Введение к работе
Актуальность темы диссертации. В современной теории чисел важное место отводится квадратичным аддитивным задачам - задачам о представлении натурального числа в виде суммы четырех слагаемых специального вида.
Клоостерман в 1926 году с помощью модулярных функций и сингулярных рядов в [1] получил асимптотическую формулу для числа представлений положительного целого п в виде ах2 + by2 + cz2 + dt2. Он показал, что
„18
2 Ґ " \
yjabed
V J
для любого положительного е, где
А ~ 1» Sap,qi $ьрд-> ^ср,^dp,q- гауссовы суммы и ]Г обозначает сумму, в
которой р пробегает все положительные целые, меньшие q и взаимно простые с ним,
5(и)>—-—>0. log log и
И здесь же он привел точные формулы для числа представлений чисел формами х,2 + х2 +а(х2 + х2) при а= 3, 5, 6, 7. При этом, если а=3, сингулярный ряд дает точное значение для числа представлений соответствующей формой. В случае а - 5, 6,7 в формулы Клоостермана входят дополнительные члены, которые он определил как коэффициенты разложений в степенной ряд произведений некоторых тэта-функций Якоби.
Т. Эстерманн [2] рассмотрел уравнение
аД2 + a2h% + а$ + a^h2 = к,
в положительных целых h\,ht, h}, Ы,н |о„^1 < п [т=\, 2, 3,4).
Для чисел а\, а2, аз, а4 выполняется одно из следующих условий:
(і) Два из них положительны и два отрицательны;
(ii) а\ а2 а2 а4 < 0.
Для числа решений v(n) он получил асимптотическую формулу круговым методом Харди-Литтлвуда:
v(n) - ^|a,a2a3a4|~* Dn
где Сг > 0,
D^B(q), B(q) = <Ґ I \Y[S(q,amr)\e \
(/-,9)=1
S(fl,amr) = 2^, в случае (і),
У-І -да
+ео 1
/ST = |{7(м)}3У(-«Ж в случае (ii), J{u) = je^'du.
-к О
В [3], [4] Чок рассматривал уравнение p(xf+xl)-q(x%+xl) = а, в целых xi, х2, *з> Х4, которое является частным случаем уравнения, рассмотренного Эстерманном в [2], и расширил уже имеющиеся результаты с помощью метода К. Хооли, см. [3], [4].
Предполагая, что p(xf +x\)
(2pq, л)=1 и 0*\a\ = o(h2), когда A—>oo и при —»(pqf, когдаpq —wo, для
числа решений S, с условием (xj + х],а) = 1, была получена оценка:
S-!L.lLw{p,q,a)
8 pq
И 2 З
h6p~q~4
И .
^(^^^) = -^^(1)^(1)^^(1)^(2).
В диссертации рассматривается уравнение
4a{xl + xl) + b(xl + x]) = k, (1)
при к, а, Ь - натуральных, удовлетворяющих условиям (2a,b)=l, (2ab, к)~1, а Ь3 «к,к = b (mod 4), Х\, х2, х} > 0 и xi ^ 0 - целых. Также мы рассматриваем это уравнение с дополнительным условием на переменные: (х32 + х],к)-1 и {х\ +x],k)=D, где D - натуральное, D\k и aV D12 « к. Поставим задачу о нахождении числа решений диофантова уравнения (1).
Главным шагом на пути построения асимптотической формулы является использование асимптотики для суммы:
I К»),
п<.Х an=l{moi D)
где /(«) - количество представлений натурального и в виде суммы двух квадратов с растущей разностью прогрессии D.
Нами используется результат Р.А. Смита [5].
Если т <к X3 и г{п) - число представлений п в виде суммы двух квадратов целых чисел, то для любого S > 0 справедлива оценка:
n*b{modin)
Актуальность работы обуславливается тем, что в рассматриваемой задаче получен остаток, лучший чем в формуле Клоостермана и рассмотрены частные случаи с дополнительным условием на переменные ранее не рассматривавшиеся.
Цель диссертационной работы состояла в том, чтобы получить асимптотическую формулу для числа решений диофантова уравнения 4д(х,2 + *2) + Ь(х] +х\) = к, при к, а, Ь- натуральных, удовлетворяющих условиям {2а, Ь)= 1, (2ab, к)= 1, я V « к,к = b (mod 4), хи х2, х} > О и х4 > 0 - целых,
а также получить оценки для числа решений этого уравнения с дополнительным условием на переменные (x*+xl,k) = l и (х* + x],k) = D, где D - натуральное, D\k и аАЬг Dn « к.
Основными задачами диссертационного исследования являлись:
1) Получение асимптотической формулы для числа решений
диофантова уравнения 4a(xf +x\) + b{x] +х\) = к, при к, a, b -
натуральных, удовлетворяющих условиям (2а, 6)=1, (2ab, ку=1, а*Ъъ« к,к = Ь (mod 4), х\, х%, х3 > О и хц > О - целых.
Получение асимптотической формулы для числа решений диофантова уравнения 4a(xl + xl) + b(xl+xl) = k, с дополнительным условием на переменные (x]+xl,k) = lt при к, а, Ъ -натуральных, удовлетворяющих условиям (2a,b)=l, (2ab, )=1, a*b3 «k,k = b (mod 4), хь *2> *з > 0 и х» > 0 - целых.
Получение асимптотической формулы для числа решений диофантова уравнения 4a(xl+x\) + b(xl +х\) = к, с дополнительным условием на переменные (х\ +х\,к) = D, при к, a, b, D - натуральных, удовлетворяющих условиям (2а,Ь)=1, Цк, (2ab, к)= 1, a V Dn«k,k = b (mod 4), х,, хъ х3 > О и х4 > 0 - целых.
Научная новизна. Результаты, доказываемые в диссертации, являются новыми.
Метод исследования. В работе применяется метод Хооли-Чока [3], [4].
Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных аддитивным задачам. Кроме того, результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов по теории чисел.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на кафедре теории чисел МПГУ, на научно-практическом семинаре "Современ-
ные проблемы теории чисел" МГУ, на научной конференции "Ломоносовские чтения" 2006 года и V Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2006" в г. Севастополе.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце реферата.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 59 страницах печатного текста, состоит из введения, 4 глав. Диссертация содержит список литературы, состоящий из 26 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
