Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Эволюция финансового рынка и финансовой теории 12
1.1. Эволюция финансового рынка 12
1.2. Эволюция финансовой теории 23
Глава 2. Решение задачи оптимального управления портфелем, содержащим производные финансовые инструменты 40
2.1. Предпосылки задачи. Дискретное время 40
2.2. Решение задачи хеджирования без учета отношения инвестора к риску. Дискретное время 43
2.3. Решение задачи хеджирования с учетом отношения инвестора к риску. Дискретное время 48
2.4. Предпосылки задачи. Непрерывное время 69
2.5. Решение задачи хеджирования без учета отношения инвестора к риску. Непрерывное время 72
2.6. Решение задачи хеджирования с учетом отношения инвестора к риску. Непрерывное время 75
2.7. Определение рациональной стоимости производного финансового инструмента на основе решения задачи об оптимальном управлении
Портфелем. Непрерывное время 80
Глава 3. Реализация стратегии хеджирования с учетом отношения инвестора к риску 84
3.1. Алгоритм реализации стратегий опционного хеджирования, учитывающих отношение инвестора к риску 84
3.2. Пример хеджирования фьючерсного опциона покупателя 94
Основные выводы 100
Список литературы 102
- Эволюция финансовой теории
- Решение задачи хеджирования без учета отношения инвестора к риску. Дискретное время
- Решение задачи хеджирования без учета отношения инвестора к риску. Непрерывное время
- Пример хеджирования фьючерсного опциона покупателя
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Фондовый рынок является основным инструментом организации потоков инвестиционного капитала. Особое значение на фондовом рынке имеет сектор производных финансовых инструментов.
В развитых странах оборот этого сектора превышает объем торгов на рынках базовых активов. Позиции по производным финансовым инструментам составляют значительную часть инвестиционных портфелей как профессиональных управляющих активами, так и частных инвесторов. Связано это с тем, что использование производных финансовых инструментов предоставляет инвесторам широкие возможности по управлению портфелями при минимальных затратах (в частности, на рынке производных финансовых инструментов спекулятивные операции характеризуются наибольшим эффектом финансового рычага). Важная особенность рынка производных финансовых инструментов состоит в том, что этот рынок дает несклонным к риску инвесторам возможность хеджировать свои портфели.
Благодаря перераспределению рисков между различными категориями участников развитие торговли производными финансовыми инструментами способствует снижению общего системного риска на фондовом рынке.
В настоящее время благодаря усилиям двух ведущих российских торговых площадок — Фондовой биржи «Российская Торговая Система» (ФБ «РТС») и Фондовой биржи «Санкт-Петербург», организовавших в сентябре 2001 г. на ФБ «РТС» торговую площадку FORTS по торговле фьючерсными и опционными контрактами (FORTS — Futures and Options on RTS), в России существует ликвидный и динамично развивающийся рынок производных финансовых инструментов.
Одной из ключевых задач, которую ставит перед собой ФБ «РТС», является разработка и внедрение широкого спектра финансовых инструментов, позволяющих управлять ценовыми рисками. Динамичное развитие рынка производных финансовых инструментов определяет необходимость совершенствования стратегий хеджирования, основанных на использовании производных финансовых инструментов. Особый интерес при этом вызывает исследование влияния отношения инвестора к риску на принятие решений по управлению портфелем, включающим производные финансовые инструменты. Этой проблематике и посвящена работа.
Цель исследования. Целью исследования является модификация классических моделей опционного хеджирования с учетом отношения инвестора к риску. Задачи исследования. Достижение поставленной цели проводилось посредством последовательной реализации следующих основных задач: • анализ и систематизация известных моделей ценообразования производных финансовых инструментов с последующим исследованием возможности использования аппарата теории полезности для поддержки процесса принятия решений по управлению портфелями, включающими производные финансовые инструменты; • разработка моделей опционного хеджирования в дискретном и непрерывном времени, оптимального в смысле максимизации математического ожидания полезности конечного капитала; • анализ особенностей российского рынка производных финансовых инструментов и модификация известных моделей ценообразования производных финансовых инструментов с учетом этих особенностей; • сравнение результатов опционного хеджирования с использованием моделей, не учитывающих отношение инвестора к риску, и моделей, учитывающих отношение к риску, на основании реальных данных о торгах производными финансовыми инструментами на ФБ «РТС». Область исследования. Исследование проведено в соответствии с п. 1.6. «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода фи 6 нансовой математики и актуарных расчетов» Паспорта специальности 08.00.13 — «Математические и инструментальные методы экономики» (экономические науки). Объект исследования. Объектом исследования является фондовый рынок.
