Содержание к диссертации
Введение
1. Слабо симметрические однородные пространства редуктивных групп Ли 12
1.1. Классификация слабо симметрических пространств 12
1.2. Правильные изометрии слабо симметрических пространств 19
1.2.1. Действие группы N(K) на многообразии А' 21
1.2.2. Правильные автоморфизмы комплексных сферических пар . 22
1.2.3. Правильные автоморфизмы вещественных слабо симметрических пространств 31
1.3. Несимметрические слабо симметрические римановы многообразия . 33
1.3.1. Симметрические расширения сферических пар 41
1.3.2. Расширения разложимых пар 46
2. Свойства коммутативных однородных пространств 48
2.1. Критерий коммутативности 48
2.2. Свойства коммутативных пространств 52
3. Классификация коммутативных пространств 55
3.1. Главные коммутативные пространства 55
3.2. Ядро неэффективности GO
3.3. Spi-насыщенные пространства 62
3.4. Пространства гейзенбергова типа 63
3.5. Заключение 75
Библиография 78
- Правильные изометрии слабо симметрических пространств
- Несимметрические слабо симметрические римановы многообразия
- Свойства коммутативных пространств
- Spi-насыщенные пространства
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена описанию однородных пространств, на которых алгебра инвариантных дифференциальных операторов коммутативна. Мы будем предполагать, что рассматриваемые однородные пространства являются также римановыми многообразиями, что позволяет применять различные методы римановой геометрии.
Пусть X = G/K - однородное пространство вещественной группы Ли G, причём подгруппа К компактна.
Определение 1. Однородное пространство X называется коммутативным, если (0) алгебра G-инвариантных дифференциальных операторов Т>(Х) на X коммутативна.
К числу коммутативных пространств относятся симметрические пространства Эли Картана. Эти пространства хорошо изучены. Известна их классификация, разработан гармонический анализ на них. Коммутативность алгебры инвариантных дифференциальных операторов позволяет рассматривать их общие собственные функции. Собственные функции алгебры V(X), инвариантные относительно подгруппы К, называются сферическими функциями на X. В частности, так возникают многие специальные функции.
Оказывается, можно сформулировать более общее геометрическое условие, обеспечивающее коммутативность. В работе, посвященной формуле следа [26], Сельберг ввел понятие слабо симметрического однородного пространства и доказал коммутативность алгебры инвариантных дифференциальных операторов на таких пространствах.
Пусть X = G/K - связное риманово многообразие, причем действие G : X группы G на пространстве X локально эффективно. Предположим, что автоморфизм а Aut(<7, К) группы G сохраняет подгруппу К. Тогда он индуцирует преобразование s на пространстве X по формуле s(gK) := о{д)К.
Определение 2. Однородное пространство X называется слабо симметрическим относительно а, если для любых двух точек х, у Є X существует такой элемент д Є G, что дх = sy, ду = sx. Однородное пространство X называется слабо симметрическим, если оно слабо симметрично относительно некоторого автоморфизма а.
Сельберг отметил, что, хотя в его работе формула следа выведена для слабо симметрических пространств, она верна также и для коммутативных пространств. До недавнего времени вопрос о совпадении этих двух классов однородных пространств оставался открытым. В 2000 году Лорэ [22] придумал первый пример коммутативного, но не слабо симметрического однородного пространства.
В течение почти 30 лет слабо симметрические однородные пространства не привлекали должного внимания. Во многом это можно объяснить отсутствием достаточного числа примеров. Ясно, что любое симметрическое пространство является также слабо симметрическим. Также ясно, что второй класс пространств шире, это отметил и сам Сельберг. Однако, примеров не симметрических слабо симметрических пространств было известно крайне мало. В последнее время геометрические свойства слабо симметрических пространств изучались в работах Берндта, Ванхеке и Прюфера [14], [15], [16]. Этими авторами были построены новые несимметрические слабо симметрические однородные пространства. Их работы также показывают, что слабо симметрические пространства обладают достаточно интересной геометрией.
В случае редуктивной группы G условия слабой симметричности и коммутативности эквивалентны. Более того, как доказано в работе Ахиезера и Винберга [12], слабо симметрические однородные пространства редуктивных групп - это вещественные формы аффинных сферических однородных пространств. Последние пространства классифицированы Брионом [17] и Микитюком [6]. В работе [6] доказано, что условие сферичности однородного пространства G/K редуктивной группы G эквивалентно условию интегрируемости в классе интегралов Нётер произвольных гамильтоно-вых систем на Т* (G/K) с G-инвариантными гамильтонианами. В случае произвольной группы Ли понятие сферического однородного пространства не имеет смысла. Его естественной заменой служит понятие слабо симметрического пространства. Было бы интересно понять, следует ли в общем случае из условия слабой симметричности условие интегрируемости в классе интегралов Нётер.
В классификациях [17] и [б] содержатся небольшие пробелы, которые исправлены в настоящей работе, теорема 1.4. Эти результаты позволяют классифицировать коммутативные однородные пространства редуктивных групп и тем самым построить новые примеры слабо симметрических пространств. Многие из полученных таким образом однородных пространств не являются симметрическими многообразиями при некотором или при любом выборе G-инвариантной метрики. Помимо этого, известно, что в случае редуктивной группы G алгебра T>(X)G полиномиальна. Имеется также конструктивный метод разложения алгебры полиномиальных функций ЩХ] в сумму неприводимых Сг-инвариантных подпространств. Согласно условию сферичности, это разложение имеет простой спектр.
Пусть теперь G опять произвольная вещественная группа Ли. Обозначим алгебру G-инвариантных функций на кокасательном расслоении Т*Х, полиномиальных на слоях, через V(T*X)G.
