Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Представления колец Ли s^(Z) и s^(Zp) 12
Глава 2. Строение Zp-форм алгебры Ли sl2(Qp) 25
Глава 3. Условия диагонально сти Zp-форм и максимальные диагональные идеалы 31
1. Условия диагональности Zp-формы алгебры Ли sl2(Qp) 32
2. Максимальные диагональные идеалы Zp-форм алгебры Ли skiQp) 40
3. Описание диагональных форм алгебр Ли sl2(QP) и sl2(Q) 44
Литература 53
- Строение Zp-форм алгебры Ли sl2(Qp)
- Условия диагональности Zp-формы алгебры Ли sl2(Qp)
- Максимальные диагональные идеалы Zp-форм алгебры Ли skiQp)
- Описание диагональных форм алгебр Ли sl2(QP) и sl2(Q)
Введение к работе
Описание простых конечномерных алгебр Ли над полем всех комплексных чисел было начато в работах С. Ли и завершено В. Киллингом. Переход к описанию простых алгебр Ли над полем вещественных чисел (т.е. описание вещественных форм простых алгебр Ли) — очень старая проблема, полное её решение было дано Э. Картаном в 1914 г. Описание форм простых алгебр Ли над произвольным полем F как правило очень трудная задача, а ее решение использует свойства конкретного поля jP(cm. [1]).
А.Н. Гришков [4] поставил задачи описания представлений кольца Ли зІ2(1і) и Z-форм алгебры Ли sfaiQ). Но изучение Z-форм естественно начать в локальном случае, то есть с описания Zp-форм алгебры Ли s^2(Qp).
Подобная тематика изучается сравнительно редко в силу трудности задачи: в качестве примера назовем работу А.Н. Рудакова и И.Р. Шафаревича [5] где представления алгебры Ли sl2() (F — конечное поле) изучаются методами алгебраической геометрии, и работу А.Н. Гришкова [3] в которой строится теория соответствия между матричными треугольными алгебрами Ли с коэффициентами из кольца степенных рядов и группами треугольных матриц, которая затем применяется в теории альтернативных луп. Таким образом, проблема описания форм и представлений кольца sl2(
Поскольку в классической теории модули над sfaiC) играют важную роль при построении теории полупростых простых алгебр Ли (см. [1]), то решение поставленных А.Н. Гришковым задач должно стать шагом к описанию форм простых алгебр Ли над кольцами Z и Ър.
Целью работы является описание форм и представлений трехмерной простой расщепляемой алгебры Ли sIq, над кольцами ZhZp.
Основные задачи, решенные в работе: - Исследование диагональных s^(Z)- и sl2 (Zp)-moдулей; - решение задачи о конечности или бесконечности sl2 (Z)-moдулей в каждой размерности; формулировка и доказательство локально-глобального принципа для неприводимых s^(^)_moдулей; изучение структуры произвольной Zp-формы алгебры Ли sl2(Qp); - поиск достаточных признаков диагонально сти Zp-форм алгебры Ли 5/2 (Qp) и описание диагональных идеалов.
В основе методики исследования лежат классические работы по теории алгебр Ли и развитые методы теории чисел.
Все основные результаты диссертации являются новыми. Они могут быть использованы в дальнейшем при описании форм и представлений произвольных полупростых конечномерных алгебр Ли над Z и Zp.
Результаты диссертации докладывались на Алгебраическом семинаре Омского госуниверситета и Омского филиала Института математики СО РАН, на семинаре "Алгебра и логика" Новосибирского госуниверситета и Института математики СО РАН.
По теме диссертации опубликовано 4 работы, а 1 работа сдана в печать. Все основные результаты работы опубликованы в статьях [6], [7], [8] и препринте [9].
Изложим кратко содержание диссертации по главам.
Строение Zp-форм алгебры Ли sl2(Qp)
Важность проблемы описания максимальных диагональных идеалов Zp-формы алгебры Ли 5/2() объясняется тем, что полное ее решение дает возможность описания всех произвольных Zp-форм.