Предмет исследования. Предметом исследования выступает процесс принятия решений по управлению портфелем, содержащим производные финансовые инструменты.
Степень научной разработанности проблемы. Проблематика управления портфелем, включающим производные финансовые инструменты, восходит к основателю стохастической финансовой математики Л. Башелъе (L. Bachelier), который, в частности, в 1900 г. предложил первую модель определения цены опциона. Далее эта проблематика рассматривалась в трудах Ф. Блэка (F. Black), М. Шоулза (М. Scholes) и Р. Мертона (R. С. Merton), которые в 1973 г. построили наиболее распространенную на сегодняшний день модель ценообразования опционов в непрерывном времени, Дж. Кокса (J. С. Сох), Р. Росса (R. A. Ross) и М. Рубинштейна (М Rubinstein), предложивших в 1977 г. модель ценообразования опционов в дискретном времени, а также в работах С. Н Волкова, А. В. Мельникова, М. Л. Нечаева, В. Н. Тутубалжа, А. Н. Ширяева и других авторов.
Понятие полезности было впервые введено Д. Бернулли (D. Bernoulli) в 1753 г. при анализе санкт-петербургского парадокса. В 1947 т.Дж. фон Нейман (J. von Neumann) и О. Моргенштерн (О. Morgenstern) довели исследования в области полезности до уровня математической теории, в частности, распространив область ее применения на исследование отношения лиц, принимающих решения, к риску. В 1964—1965 гг. К. Эрроу (К. J. Arrow) и Дж. Пратт (J. W. Pratt) ввели функцию (коэффициент) абсолютной несклонности к риску. С 1980-х гг. применением теории полезности к задачам портфельного инвестирования в основные и производные финансовые инструменты активно занимается Нобелевский лауреат Р. Мертон (R. С Merton). Таким образом, научная проблема в широком смысле является достаточно разработанной. Вместе с тем, ощущается необходимость в дальнейшем исследовании узкой области, определяемой темой данной работы.
Методология и методика исследования. Теоретической и методологической основой работы послужили исследования в области математической экономики, финансовой математики, теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов и теории оптимизации.
В ходе исследования были использованы труды В. Е. Барбаумова, Ф. Блэка (F. Black), Ф. П. Васильева, Дж. Кокса (J. С. Сох), А. Н. Колмогорова, Дж. Линтнера (J. Lintner), Т. МакУолтера (Т. A. McWalter), А. В. Мельникова, Р. Мертона (R. С. Merton), О. Моргенштерна (О. Morgenstern), Дж. фон Неймана (J. von Neumann), Р. Росса (R. A. Ross), М. Рубинштейна (М Rubinstein), В. Н. Тутубалина, Л. С. Понтрягина, Дж. Пратта (J. W. Pratt), У. Шарпа (W.F. Sharpe), А. Н. Ширяева, М. Шоулза (М Scholes), П. Эмбрехтса (P. Embrechts), К Эрроу (К. J. Arrow) и других отечественных и зарубежных экономистов и математиков. Для расчетов применялся пакет прикладных программ Microsoft Excel. Информационная база. Информационную базу исследования составили статистические данные о торгах акциями и производными финансовыми инструментами в секторах «Биржевой рынок» и «Срочный рынок» ФБ «РТС», опубликованные в открытом доступе на официальном сайте ФБ «РТС» (www.rts.ru). Научная новизна. Научная новизна исследования состоит в разработке моделей опционного хеджирования в дискретном и непрерывном времени с учетом отношения инвестора к риску. Положения, выносимые на защиту. Автором получены и выносятся на защиту следующие новые научные результаты: • анализ существующих подходов к опционному хеджированию; • подход к опционному хеджированию, учитывающий отношение инвестора к риску (включая построение соответствующих математических моделей и их исследование); • использование задач оптимального управления для решения задач ценообразования опционов; • исследование особенностей российского рынка производных финансовых инструментов; • сравнение эффективности различных подходов к опционному хеджированию. Достоверность результатов исследования. Достоверность полученных результатов обеспечивается построением экономически