Условие коммутативности однородного пространства G/K эквивалентно любому из следующих условий: алгебра /^-инвариантных мер с компактным носителем на X коммутативна (относительно свертки); алгебра V(T*X)G коммутативна относительно скобки Пуассона; представление группы G в пространстве L2{X) имеет простой спектр; действие G : Т*Х коизотропно в смысле стандартной симплектической структуры кокасательного расслоения.
Условие (1) было введено Гельфандом. Поэтому пару (G, К) называют также парой Гельфанда, если выполнено одно из условий (1)-(4) или условие коммутативности (0).
Очевидно, что условие (2) следует из условия (0). Обратная импликация была недавно доказана Рыбниковым [8]. Эквивалентность условий (2) и (4) доказана в [2]. Эквивалентность условий (0) и (1) доказана Хелгасоном [18] и Томасом [27], независимо. И наконец, равносильность условий (1) и (3) доказана в [1].
В диссертации доказан простой критерий коммутативности; с его помощью описана структура коммутативных пространств и получена их классификация при некоторых ограничениях.
Перейдем теперь к непосредственному изложению результатов диссертации.
Первая глава посвящена слабо симметрическим однородным пространствам редук-тивных групп. Как уже отмечалось, они являются вещественными формами аффинных сферических однородных пространств. Пусть (G(C), Н) - сферическая пара, причём группы G(C) и Н связны. Опишем соответствующие ей вещественные слабо симметрические пары (G,K). Группа К является максимальной компактной подгруппой группы Н. Любая вещественная форма G группы G(C), содержащая К, определяет слабо симметрическое однородное пространство G/K. Более того, все они могут быть получены таким образом, с точностью до локального изоморфизма. Группа К всегда содержится в максимальной компактной подгруппе Go группы G(C). Если же G некомпактна и связна, то верно следующее:
Теорема 1. G — (G(C)T'P)0, К = Нт, где <р - инволюция группы G(C), действующая на подгруппе Н тождественно, а г - компактная вещественная структура, коммутирующая с инволюцией
Назовем автоморфизм о Є Aut(G, К) правильным, если он определяет на однородном пространстве X = G/K структуру слабо симметрического пространства, т.е., если X слабо симметрично относительно ст.
Пусть C[G(C)/H}= 0 КА,
АЄЛ(Х) - разложение в сумму неприводимых С(С)-инвариантных подпространств.
При помощи следующей теоремы мы классифицируем все правильные автоморфизмы слабо симметрических однородных пространств редуктивных групп Ли.
Теорема 2. Автоморфизм а Є Aut(G, К) является правильным тогда и только тогда, когда cr(V\) = V для любого веса А Є А(Х).
Пусть однородное пространство X = G/K слабо симметрично относительно автоморфизма а. Введем на пространстве X G-инвариантную риманову метрику. Она автоматически будет также сг-инвариантной. Риманово многообразие X вполне может быть симметрическим, даже если G/K не являлось симметрическим однородным пространством. Так, например, нечетномерная сфера S2"-1 = SU„/SUn_i = S02n/S02n-i является симметрическим римановым многообразием и несимметрическим слабо симметрическим однородным пространством группы SU„. Для того чтобы понять, является ли заданная на X риманова метрика симметрической, достаточно найти группу изометрий пары (X, /л) или её связную компоненту Р = Isom(X)0. Имеет место разложение Р = GQ, где Q - стабилизатор точки еК є X в группе Р. Риманово многообразие X симметрично тогда и только тогда, когда Q - симметрическая подгруппа группы Р. Разложения редуктивных групп в произведение двух собственных редуктивных подгрупп описаны в работе А.Л. Онищика, [7]. Это позволяет классифицировать несимметрические слабо симметрические римановы многообразия с редуктивной группой изометрий. Результаты классификации для компактных многообразий приведены в таблице 1.6.
Определение 3. Однородное пространство G/K называется неразложимым, если его нельзя представить в виде произведения Gi/Ki х GijKi, где G = G\Y. С?2, К = К\Х К2.
Для некомпактных многообразий верно следующее
Теорема 3. Неразложимое (в смысле однородных пространств) несимметрическое некомпактное однородное пространство полупростой группы G не является симметрическим римановым многообразием ни при каком выборе G-инвариантной метрики.
Во второй главе доказан критерий коммутативности, а также описаны некоторые свойства коммутативных пространств. Если однородное пространство X = G/K коммутативно, то имеет место разложение Леви G = N X L, где iV - не более чем двух-ступенно нильпотентная группа, a L - максимальная редуктивная подгруппа, причем К С L, см. [2]. Кроме того, как доказано там же, выполнено условие (a)R[n]L =Щп]к, где n = Lie N. Обозначим через m касательное пространство Ten{G/K). Пусть некоторая группа Ли Р действует на многообразии (векторном пространстве) Y. Обозначим стабилизатор точки у Є У в группе Р через Ру. Стабилизатор общего положения действия Р : Y обозначим через P*(Y). Коммутант группы Р обозначим через Р'.
Теорема 4. Однородное пространство X = G/K коммутативно тогда и только тогда, когда выполнены условия (а) и для всякой точки j Є п пространство L^/K^ коммутативно; для всякой точки /З Є m пространство (N X Кр)/Кр коммутативно.
Пусть Р - ядро неэффективности действия G : п. Заметим, что Р - нормальная подгруппа групп G и L. Из условия (а) следует, что L/P С О(п). Следовательно, для любой точки 7 Є п группа L1 редуктивна. В силу компактности группы К, условие (а) равносильно наличию разложения L = L*(n)K. В условии (Ь) речь идет об однородном пространстве редуктивнои группы. Проверить его коммутативность можно с помощью результатов первой главы диссертации.
