Содержание к диссертации
Введение
1 Основная часть 24
1. Некоторые сведения из линейной алгебры. 24
2. Выпуклые тела. 32
3. Решетки. 38
4. Аддитивные алгебраические решетки . 47
5. Лемма Зигеля. 54
6. Логарифмические алгебраические решетки. 63
7. Алгебраические числа малой логарифмической высоты. 70
8. Последовательные минимумы логарифмических высот. 82
9. Мультипликативные соотношения. 91
10. Формулировка основной теоремы. 97
11. Неравенство Лиувилля . 100
12. Индуктивное предположение. 105
13. Обобщенные биномиальные многочлены. 109
14. Общий вид вспомогательных функций. 117
15. Описание набора мульти-показателей. 123
16. Схема арифметико-аналитического продолжения . 129
17. Выбор параметров. 132
18. Построение исходной вспомогательной функции. 145
19. Интерполяционная формула. 152
20. Экстраполяция нулей. 157
21. Деление аргумента . 165
22. Оценка кратностей нулей. 172
23. Доказательство основной теоремы. 182
24. Доказательство теоремы 10.2. 191
25. Доказательство следствия 10.3. 200
Заключение 203
Обозначения 204
Формульные обозначения 205 список основных терминов 209
Работы автора по теме диссертации 212
- Аддитивные алгебраические решетки
- Неравенство Лиувилля
- Схема арифметико-аналитического продолжения
- Деление аргумента
Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ
Классический результат Эрмита [ ] ( ) и Линдемана [ ] ( ) о трансцендентности числа а = е для алгебраического J3 Ф 0 можно после логарифмирования записать в виде А=]па- ДФО (при алгебраическом аФО, ЫССФО). В году Гильберт [6] сформулировал математических проблемы, решение которых, по его мнению, могло бы существенно продвинуть развитие математики. Среди них под номером «7» была задача о трансцендентности числа а2=щ для алгебраических аь/3 (кроме тривиальных случаев ах є{0,1} или jBeQ). Логарифмирование снова приводит к выражению вида Л = РInах - Inа2 Ф 0 (в случае алгебраических ах,а2,/3).
Обычно при решении подобных задач небольшая модификация доказательств позволяет получать не только, что Л Ф 0, но и выводить нижнюю оценку для Л в терминах различных характеристик участвующих чисел ах, а2,Р, что составляет типичную проблему теории диофантовых приближений. Естественным обобщением результата Эрмита-Линдемана и седьмой проблемы Гильберта является исследование выражений л = Д) + Дш і+---+Лгш (0-1) с алгебраическими р0,...,рп,ах,...,ап (а фО, lnc O, j = \,....,n). Далее для краткости мы будем называть приведенное выше выражение линейной формой от логарифмов (алгебраических чисел).
Последующее развитие теории чисел показало, что эта задача имеет не только самостоятельный теоретический интерес, но и позволяет решать ряд других проблем. Причем осознано это было до появления необходимых оце нок линейных форм от многих логарифмов. Так, монография Гельфонда [5] года по этой тематике завершается словами:
«Нетривиальные нижние границы линейных форм с целыми коэффициентами от любого числа логарифмов алгебраических чисел, эффективно полученные методами теории трансцендентных чисел, будут иметь чрезвычайно большое значение в решении очень трудных проблем современной теории чисел. Поэтому можно считать, что уже говорилось выше, наиболее актуальной задачей в теории трансцендентных чисел исследование меры трансцендентности конечных совокупностей логарифмов алгебраических чисел».
Обзор приложений оценок линейных форм от логарифмов можно найти, например, в более поздней монографии Фельдмана [3], когда были получены приемлемые оценки линейных форм и их приложения. Вопросы приложений выходят за рамки диссертации и в ее основной части не затрагиваются. Здесь же отметим, что большинство приложений использует оценки линейных форм от двух логарифмов, т.е. лежат в рамках решения седьмой проблемы Гильберта. Типичными случаями, когда нужны линейные формы от многих логарифмов, являются вопросы оценки простых делителей различных алгебраических выражений (здесь будет а - Pj - j -е простое число) и задачи, где встречаются нормы в алгебраических полях (здесь числа а, являются основными единицами поля). Линейная форма Л вида (0.1) представляет собой общий случай. Если в нем Д, = 0, то будем называть такую линейную форму однородной. Так, теорема Эрмита-Линдемана соответствует неоднородной форме с п -1, а седьмая проблема Гильберта - однородной с п = 2.
Развитие методов использования оценок линейных форм от логарифмов показало, что имеет смысл выделять еще один случай, когда / ,...,/Зп =Ж, который мы будем называть рациональным. Будем писать в этом случае jdj =bj, j = 0,...,п. Хотя методы исследования рационального и общего случаев в целом сходны, но мы будем исследовать в диссертации только
однородные рациональные линейные формы.
