Введение к работе
Актуальность темы исследования. Социально-экономические взаимодействия людей или групп людей связаны с неопределенностью, а значит, с неполнотой информации у участников. Причем неполнота информации может меняться от участника к участнику. Ее источником может являться как различная информированность о свойствах самого взаимодействия и различные способности предвидеть будущее, так и невозможность знать достоверно все свойства оппонентов: цели, к которым они стремятся, и имеющуюся у них приватную информацию — их собственные представления о свойствах взаимодействия, о будущем и о других агентах.
Социально-экономические взаимодействия происходят во временной перспективе, и, соответственно, анализ поведения оппонентов в прошлом позволяет уточнять представления об их целях и имеющейся у них информации, а уточненные представления могут быть использованы, чтобы скорректировать поведение в будущем. Это обуславливает сложную информационную, а следовательно, и стратегическую природу продолжительных взаимодействий: выбирая план действий, необходимо учитывать не только сиюминутную выгоду, которую принесет то или иное действие, но и информацию, которую оно сообщит другим участникам.
Математическим моделированием информационных аспектов
многошаговых социально-экономических взаимодействий занимается теория повторяющихся игр с неполной информацией — раздел теории игр, возникший в работах Нобелевского лауреата по экономике Р. Ауманна и М. Машлера. Центральную роль в теории играют асимптотические постановки при большой продолжительности взаимодействия, так как в силу сложной стратегической природы явные решения удается найти лишь в очень редких случаях. Основная часть известных результатов относится к ситуации, когда взаимодействуют лишь два игрока с полностью противоположными интересами, и неполная информация имеется лишь у одного из них (Р. Ауманн, М. Машлер, Ш. Замир, Ж.-Ф. Мертенс, А. Нейман, Б. Де Мейер, Ф. Генсбиттель). Однако, даже несмотря на полувековую историю дисциплины, для антагонистических игр с
неполной информацией у одного из игроков остается масса открытых вопросов, на ряд из которых нам удается ответить. В частности, в диссертации даются ответы на вопросы, поставленные в недавней статье А. Неймана1.
В последние годы источником новых задач и методов анализа повторяющихся игр с неполной информацией стали игры, описывающие влияние асимметричности информации на динамику финансового рынка (Б. Де Мейер, X. М. Салей, А. Марино, В. Доманский, В. Крепе). Из этого круга задач возникли вопросы, на которые отвечает диссертационное исследование, а также используемый в диссертации новейший метод анализа повторяющихся игр — метод редукции игры к мартингальной оптимизационной задаче (Б. Де Мейер, Ф. Генсбиттель).
Объектом исследования являются повторяющиеся антагонистические игры с неполной информацией у Игрока 2. В них два игрока А^ раз участвуют в антагонистической игре, заданной одношаговой функцией выигрыша А . Функция А зависит от состояния к, которое выбирается случаем из множества состояний К в соответствии с распределением р Є А(ІІГ) перед началом игры. При этом оба игрока знают р, но лишь Игрок 1 информирован о к. На шаге п = 0,1...N—1 обоим игрокам известна история действий на предыдущих шагах, что позволяет Игроку 2 уточнять свои представления о к, анализируя действия информированного Игрока 1. Пошаговые выигрыши не наблюдаются до шага N — 1, после которого Игрок 1 получает от оппонента их сумму. Оба игрока рациональны и знают это описание.
Предмет исследования составляют асимптотические свойства повторяющихся игр с неполной информацией при продолжительности игры N, стремящейся к бесконечности.
Назовем ценой информации в повторяющейся игре с неполной информацией разницу между выигрышем информированного игрока (Игрока 1) в ней и выигрышем, который бы он получил, забыв всю имеющуюся у него информацию. В случае конечного К из классических результатов следует, что цена информации не может по порядку превосходить л/ N при
^^Neyman A. The maximal variation of martingales of probabilities and repeated games with incomplete information J) J. Theor. Prob. 2013. №26(2) C.557-567.
продолжительности TV, стремящейся к бесконечности. Этот результат тесно связан с оценками максимальной вариации — величины, характеризующей максимальную изменчивость представлений в процессе байесовского обучения продолжительности N с заданным априорным распределением р Є А(К). В случае бесконечного Кире тяжелыми хвостами классические оценки теряют смысл, и встает вопрос о возможности "аномального роста" и максимальной вариации, и цены информации — быстрее VN при N —> оо. Другой вопрос связан с противоположной ситуацией. Для дискретных моделей финансового рынка с асимметричной информацией было установлено, что цена информации остается ограниченной при N —> оо (Б. Де Мейер и А. Марино, В. Доманский). Однако вопрос о природе этого эффекта остался без ответа. Диссертационное исследование было вдохновлено этими вопросами и дает на них исчерпывающие ответы.
Цель исследования состоит в описании экстремальных асимптотических режимов для цены информации при большом числе повторений N — наименьшей и наибольшей возможных скоростей ее роста при N —> оо, а также в анализе свойств игры, ответственных за появление этих режимов.