Действительно, пусть і = 2 — Две изоморфные Zp-формы алгебры Ли s (Qp). Пусть S — максимальный диагональный идеал в i. Тогда в 2 есть максимальный диагональный идеал изоморфный S, который мы также обозначим через S. Из теоремы 3 получим, 1 = S + (А), 2 = S + (В), где А = «±21; в = а е+р+тЧ. Пусть ф : -Сі —у 2 — изоморфизм. Тогда ф(А) = \iB + ж, где х Є , fi ф 0(ps). Откуда получим s — s , а = у[ш (р5), j3 = n(3 (ps), 7 = МТ ІР5)- Таким образом, произвольной форме сопоставляется пара целых положительных чисел (n, d), задающих идеал S, и точка (а,/?,7) проективного пространства Р2 над кольцом ZpS. И задача описания всех Zp-форм сводится к задачам описания диагональных форм и максимальных диагональных идеалов недиагональных форм. В данной главе в 2 при некоторых ограничениях решена вторая задача, описание максимальных диагональных идеалов. Оно получено с помощью описания полупростых элементов Zp-форм. Первая задача, описание диагональных форм, полностью решена в 3.
Согласно теоремам 2 и 3, в дальнейшем можно рассматривать только Zp-формы алгебры Ли sb(Qp)? определенные следующим образом: В этом случае S будет диагональным идеалом в . Лемма 1. Пусть - Ър-форма алгебры Ли sfaiQp), опре деленная соотношениями (1), Н = a m +с Є -С, 0 m s. 1)Еслип d, n-d = 0(2) npa-d01-2a ф 0 (p), тоH полупростой тогда и только тогда, когда ( а7) = 1. 2) Если n d, п - d = 1(2) и pn-d(32 -2а7 0 (р), то Н не является полупростым. 3) Если n d и (3 ф0(р), то Н - полупростой. Доказательство. Вначале заметим, что a = fia(p), Ъ = ц(3(р), с = т(р) и О(р). 1) Пусть Н = ае+ т+с - полупростой элемент из /С. Е - собственный вектор. Е = хе + yh + 2/, .Е.Н" = - (рп(хЬ — уа)е + pd(xc — za)h + рп(ус — zb)f) = kh{xe + 7//1 + zf). Получаем систему линейных уравнений: Она имеет ненулевое решение, следовательно, ее определитель равен нулю. Вычислив его получим соотношение: (p2(n-m)b2 _ kjjkh _ 2pn+d 2mackh = 0. Так как kh ф 0, то p2(n-m)b2 -k2h- 2pn+d-2mac = 0. Разделим на р+ -2, получим pn-db2 - 2ас = к2, где kh = p(n+d)/2-mk TQ есть pn db2 — 2ас квадрат в Zp и из условия pn db2 — 2ас = H2(pn-d(32 - 2сгу) 0(р), получаем (Pn"d/ 2-2a7) = L Обратно, положим Я = ае+ +с/, p2tb2 - 2ас ф 0(р), t = (n-d)/2. Из условий (Рп" р2-2 7) = х и ц {р"- р -2аг() = pn db2 — 2ас{р) получаем, что pn db2 — 2ас — квадрат в Zp, то есть pn db2 — 2ас = к2. Тогда - собственные вектора Н, где 1\,І2 Є N такие, что E,F Є -С. EH = khE, FH = -khF, kh = p sk. 2) Пусть H = ae+m+c Є & - полупростой элемент из L. Аналогично n.l) вычисляем определитель системы (2); получаем, что (pn db2 — 2ас)р = /с2, где к — р 2 -тк. Следовательно, pn db2 — 2ас = fi2(pn d/32 — 2а )(р) = 0(р), откуда pn d/32 — 2а у = (Р) противоречие. 3) Пусть п d, Н = а m Є , причем т 0. Так как п d и Ъ ф. 0(р), то Ь2 — 2pd nac — ненулевой квадрат в Ър , положим б2 — 2pd nac = к2. Тогда легко проверяется, что Е = а(Ь -f к)е + (Ъ2 — k2)h + с(& — &)/, и F = а(Ь — /с)е + (2 — k2)h + с(Ь + /с)/ будут собственными векторами Я, # = рп-ткЕ, FH = -pn-mkF.
Условия диагональности Zp-формы алгебры Ли sl2(Qp)
Легко проверяется, что {E,H,F} будет базисом S если vp(A{E,H,F)) = 0. Заметим, что vp(A(E,H,F)) = dx + 2ир(к) — d. Следовательно, d\ = d — 2isp(k). Предположим, что к = 0(р). Тогда из соотношения (5) получим, что Ъ = 0(р). Мы можем считать что а ф 0(р). Действительно, Из условий а = 0(р), Ъ = 0(р) следует, что 7 ф 0{р). Сделаем замену базиса в ; е = /, Ы — —/г, / = е. Получим, что И — се! — ЬЫ + af и коэффициент при е не сравним с нулем по модулю р.