Линейная форма в этом случае принимает вид
A = bllnal+--- + bn\nan. (0.2)
Отметим, что основные приложения оценок линейных форм от логарифмов относятся именно к однородному рациональному случаю.
На протяжении трех десятков лет со времени формулирования седьмая проблема Гильберта не поддавалась решению, пока наконец в году независимо и почти одновременно А.О. Гельфонд [ ] и Т. Шнайдер [ ] опубликовали ее доказательства.
Существенной чертой доказательств в теории трансцендентных чисел является использование так называемой вспомогательной функции. Так, в доказательстве теоремы Эрмита-Линдемана вспомогательной функцией является квазимногочлен вида в котором при предположении о малости Л = In а - р можно производить замену е - а с небольшим остаточным членом.
Для решения седьмой проблемы Гильберта Гельфондом была предложена вспомогательная функция вида где в предположении о малости Л = /3\аах -Ыа2 можно производить замену а\ 2 и получать выражения вида f(z) = V gk ia\za\ . Удачное обстоя JLS k,l тельство состоит в том, что при дифференцировании функции g(z) неприятный множитель lnaj выносится за скобки.
Идея доказательства Гельфонда состояла в том, чтобы, построив ненулевую вспомогательную функцию с каким-либо количеством нулей, доказать интерполяционными средствами ее малость в некоторой области. В предположении о малости линейной формы от логарифмов соответствующие алгебраические значения функции f(z) в целых точках оказываются слишком малыми, т.е. равными нулю. При удачном подборе параметров можно было увеличить количество нулей до такой степени, чтобы это вступило в противоречие с их максимально возможным числом. Эту схему Гельфонд назвал арифметико-аналитическим продолжением.
На протяжении последующих тридцати лет после решения седьмой проблемы Гильберта все попытки обобщить эти соображения на большее число логарифмов не увенчивались успехом. Все же отметим работу Гельфонда [ ] года. В ней было доказано, что для любого є О неравенство имеет лишь конечное число решений 6j,...,6neZ, B = max6;. Здесь предполагается, что ненулевые алгебраические числа ах,...,ап мультипликативно независимы. Хотя вышеприведенное неравенство и относится к случаю многих логарифмов, но оценка неэффективна, поскольку метод не позволял выводить неравенство для конкретных значений коэффициентов формы.
Из работ этого же периода следует выделить статьи Н.И. Фельдмана [ , ], где было предложено заметное усовершенствование в конструкции функции f(z) в схеме Эрмита-Линдемана. Идея состояла в том, чтобы вместо
обычных степенных многочленов z использовать биномиальные многочлены, обладающие замечательными арифметическими свойствами (подробности см. в разделе ).
Наконец, в году английский математик А. Бейкер опубликовал статью [ ], в которой было предложено решающее усовершенствование метода Гельфонда, позволявшее работать с произвольным числом логарифмов. В последующих работах [ , ] он существенно усилил метод. Более того, метод был эффективным, немедленно давшим приложения к сложным зада чам теории чисел. За эти результаты и их приложения Бейкеру была присуждена Филдсовская медаль, а метод стал называться методом Бейкера.
Бейкер предложил в качестве вспомогательной функции взять конструкцию вида (на примере линейной формы (0.2)):
G{zx,...,zn_{) = У g af" • • atf-1,
Zj lj-lnbj/b», .7 = 1,...,га-1 (&п 0).
Вместо производных следовало рассматривать набор ее частных производных до какого-либо порядка. Это позволяет выносить за скобки логарифмы чисел, чего не удавалось сделать до Бейкера. Отождествление zl=... = zn_x = z и замена ахх% • • • а Т\ - a\z • • • ocf с небольшим поправочным членом (в предположении о малости линейной формы) позволяли пользоваться техникой арифметико-аналитического продолжения. Позднее Фельдман предложил модификацию вспомогательной функции, не требующую многих переменных.
С тех пор метод Бейкера постоянно развивается, над этой темой, кроме самого Бейкера, работали и продолжают работать многие математики: Н.И. Фельдман, В.Г. Спринджук, D. Masser, М. Mignotte, A. van der Poorten, P. Philippon, Т. Shorey, H.Stark, R. Tijdeman, M. Waldschmidt, G. Wustholz, и другие. Работам этой тематики выделена постоянная рубрика журнала Mathematical Reviews ( J - Linear forms in logarithms; Baker s method).