Во втором параграфе сформулированы некоторые свойства коммутативных однородных пространств.
Условие коммутативности является локальным, т.е., зависит только от пары алгебр Ли (g, ). Мы предполагаем, что группы L и К связны, кроме того L = Z(L) х L\ х... х Ln, где Z(L) - связная компонента центра группы L, a Li - простые некоммутативные группы. Кроме того, мы считаем, что группы L,- являются вещественными формами односвязных простых комплексных групп Ли, а также, что действие факторгруппы Z(L)/(Z(L)nP) на пространстве п эффективно. Обозначим оператор проектирования на фактор Li через щ.
Рассмотрим коммутативные однородные пространства, удовлетворяющие следующему условию: (*) L ф К и действие L : п локально эффективно.
Теорема 5. Пусть однородное коммутативное пространство X = G/K удовлетворяет условию (*). Тогда каждый некоммутативный простой сомножитель группы К, отличный от SU2 содержится в некотором простом сомножителе группы L.
Третья глава диссертации содержит классификацию коммутативных однородных пространств при некоторых технических ограничениях.
Разложим пространство п/п' в сумму неприводимых Х-инвариантных подпространств п/п' = Гої ф ... ф tt>t. Обозначим централизатор группы L в группе GL(ttJj) через сцгоі)(Ь)- Пусть Z(K)- связный центр группы К. Пусть L — P-ІЛ
Определение 4. Назовем коммутативное однородное пространство G/K главным, если Z{K) = Z = Z(L) х {Lt HZ)x ... x (Lm n Z) и Z{L) = С = {ZGL{m)(L) n C) x ... x (^GL(wt)(^) ГіС) (здесь группа С рассматривается как подгруппа группы GL(n/n')).
Определение 5. Коммутативное однородное пространство G/K называется Spx-Ha-сыщенным, если (1) любой простой фактор К\ = SU2 = Spx группы К содержится либо в Р, либо в каждый такой простой фактор L\ группы L, что 7ri(L»(n)) = L\, содержится в группе К; если существует такой подпространство го» С (п/п'), что действие L{ : ГО, нетривиально, а действие Z{L) х L2 х ... х L,„ : ГО, ноприводимо, то группа L\ действует на L-инвариантном дополнении (п/п')\го, тривиально.
Так как произведение двух однородных пространств коммутативно тогда и только тогда, когда коммутативно каждое из них, мы будем рассматривать только неразложимые пространства.
Вначале мы рассматриваем главные коммутативные однородные пространства, удовлетворяющие условию (*). Основные результаты классификации в этом случае представлены в таблице 1.
Таблица 1.
Каждой строке таблицы 1 соответствует коммутативное однородное пространство (N X L)/K, где n = V как L-модуль и [n,n] = 0. Первой строке соответствуют шесть различных коммутативных однородных пространств, а именно, L может равняться SU2n или U2„, и во втором случае группа К может равняться Spn или Spn х U,; кроме того, независимо V может быть либо С2'1, либо С2" Ф R (в первом случае группа ./V коммутативна, а во втором N есть группа Гейзенберга Нп).
Теорема 6. Пусть X = G/K - главное коммутативное пространство, удовлетворяющее условию (*). Тогда пара (L,K) изоморфна прямому произведению пар из таблицы 1, пар вида (SU2 х SU2 х SU2,SU2), (SU2 х SU2,SU2) или (SU2,Ui), и пары вида (К1,К1), где К1 - компактная группа Ли. Более того, однородные пространства, соответствующие строкам таблицы 1, выделяются как прямые сомножители пространства X.
Определение 6. Однородное пространство вида G = К X N называется пространством гейзенбергова типа.
В дальнейшем классификация сводится к случаю пространств гейзенбергова типа, для которых S(Q/t)K = S(n)K. Если алгебра п коммутативна, то пространство G/K также коммутативно. Такие пространства называются пространствами евклидового типа. Будем предполагать, что алгебра п не коммутативна.
Напомним, что фактор алгебра п/[п, п] есть сумма неприводимых представлений группы К, а именно, п/п' = гс>іФ...фгоу. Как доказано в работе [2], [to», tttj] = 0 при і ф j, [п, п'] = 0. Кроме того, если Ю{ = ш,- как Я"-модуль при г ф j, то также [tijj, to»] = 0. Для каждого подпространства tUj положим гц := n>i + [\х>1,щ]. Обозначим /^-инвариантное дополнение к пространству щ в п через О1, стабилизатор общего положения AT* (о*) через К\
В работах [2] и [3] классифицированы коммутативные пространства гейзенбергова типа, в которых /f-модуль п/п' неприводим. В общем случае, алгебра п является суммой коммутативного идеала и алгебр из таблиц работ [2] и [3]. Однако такая сумма не может быть составлена произвольно.
Теорема 7. В описанных выше обозначениях однородное пространство (N X К)/К коммутативно тогда и только тогда, когда каждая алгебра Пуассона S(ni)K* коммутативна.
В [13, Теоремы В и Е] доказан другой критерий коммутативности. Там также утверждается, что данный критерий сводит классификацию коммутативных пространств гейзенбергова типа к уже известному списку сферических представлений. Однако работа [13] не содержит классификации. Отметим также, что в ней содержится существенная ошибка. Переход на странице 105 (строки 11-12) от алгебры п к ее фактору п/(з \ п'), где з - центр алгебры алгебры п,аг\п'- /^-инвариантное дополнение к п', неверен.