обоснованных математических моделей, строгостью применения математических методов при исследовании этих моделей. Основные положения сформулированы в виде теорем и доказаны. Также о достоверности теоретических результатов свидетельствует совпадение их частных случаев с известными результатами. Достоверность практических расчетов основана на использовании реальных данных, находящихся в открытом доступе на официальном сайте ФБ «РТС». Теоретическая и практическая значимость результатов исследования. Разработанные модели опционного хеджирования в дискретном и непрерывном времени с учетом отношения инвестора к риску, а также проведенная в работе модификация известных моделей производных финансовых инструментов с учетом особенностей российского фондового рынка имеют теоретическое и практическое значение. В частности, результаты проведенных экспериментов показали, что опционное хеджирование, проведенное в соответствии с построенными моделями, учитывающими отношение инвестора к риску, на основании реальных данных о торгах производными финансовыми инструментами на российском фондовом рынке, оказалось эффективнее традиционного хеджирования (без учета отношения инвестора к риску). Результаты работы могут быть использованы: • индивидуальными и корпоративными инвесторами при принятии инвестиционных решений на фондовом рынке; • фондовыми биржами при разработке новых производных финансовых инструментов; • органами государственного управления в качестве инструмента поддержки принятия решений по регулированию фондового рынка; • учебными заведениями при обучении студентов, переподготовке и повышении квалификации специалистов — работников соответствующих государственных и коммерческих структур.
Апробация результатов исследования. Промежуточные результаты исследования докладывались и обсуждались на Межвузовской научно-практической конференции «Инновационное предпринимательство и управление знаниями» (г. Москва, 2006 г.), 22-й Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Реформы в России и проблемы управления — 2007» (г. Москва, 2007 г.), 2-й Международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики MMSED — 2007» (г. Москва, 2007 г.).
Внедрение результатов исследования. Результаты работы используются в практической деятельности ОАО «Камский прессово-рамный завод» при принятии инвестиционных решений (акт о внедрении от 04.10.2007 г. приведен в прил. 7), а также в учебном процессе Государственного профессионального учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет управления» при преподавании учебной дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория игр» для студентов специальности 080116 «Математические методы в экономике» (акт о внедрении от 02.10.2007 г. приведен в прил. 8).
Публикации. Основной материал работы опубликован в 5 печатных научных работах соискателя общим объемом 132 с, выполненных без соавторства (в том числе опубликована 1 монография и 1 статья в журнале «Вестник Университета», входящем в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов, списка использованной литературы и приложений. Основной текст работы составляет 113 страниц, в том числе 1 рисунок и 3 таблицы; список литературы содержит 140 наименований; 8 приложений включают 5 таблиц.
В первой главе проведен анализ и систематизация существующих моделей ценных бумаг и производных финансовых инструментов, выделены подходы, применяемые к моделированию производных финансовых инструментов, в частности, для хеджирования рыночных рисков. Особое внимание уделено применению теории полезности к моделированию принятия инвестором решений по управлению портфелем. Традиционные стратегии опционного хеджирования основаны на идее повторения динамикой капитала портфеля динамики цены производного инструмента и не учитывают отношения инвестора к риску, поэтому учет влияния отношения инвестора к риску на стратегии хеджирования представляется важным и актуальным.
