Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Треугольное, представление конечных колец с единицей . 13
1. Треугольная: представимость колец и треугольное произведение пар. 13
2. Треугольная представимость конечного кольца с единицей матричными кольцами над кольцами- Галуа. ... 23
3 Кольца, представшие факторами кольца обобщенно-треугольных, матриц; над фиксированншл.ьщричным. кольцом над кольцом. Галуа. . 33
Глава 2. Представление конечных колец с единицей- кольцами матриц; Селе над кольцами Галуа 40
1. Строение бимодулей. над конечными кольцами с единицей.. 40
2. Представление конечного кольца матрицами Селе . 47
Глава 3. Сложность колец и: модулей 57
1. Псевдорадикал Галуа. Определение сложности:. 57
2. Сложность модуля над кольцом ж над подкольцом. Соотношение сложностей, родственных колец. 65
3. Сложность модуля: над кольцом и над подкольцом. Соотношение сложностей- родственных колец (продолжение) 71
4. Кольца сложности два 96
Литература 10
- Треугольная представимость конечного кольца с единицей матричными кольцами над кольцами- Галуа.
- Кольца, представшие факторами кольца обобщенно-треугольных, матриц; над фиксированншл.ьщричным. кольцом над кольцом. Галуа.
- Представление конечного кольца матрицами Селе
- Сложность модуля: над кольцом и над подкольцом. Соотношение сложностей- родственных колец (продолжение)
Треугольная представимость конечного кольца с единицей матричными кольцами над кольцами- Галуа
Треугольная представимость конечного кольца, с единицей- матричными: кольцами над кольцами Галуа Напомним, что кольцом Галуа (см,, напримерr [I0J или 22] , гл ХУ1) называется конечное локальное коммутативное кольцо тС , характеристика которого есть степень простого числа и , а: его радикал Дкекобсона. удовлетворяет равенствам: 30Z)=f IZ , fL/J(R)=GF- (рч, где J - поле Галуа. из О г элементов, В теореме ХУ.2 ["22J показано, что для заданного числа, элементов Ьг в ГЪ /J [ К/ существует единственное с точностью до изоморфизма кольцо Галуа заданной- характеристикиуО Оно обозначается СгИ(ЬП, t) 3 определения, кольца. Галуа. непосредственно вытекает Лемма. 2.Г». Цусть./ I - абелева. группа матриц размера К надкольцом. GR (р ; 1) , Ест/77 , т.0 найдется-элемент ґїі є г\ порядка. О також, что /77 =79 /77 для некоторого числа U П.
В теореме. ХТХ5 "22J доказано, что. в любом, конечном, кольце- К. с единицей содержится: подкольцо / , называемое кольцом 2C коэффициентов, такое:, что подгруппа, радикала, дкекобсона 3(RL б.) I — прямая: сумма матричных колец над кольцами Галуа. Лемма. 1.2.2. Пусть гС — конечноа кольцо с кольцом коэффициентов Т-ГеА S - кольцо наїриц. над кольцом Галуа, VL f: R. S — наложе ниа колец» Тогда существует единственный- номе і такой, что
При: этом: Доказательство. Пусть О кольцо- характеристики D к — естественный гомоморфизм. Так. как 3(ГШ)Н0 R=T+J(Rh ГГ(Ю-ГГСП
Пусть Єї единица, кольца/L і,. тогда { Є І ) ортогональная сис-тама. центральных в Т идемпотентов. Однако в Г ЧІП) нет не-тривиальных центральных идемпотентов, и, следовательно, существует- единственный- комар L такой, что / / (в± ) О . Поэтому для. всех J "Ф L имеем / 7 (У 1// с/иг таким, образом, Итак. S = 4 (ALhpS = WAJ+ЖІ a У (Aj)-O , так как. (ej) идемпотентны. Теперь последнее утверждение, лемма следует из леммы Накаямы-. О