Однородные пространства гейзенбергова типа можно разделить на два класса, в зависимости от действия К : п'. Для пространств первого класса коммутант п' является тривиальным /('-модулем. В этом случае мы имеем, п = п ф О ф R', где Rg = п' и о ф R9 - центр алгебры п. Заметим, что /^(С)-модуль п(С) имеет вид W ф W*. Согласно [13] и теореме 7, соответствующее однородное пространство гейзенбергова типа коммутативно тогда и только тогда, когда действие /С,(о) (С) : W сферично. В простейшем случае X) = 0 это утверждение означает, что само действие К(С) : W сферично. Сферические линейные представления редуктивных групп классифицированы в работах Каца, Бриона, Бенсона и Ретклифа, Леи. Результаты классификации, а также подробный исторический комментарий можно найти, например, в работе Кнопа [20].
Пусть пространство X = G/K коммутативно. Рассмотрим /^-инвариантное подпространство Зо С з в центре алгебры п и соответствующую ему связную центральную подгруппу Zq С Z. Тогда однородное пространство X/Zq — ((N/Z0) X К)/К также коммутативно, см. [2]. Переход от пространства X к пространству X/Zq называется центральной редукцией. Коммутативное однородное пространство гейзенбергова типа называется максимальным, если оно не может быть получено нетривиальной центральной редукцией некоторого большего пространства.
Теорема 8. В таблице 4 перечислены все главные <5>1рх-насыщенные неразложимые максимальные коммутативные пространства гейзенбергова, но не евклидова типа, для которых К-модуль п/п' приводим.
Обозначение вида (SUn,Un,Ui Spn/2) означает, что данный локально прямой сомножитель группы К равняется одной из указанных в скобках групп. При нечетных п группа Spn/2 не определена и не может быть подгруппой группу К. Алгебра п записана в Таблице 4 следующим образом. В скобках указана алгебра гц = tt>i+[ron to і]. Пространство, стоящее вне скобок, коммутативно. Действие группы К однозначно определяется неприводимостью однородного пространства и таблицами работ [2], [3].
Таблица 4.
Основной результат третьей главы заключается в следующей теореме.
Теорема 9. Каждое неразложимое главное Spx-насыщенное коммутативное однородное пространство изоморфно однородному пространству одного из пяти перечисленных ниже классов: слабо симметрические однородные пространства редуктивных групп Ли; однородные пространства, соответствующие строкам Таблицы 2Ь; однородные пространства (I71 X SO„ х SO„)/SO„, (Кп X SUn х U„)/Un, (Нп X SU„ х U„)/U„, где простые факторы SO„ и SUn группы К диагонально вложены в произведения SOn х S0n и SU„ х SUW, соответственно; центральные редукции произведений пространств из таблицы 4; коммутативные однородные пространства евклидового типа.
Я благодарна своему научному руководителю профессору Э.Б. Винбергу за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также Д.И. Панюшеву и Д.А. Тимашёву за полезные обсуждения.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I], [II], [III] и [IV].
Правильные изометрии слабо симметрических пространств
Пусть G - вещественная группа Ли, К - её компактная подгруппа, причём однородное пространство X = G/K связно. Будем вначале предполагать, что действие G : X эффективно, то есть группа К не содержит нетривиальных нормальных подгрупп группы G. Тогда группу G можно рассматривать как подгруппу группы DifF(X) всех диффеоморфизмов многообразия X. Пусть s - диффеоморфизм многообразия X. Определение 9. Однородное пространство X называется слабо симметрическим относительно s, если выполнены следующие условия: Однородное пространство X называется слабо симметрическим, если оно слабо симметрично относительно некоторого диффеоморфизма s. Группу {G, s) С Diff(X), порождённую группой G и диффеоморфизмом s, обозначим через G. В определении слабо симметрического пространства данного Сельбергом требовалось выполнение условия s2 Є G. Для большей общности мы пока от него откажемся. Отметим, что доказательства всех основных результатов работ [12] и [14] не используют этого условия. Как будет доказано в дальнейшем, в случае полупростой группы G данное определение эквивалентно определению Сельберга. На слабо симметрическом пространстве X можно ввести G-инвариантную рима-нову метрику, которая автоматически будет G-инвариантной; поэтому к нему можно применять результаты работы [14]. Определение 10. Диффеоморфизм s многообразия X называется правильным, если он удовлетворяет условиям (1.1) и (1.2). Цель данной части - описание всех правильных диффеоморфизмов (изометрии) слабо симметрических однородных пространств полупростых групп Ли. Если правильный диффеоморфизм умножить слева или справа на элемент группы G, то он останется правильным. Поэтому задача сводится к описанию смежных классов в Difi(X)/G, состоящих из правильных диффеоморфизмов. Такие классы будем называть правильными. В каждом классе есть элементы, оставляющие на месте точку еК. Если s(eK) = еК, то s{gK) = а(д)К, где о Є AutG, о(д) = sgs 1. Для автоморфизма а выполнено следующее условие: (i) а{К) = К. Множество автоморфизмов (внутренних автоморфизмов) группы G, удовлетворяющих условию (і), обозначим через Aut(G, К) (Int(G, К)). Любому автоморфизму а группы G, удовлетворяющему условию (і), соответствует диффеоморфизм s многообразия X, определяемый по формуле Обозначим сопряжение элементом д (д Є G) в группе G через а(д). Автоморфизмам сг и т группы G, удовлетворяющим условию (і), соответствуют лежащие в одном смежном классе диффеоморфизмы многообразия X тогда и только тогда, когда а = а(к)т, к Є К. Пусть д и I - алгебры Ли групп G и К соответственно.