Во второй главе постановка задачи опционного хеджирования сводится к задаче оптимального управления самофинансируемым портфелем, составленным из производного финансового инструмента в короткой позиции и хеджирующего портфеля, на эффективном рынке. Решаются задачи оптимального управления указанным самофинансируемым портфелем в дискретном и непрерывном времени. Рассматриваются две различные постановки задачи: в первой постановке в качестве критерия оптимальности выступает математическое ожидание конечного капитала сформированного портфеля; во второй — математическое ожидание полезности конечного капитала сформированного портфеля. Во второй постановке в дискретном времени задача решается для квадратичной функции полезности фон Неймана — Моргенштерна, в непрерывном времени — для функции полезности в общем виде. Для решения поставленных задач используется метод динамического программирования. На основе решения задач строятся оптимальные стратегии опционного хеджирования. Обсуждается возможность использования решения задачи об оптимальном управлении портфелем для определения рациональной стоимости производного финансового инструмента. Основные результаты второй главы опубликованы в работах [86—90].
В третьей главе проводится анализ особенностей российского рынка производных финансовых инструментов. Анализируются особенности опционов на фьючерсы. По информации о торгах основными и производными финансовыми инструментами на ФБ «РТС» проводятся расчеты конечного капитала портфеля в нескольких вариантах: • без хеджирования; • с применением традиционного дельта-хеджирования; • с применением хеджирования с учетом отношения инвестора к риску для различных функций полезности. Проводится анализ результатов проведенных экспериментов. Основные результаты третьей главы опубликованы в монографии [87].
Эволюция финансовой теории
Пусть задано вероятностное пространство [16] (Q, JF,P), где fi — пространство элементарных событий, Т — а-алгебра событий, Р — вероятностная мера, и фильтрация [39] ( ),s0, удовлетворяющая обычным условиям, определяет на этом вероятностном пространстве стохастический базис [16,117] (Q,.F,( UP), где а-алгебра Tt имеет смысл всей информации, имеющейся к моменту / (; 0). Многочисленные попытки детерминированного описания динамики стоимостей ценных бумаг успехом не увенчались. Первая попытка стохастического описания эволюции стоимостей акций парижского рынка была предпринята Л. Башелье, который в 1900 г. в своей диссертации [4] предложил рассматривать цену акции S = (St)t 0 как случайный процесс со стационарными приращениями (впоследствии получивший название обобщенного броуновского движения): St=S0 + at + aWt, t 0, (1.2.1) где Wt — стандартное броуновское движение [117], я = ИтЕгД c2=limDr,\ (1.2.2) для всех / — независимые одинаково распределенные случайные величины темпа прироста цены акции за период [t - h, t] или, иначе говоря, доходности спекулятивной операции, которая заключается в покупке акции в момент (t - И) и продаже этой акции в момент t. E(St\fh) = Sh, 0 h t, т. е. случайный процесс St является мартингалом относительно фильтрации (J-L,[16,H7].
В той же работе [4] Л. Башелье рассматривает опцион покупателя, заключаемый в момент времени t = О, с моментом исполнения Т и терминальной стоимостью К. В момент исполнения Г держатель опциона воспользуется правом покупки акций по цене исполнения К только в том случае, если рыночная цена акции ST окажется больше К. В этом случае, исполнив опцион, его держатель получит доход ST-K. Если же рыночная цена акции ST окажется меньше К, то владелец опциона не будет его исполнять и получит нулевой доход. Таким образом, платежная функция fT, т. е. доход держателя опциона в момент исполнения Т, определяется формулой fT=max{ST-K;0}. (1.2.3)
Опираясь на построенную модель ценообразования акции, Л. Башелье получил формулу для расчета рациональной (т. е. справедливой) цены С0 = Щ/т \ 0) европейского опциона покупателя в момент времени / = 0 для платежной функции, определяемой соотношением (1.2.3), при условии, что процентная ставка банковского счета / = 0: oVr J V сл/Г где і х q (jc) = —т=е 2/2, Ф(х)= \ o(z)dz — 2Vrc і функция плотности распределения и функция распределения нормального закона. П. Самуэльсон в 1965 г. [91] ввел понятие геометрического (в его терминологии — экономического) броуновского движения S = (St ), 0: \nSt=\nS0 + (a-0,5a2)t + aW( или, иначе, \n - = (a-0,5a2)t + oWt, где математическое ожидание темпа прироста цены акции (мгновенная доходность) а и волатильность цены акции а определяются соотношениями (1.2.2), Wt — стандартное броуновское движение. Эта модель основывается на предположении М. Осборна [77] (1959 г.), что не стоимости ценных бумаг, как в модели (1.2.1), а логарифмы этих стоимостей в каждый момент времени распределены по нормальному закону.