Для этой цели в диссертации решаются следующие задачи:
Объяснение феномена ограниченности цены информации для дискретных моделей динамики финансового рынка с асимметричной информацией. Нахождение условий, обеспечивающих ограниченность цены информации в классе "почти-честных" игр — игр, для которых единственным преимуществом Игрока 1 является его информация (этот класс содержит модели финансового рынка). Разработка подхода, позволяющего свести вопрос о поведении цены информации в общей почти-честной игре к анализу модельной задачи;
Получение оценок для максимальной вариации, сохраняющих смысл для дискретного априорного распределения р с тяжелыми хвостами. Анализ эффекта аномального роста максимальной вариации. Исследование максимальной вариации для континуального множества состояний К;
Анализ максимальной скорости роста цены информации при N —> оо в случае счетного К и распределения р с тяжелыми хвостами. Разработка подхода, позволяющего учитывать условия регулярности одношаговой функции выигрыша в случае континуального К при исследовании асимптотического поведения цены информации.
Методы исследования. В работе использована комбинация методов теории игр, теории вероятностей и, в частности, теории стохастического оптимального управления. Для анализа асимптотического поведения цены информации применяется подход, основанный на связи игровых постановок с задачами о максимальной вариации и их обобщениями, в том числе метод редукции игры к мартингальной оптимизационной задаче (Б. Де Мейер, Ф. Генсбиттель). Также используются стратегический анализ, теория возмущений для матричных антагонистических игр, методы выпуклой геометрии и методы теории аппроксимации в метрических пространствах. Оценки максимальной вариации основаны на двойственном представлении для вариации скалярных мартингалов, введенном Б. Де Мейером, и оценках больших уклонений.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и ставит своей целью развитие теоретико-игровых методов. Полученные результаты являются существенным продвижением в понимании эффектов, возникающих в теоретико-игровых моделях финансового рынка с асимметричной информацией. Материалы диссертации могут быть использованы при разработке курсов лекций по теории динамических игр и теории игр с неполной информацией с целью демонстрации мартингальных методов в многошаговых задачах с неполной информацией и, в частности, эффективности редукции игровых постановок к задачам мартингальной оптимизации — новейшего метода, возникшего при анализе моделей финансового рынка, который, несмотря на свою универсальность, был применен пока лишь к весьма ограниченному кругу задач.
Научная новизна. Игры с ограниченной ценой информации, как
класс игр, ранее не рассматривались (изучались лишь конкретные модели
финансового рынка, обладающие этим свойством), а общие свойства игр
этого класса не анализировались. Не объяснялась и природа эффекта
ограниченности цены информации в дискретных моделях финансового рынка. Общие результаты, относящиеся к играм с неполной информацией и счетным множеством состояний, ранее отсутствовали, а эффект аномального роста цены информации не отмечался и не изучался. Все результаты диссертации получены автором лично и обоснованы строгими математическими доказательствами. Основные результаты исследования:
Для дискретных моделей финансового рынка с асимметричной информацией получено исчерпывающее объяснение эффекта ограниченности цены информации. Установлен критерий ограниченности цены информации в классе почти-честных игр и описаны возможные асимптотические поведения цены информации в этом классе.
Для дискретного априорного распределения р охарактеризована скорость роста максимальной вариации в степенной шкале в терминах семейства величин, измеряющих неопределенность р, включающего энтропию Шеннона. Продемонстрирована возможность аномального роста максимальной вариации для р с тяжелыми хвостами, и построен соответствующий пример. В случае непрерывного р установлен линейный рост максимальной вариации.
Показано, что максимальная скорость роста цены информации совпадает со скоростью роста максимальной вариации, а значит, эффект аномального роста имеется и для цены информации. Построен соответствующий пример. Для игр с регулярными одношаговыми функциями выигрыша получены оценки на скорость роста цены информации в терминах асимптотики колмогоровской е-энтропии. Показано, что для игр с условиями регулярности эффект аномального роста может отсутствовать.
Апробация результатов исследования. Результаты диссертационного исследования были представлены на следующих конференциях и семинарах:
Семинар лаборатории Теории игр и принятия решений СПб ЭМИ РАН (Санкт-
Петербург, 20 января 2012);
Семинар лаборатории Чебышева "Теория вероятностей" (Санкт-Петербург, 15 мая 2012);
8-ая Международная петрозаводская конференция "Вероятностные методы в дискретной математике" и 13-ый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Петрозаводск, 2-9 июня 2012);
Международная конференция "Games and Strategy in Paris" в честь шестидесятилетия С. Сорена (Париж, 11-13 июня 2012);
6-ая Международная конференция "Теория Игр и Менеджмент" GTM2012 (Санкт-Петербург, 27-29 июня 2012);
Семинар "Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании" (ЦЭМИ РАН) (Москва, 20 ноября 2012);
"Городской семинар по теории вероятностей и математической статистике" (ПОМИ РАН) (Санкт-Петербург, 14 декабря 2012);
Международная конференция "4th Nordic Triangular Seminar in Applied Stochastics" (Хельсинки, 6-8 марта 2013);
Международная конференция "The 5th Israeli Game Theory conference" (Тель-Авив, 3 июня 2013);
Семинар Центра изучения рациональности Еврейского университета (Center for the Study of Rationality) (Иерусалим, 4 июня 2013);
Международная конференция "Сетевые игры и менеджмент" NGM2013 (Петрозаводск, 23-25 июня 2013);
7-ая Международная конференция "Теория Игр и Менеджмент" GTM2013 (Санкт-Петербург, 26-28 июня 2013).
Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации отражены в шести публикациях общим объемом 2,5 печатных листа. Из них 1 публикация объемом 0,4 печатных листа в журнале, входящем в список журналов, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации основных результатов диссертационных исследований; 1 препринт объемом 1,5 печатных листа; остальные публикации являются расширенными тезисами международных конференций.
Структура работы. Диссертация содержит 93 страницы и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 34 наименований.