Касательное пространство ТекХ канонически отождествляется с д/6. Группа Aut((7, К) естественным образом действует на g/t. Если а Є Aut(G, К) и т) Є g, то а(т] + 6) := da(t]) + t. В работе [14] доказывается, что для элементов группы Aut(G, К) условие (1.2) равносильно следующему: Определение 11. Автоморфизм о группы G называется правильным автоморфизмом пары (G,K), если он удовлетворяет условиям (і), (іі). Иногда в тех случаях, когда понятно, о какой компактной подгруппе идёт речь, мы будем называть правильные автоморфизмы пары (G, К) правильными автоморфизмами группы G. Описание правильных классов в Diff(X)/G равносильно описанию правильных классов в Aut(G, К)/а(К). Орбиты группы К в векторном пространстве д/6 разделяются полиномиальными инвариантами (см. [4]). Поэтому условие (іі) равносильно следующему: (іі ) если / Є R[g/t]K - однородный / -инвариантный многочлен, то т(/) = (-l)deg//. Предложение 1.1. ([2, лемма 1.J) Пусть К0 - связная компонента группы К, G0 -связная компонента группы G, а - правильный автоморфизм пары (G,K). Тогда найдется такой элемент к Є К, что а(к)а - правильный автоморфизм пары (G,K). Начиная с этого момента мы будем рассматривать только однородные пространства связных полупростых групп, причём будем предполагать, что подгруппа К связна. Предположим теперь, что действие G : (G/K) не обязательно эффективно, но локально эффективно, т.е. ядро неэффективности N дискретно. Тогда N = Z(G) П К, где Z(G) - центр группы G. Определение 11 переносится без изменений на этот более общий случай. Заметим что, если а Є Aut(G, К), то a(N) = a(Z{G) ПК) = a{Z{G)) П а{К) = Z(G) f\K = N. Так как группа N действует на векторном пространстве д/6 тривиально, то любому правильному автоморфизму пары (G,K) соответствует правильный автоморфизм пары (G/N, K/N) и, следовательно, правильный диффеоморфизм многообразия X = G/K = (G/N)/{K/N). Пусть G - односвязная накрывающая группы G. Группы AutG и Aut(G/N) можно рассматривать как подгруппы группы AutG. Если в этой группе AutG = Aut(G//V), то множества правильных автоморфизмов пар (G, К) и {G/N, K/N) совпадают. Пусть К - связная подгруппа группы G с касательной алгеброй 6. Тогда любой правильный автоморфизм пары (G, К) поднимается до правильного автоморфизма пары (G,K), а если AutG = AutG(= Autfl), то множества правильных автоморфизмов этих пар совпадают. Действительно, группа G является фактором группы G по некоторой дискретной центральной подгруппе Z и К = K/{KC\Z). Группы К и. К действуют на д/6 так же, как группа K/(KC\Z(G)). С другой стороны, если о является автоморфизмом группы G, то сг{К) = К тогда и только тогда, когда a{t) = . Из всех групп G с данной касательной алгеброй мы будем рассматривать только ту, которая является вещественной формой односвязной комплексной группы Ли. Для такой группы G группы AutG и Autg совпадают.
Несимметрические слабо симметрические римановы многообразия
Пусть М - связное риманово многообразие и Isom(M) - группа его изометрий. Определение 13. Многообразие М называется, симметрическим, если для любой точки х Є М существует такая изометрия s Є Isom(M), что s(x) = х и dxs = —id. Понятие слабо симметрического многообразия является естественным обобщением понятия симметрического многообразия. Определение 14. Многообразие М называется слабо симметрическим, если выполнены следующие эквивалентные условия: d) (Эквивалентность данных условий доказана, например, в [14].) Геометрический смысл определения 14 состоит в том, что для любой точки х многообразия и любой геодезической, проходящей через неё, существует изометрия "переворачивающая" эту геодезическую и оставляющая на месте точку х. Пусть G - вещественная группа Ли, К её компактная подгруппа, причём многообразие М = G/K связно. Определение 13 . Однородное пространство М называется симметрическим, если существует такая инволюция о группы G, что (Ga) С К С G". Пусть М - слабо симметрическое риманово многообразие. Тогда, как следует из условия d), группа Isom(M) действует на М транзитивно, в частности, М - полное риманово многообразие. Пусть х Є М и St(x) С Isom(M) - стабилизатор х. Тогда группа Isom(M) является вещественной группой Ли, а группа St(x) является компактной подгруппой в Isom(M). Нетрудно проверить, что однородное пространство М группы Isom(M) слабо симметрично относительно тождественного автоморфизма. Аналогичный факт для симметрических многообразий хорошо известен. Симметрическое риманово многообразие является симметрическим однородным пространством группы Isom(M), а также группы Isom(M)0. С другой стороны, пусть однородное пространство М = G/K группы G (слабо) симметрично относительно некоторого автоморфизма а. Введём на М G-инвариант-ную риманову метрику. Как следует из определения слабо симметрического однородного пространства, эта метрика будет также инвариантна относительно автоморфизма а. Определим симметрию s Є Isom(M) формулой s(gK) = а(д)К. Тогда однородное пространство G/K станет (слабо) симметрическим римановым многообразием. Итак, понятия (слабо) симметрического риманова многообразия и (слабо) симметрического однородного пространства довольно близки.