Все эти работы имели целью прояснить и улучшить зависимость оценки линейной формы от какого-либо параметра. Основными параметрами, кроме числа логарифмов п, являются: - степень D = [К: Q] алгебраического поля К, содержащего все участвующие числа (Xj, J3j; - оценка коэффициентов линейной формы (мы изучаем форму (0.2)) В тях{\Ь,\: lj n}; (0.3) - характеристики чисел а , в качестве которых в последнее время брутся их абсолютные логарифмические высоты h((Xj) и модули выбранных значений логарифмов па; , объединяющий их параметр обычно берется в виде max{Z)h( ), 1па,-}, j = l,...,n. (0.4)
Впрочем, возможен и даже в ряде случаев полезен раздельный учет HfiCj) и 1па-. В ранних же публикациях (до работы [ ] года) предполагался выбор главного значения логарифма, а в качестве Aj бралась оценка ( 4) обычной высоты алгебраического числа а-, т.е. максимум модуля коэффициентов определяющего его минимального многочлена над Z, что несколько грубее.
Укажем основные этапы этой деятельности. Прежде всего, сразу вслед за первыми работами Бейкера Фельдманом было замечено [ , ], что метод Бейкера допускает рассмотрение вспомогательной функции, в которой в дополнение к показательным компонентам имеется еще и полиномиальная часть (как в конструкции Эрмита, чего не удавалось в методе Гельфонда), а использование при этом биномиальных многочленов позволяет добиться степенной зависимости оценки линейной формы от параметра В: \А\ С0В С, (0.5) с величинами С0,с 0, эффективно зависящими от остальных указанных параметров. Под эффективностью мы понимаем возможность при желании вычислить с помощью рассуждений, приводимых в доказательстве, явное значение этих выражений. Форма зависимости оценки от В является точной, дальнейшие усиления возможны только за счет улучшения констант CQ,c .
Важное техническое усовершенствование было предложено в работе Бейкера и Старка [ ], в которой была привлечена теория Куммера и исполь зован так называемый принцип деления аргумента (подробнее см. раздел основной части диссертации).
Вывод явной зависимости оценок от параметров А (обычных высот), притом близкой к оптимальной, был также получен Бейкером в работе [ ]. Это удалось за счет удачного выбора показателей во вспомогательной функции, для которых были заданы индивидуальные границы. Важной частью рассуждений, позволивших улучшить зависимость оценок от параметров Л, было применение некоторого нового усовершенствованного набора многочленов вместо биномиальных.
В работе Бейкера [ ] зависимость показателя с от параметров А,, за
счет использования соображения А. ван дер Портена [ ] приобрела вид (0.5) (при технических нижних границах на параметры) с константами вида:
с = схАх • • • Л ]п(4 • • • Л-1X \ = ( nDf n,
В этой же работе была предложена не просто эффективная, а явная оценка, в которой не оставалось невычисленных значений параметров. Это открыло возможность получать приложения линейных форм от логарифмов для полного решения ряда теоретико-числовых задач.
В года Вальдшмидтом [ ] была опубликована явная оценка, где константа q приобрела вид
Cl=c2D2ln(eD), c2=n2V3r\
Зависимость показателя с от степени поля D с тех пор не менялась. Начиная именно с этой работы, все стали предпочитать определять параметры А через абсолютную логарифмическую высоту чисел а,.
Отметим, что с тех пор практически все работы по линейным формам от логарифмов стали содержать только явные оценки с постоянно улучшаемыми константами. В работах [ , , , , ] можно найти последовательные этапы улучшения явных оценок для произвольного числа логарифмов.
До последнего времени множитель п в оценке показателя оставался неизменным. Но все же имелся важный частный случай, когда главный член оценки, зависящий от п, имел вид пп. Это случай так называемой сильной независимости чисел ах,...,ап. Еще один множитель пп появляется в оценке для общего случая. Под сильной независимостью чисел а1,...,ап (или условием Куммера) мы будем понимать равенство [К( / ,...,Л/ ):К] = 2П.
В году на конференции в Дархэме были представлены доклады Вальдшмидта-Филиппона [ ] и Вюстхольца [ , ], в которых излагался метод устранения из показателя с в оценке (0.5) множителя ln •• Д ).
Зависимость оценки линейной формы от параметров Aj стала оптимальной.
Указанные выше параметры являются основными. В большинстве приложений их учет необходим. Вместе с тем, в ряде работ изучалась зависимость от некоторых дополнительных параметров, учет которых позволяет усиливать оценки линейных форм в важных частных случаях.
В работе Шорея [ ] была изучена ситуация, когда значения In а •)
существенно меньше, чем DhipCj) для всех j = 1,...,п. Это может быть описано параметром
E=max{Dh(aj)/\\naj\: j = 1,...,п).