Содержательный смысл формулы (1.2.7) состоит в следующем [94]: первое слагаемое StO(y ) есть стоимость ожидаемого в момент / дохода от исполнения опциона. Второе слагаемое (-КФ(у )ъ р(Т )) представляет собой произведение цены исполнения опциона на вероятность того, что он окажется выигрышным, дисконтированное по безрисковому проценту к моменту /, т. е. теку 27 тую СТОИМОСТЬ ожидаемых расходов при исполнении опциона. Таким образом, рациональная СТОИМОСТЬ опциона есть разница между ожидаемым доходом и ожидаемым расходом от исполнения опциона, приведенными к моменту /.
Публикации Ф. Блэка, М. Шоулза и Р. Мертона быстро нашли применение в практике финансовых расчетов и способствовали интенсивному расширению организованной торговли опционами, которая началась в 1973 г. с открытием Чикагской опционной биржи (Chicago Board Options Exchange, СВОЕ) [127]. Кроме того, они стали источником многочисленных исследований более сложных производных финансовых инструментов.
Базовое определение опциона может применяться не только к финансовым активам, но и во множестве других ситуаций: опционы часто бывают встроены в самые различные типы сделок и проектов [52]. Поэтому теория оценки производных инструментов имеет широкие приложения и за пределами рынка ценных бумаг. Например, методы, основанные на фундаментальном уравнении Блэка — Шоулза — Мертона, могут быть использованы для оценки страховых контрактов и гарантий, так как они являются своего рода производными инструментами, предоставляя своим держателям право, но не обязательство их использования [94]. Так, П. Эмбрехтс с коллегами посвятил ряд работ [35, 119— 122] исследованию процессов страхования методами финансовой математики. Методика Блэка — Шоулза — Мертона также находит применение в оценке реальных опционов [18,36], а также в макроэкономическом анализе [92].
Дж. Кокс, Р. Росс и М. Рубинштейн в работе [53] предложили в 1979 г. биномиальную модель ценообразования акции и основанную на ней формулу для расчета цены производного финансового инструмента. Хотя эта работа появилась позже работ [9], [74], именно модель Блэка — Шоулза — Мертона является логическим развитием модели биномиальной модели.
Решение задачи хеджирования без учета отношения инвестора к риску. Дискретное время
Цель инвестора, сформировавшего портфель 7Г, = (/?,, 7 1) на рынке, — получить как можно больший доход. Инвестору необходимо выяснить, как управлять своим портфелем, чтобы достичь поставленной цели.
Рассматривается следующая постановка задачи оптимального управления: необходимо из множества допустимых стратегий Г0 выбрать такую стратегию Уд є Г0 управления самофинансируемым портфелем тг, = (/3/5 % -1) на отрезке [0; 7], которая обеспечит максимум ожидаемого капитал портфеля в момент времени t = Т, при условии, что в начальный момент t = 0 капитал портфеля составляет Хо, а цена акции — SQ. Иначе эту задачу можно сформулировать следующим образом: одновременно с продажей опциона покупателя на акцию инвестор формирует так называемый хеджирующий портфель тс0 = (Р0, у0) и управляет им таким образом, чтобы ожидаемый в момент испол нения опциона доход оказался как можно большим.
Таким образом, решение оптимизационной задачи в постановке (2.2.1), привело к естественному результату. Оптимальное управление портфелем 7Г/ = (j8/,%,-1), начиная с момента времени t=\, для нейтрального к риску инвестора заключается в следующем: если в течение предыдущего периода акция выросла (8т = 8т-\и, т= 1,2,..., 7), инвестор в момент t = т должен приобрести неограниченное число акций, заняв короткую позицию на банковском счете, в противном случае (ST = ST-\d, т= 1,2,..., 7), — открыв короткую позицию на неограниченное число акций, разместить вырученные средства на банковском счете.