Различие состоит в том, что слабо симметрическое риманово многообразие М может быть слабо симметрическим однородным пространством нескольких групп. Целью данной части первой главы диссертации является классификация несимметрических слабо симметрических римановых многообразий, имеющих редуктивную группу изометрий. Среди слабо симметрических однородных пространств редуктив-ных групп будут выделены несимметрические римановы многообразия. Пусть М = G/K слабо симметрическое однородное пространство. Тогда М является также слабо симметрическим однородным пространством группы G0, см. [2, Лемма 1]. В дальнейшем мы будем считать, что группа G связна. Это ограничение не влияет на достижение нашей цели. Несимметрическое однородное пространство может быть симметрическим римановым многообразием. Например, сфера S2" 1 = SUn/SUn_i = SC n/SCbn-i является симметрическим римановым многообразием и несимметрическим слабо симметрическим однородным пространством группы SUn. Определение 15. Пусть М = G/K - однородное пространство, fi - G-инвариантная риманова метрика на М. Будем называть метрику ц (слабо) симметрической, если пара (М, ц) является (слабо) симметрическим римановым многообразием. Для того, чтобы понять, является ли заданная риманова метрика симметрической, достаточно найти группу изометрий пары (М, /І) или её связную компоненту Isom(M)0. Обозначим касательное пространство Tex(G/K) = g/t через m. Пространство m можно отождествить с iC-инвариантным дополнением к подалгебре Ъ в алгебре д. Пусть В(т) - множество всех положительно определённых "-инвариантных скалярных произведений на векторном пространстве т. Для того чтобы определить G-инвариантную риманову метрику на однородном пространстве G/K, необходимо и достаточно выбрать элемент в множестве В(т). В работе [2] доказано, что связное однородное пространство, локально изоморфное слабо симметрическому, также является слабо симметрическим. К сожалению, для симметрических однородных пространств аналогичное утверждение неверно. Пусть М = G/K - односвязная накрывающая однородного пространства М. Здесь G - односвязная накрывающая группы G, а К - связная подгруппа, касательная алгебра которой совпадает с I. Произвольная G-инвариантная риманова метрика ц, заданная на М, поднимается до (7-инвариантной римановой метрики J1 на М. Покажем, как, зная группу Isora(M), определить, является ли многообразие М симметрическим. Предположим, что (М, fi) является симметрическим римановым многообразием. Тогда многообразие (M,ju) тоже симметрическое. Более того, М является симметрическим однородным пространством группы Isom(M)0. Пусть теперь наоборот, известно, что (М, J1) симметрично. Можно достаточно легко проверить, симметрично ли (М, fi). Обозначим группу Isom(M) через F\ инволюцию группы F, определяющую на М структуру симметрического пространства - через а. Обозначим ядро неэффективности действия группы F на многообразии М через N. Тогда Isom(Af)0 = F/N. Легко видеть, что многообразие М симметрическое тогда и только тогда, когда o(N) = N. Таким образом, задача выделения несимметрических римановых многообразий среди слабо симметрических однородных пространств сводится к аналогичной задаче для односвязных пространств.
Мы будем изучать однородные пространства именно редуктивных групп. Но прежде чем ограничится этим случаем, заметим, что М может и не быть однородным пространством редуктивной группы, даже если М таково. Например, не существует редуктивной группы, действующей транзитивно на вещественной прямой R = Ui. В частности, ограничившись односвязными пространствами редуктивных групп, мы могли бы потерять некоторые слабо симметрические пространства. Чтобы этого не случилось, докажем следующие утверждения. Лемма 1.11. Пусть М = G/K - однородное пространство редуктивной группы G, и F := G K Ф G. Тогда М как риманово многообразие разлагается в произведение М = Ms х Mo, где Ms - это односвязная накрывающая однородного пространства G /(G П К), a MQ - локально евклидово симметрическое многообразие. Доказательство. Пусть ц - G-инвариантная риманова метрика на М, определённая элементом b Є B(m). Обозначим через mi ортогональное дополнение в m к подпростран ству f/t. Легко видеть, что mi С 3(0)- Как риманово многообразие, М = Ma х MQ, где MQ - локально евклидово симметрической риманово многообразие, a Ms односвяз ная накрывающая многообразия F/K, с F-инвариантной римановой метрикой, опре делённой скалярным произведением 6f/e- Остаётся заметить, что, так как F = G K, имеем F/K = G /{G ПК). Следствие. Риманово многообразие М симметрично тогда и только тогда, когда симметрично Ма; более того, если Ms симметрично, то группа Isom(ilfs) полупроста, а также имеет место разложение Isom(M) = Isom(Ms) х Isom(Mo). Доказательство. Первое утверждение является следствием того, что произведение двух римановых многообразий симметрично тогда и только тогда, когда симметрично каждое из них. Пусть Ms симметрично, Предположим, что группа Isom(Ms) не является полупро стой, т.е., Ms локально изоморфно произведению М\ х Rn, где Мх - однородное сим метрическое пространство полупростой группы Isom(Mi) и п 1. По условию, группа G действует на Ms транзитивно. Следовательно, она имеет нетривиальный связный центр. Так как группа G полупроста, это приводит к противоречию. Так как Ms - сим метрическое однородное пространство полупростой группы, каждая изометрия мно гообразия М сохраняет Ms и М0, см. [18]. Начиная с этого момента мы будем предполагать, что группа G связна и редуктив-на, однородное пространство G/K односвязно и G = G K. Теорема 1.9. Пусть (G, К) = (Gi, К{) х ((?2, К2) - слабо симметрическая пара и М{ = Gi/K{. Тогда, как бы мы ни выбрали G-инвариантную симметрическую метрику на однородном пространстве М = G/K, будет иметь место разложение М = Mi х М2 в смысле римановых многообразий.