С ростом Е оценка линейной формы от логарифмов получается значительно лучше. В ряде дальнейших работ (например, [ ]) этот параметр также отслеживался. Это же было сделано и автором в работе [Мб]. Самое же главное, в этой работе автора была придумана конструкция, позволяющая создать искусственно ситуацию, аналогичную малости логарифмов алгебраи ческих чисел и тем самым улучшить оценку линейной формы вплоть до удаления одного множителя пп.
Еще одно наблюдение было сделано автором и указано в тезисах [М9]. Оно не требует дополнительных рассуждений и относится к случаю сильной независимости чисел щ,...,ап. Здесь вместо формулы (0.3) можно положить
В тах{1, тахЦу \bj\/An: 1 j п}} (0.6)
Если считать \ максимальным, то это дает усиление оценки, играющее
важную роль в некоторых приложениях к решению диофантовых уравнений. В ряде работ (например, в [ ]) рассматриваются аналоги этого параметра. Оценка, учитывающая подобную формулу для В в случае условия Куммера, была опубликована автором в работе [Мб], а в работе [М8] удалось сохранить обозначение (0.6) в общем случае.
В целом до работ автора лучшая оценка линейных форм от логарифмов алгебраических чисел (причем именно однородных рациональных) была опубликована в году в работе [ ] Бейкера и Вюстхольца. Она имела вид (0.5) с константой С0 -1 и c = \S(n + l)\nn+ n+2D2]n(2nD)Al- Ai дополнительно требовалось В е, ,..., 1, но если ограничение на В имело число технический характер, то нижние границы для чисел AJ были существенными для доказательства.
Параллельно с методом Бейкера продолжается развитие метода Гель-фонда и аналогичного метода Шнайдера. Это связано с тем, что, хотя основные результаты получаются здесь только для двух логарифмов и дают зависимость от параметра В не степенную, а вида by 1поГ] +b2]na2 exp(-c2D2AiA п2(С0Б)), т.е. асимптотически худшую при растущем В, но сама константа с2 получается значительно лучше, чем до сих пор в методе Бейкера. Особенно значительное усиление оценок произошло после разработки М. Лораном [ ] так называемой техники интерполяционных определителей. Так, в одной из последних работ [ ] года было получено значение с2 = .9, в оценке же
Бейкера-Вюстхольца получается c2 J . Поскольку основные приложения оценок линейных форм от логарифмов опираются именно на случай п = 2 и требуют для успешного применения малых констант, именно оценки, полученные специально для случая п = 2, оказываются предпочтительнее.
Теперь изучим структуру имеющихся оценок линейных форм от многих логарифмов в одном их важных случаев их приложений. Как отмечалось, одной из типичных ситуаций является случай а- - j-e простое число, a К = Q, D = 1. Из закона распределения простых чисел (см. [ ]) получаем Aj= lnc lnpn ln(n ) = nn, j = 1,...,7 (п 2), А1-Ап (2\ппГ. Компонента (Inn)" растет несколько быстрее, чем Сп, но если в оценке имеется еще множитель пп факториальной скорости роста, то последнее выражение растет существенно быстрее и становится основным членом оценки. Таким образом, удаление из оценки факториального множителя резко улучшит ее качество.
Именно это и является главным результатом работы автора..
Аддитивные алгебраические решетки
В данном разделе приводятся основные обозначения и сведения об алгебраических решетках, взятые преимущественно из [1, 4, 11]. Дается верхняя оценка дискриминанта алгебраического поля, полученная в [Мб]. Пусть дано алгебраическое поле К степени D над Q . Оно имеет естественную структуру Q -векторного пространства, dirriQ К = [К: Q] = D. Имеется D различных гомоморфизмов К в С, K- K(cr)cC, сг = 1,...,2), среди них Д действительных (в R) и D2 пар комплексно-сопряженных, D = D + 2D2. Это позволяет задать геометрическое изображение чисел из поля К по формуле При этом д(К) лежит в подпространстве Va с; CD, определяемом условиями или после овеществления z = x + iy, при этом очевидно, dimR Va = D. Сразу отметим отличие этого геометрического отображения д(-) от предлагаемого в [1] геометрического отображения где нулевые координаты уа отброшены, а также из пары комплексно-сопряженных координат оставлена только одна. Очевидно, отображение д0 может быть получено из отображения д путем проекции, обнуляющей соот ветствующие связанные компоненты векторов. Удобство пространства V0 состоит в том, что его базис {е .} стандартен, а образ (К) в нем полон. Пространство же Уа может не содержать стандартного базиса, в нем естест венным базисом будет набор векторов: ствлении номер а соответствует координате ха, ствлении номер у соответствует координате ут. В то же время, отображение д(-) обладает важным преимуществом, а п именно, в пространстве С имеется стандартное эрмитово произведение, которое для чисел из поля К принимает вид (см. [10, с. 29]), и, что существенно, как в поле К, так и в пространстве Va оно является евклидовым, т.е. принимающим только действительные значения (при комплексном сопряжении соответствующие слагаемые просто меняются местами, а сумма сохраняется). Далее, Q -линейно независимые числа из поля К переходят при геометрическом отображении в R -линейно независимые векторы из пространства Va, a Z -модули переходят в решетки, полные Z -модули - в полные решетки. Их объем вычисляется по формуле Кольцо целых чисел поля К будем обозначать как Ок=0 (если нет сомнения в том, какое поле имеется ввиду), а также как (1) - единичный главный идеал. Дискриминантом поля К называется выражение отсюда и из формулы (4.1) получается Приведем еще одно равенство для ненулевых чисел из Ок причем равенство достигается для корней из единицы и только них.
