 0_ О.
Пусть исследователь выбрал так значения в_ =0,5, 9+ =1,75, чтобы график эмпирической функции, изображенной в новых (нормированных) координатах, целиком лежал между графиками функций z = g(t;0_) = te-, z = g(c,e+) = t9-. Класс G допустимых параметризированных функций, заданных с точностью до параметра 0 (возможные значения которого лежат в некотором интервале = [0_,0+]), описывающих функциональную зависимость z и t, состоит из степенных функций z = g{t;0) = t, в є& = (в_,0+) = [в_,в+), в_ 0, заданных на множестве /є(0,1). Очевидно, что функции z = g(t;9) = te убывают по параметру в во всех точках интервала t є (0,1).