Свойства коммутативных пространств
Допуская некоторую вольность речи, будем говорить, что вещественное однородное пространство G/K (пара (G, К), подгруппа К) сферично, если оно является вещественной формой сферического однородного пространства G(C)/K(C). Пусть однородное пространство X = G/K коммутативно. Обозначим через Р ядро неэффективности действия L : п. Заметим, что Р - нормальная подгруппа групп L и G, а также L/P С О(п). Так как группа 7 редуктивна, однородное пространство Ly/K-y, рассматриваемое в условии (Ь) коммутативно тогда и только тогда, когда оно сферично. Условие (а) означает, что пара (L, К) является расширением пары (L (n),K (n)). Предложение 2.1. [2, следствия предложения 10]. Пусть пространство G/K коммутативно. Тогда 1) для любой нормальной подгруппы Ли N группы G пространство G/NK = (G/N)/(K/(N П К)) также коммутативно; 2) для любой компактной подгруппы L С G, содержащей К, пространство G/L также коммутативно; 3) для любой подгруппы Ли L С G, содержащей К, пространство L/K также коммутативно. Пусть G/K коммутативно. Подгруппа Р нормальна в группе G, и G/P — (L/P)AN. Однородное пространство (G/P)/(K/(K П Р)) является коммутативным однородным пространством группы G/P. Нашей следующей целью будет описание тех коммутативных пространств, для которых выполнено условие: ( ) Ьф К и действие L : п локально эффективно. Лемма 2.3. Пусть F - простая компактная группа Ли, и симметрическая пара (Q = F х F,F) является расширением сферической пары (G,H). Тогда G содержит либо F х {Е}, либо {Е} х F. Доказательство. Обозначим проекции группы G на сомножители группы Q через G\ и G-i. Группа G\ х G-i действует на F = Q/P — G/H, причём это действие сфе рично. Если ни одна из групп G\, ( не совпадает с F, то по теореме 4 работы [11] dimB(Gj(C)) dimt/(F(C)), где (Gj(C) - борелевская, a U(F(C)) - максимальная унипотентная подгруппы комплексификации групп Gi и F, соответственно. Хорошо известно, что 2dimC/(F(C)) dimF(C). Следовательно, действие G\ х(?2 : F не может быть сферично, так как dimU(Gi х (С)) 2dimU(F(C)) dimF(C). Предположим, что Ci = F но F х {е} не содержится в группе G. Тогда G = F и Н = {е}. Однако, пара (G, {е}) не может быть сферической. D Лемма 2.4. Пусть компактная группа F С Spn неприводимо действует на пространстве Н" и для любого ненулевого вектора Є Ш1 выполнено равенство F\ — Spx. Тогда F = Sp„. Доказательство. Рассмотрим комплексификацию F(C) С Sp2n(C) группы F. Груп па F(C) действует на двумерных подпространствах общего положения С2 С С271 как SL2(C). Следовательно, она действует на С2п локально транзитивно и, согласно, напри мер, [25], совпадает со всей Sp2n(C). Лемма 2.5. Пусть I С so(V) - алгебра Ли и її - ее некоммутативный простой идеал. Обозначим оператор проектирования на идеал 1\ через 7Г.
Если 7r(l»(V)) = \\ и W\ -нетривиальное неприводимое {-инвариантное подпространство пространства V, нетривиальное как Іх-модуль, то 1\ — SU2 и W\ имеет вид Н1 и ИР, причём алгебра I действует на Н" как spn. Доказательство. Разложим алгебру І = фіг- Можно считать, что V = W\. Векторное пространство V можно представить в виде тензорного произведения V = Vi,ii} V 1 над телом D, равным R, С или И. Алгебра 1\ действует тривиально на V 1, а І2 тривиально действует на 14д. Пусть х = х\,\ 8 х\ Є V - разложимый вектор. Имеем I С 1г с точностью до сопряжения. Легко видеть, что 1Х С щ(х) ф п2(;г), где щ(х) = { Є U : х Ш х}. Так как 1Х = 7г(1») С щ{х), имеем Пі(гс) = . Если D = R или D = С, то алгебры nj(ar) коммутативны. Если же Ю = И, то rii(:r) С spx. Таким образом, мы показали, что li = spj = SU2 и Wi = Н1 е ЕГ1- В заключение, заметим, что алгебра I должна действовать на пространстве Ш1 как spn согласно лемме 2.4. Положим L, := L (n), К := А" (п). Напомним, что мы предполагаем наличие разложения L = Z(L) х L\ х ... х Lm. Обозначим оператор проектирования на Li через щ. Теорема 2.2. Пусть однородное коммутативное пространство X — G/K удовлетворяет условию ( ). Тогда каждый некоммутативный простой сомножитель группы К, не равный SU2, содержится в некотором простом сомножителе группы L. Доказательство. Предположим, простой сомножитель К\ группы К нетривиально проектируется сразу на два сомножителя группы L, например, L\ и L2. Рассмотрим следующую содержащую К подгруппу М = Z(L) х ni(K) х 7Г2(іІГ) х L3 х ... х Lm. Без ограничения общности, можно считать, что с самого начала L\ = К\ = L2 и группа К\ диагонально вложена в произведение L\ х L2- Пусть я- - оператор проектирования на L\ х L2 В группе L. Напомним, что согласно условию (Ь), пространство L+/K коммутативно, следовательно пара (L ,.K») сферическая. Пара (7Ti)2(L»),7ri)2(K )) также сферическая как фактор сферической пары. Легко видеть, что тгі К,) С тті {К) П 7Tii2(L ). Таким образом, симметрическая пара {L\ х L2, К\) является расширением сферической пары (7Tli2(Z/ ), 7ri 2(/0n7rii2(L )). Согласно лемме 2.3, группа 7Гі)2(І/ ) содержит либо L\, либо L-i (можно считать, что L{). В таком случае 7Ti(L ) = LI И ИЗ леммы 2.5 получаем равенство L\ = SU2.