Положим Ь = prbi, к = рьк\, где Ъ\,к\ ф 0(р), в этом случае р(&) = . а) Предположим, что г t. Тогда Ь — к = рг(Ъ\ +р гк\), b + k = pr(hi—pt rki). Следовательно, vp(b2 — k2) = 2г. Вы числим значение її и І2 . h = h = min{r, 2г, vp(c) + г} = г. Подставим полученные значения в (8): vp(A(E,H,F)) = vp(c) + 3t — 2т. Так как t г, то vp(A(E, Я, F)) 0, следо вательно, Н не входит в диагональный базис. б) Пусть г t. Тогда Ь — к = рь{рг ьЪ1 — к\), Ъ + к = рь(рг ьЪ1 + fci), следовательно, vp{b2 — к2) = It. Вычислим значение 1\ и І2 . h — h = min{t, 2t, vp(c) +t} = t. Подста вим полученные значения в (8): ир(А(Е, iJ, F)) = vp(c) + t. Так как t 0, то ІУР(А(Е,Н, F)) 0, следовательно, H не входит в диагональный базис. в) Пусть теперь г = t. Тогда Ь — к = рь(Ь\ — к{), Ъ + к — рь(Ь\ + /сі), следовательно, vp{b2 — к2) = 2t + vp{b\ — к\) + vp(bi + к\). Так как р простое число не равное 2 и Ьі,/сі ф 0(р), то либо Ь\ — к\ 0(р), либо Ь\ + к\ 0(р). Предположим, что Ь\ + кі ф. 0(р). Случай Ъ\ — к\ ф 0(р) рассматривается полностью аналогично. Тогда vp(bi — к\) = ир(Ь2 — k2) — 2t = d — n + рр(с) — 2t. Вычислим значение 1\ и /2: /i = min{t,2t + i/p(bi —fci),i/p(c)-bt + i/p(bi —fci)} =t,l2 = min{t + i/p(bi —fci),2i + z/p(bi —fci),i/p(c)+ } =, = min{z/p(c) + d — n — t, vp(c) -\- d — n, iSp(c) + } = p(c) + min{ i — n — t, }. В частности, /2 p(c) + Подставим полученные значения в (8): vp(A(E,H,F)) = vp(c) + 2t - l2) t. Так как t О, то i p(A(E,H, F)) 0, следовательно, H не входит в диагональный базис. Таким образом, мы доказали, что к 0(р). Но тогда щ = п + Vp(k) = п и di = d — 2ь р(к) = d. 2) Пусть n d. Отметим, что соотношение (5) делится на четную степень р. Определим 6(п, d) следующим образом: Прямым вычислением проверяется, что Е, F будут собственными векторами Я, причем ЕН = рп ькЕ, FH = —pn bkF, EF = р i1+ Я. Следовательно элементы {Я, Я, F} образуют подалгебру i = 5(ni,c?i), причем ni = n + vp(k), d\ — і + іУр(а) + і/р(с) + іУр(к)-(Іі + 12)] n1,d1 0. Вычислим A(E,H,F): Таким образом, A(E,H,F) = ffi . Откуда vp(A(E,Я,F))=t + Рр(а) + іУр(с) + Зир(к) - (h + /2) (10) или vp(A{E, Я, F)) = di+ 2vp(k) Если элементы {Я, Я, F} образуют базис S, то up(A(E,H,F)) = d\ + 2vp(k) = 0. Откуда сразу получаем, что р(&) / 0. Следовательно рр(рьЬ + к) = Vp(plb — к) = vv(p2tb2 - к2) = 0. Далее, из соотношения (9) получим, что vp(a) + vp(c) + 5(n,d) = 0. Откуда ир(а) = vp(c) = 5(n,d) = 0. Подставим полученные значения в (10): i/p(A(E, Н, F)) = t. Так как п d, то t 0. Следовательно элементы {E,H,F} являются базисом S. 3) Пусть п = d. Определим собственные элементы Н формулами (7). Аналогично пункту 1), получаем, что элементы {E,H,F} образуют подалгебру i = S(n\,d\), где щ = Vp(kh) = ra + z/p(fc), di = n + vp(b2-к2) + і/р(к)-(/1 + /2), A(E,H,F) = — 4?гс+12. Откуда, воспользовавшись соотношением (6), получим i/p(A(E,H, F)) = d\ + 2vp(k) — d. Из уже рассмотренных случаев п d и п d получим, что если S = і, то щ = d\. Кроме Toro,h p(A(E,H,F)) = 0, то есть d\ = d — 2vp(k) = п + vp{k). Следовательно, n + p(fc) — n — 2vp{k). Таким образом, vp(k) = 0, значит di = n\ = n = d. Лемма доказана.