Доказательство сразу получается из неравенства о среднем геометрическом и среднем арифметическом: Здесь произведение а а ) = Norm(a) = NormK(a) (норма числа а) -от Va оно является евклидовым, т.е. принимающим только действительные значения (при комплексном сопряжении соответствующие слагаемые просто меняются местами, а сумма сохраняется). Далее, Q -линейно независимые числа из поля К переходят при геометрическом отображении в R -линейно независимые векторы из пространства Va, a Z -модули переходят в решетки, полные Z -модули - в полные решетки. Их объем вычисляется по формуле Кольцо целых чисел поля К будем обозначать как Ок=0 (если нет сомнения в том, какое поле имеется ввиду), а также как (1) - единичный главный идеал. Дискриминантом поля К называется выражение отсюда и из формулы (4.1) получается Приведем еще одно равенство для ненулевых чисел из Ок причем равенство достигается для корней из единицы и только них. Доказательство сразу получается из неравенства о среднем геометрическом и среднем арифметическом: Здесь произведение а а ) = Norm(a) = NormK(a) (норма числа а) -отличное от нуля целое рациональное число. Для сравнения приведем аналогичные утверждения для геометрического изображения д0. ЛЕММА 4.1. [63, лемма 1.1]. В принятых обозначениях имеем Ясно, что паразитические члены, ухудшающие эти оценки по сравнению с отображением личное от нуля целое рациональное число. Для сравнения приведем аналогичные утверждения для геометрического изображения д0. ЛЕММА 4.1. [63, лемма 1.1]. В принятых обозначениях имеем Ясно, что паразитические члены, ухудшающие эти оценки по сравнению с отображением #(), получаются за счет того, что в д0(-) дополнительно добавлена проекция на подпространство V0. Из других Z-модулей в поле К важную роль играют идеалы, т.е. конечно порожденные модули, для которых кольцо множителей содержит Ок. Как Z-модули, ненулевые идеалы полны, т.е. имеют вид a = {ax,...,aD)i с числами ax,...,aD линейно независимыми над Z. В то же время, если рассматривать идеалы как О -модули, то образующих может быть меньше, здесь используется обозначение a = aj,...,am 0 = (аІ5...,ат). В частности, идеал с одной образующей (а) называется главным. Если идеал целый, т.е. асО, то нормой идеала называется число [О: a] = Norm(a). Тогда согласно лемме 3.1 соответствующий объем равен Ввиду мультипликативности нормы эта формула распространяется и на дробные идеалы. Кроме того, для главных идеалов эта формула согласуется и с нормой алгебраического числа. В данном разделе мы докажем оценку дискриминанта, для чего нам потребуются дополнительные понятия. Пусть число а является корнем неприводимого многочлена над Z (в частности, примитивного, у которого коэффициенты в совокупности взаимно просты) Тогда мерой Малера и абсолютной логарифмической высотой числа а называются соответственно выражения
Неравенство Лиувилля
Отличие заключается в основном в том, что здесь выделяется множитель D , а также явно подчеркивается логарифмический характер параметра. Поскольку в дальнейшем мы будем постоянно иметь дело с этими величинами, краткость обозначения существенна. 4. В отличие от работы [М8], случай невыполнения условия (10.1) от несен к теореме 10.2, а не 10.1. 100 11. Неравенство Лиувилля. В данном разделе будет показано, что теорема 10.1 верна при n = l, а также при сравнительно небольших значениях В. В теории диофантовых приближений неравенства, непосредственно получающиеся из формулы произведения, обычно называют лиувиллееыми. Мы будем использовать его в следующем виде. ЛЕММА 11.1. Пусть в обозначениях теоремы 10.1 линейная форма ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применим формулу произведения к ненулевому алгебраическому числу а-\, a = ctf а = еА. С учетом обозначений для чисел В, Aj, получим 1 = ТТ \а-\\ =\a-\\(Y\D \a-l\ YTT00 a-l 1 \а- Уединяя множитель j a -1 j, получаем утверждение леммы. Дальнейшим рассуждениям предпошлем некоторые технические оценки, смысл которых состоит в том, что ранее введенные параметры растут достаточно быстро. Отметим, что аргументы п, к натуральные, к 2, к D. ЛЕММА 11.2. Для выражений С(п,к), C0(n,D) из условий (10.3) и 0(п,к) из условия (8.2) имеют место неравенства: Из правой части