Далее через JV. будем, обозначать кольцо матриц размера П П над кольцом. Галуа:. , а через п — конеч ноа кольцо с единицей, характеристика которого является степенью простого- числа D , и. с кольцом коэффициентов / . Тогда Т = Z ФЛ t , Ас =Мт №(р , td (з) Лемма 1.2»3. Пусть/ч является конечным R-A бимодулем, а./ч его максимальным, подбимодулем. Тогда, существует такойУІ -подмодуль іЛ1 /Ч 9 ччо/Щ-Мі+гІ и для некоторого Л. і из (3 )М есть Л,--Л бшодуль, изоморфный, бшодцулп матриц размера Л; /7 над кольцом: Сг Ц (D , [ Ze-, X J ) , где fll,Z]=H.O.ft.{Zi,Z} ,Kt ,li -При этом Доказательство» По условию г\/г\ - неприводимый./Ъ -_/L бимодуль ж, следовательно, не содержит, нетривиальных центральных идемпотентов, Таким образом, Ш1-М) является кольцом: матриц над полем Галуа и, значит,, по лемме. 1..2»2 I для некоторо го . Так как - неприводимый: бимодуль, он порожден одним элементом» Пусть /77 — его прообраз при естественном гомоморфизме О : г\ 7ч//м . ТогдаУ /77У1являетсяУ Li-yL бимодулем и в прямую сумму неразложимых бимодулей. Тогда, образ какого-либо из них, например Д. при: гомоморфизме О совпадает с . Как показано в утверж дении 5 Ґ2б7 бимодуль /мх неразложим тогда и только тогда, когда он. изоморфен бимодулю / щ jti где К S І, . Ш как р (ML j M/M 1,тоМл +М 4 1, что и требовалось доказать» Q
Унитарным, подкольцом кольца Гь будем, называть подкольцо, содержащее единицу кольца гъ . явля Теорема 1.2 »4. Пусть гС - конечное кольцо с единицей и. CJrlQFtH, =JU » ЕслиУи — унитарное подкольцо кольцагС , гащиеся прямой суммой колец матриц над кольцами Галуа, то в /ъ найдется кольцо коэффициентов О такое, что AeS.
Доказательство.- Заметим, что К. является алгеброй над полем СгГ (Ь) , если cJbQJlri-p , и, следовательно, для этого случая утверздение теоремы вытекает из леммы В.М» Курочки.-на (см. [ ], стр.199). Перейдем к случаю произвольного кольца./ . Доказательство будем вести, индукцией по мощности: гС . Предположим, что теорема верна для всех колец, чья мощность меньше IгС1 . Пусть - естественный.гомоморфизм. Как указывалось выше, в этом, случае кольцо коэффициентов кольца. Р( rt / илЗ 2. fUv) Так как рй. я J (Л) , то, перейдя, к полным: прообразам, получим т4 U [гС/ f то Э -р гС, к О применшло предположение индукции., откуда И- вытекает требуемый, результат.
Пусть теперь . Покажем, что в этом случае кольцо гС является прямой- суммой колец матриц над кольцами Га луа. Пусть BL ,. . .,вн максимальная система ортогональных идемпотентов кольца- К , центральных по модулю радикала. Пред положим, что Єї К 6; U для. некоторых L j, & OL - элемент этого множества, имеющий максимальную аддитивную экспоненту. Так как и, следовательно, Очевидно, что (Х± может быть выбран в Є і rt j , а это противоречит выбору Сі . Итак, {Є с і центральные идемпотенш кольца Я
Кольца, представшие факторами кольца обобщенно-треугольных, матриц; над фиксированншл.ьщричным. кольцом над кольцом. Галуа.