Условия диагональности Zp-формы алгебры Ли sl2(Qp)
Положим R = 5/2( ), RP = sfaC ip), V — произвольное простое число. Обозначим через О категорию sfaffi)-модулей конечного типа без кручения, через (Эр категорию з/2( р)-модулей конечного типа без кручения. Здесь под кручением понимается Z-кручение, если для некоторых а Є Z, v Є М, av — 0 и v ф 0, то а = 0. Пусть М Є О, тогда MQ = MzQ будет конечномерным в2(0) модулем, причем dimM = diniQ(MQ). Определим также Rp—модуль мр = М ъ Zp є Op.
Зафиксируем в R стандартный базис {є, /і, /}, где Пусть N — 5/2(0)-модуль; выберем в нем базис {wo,... ,Wk) так, чтобы действие е, /г, / определялось с целыми коэффициентами. Тогда мы можем рассмотреть R-модуль Nz = (wo,... , Wk), который будем называть редукцией модуля N по базису WQ,... , «7ь Модуль М из О (Ор) будем называть неприводимым, если соответствующий модуль MQ (MQ ) неприводим над sh(Q) (sfaiQp))- Модуль называется полупростым, если он является прямой суммой неприводимых подмодулей. Лемма 1. Пусть М Є О. Тогда М неприводим в том и только том случае, если для любого элемента w из М, любого N ненулевого подмодуля в М существует целое число сф такое, что cw лежит в N. Замечание. Аналогичное утверждение выполняется и для Rp-мо дулей. Доказательство. Пусть М неприводим, N — ненулевой подмодуль. Тогда NQ — ненулевой подмодуль в MQ. Следовательно, NQ = Mq и w Є NQ. Откуда получим cw Є N для некоторого с. Обратно, предположим модуль MQ приводим, U — собственный подмодуль в MQ. Пусть U = (щ,... ,щ). Тогда для некоторых а», сцщ Є М и V — (a\U\,... ,аіщ) можно отождествить с подмодулем в М. Очевидно, U q = U. Но из условия cw Є U получим, что любой элемент из М лежит в U Q, следовательно, U = UL = Mq. Получаем противоречие. Лемма доказана. Хорошо известно (см. [1]), что существует единственный неприводимый (т + 1)-мерный ((ВД-модуль VQ, который можно за дать,например, следующим образом: Редукцию модуля Vq по этому базису назовем стандартным і?-модулем размерности т-\-1. Соответствующий модуль Vp будем называть стандартным Лр-модулем. Пусть М Є О — произвольный неприводимый (га + 1)-мерный модуль; тогда Mq = Vq. Модуль D назовем диагональным, если он имеет базис из собственных векторов h, то есть D = (do,... ,ds\3ki Є Z dih = kidi). Обозначим через Md максимальный диагональный подмодуль в М, М3 — максимальный диагональный полупростой подмодуль в М. Очевидно, что Md порождается множеством всех собственных векторов {v Є М\3к Є Z vh = kv}. Заметим, что если М неприводимый, то Md также неприводим. Следующие предложения полностью описывают конечномерные неприводимые диагональные R- и і?р-модули без кручения. Предложение 1. Пусть а = (ась ,сгга-і) Є Z, такой, что (і + 1)(га — %)J0Li = РІ+І Є Z. Определим модуль D(a) = {do,... , dm) следующим образом: Тогда D (a) — конечномерный неприводимый диагональный R-модуль, и все неприводимые диагональные модули из О могут быть получены таким образом для некоторого а. При этом D(a) = D{ ) тогда и только тогда, когда a = 7. Доказательство. То, что D(a) будет і?-модулем, проверяется прямым вычислением. Неприводимость следует по определению, так как D(a)q = VQ. Пусть W Є .0 — неприводимый диагональный модуль. Тогда Wq = VQ; будем считать, что WQ = Vq. Положим W = (w0,... , wm) nwi = хм, где ХІ Є Q. Здесь wie = (xiVi)e = XiVi+i = (xi/xi+i)wi+i, откуда осі = (ХІ/ХІ+І) Є Ъ. Далее, афі+і = -(xi/xi+1)(xi+1(i + l)(m-i)/xi) = -(i-\-l)(m — г). Следовательно, W = D(a). Пусть Mi = D(a), M2 = (7), Мг=М2и(р:Мі — M2 — изоморфизм.