видно, что это отношение с ростом п возрастает. Проверка для п 2 подтверждает неравенства (11.1). Кроме того, отсюда видна асимптотика (11.5). Для проверки неравенства (11.2) заметим, что достаточно рассмотреть случай D = к 2. Тогда при п 3 имеем 1. (последнее неравенство проверяется численно для п = 3 и выполняется для га 3 ввиду монотонности). Также численно проверяется (11.2) при п 2. Перейдем к проверке неравенства (11.3). При п 100 оно проверяется численно (худший случай будет при п = 6, к = 1, что определяет выбор константы 13 в показателе справа). Пусть теперь п 100. Отметим, что Лемма 11.2 полностью доказана. D Ввиду отсутствия нижних границ для чисел Aj, некоторые, прежде очевидные неравенства, требуют проверки. ЛЕММА 11.3. Теорема 10.1 верна при Л 0.0001 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из неравенства (8.2) имеем %Q(n)DQC0 1, поэтому в правой части оценки (10.4) остается еще множитель Далее можно считать, что Л 0.0001. ЛЕММА 11.4. Если неравенство не выполнено, то теорема 10.1 верна. D ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Лемма 11.1 дает, что Теперь посмотрим, когда эта оценка хуже, чем доказываемая оценка (10.5). Это значит, что или с учетом неравенства (8.2) После сокращения на пА получаем утверждение леммы. Так что далее можно считать неравенство (11.6) выполненным. Из него можно вывести еще несколько оценок. Для этого заметим, что в неравенствах (8.2),(8.3) можно заменить выражение ln(ev+4D) на С0/2. Если взять оценку (8.3) для v = n-\, то нее и неравенств (11.6),(11.2) следует, что Это позволяет заменять в оценках (8.2), (8.3) выражение \n(ev+ D) также на W0/2. Если снова применить оценку (8.3) (нос W0/2) к неравенству (11.6), то получим уточненную оценку для В: Соответственно, оценка для W0 примет вид W0 \n Кроме того, условие (11.6) можно переписать в виде
Наконец, мы имеем еще одно утверждение. ЛЕММА 11.5. Теорема 10.1 верна при п = \. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При п = \ имеем Л\=\Ь„\па„ 1па„ , так что можно считать 5=6П=1, поэтому теорема 10.1 следует из лиувиллевой оценки. Итак, далее можно считать п 2, \ А 0.0001, а параметр В удовлетворяющим неравенству (11.6), соответственно, выполнены неравенства (11.8)-(11.10). Оставшаяся часть диссертации будет посвящена доказательству теорем, сформулированных в разделе 10, при этом основное место займет доказательство теоремы 10.1, а теорема 10.2 и следствие 10.3 будут выведены из нее соответственно в разделах 24 и 25. Доказательство теоремы 10.1 будет проводиться индукцией по п. При этом, работая со случаем п, мы будем предполагать ее доказанной для меньшего числа логарифмов. Основание индукции п = 1 было доказано в разделе 11, так что далее считаем п 2. Ясно также, что мы можем считать набор чисел bj примитивным, иначе, сократив их на общий множитель, мы уменьшим параметр В и улучшим оценку линейной формы. Объясним еще одно допущение, вводимое в данном разделе. Мы можем преобразовывать линейную форму Л, пользуясь свойствами логарифма: уменьшая количество слагаемых. Так, крайний случай - это записать Обычно такие преобразования сопровождаются увеличением высот чисел а и только ухудшают оценку. Однако если увеличение высот невелико, то теорему 10.1 можно непосредственно доказать из индуктивного предположения для г п. Опишем эту ситуацию. Напомним, что в теореме 10.1 числа lnc предполагаются линейно независимыми над Z. Пусть теперь с некоторым г (1 г п) существует набор векторов
Схема арифметико-аналитического продолжения
В данном разделе приводится краткое описание последующих действий (разделы 17 - 22) по доказательству основной теоремы 10.1. Основной идеей доказательства в методах, восходящих к А. О. Гельфон-ду, является построение вспомогательной функции, имеющей достаточно большое количество нулей с учетом кратностей (это делается с помощью так называемой леммы Зигеля, см. раздел 18), а затем такое изменение соотношения между нулями и кратностями, чтобы общее их число стало больше допустимого (см. раздел 22). Такое увеличение числа нулей названо Гельфондом арифметико-аналитическим продолжением. Оно проводится средствами интерполяционной техники в предположении о малости линейной формы от