Если, же пара. (S.N) не является простейшей, то будем вести- доказательство индукцией, по порядку, введенному при доказательстве, теорема L.2.9. По теореме 1.2.9 EL оба сомножителя: проще пары (S.A/J . Поскольку AJ является факторкольцом кольца О r a JOJ. — прямым слагаемым кольца коэффициентов по- лемме 1»2.2Г для них выполняются условия. I и. 2» Тогда по индуктивноглу предположению, R, следовательно, (8,/VJ Из доказательства-іпредьщущей теоремы вытекает, что кольцо JU является собственным, фактором кольца., обобщенно-треугольных матриц, на диагонали которого стоят кольца изоморфные кольцу тогда ж. только тогда, когда оно удовлетворяет, условиям. L и. 2 теоремы 1.3.5. Однако верна. Теорама Г.3»6» Любое конечное кольцо с единицей, характеристика которого есть степень простого числа О , является, собственным- фактором кольца матриц над кольцом- Галуа. Доказательство. Пусть /И - точный/L -модуль. Покажем, что найдется простейшая пара ( О , /V/ , делящаяся на. пару (R, М) . Пусть как абелева груша.. Положим. Ж Тогда (S.A/J - простейшая, пара. Если. \ 177-] система, свободных образующих: /& -модуля /V , то г С пс) V АЛ положим- ҐҐІІ = р /71 і . В этом, случае абелева группа /м , натянутая, на. 77,изоморфна, группе г\ и., можно считать, что ft — Кроме тогог если о/ г/77/; - II Uij Mj, где cLi і Є Е /Р - t то р 1 /(Мі )= О и, следовательно, р laLijf77j 0 Р а, значит., JL и р " сЛц Положив можно заметить, что de tZftCig Ifif/ ж ограничение U l/V\ JL Пусть теперь. О s 16& к) I существует Z& гЪ такой что &/М / Итак,, по вышеизложенному, имеет, место изоморфизм пар ,. что и: требовалось доказать
Строение бимодулей. над конечными кольцами с единицей В предыдущей главе конечное кольцо с единицей рассматривалось как собственный, фактор кольца обобщенно-треугольных матриц. Эта глава посвящена вложенш конечного кольца с единицей в некоторое вполне изученное кольцо в качестве подкольца. для этого нам нужно изучить строение бимодулей над конечными кольцами.
Обозначим через кольцо матриц размера /7 /7 над кольцом Галуа,. а через гС - конечное кольцо с единицей, характеристика которого является степенью простого числа /J , и с кольцом коэффициентов Т . Тогда Следующая теорема устанавливает связь между композиционным рядом R-A бимодуля fv\ и его разложением в прямую сумму неразложимых. / - Ух. бимодулей. Эта связь является распространением на случай произвольных колец с единицей теоремы о строении бимодулей над кольцами Галуа (см. теорему 4.1 [10J ) Теорема 2.2.1. Пусть /ч — конечный оимодуль. Тогда /Ч разлагается в прямую сумму А -модулей
Если. оу, s - №&/ /і, /у-Л$/ , то для каждого S -- l,Zt... ,G J\. -модуль является. /? -Л подбимодули в /И. Доказательство. Будем, строить последовательность подбимоду модуля. /Ми последователь ность его правых JX. -подмодулей {j i ). Поло М =М . Пусть, р = 5 0 //И0У. тогда А/ = ImcM/p - m-of. Обозначим, через /Ч максшлальный- собственный, подбимодуль модуля М , содержащие NL \ По лемма 1.2.3 построим. А -модуль. /И, такой, что » Заметим, что эти. модули, удовлетворя ют следующим, условиями экспонен а ) 1\1 - наибольший., подбимодуль бимодуля. г\ , та которого меньше, экспоненты имеет вид,, о котором говорится, в лемме 1,2.3» Предположим, теперь, что. построены подбимодули MJ,A/J и правые JL -подмодули /nj бимодуля. Л7 для всех у g t , и эти: подмодули удовлетворяют- следующим./условиям ;
Представление конечного кольца матрицами Селе
Доказательство. Достаточно- доказать утверждение, "кроме того". Дудем. следовать доказательству теоремы 3.1 f 27 J . Так как радикал состоит ив строго нижнетреугольных по модулю/Э матриц, то при каноническом, гомоморфизме, матрица ( ті ( (Хп )) переходит
Любой- элемент из одно значно определен любым из элементов t(Qii), поскольку из Уши) YcaU) \.ія»( fi (Qijti-Cfi (aiyjj J IrCj, вытекает, что класс ( ( Оij - Q ij)) + J(/cj был бы ненулевым, элементом: из , хотя Но это противоречит простоте VL ТОМУ, ЧТО і — ( ті ( Оij)). Итак, отображение jfQjj) jfQ ) определяет автоморфизм: О/ кольца конечное Следствие 2.2.6. (теорема З.Г [.27] ). Пусть гС локальное кольцо характеристики и такое,, что C4
Тогда кольцо ri вкладывается в кольцо нижнетре угольных по модулю Ь матриц; Селе над СгН (/Э tt) . Кроме то гог существуют автоморфизмы СҐ (I Z ) поля, та— кие, что если матрица. Селе ( j/ ( Qij)) лежит в образе, кольца Я , то f(Q.jj) = Oj(ip(aJ, тае v-GR.(pt. i)- uF(pz).