Описание диагональных форм алгебр Ли sl2(QP) и sl2(Q)
Пусть М Є О — конечномерный R-модуль без кручения. Тогда существуют диагональный модуль D и константа cZ, зависящая только от dimM, такие, что cD С М С D.
Замечание. Аналогичное утверждение выполняется и для Яр-модулей. Доказательство. Рассмотрим модуль М = (WQ,... ,wm). Модуль MQ вполне приводим, следовательно, Mq = Ро 0 ... 0 Pk, где Pi — неприводимый 5/2(0)-модуль. Выберем в Pi диагональные базисы так, чтобы Wj выражались с целыми коэффициентами. Обозначим Ni редукции модулей Рі по этим базисам. Тогда Ni будет неприводимым диагональным Л-модулем, и модуль М вкладывается в прямую сумму N М С Ni ф ... Ф Nk.
Модуль М П Ni неприводим, следовательно, по предыдущей лемме существует такая константа Cj, что С{У{ С MnNi С Vi, здесь V{ — стандартный Л-модуль некоторой размерности. Положим D = Vo ф ... Ф Т4 и с = JJ Q. Тогда cD CM CD. Предложение доказано. Следствие. Множество конечномерных без кручения R-модулей конечно в каждой размерности. Доказательство. Пусть Мб О. По предыдущему предложению существуют с и D такие, что cD С М С D, откуда получаем, что любому модулю М соответствует подмодуль конечного модуля D/cD. Причем модуль D можно выбрать в виде D = VQ 0... 0 Vfc, где V% — некоторый стандартный модуль, это показано при доказательстве предложения 3. Таким образом, при выборе модуля D также существует только конечное число возможностей. Утверждение доказано. В следующей теореме показывается локально-глобальный принцип для Л-модулей. Теорема 1. Пусть M,N Є О — неприводимые конечномерные R-модули без кручения. Тогда М = N в том и только том случае, если Мр = Np для каждого простого числа р. Доказательство. Вначале докажем теорему в случае диагональных модулей. Пусть М - D(a), N = 1)(7)- Выберем в М, N диагональные базисы: М = (do,... ,dm), TV = (со,... ,cm). Предположим, что для каждого простого р Мр = Np и (fp : Мр — Np соответствующие изоморфизмы. Легко проверяется, что (pp(di) = жР);с;, причем хр обратим в Zp, то есть р ]fxPii. Тогда ipp(die) = cpp(aidi+1) — aiXp +1ci+1. С другой стороны, ipp(die) = (pp(di)e = 7ІХР,ІСІ+І следовательно, щ = yptfi в Zp, где yPti = xPii/xPfi+i, p /fy». Отсюда следует, что оц = у і в Z, а из условия для любого р р КУР,І получаем, что для любого р р \уі в Z. Следовательно, уі = ±1 и ai = ±7t- Так как 0 ,7; 0, то а; = 7; и по предложению 1 М = N. В случае диагональных модулей теорема доказана. Пусть М, N Є О — произвольные неприводимые модули. Положим С = M f, D = Nd — максимальные диагональные подмодули в M,N. Тогда Ср, Dp будут максимальными диагональными подмодулями соответственно в Мр и Np. Из условия для любого р Мр = Np получаем, что для любого р Ср = Dp, и по только что доказанному это эквивалентно С = D. В дальнейшем мы можем отождествить максимальные диагональные подмодули в М и N; Md = Nd = D = Обозначим y?p : Mp —) iVp соответствующие изоморфизмы над Zp, тогда ipp(D) = D. Пусть т Є М; так как MQ = AQ, ТО m можно выразить через di, т = Ylaid-i, сц Є Q. Обозначим через а общий знаменатель а;, тогда am Є ), и отсюда следует, что (рр(ат) = am, следовательно, рр(т) = т Є Np. Осталось доказать, что если т Є Np при любом простом р, то т Є ./V. Положим TV = (no,... ,7im). Так как MQ = TVQ, ТО га = Ylxinii гДе ж Є Q. С другой стороны, из условия т Є Np получаем т — Ьр щ, Ьр Є Zp. Таким образом, для любого простого р ХІ Є Zp, откуда получаем ж; Є Z. Следовательно, т Є N.