Большинство субъектов экономики по возможности стремятся избегать риска. Действительно, доходность рисковых вложений, как правило, превышает доходность безрисковых, и вообще, чем большим риском сопровождаются инвестиции, тем большей доходностью они характеризуются. Если бы инвесторы были безразличны к риску, они предпочитали бы более эффективные активы, независимо от их надежности. В результате действия обычных механизмов ценообразования на рынке, доходности рисковых и безрисковых активов выровнялись бы.
В настоящем параграфе рассматривается постановка задачи оптимального управления портфелем финансовых инструментов инвестора, хеджирующего производный финансовый инструмент, с учетом его отношения к риску.
Постановка задачи оптимального управления портфелем с учетом отношения инвестора к риску выглядит следующим образом: необходимо из множества допустимых стратегий Г0 выбрать такую стратегию у є Г0 управления самофинансируемым портфелем Щ = (і3,, %-1) на отрезке [0; 7], которая обеспечит максимальную ожидаемую полезность портфеля в момент времени t=T, при условии, что в начальный момент времени t = 0 капитал портфеля составляет хо, а цена акции — So.
Таким образом, в соответствии с критерием Сильвестра, матрица Гессе является отрицательно определенной, следовательно, согласно достаточному условию экстремума, управление у = CY » Y +I» —»Yr) является оптимальным с точки зрения максимизации функционала J (yT) = E(U(xT) \SX).
Решение задачи хеджирования без учета отношения инвестора к риску. Непрерывное время
Рассмотрим задачу оптимального управления самофинансируемым портфелем Щ = фі, 7 1) инвестора в непрерывном времени в следующей постановке: необходимо найти такую допустимую стратегию управления у, є Ж на полуинтервале [0, 7), которая позволит максимизировать ожидаемый капитал Хт инвестора в момент времени Т, обеспечиваемый портфелем Яі = фі,%-1), ПРИ условии, что в начальный момент времени t = 0 капитал портфеля составляет х(0) - х0, а акция стоит S0: maxE(jr50), (2.5.1) у dxt=a(t,xt,yt)dt + 5(t,xt,yt)dWt, te[0,T], х(0) = х0, у = у,єМ, te[0,T), где a(t,xt,yt) и c(t,xt,yt) определяются соответственно формулами (2.4.9) и (2.4.6), хт определяется формулой (2.4.2). Для отыскания оптимальной стратегии управления портфелем, т. е. функционала yt=y{t,St), te[0,Т), при котором функционал E(xT\S0) достигает максимума, можно воспользоваться методом динамического программирования [11—15,48,63—65]. Для решения задачи (2.5.1) потребуется ввести следующее семейство задач: maxE I ), (2.5.2) у dxt = a(t,xt,yt)dt + o(t,xt,y,)dWt, te[x,T], х(т) = хх, у = у,єМ, іе[т,Т), гдетє[0,:Г). Для целевого функционала задачи (2.5.2) используется обозначение J(T,xz,y) = V(xT\ST). Пусть существует допустимая стратегия управления у = у є Е, t є [т, Т], оптимальная в смысле максимизации целевого функционала задачи (2.5.2). Пусть У(х, хх) = max J{x, хх,у) = J(T, ХХ, у), т є [0; Т]. У Функция V, называемая функцией Беллмана задачи (2.5.1), каждому значению капитала хт, которым инвестор обладает в начальный для вспомогательной задачи (2.5.2) момент времени t = т, ставит в соответствие максимальное значение целевого функционала вспомогательной задачи (2.5.2).
