Введение к работе
Актуальность темы исследования. В диссертации исследуется задача представления квадратичной формы А размерности т родом J положительно определенных квадратичных форм Q размерности п > т и находится вес рп(А; 3") примитивных представлений формы А родом Э" = [Q]. Задачи классификации и представления квадратичных форм являются классическими для теории чисел. Первый общий результат по представлению формы А родом 3" был получен Зигелем [1] в 1935 году
n(A;J) = m(J) Л ар[А,Гі,
р--1,2,3,...
где ар[А\ J) - локальные плотности, m(J) = 5^,-=і 1/(Q») ~ масса рода Э', вычисленная в 1885 году Минковским [2]. В дальнейшем предпринимались многочисленные попытки вычисления локальных плотностей. Используя локальные плотности и зиге-левы модулярные формы, Китаока [3, 4] получил качественные и оценочные результаты о представлении формы А формой Q размерностей п ;> 2т + 2 и п ^ 2т + 3 (т ^ 2).
А.Н. Андрианов в работах [5] - [7], используя операторы Гек-ке, для произвольных размерностей т выразил усреднение числа представлений формы А родом 7. В последнее время А.Н. Андрианов [8] исследовал случай сингулярных операторов Гекке Т(р) для р, делящих одновременно определители форм А и Q. Другим методом О.М. Фоменко и Е.П. Голубева [9, 10] исследовали асимптотическое распределение целых точек на поверхностях второго порядка.
Аддитивный подход к вычислению веса представлений формы родом, впервые предложенный Гауссом для нахождения количества представлений числа суммой трех квадратов, использовал В.Г. Журавлёв в 1996 [11]. Используя р-символы Конвея и Слоэна
[12] и масс-формулу Минковского - Зигеля [1], им были получены условия существования примитивных представлений формы А с бесквадратной ступенью а родом 7 форм определителя d, взаимно простого с а, и формула Гаусса - Минковского для веса п{А\3). Геометрическим аналогом аддитивного подхода является склейка форм Витта - Кнезера.
Случай, когда уровень а формы А и определитель d = \Q\ имеют общие делители, не был ранее исследован и представляет трудность при любом подходе так как возникает ветвление представлений, проявляющееся в многообразии р-инвариантов форм сцепки. Благодаря классификации всех минимальных неразложимых представлений, которые задают число орбит примитивных представлений, в диссертации удалось получить условия'существования и формулы веса примитивных представлений локально р-одномерной формы родом в случае ветвления.
Геометрическим аналогом представления форм являются вложения соответствующих решеток.Задача о числе возможных под-решеток возникает в связи с ростом квазикристаллов и является современной проблемой кристаллографии.
Цель работы. Для форм А нечетной коразмерности найти условия существования примитивных представлений формы А родом Э" и получить формулы для веса рп(А; J) примитивных представлений в случае ветвления, то есть когда уровень а формы А и определитель d формы Q имеют общие делители р. Рассмотреть приложения формул к классическим решеткам корней, одноклассным формам и формам небольших размерностей.
Методы исследования. В работе используется теория р-символов Конвея и Слоэна, локальный метод Минковского-Хассе, аддитивный метод склейки форм и теория ветвления представлений над кольцом р-адических чисел.
Научная новизна. В диссертации получены следующие но-
вые результаты для положительно определенных квадратичных форм А нечетной коразмерности.
1. Благодаря классификации минимальных неразложимых представлений найдены условия существования примитивных представлений родом 3* формы А и получена формула для веса pn(A;!I) примитивных представлений, если а = |Л| и наибольший общий делитель (a, d) ^ 1, (а, d) = 1 (mod 2);
Рассмотрены приложения формул веса к формам классических решеток корней, одноклассным формам и формам небольших размерностей;
Найдены роды квадратичных форм с заданными локальными инвариантами.
Практическая и теоретическая значимость работы. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в дискретной геометрии, связанной с многомерными решетчатыми упаковками, в арифметической теории квадратичных форм для решения систем диофантовых уравнений второй степени и найти практическое приложение в задачах цифровой связи, в теории двумерных и трехмерных упаковок, используемых в кристаллографии и химии, в численных вычислениях многомерных интегралов. Результаты диссертации могут быть положены в основу спецкурса по диофантовым уравнениям и системам в Московском государственном университете, С.-Петербургском государственном университете и Владимирском государственном педагогическом университете.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VII международной конференции "Математика. Экономика. Экология. Образование." (Ростов-на-Дону, 1999), на XXII конференции молодых ученых (МГУ, 2000). Основные результаты были представлены в тезисах докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим сис-
темам (Суздаль, 2000), а так же докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Владимирского государственного педагогического университета (1998 - 2000 г. г.), на научном семинаре Владимирского государственного педагогического университета под руководством профессора Н.М. Тимофеева (1999 - 2000 г.г.).
Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах [14] - [19].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих пятнадцать параграфов и изложена на 143 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 50 наименований, включая работы автора.