логарифмов (см. разделы 19-21). Получаемое противоречие и доказывает требуемую оценку. В схеме Бейкера при экстраполяции происходит увеличение числа нулей за счет уменьшения их кратности. Важным нововведением в работе [19] было использование теории Куммера и принципа деления аргумента, позволяющего расщеплять функцию на части, что равноценно уменьшению ее степени и ускоряет достижение применимости теоремы об оценке кратностей нулей. В данной работе за один шаг деления аргумента происходит уменьшение степени в два раза. Арифметико-аналитическое продолжение будет организовано индуктивно по s - числу делений аргумента. Основание индукции (s = 0) будет построено в разделе 18. Шаг индукции будет состоять в применении принципа деления аргумента, пока степень вспомогательной функции не понизится до требуемой величины. Однако, прежде чем применять деление аргумента, надо сначала увеличить количество нулей вспомогательной функции примерно в 2п раз (также за счет некоторой потери кратности). Процесс предварительного размножения нулей разбит на п частей и при фиксированном s также происходит индуктивно по v = 0,...,п. В качестве основания (v = 0) берутся нули, полученные на очередном шаге s. Далее число нулей на каждом шаге v удваивается. Таким образом, индукция осуществляется от (s,v) к (s,V + l) при v п, и от (s,n) к (s +1,0). На последнем этапе доказательства нам понадобится только случай (S, п). Нули и их кратности описываются равенствами или ввиду леммы 14.1 — равносильными равенствами Теперь опишем структуру множеств Xsv и кратностей М5 . Пусть -0 0 - некоторая константа и С0й - некоторое (немаленькое) выражение, значения которых будут определены в разделе 17. Тогда положим Оценим остающуюся в конце кратность Ms п. Мы имеем В последней сумме мы имеем геометрическую прогрессию со знаменателем д = 1/2 и первым членом (п +1) / 2. Параметром є0 регулируется остающаяся в конце кратность, а другая часть кратностей теряется во время арифметико-аналитического продолжения. На каждом шаге по 5 теряется половина кратностей, предназначенных для потери.
На каждом шаге по v теряется одинаковая кратность Ts. Теперь опишем строение наборов узлов интерполяции Xsv. Для этого выберем некоторое большое число G (см. раздел 17) и положим Отметим, что множество XQ О несколько отличается от остальных Xs 0. Обратим также внимание на одну особенность в конструкции нулей и кратностей, указанных выше, и отличающую их от предшествующих работ. Дело в том, что число шагов S у нас может быть настолько большим, что кратности Ts, уменьшающиеся на каждом шаге примерно в два раза, могут стать равными нулю. В этом случае надо остановить увеличение числа нулей, иначе оценка линейной формы может сильно ухудшиться. Формулы (16.5) учитывают это. В то же время, мы имеем двустороннее неравенство откуда видно, что при индукции по s общая кратность примерно сохраняется. В данном разделе приводятся формульные значения параметров, необходимых для доказательства основной теоремы 10.1, но не участвующих в ее формулировке. Смысл этих параметров был разъяснен в предыдущих разделах. Для полноты и компактности напоминаются некоторые из ранее введенных формул. Также приводится некоторая предварительная оценка указанных выражений. Все указанные обозначения соответствуют их выбору в работе [Мб] и сохраняются до конца доказательства основной теоремы 10.1. Как уже отмечалось в разделе 11, далее можно считать п 2. В расширенном логарифмическом пространстве К(К) были введены две решетки Мп, М п (см. условие (15.1)) и параметр iV = [Mn:M n] (см. условие (15.2)). Функция 0(п,к) определена в условии (8.2). Далее, параметр /7, присутствующий в условии (15.5), положим равным Параметры , є0 были введены в разделе 16 в формулах (16.3) без их числового задания. Теперь положим (по сравнению с формулами (10.2) сейчас вставлен множитель N, поэтому исходные значения получаются, если положить здесь N = 1, так что для значений из (10.2) можно писать C0(n,D,l), WQ(n,B,l)). Пусть далее и отметим, что такой выбор числа у дает так что мы можем просто писать произведение C0W0a , устраняя параметры N, у из оценок линейных форм. Так что далее мы будем считать параметры С0, W0 зависящими от N, как это определено в данном разделе, но обычно в написании С0, W0 будем опускать как N, так и другие несущественные в проводимых рассуждениях компоненты. Далее, параметры с1? Ts, Msv приведены в условиях (16.3), и теперь определены однозначно. Для задания параметров вспомогательной функции положим также