Рассматривается следующая постановка задачи оптимального управления с учетом отношения инвестора к риску: необходимо найти такую допустимую стратегию управления у, єМна отрезке [0, 7], которая позволит максимизировать ожидаемую полезность капитала хт инвестора в момент времени Т, обеспечиваемого портфелем тг, = (fa, yt, -1), при условии, что в начальный момент времени t = 0 капитал портфеля составляет х0, а акция стоит So-. maxE(C/(jcr)S0), (2.6.1). Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 2.6.1. Стратегия у (0 = У гл-е У определяется формулой (2.6.4), является оптимальной стратегией управления самофинансируемым портфелем тг, = ($, у,, -1) на интервале [0; 7] в задаче (2.6.1). Первое слагаемое в правой части соотношения (2.6.4) представляет собой объективную составляющую в управлении портфелем, второе — субъективную. Оптимальные управления для различных видов функции полезности несклонного к риску инвестора представлены в табл. 2.6.1. Таблица 2.6. Оптимальное управление у, Оптимальное управление, как видно из (2.6.4), зависит от функции Y(t, St). Возникает задача определения рациональной стоимости опциона в данном портфеле. Рациональная, или справедливая, стоимость финансовых инструментов определяется условием отсутствия арбитража на рынке. Очевидно, доходность рассматриваемого портфеля и доходность акции абсолютно коррелированны (коэффициент корреляции rxs равен 1), тогда условие безарбитражности рынка можно выразить с помощью условия [73]:
Получается важный вывод: рациональная стоимость опциона, определяемая уравнением Блэка — Шоулза — Мертона (1.2.6), отвечает оптимальному управлению портфелем финансовых инструментов, содержащим производный финансовый инструмент.
Пример хеджирования фьючерсного опциона покупателя
Для иллюстрации и сравнения различных стратегий хеджирования был выбран обращающийся на FORTS опцион покупателя ES25000L6, основанный на фьючерсе ESZ6 на обыкновенную акции ОАО РАО «ЕЭС России». Предполагается, что по акциям дивиденды не выплачиваются. Характеристики производных инструментов: ES25000L6 — американский опцион покупателя; базовый актив — фьючерсный контракт ESZ6 на акции РАО «ЕЭС России»; цена исполнения опциона — 25 000 руб.; последний день обращения (последний день заключения контракта) — 12.12.2006 г.; последний день срока действия контракта— 12.12.2006 г. (полную спецификацию см. в прил. 3); ESZ6 — фьючерсный контракт с поставкой с котировками в рублях; базовый актив — 1000 обыкновенных акции РАО «ЕЭС России»; последний день обращения (последний день заключения контракта) — 14.12.2006 г., последний день срока действия — срок исполнения — 15.12.2006 г. (полную спецификацию см. в прил. 4).
1. На российском рынке производных финансовых инструментов опционы торгуются только в сегменте FORTS ФБ «РТС». Базовым инструментом для опционов являются фьючерсы на акции российских предприятий.
2. Исследованы особенности моделирования опционов на фьючерсы. С точки зрения ценообразования по формуле Блэка — Шоулза и, соответственно, традиционного хеджирования, опционы на фьючерсы не отличаются от опционов на акции [формулы (3.1.4) и (3.1.5)]. Достаточно учесть, что цена базового для опциона актива совпадает с фьючерсной ценой актива, базового для фьючерса. Волатильность фьючерса как актива, базового для опциона, совпадает с волатильностью актива, базового для фьючерса. С точки зрения опционного хеджирования, учитывающего отношение инвестора к риску, важно уточнить параметр мгновенной доходности фьючерса как актива, базового для опциона, — она равна разнице мгновенной доходности базового для фьючерса актива а и интенсивности начисления процентов по безрисковым вложениям р. Стратегия хеджирования фьючерсных опционов, учитывающая отношение инвестора к риску, определяется формулой (3.1.7). 3. Предложены алгоритмы реализации стратегий опционного хеджирования, учитывающих отношение инвестора к риску.
4. На основе реальных данных о торгах производными финансовыми инструментами на российском рынке ценных бумаг в соответствии с построенными математическими моделями были рассчитаны различные стратегии опционного хеджирования. Стратегии, учитывающие отношение инвестора к риску оказываются более эффективными по сравнению с традиционным хеджированием.