Spi-насыщенные пространства
В данном разделе объясняется смысл определения Бр насыщенного пространства. Пример 4. Положим L = Spi х Spx х Spra, К = Spx х Spn, n = W ф Но. Здесь фактор Sp! группы К вложен диагонально в произведение Spj х Spx; первый фактор Spj группы L действует на п тривиально; алгебра п некоммутативна, а ее центр совпадает с пространством чисто мнимых кватернионов Но- Легко видеть, что однородное пространство X = (N\L)/K не Spi-насыщено, но, как мы сейчас покажем, коммутативно. Имеем L = Sp: x Ui x Spn_l5 K = Ui x Spn_j, K (m) =Ui x Spn. Проверка условий (a), (b) не составляет труда. Таблицы работ [2] и [3] показывают, что условие (с) также выполнено. Описание всех не Эрриасыщенных коммутативных пространств представляется довольно интересной и и важной задачей. Однако, здесь мы ее решать не будем. Пусть X не Spi-насыщенное коммутативное пространство. Тогда увеличив группы L и К, а возможно и ./V его можно сделать таковым. Так, если как в разобранном выше примере простой фактор Зрг группы К нетривиально проектируется на Р и на L, то надо заменить группу Р на, Р х Spi или Р х Spj х Spj (если Sp! имел нетривиальные проекции на два простых фактора группы L?) и также увеличить подгруппу К. Пространству из примера 4 соответствует приводимое коммутативное пространство (Spj х Spj/Spi) х (N X К/К), где К = Spj х Sp„, а группа N не изменилась. Возможны и более сложные ситуации. Пример 5. Пусть L = К = Sp„ х Spj х Spm, n = И" фШР1 фНо, причем оба подпространства И" и ЕР1 некоммутативны и [ШР, ЕР] = [ЕР71, ЕР1] = Во. Соответствующее однородное пространство iVX К/К коммутативно, так как S(g/t)K = S(n)K = М[ь2 7?] где & Є ,S2(EP)SP", & Є 52(BTn)sP«» п S2(Но)Sp . Условие (2) определения Spx-насыщенного пространства в данном случае не выполнено. Легко видеть, что нельзя просто увеличить группу К. Необходимо также увеличить и группу N, добавив к п пространство Но. В качестве Бр насыщения мы получим произведение двух коммутативных пространств (Ni\Ki)/Ki, где щ = ЕР ФНо, Кх = Sp„ х Sp п2 = ЕГ фНо, К2 - Spm х Spx. Процедура, обратная Бр насыщению может состоять из следующих трёх действий. Во-первых, простой фактор Spx группы К заменяется на Ui; во-вторых, два или три простых фактора Spj группы К заменяются на их диагональ; в-третьих, один или два простых фактора Sp: группы L и два или один простой фактор Spx группы Р заменяются на их диагональ, при этом группа К заменяется на пересечение старой группы К и новой группы L и, возможно, уменьшается группа N. Рассмотрим теперь однородные пространства вида G = К X N. Будем предполагать, что алгебра п некоммутативна. Напомним, что п/п = №х ф ... ф ґоу. Как доказано в работе [2], [n?i, VOj\ — 0 при г Ф j, [п, п ] = 0.
Кроме того, если Гоі — txjj как А%модуль при і ф j, то также [п};,ГО;] = 0. Для каждого tt i обозначим порождённую им подалгебра через rij = tt)j ф [Гоі,го ], К"-инвариантное дополнение к пространству щ в п через о , стабилизатор общего положения і ,(ог) через Кг. Теорема 3.3. В описанных выше обозначениях пространство G/K коммутативно тогда и только тогда, когда каждая из алгебр S(rii)Ki коммутативна относительно скобки Пуассона. Доказательство. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2.1. На S n) существует / -инвариантная мультиградуировка, соответствующая разложению п в сумму неприводимых ІІГ-модулей. Алгебра Пуассона (п) коммутативна тогда и только тогда, когда для любых её мультиоднородных элементов а и b выполнено {a,b} = 0. Скобка Пуассона на алгебре S(n) может быть представлены в виде прямой суммы скобок {а,Ь} = ХЛа }« Здесь г-ая скобка содержит все коммутаторы і вида [х, у], х,у Є roj, и только их. Очевидно, что алгебра Пуассона 5(n)к коммутативна тогда и только тогда, когда {а, &}, = 0 для любого і и для любых (мультиоднородных) элементов a, b Є S(n)K. Пусть 7І Є ( ) Как и раньше, определено отображение Орбита К УІ замкнута, следовательно, ръ{3(9)К) = 5(гц)к . Для скобок Пуассона имеем: ръ({а, b}i) = { ръ(а), ръ(Ъ)}. (== ) Поскольку любые два элемента аі,Ьі Є Б(щ)к% являются образами некоторых элементов a, b Є S(n)K, то их скобка Пуассона равна нулю, как образ г-ой скобки в Sin) . ( =) Предположим, что алгебра Пуассона S(n)K не коммутативна. Это означает, что существуют такое число і, и такие a, b Є S(n)K, что {о, 6}j 5 0. Тогда найдётся такая ТОЧКа Общего ПОЛОЖеНИЯ 7» б (0г) ДЛЯ КОТОРОЙ 0 ф У7»({а }«) = {Ръ(а) - (&)} = 0. Последняя скобка - это скобка Пуассона в алгебре S(xii)K\ П Отметим, что если в формулировке теоремы отказаться от условия неприводимости действия К : JTJj, она останется верной (да и доказательство не изменится). Допуская некоторую вольность речи, мы будем говорить, что действие компактной группы К : V сферично, если V(C) = W ф W и W есть сферическое представление группы К (С). Также будем говорить, что действие К : п коммутативно, если алгебра Пуассона S(n)K коммутативна. Для удобства изложения приведем здесь таблицу работы [3].