Итак, нам. удалось вложить конечное кольцо с единицей в кольцо; эндоморфизмов некоторого модуля. В этой, связи возникает, вопрос о выделении тех эндоморфизмов, которые, входят в наше кольцо. Если. гС - локальное кольцо, характеристика которого есть степень простого числа.уО , тоги можно рассматривать как. алгебру над кольцом- гл вычетов по модулю D для соответствующего. К .
Обозначив через ІЩ прямую сумму некоторого количества экземпляров А -алгебры гС , легко заметить, что кольцо К вкладывается в кольцо EsidA (М) . Более того, в [20J доказано, что для подходящего количества прямых слагаемых в П\ , в нем найдется, пять, л -подмодулей., таких, что кольцо гС изоморфно кольцу тех эндоморфизмов модуля г\ , которые переводят каждый из этих пяти, подмодулей, в себя. Однако нам. больше подойдет другое вложение.
Пусть [і ,%1 % . . , Хт} — система, кольцевых образующих ri , то есть образующих /\ -алгебры Н. t причем - - образующий- кольца коэффициентов А кольца Если г\ - сумма двух экземпляров; г\ -алгебры гС , то система 1 состоит из следующих. А -подмодулей: модуля. /Щ : где t f , a /?7 . Тогда повторяя аргументы из теореглы I 19 J , можно увидать, что/ь изоморфна кольцу таких эндоморфизмов модуляг\ , которые переводят, каждый.-подмодуль из системы ./ в себя. Заметим теперь,, что эндоморфизмы модуля. переводящие в себя подмодули п і , П z
Псевдорадикад Галуа. Определение сложности Напомним, что класс колец ?С удовлетворяет условию А5 (см. [і] , стр. 94), еслис из того, что О идеал кольца п и кольца О и А /О принадлежат классу С , вытекает, включение п &
Леша З.Г.І. Пусть аС - класс конечных колец, характеристика которых: есть степень простого числа О , замкнутый! относительно взятия гомоморфных: образов и удовлетворяющий, условию А5 Если: в оС содержится- какое?-либо нильпотентное кольцо гС , то в нем. содержатся- все, конечные: нильпотентные кольца, характеристика которых есть, степень того же простого числа.
Доказательство. Очевидно, что ненулевое, кольцо с нулевым умножением:/?, К/ гС принадлежит, классу оС в случае, выполнения- условии, леммы Тогда кольцо гС /ЬК, , также, принадлежащее, классу cL , является, прямой- суммой циклических, групп порядка. Ґ) с нулевым.: умножением. Поэтому в классе оС содержится кольцо л с нулевым, умножением, состоящее изуО элементов.
Пусть. теперь.УІ —кольцо с нулевым, умножением, характеристика, которого равна D . Тогда кольца А/р Л , где 0 с К р являются, конечными, прямыми: ершами колец, изоморфных А 9 и» следовательно, принадлежащих классу dC Поэтому кольцо -/L также лежит в классе. оС по условию А5. Теперь перейг дем к произвольному конечному нильпотентному кольцу О . Если. С7 г) С" 1 П Я 77 /С О - U и /и U , то кольца D /JO , где 1 ҐЮ П, являются кольцами с нулевым умножением, и, следовательно, сод ер 58 жатся в. класса эС . Снова применяя условие А5, замечаем, что к тому же классу принадлежит и кольцо . О
Следствие 3.1.2. Пусть Z — произвольный, радикал в классе конечных колец, характеристика которых есть степень простого числа и . Тогда вса нильпотентные кольца в этом классе либо 1 -радикальны, либо Z -полупросты.
Доказательство. Пусть все. X -полупростые кольца классически полупросты.- Если. гС — нильпотентное кольцо, та и. вса его гомоморфные образы нильпотентны и.,: следовательно, на являются X -полупростыми. Значит, кольцо гь X -радикальна по следствию 2 1.1 [z] . Итак, в этая: случае все нильпотентные кольца. X -радикальны.