Деление аргумента
В данном разделе будет доказан индуктивный шаг по s, т.е. переход от равенств (16.2) (эквивалентно (16.1)) для случая (s,ri) к таким же равенствам при (5 + 1,0), имеющим вид Сначала мы докажем равенства а затем выведем из них условия (21.1). Покажем сразу, как получается второй шаг доказательства. Для этого запишем х є Xs+l0 в виде х = 2у +1. С учетом структуры множества 5+і о (см. формулы (16.5)) мы имеем yeZ. Далее, с учетом способа построения набора мульти-показателей (см. (15.3)) во вспомогательных функциях выполняется равенство а =в , Я = 1 -vs где следовательно, с учетом указанных обозначений Согласно лемме 15.1 числа линейно независимы над полем К, а коэффициенты при них принадлежат полю К, поэтому из условий (21.2) получаем, что равно нулю каждое из выражений при числах в512. Теперь учтем, что с самого начала у нас был зафиксирован мульти-индекс I , для которого найдется коэффициент р(10,1) 5 0. Возьмем мульти-индекс 8, соответствующий данному I , и обозначим \ Это дает выполнение условий (21.1). Возвращаясь к числам а, получаем где с учетом формул (15.3) имеем а под JCS+I понимается множество, получающееся при пробегании наборами г своих допустимых значений. Отметим, что требование (14.3) оказалось Y выполненным. Перейдем к доказательству равенств (21.2). Это будет сделано по аналогии с доказательством индукционного шага по v, только теперь все происхо дит в поле L = Щ9Х ,...,вп ], для которого согласно лемме 15.1 выполняется понимать вложение L в С, для которого 1/9 ln( - ) = ln( )/2, \ j n. Отметим, что если поле К было комплексным, то и поле L тоже будет комплексным, т.е. параметр к сохранится равным соответственно 1 или 2. При к = 2 поле ІІ будет комплексно сопряжен ф . ным с
Параметр а теперь будет обозначать нормирования поля L. Для доказательства равенств (21.2) достаточно будет доказать неравенство аналогичное неравенству (20.1) При аж будем оценивать компоненты произведения с помощью оценок (20.2), (20.3), а при а к - с помощью интерполяционной техники. При этом вместо оценки (20.4) требуется доказать оценку, имеющую с учетом увеличенной степени поля и условия z (2Xs+l -1)/2, вид т.е. доказывает утверждение (21.3) и следовательно, равенство (21.1). Как и в разделе 20, докажем техническую оценку. ЛЕММА 21.1. Пусть ZQ определено формулой (20.5). Положим 2.26єх 2n+xD (2п + \ _ if. 2єЛ \ 0.2-- 1 (21.6) Z"2n = 2n+lDG Последнее неравенство численно проверяется для 2 п 100 (худшее значение левой части будет при п = 2, л: = 2) и верно при п 100 в силу асимптотической малости слагаемых. Рассматривая, как и в разделе 20, функции комплексного переменного и применяя интерполяционную формулу (19.1) с множеством узлов X = Xs п и кратностями T = TS, мы получаем те же самые формулы (20.8)-(20.10). Далее, оценка (20.11) примет вид Множество Xs n образует арифметическую прогрессию с разностью 8 = 1, но теперь точка z относительно мала, а именно, с учетом определения чисел Xs, Ts и легко проверяемого неравенства выполняется Как и при индукционном шаге по v, мы имеем J2 = 0. Оценивание погрешности А2 не отличается от аналогичного действия в предыдущем случае, только надо учесть новые значения z, z0. Непосредственно роль z в выражении f \x) из (19.1) невидна, но ранее была общая оценка 2XS v для z и хєХ8У, что позволяло ставить в у pi 2Х оценке а это максимальное выражение, дававшее компоненту е " " ",,у и не портившее общей оценки. Сейчас же числа х значительно превосходят z, поэтому следует поступить аккуратнее, а именно, учесть условие (15.8), которое вместе с оценкой (17.17) даст нам неравенство Сам же множитель є 1 мы оставим в оценке. Собирая вместе оценки (21.7) - (21.11), мы с учетом леммы 21.1 получаем требуемое неравенство (21.4), что завершает доказательство индукционного шага по s. Отметим, что в наибольшей мере нам потребовалось предположение (17.1) о малости линейной формы именно при оценке А2.