Если ке имеется X -полупростое кольцо гС , не являющееся классически полупростнм, то его радикал Дгекобсона J(R) является X -полупростым- нильпотентным кольцом по. следствиьэ 2.4.1 l] . Тогда по следствию 2.1.4 г] к лемме З.І.Г все конечные нильпотентные кольца. X -полупросты. О
Сложность модуля: над кольцом и над подкольцом. Соотношение сложностей- родственных колец (продолжение)
Доказательство. Очевидно, что полупростота кольца гС эквивалентна наличию в нем системы идеалов { A// такой, что 1,1 А і" ии для. всякого идеала системы К / / - матричное кольцо над кольцом Галуа. Поскольку , ес ли lj - идеал, а 6 идемпотшт, то / Є А ; Є=0 и В Aj Є йдеал: кольца В К, . Кроме, того,, полагая, что — естественный гомоморфизм, получаем бКЄ/eJje —Поскольку У является матричным кольцом над кольцом Галуа, то "Р (Є гС ) также является матричным, кольцом над кольцом. Галуа, откуда и вытекает утверждение леммы. О
Предложение 3.1.5. Кольцо гь полупросто в смысле Галуа тогда и только тогда, когда FL-± Mm(RLh где кольцо гС для каждого L является унитарной Lr/ъ (Pi С, с) подалгеброй в прямой, сумме колец вида 6L G Rip?, І І) „ тііі.
Доказательство. Если. К полупростое в смысле Галуа кольцо, то из соотношения (20) вытекает, что WI ri) U ц9 следовательно, ҐС Z- /л с » где /\i являются кольцами матриц разме-ра.Г/7/ ПІ) над локальными кольцами rti По лемме 3.1.4 кольца /и также полупросты в смысле Галуа.
Пусть. I ±j J система идеалов в локальном полупростом в смысле Галуа- кольце, гі і такая, что flJ-j U и rCi/lj -матричное, кольцо над кольцом Галуа. Но по лемме 1.2.2 rii/lj факторкольцо кольца, коэффициентов кольца rii , которое является кольцом. Галуа, а. гС І , таким, образом, подпрямое произведение этих колец. Итак, кольцо И имеет вид, о котором говорится в формулировке, предложения.
Обратно, если: кольцо гС имеет такой, вид, то кольца ГІ і полупросты в смысле Галуа по определению. Для идеалов і 1 j і колец ГЬ і таких,, чтс - кольца Галуа, легко заметить,, что идеалы кольца. составляют систему { iiKJ , позволяющую усмотреть полупрратоту кольца Если. г\ конечный- модуль над. кольцом с единицей/L , то его композиционный, ряд можно определить как ряд подмодулей такой, что /Mj- /Г\і і неразложимый_/ъ -модуль и - простое кольцо для всех L = 1, Z . . .,/7. Аналогично можно определить псевдокомпозиционный-ряд. Определение З.Г.6. Псевдокошозиционным рядом /ь -модуля /м называется такой, ряд его подмодулей. что фактормодулн, - неразложимы, а — кольца матриц: над кольцами. Галуа. для всех С- і, Z,. л\
Очевидно, что все композиционные ряды оказываются, рядами псевдокомшзивдонными. Также легко заметить, что пары являются, простейшими, в смысле определения. 1.2»6. Е обратно, возрастающий, ряд подмодулей является иоевдокошозиционшм, если, все пары вида —- простейшие..
Определение- З.Х.7. Сложностью. С о (/ч/ конечного /ъ -модуля/м называется. шшимум длин, его псевдокомпозиционных рядов. Сложностью конечного кольца а едішицей/ь называется, миншда длин, псевдокомпозиционных рядов точных- модулей над ним.
Оказывается, что понятие сложности, тесно связано с понятиями, введенными, в первой-главе. В теореме 1 3.6 доказано, что для любой, пары: найдется, простейшая пара, на нее делящаяся. Однако ситуация, резко меняется, если рассматривать лишь достаточно богатые подпары треугольного произведения, как. это и. делалось в первой главе.
