Введение к работе
Актуальность темы
Понятие инвариантного упорядочения встречается во многих областях современной науки. В хроногеометрии рассматриваются причинные структуры: на многообразии Лоренца в каждой точке непрерывным образом выбирается один конус из пары противоположных конусов времениподобных векторов. Возникает естественная задача: можно ли соединить .две данные точки непрерывной причинной кривой (направленной в будущее), то есть кривой, касательный вектор к которой в каждой точке лежит в выбранном конусе.
В геометрической теории управления рассматривают систему, состоящую из точек дифференцируемого многообразия и множества управляющих векторных полей на нём. Основная проблема этой теории сотоит в описании множества достижимых состояний в будущем, стартуя с фиксированного состояния. В касательном пространстве каждой точки многообразия можно рассмотреть конус, являющийся выпуклой оболочкой всех векторов управляющих векторных полей. Получившееся поле конусов задаёт причинную структуру на многообразии и связанное с ней упорядочение.
Часто в вышеприведённых примерах бывает, что на многообразии действует некоторая непрерывная группа, тогда среди всех упорядочений естественно рассмотреть те, которые сохраняет данная группа. Так мы приходим к понятию инвариантного упорядочения. Пусть теперь группа Ли G действует на дифференцируемом многообразии X. Возникает задача описания всех инвариантных упорядочений (причинных структур) на многообразии, а также связанного с ними множества S = {д Є G\gxQ > х0, xq Є X}. Это множество является полугруппой и однозначно определяет упорядочение. Естественно рассматривать только те случаи, в которых полугруппа S замкнута и порождается любой своей окрестностью единицы. Упорядочение, \ которое задаёт такая полугруппа, называется непрерывным.
В дальнейшем мы будем рассматривать только непрерывные инвариантные упорядочения.
Также как и для изучения групп Ли полезно отталкиваться от свойств касательных к ним алгебр Ли, для изучения структуры полугрупп хорошо ввести некоторый инфинитезимальный объект. С каждой подполугруппой S группы Ли можно связать касательный конус C(S) в касательной алгебре. Максимальное векторное пространство СП (~С), содержащееся в С, очевидно, является подалгеброй Ли, конус С инвариантен относительно Adexp(C П (—С)). Полугруппы, которые можно однозначно восстановить по касательному конусу, называются полугруппами Ли. Отметим, что не каждому инвариантному конусу соотвествует нетривиальная полугруппа Ли.
Впервые полугруппы преобразований появились в классических работах С.Ли в приложениях, связанных с теорией дифференциальных уравнений. Систематическое изучение подобных объектов началось в работах Лёвнера1. Он рассматривал полугруппы отображений единичного диска в себя, как инструмент в геометрической теории функций. В конце 70-х подполугруппы групп Ли появились в задачах теории управления2'3,4. Винберг5 рассматривает подполугруппы эрмитовых групп Ли, которые топологически порождаются любой своей окрестностью единицы. В это же время появляются работы Ольшанского6'7, в которых подполугруппы групп Ли используются для изучения унитарных
'Ch.Loewner, Collected Papers, Contemporary Mth., Birkhauser, Berlin, 1988
2V.Jurdjevicz, I.Kupka, Control systems on semisimple Lie groups and their homogeneous spaces, Ann. Inst. Fourier 31 (1981), 151-179
3V.Jurdjevicz, I.Kupka, Control systems subordinated to a group action: Accessibility, J. Diff. Eq. 39 (1981), 180-211
4H.J.Sussmann, The "Bang-bang"Problem for Certain Control Systems in GL„(R), SIAM J. Control 10 (1972), 470-476
'Винберг Э.Б., Январианттше выпуклые конусы и упорядочения в группах Ли, Функц. анализ 14, вып.1 (1980), 1-13
еОльшанский Г.И., Инвариантные конусы в алгебрах Ли, полугруппы Ли и голоморфная дискретная серия, Функц. анализ, 15, вьгп.4 (1981)
7Ольшанский Г.И., Унитарные представления бесконечномерных классических групп SO(p,oo), U(p,oo), Sp(p,oo) и соответствующих групп движений, Функц. анализ, 12, вып.З (1981), с.32-44
представлений бесконечномерных классических групп, а также впервые вводится понятие полугруппы Ли. Теория полугрупп Ли подробно изложена в монографии Хофмана, Хилгерта и Лоусона8, а также в книге Хилгерта и Нееба9. Также в 90-х годах прошёл ряд конференций по данной проблематике10,11'12.
Цель работы
Целью работы является исследование групповых инвариантных упорядочений в однородных пространствах, их связей с ранее известными упорядочениями, а также их классификация.
Методы исследования
В работе используются методы теории групп и алгебр Ли, методы теории представлений групп Ли, методы теории полугрупп Ли.
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
1. Получен критерий существования группового инвариантного
упорядочения в однородном пространстве односвязной эрмитовой
простой группы Ли.
2. Выяснено какие из инвариантных упорядочений на
псевдоримановых симметрических пространствах являются
групповыми.
8J.Hilgert, K.H.Hofraann, J.D.Lawson, Lie groups Convex cones, and Semigroups, Oxford University Press, 1989
9Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb, Lie Semigroups and their Applications, Lecture notes in Mathematics 1552, 1993
10 Joachim Hilgert, Jimrnie D.Lawson, Karl-Hermann Neeb, Ernest B.Vinberg (Eds.), Positivity in Lie Theory: Open Problems, De Gruyter Expositions in Mathematics 26, 1998
nK.H.Hofmann, J.D.Lawson, E.B.Vinberg (Eds.), Semigroups in algebra, geometry and analysis, De Gruyter Expositions in Mathematics 20, 1995
12K.H.Hofmann, J.D.Lawson, J.S.Pym (Eds.), The Analytical and Topological Theory of Semigroups, De Gruyter Expositions in Mathematics 1, 1990
3. Доказано, что инвариантные упорядочения в односвязных
эрмитовых простых группах Ли индуцируют инвариантные
упорядочения в их факторпространствах по параболическим
подгруппам с абелевым унипотентным радикалом, которые
могут быть интерпретированы как односвязные накрытия границ
Шилова соответствующих симметрических областей.
4. Получена классификация несимметрических однородных
пространств с неприводимой группой изотропии, допускающих
инвариантное упорядочение.
Теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для теории однородных пространств групп Ли, теории представлений, теории полугрупп Ли.
Апробация результатов
Результаты автора докладывались на следующем научно-исследовательском семинаре:
Семинар „Группы Ли и теория инвариантов" под руководством Э.Б. Винберга и А.Л. Онищика, мех-мат МГУ. Доклады: „Инвариантные упорядочения в однородных пространствах простых групп Ли", 2004г.; „Инвариантное упорядочение на односвязном накрытии границы Шилова симметрической области", 2006г.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, перечисленных в конце автореферата [1-3].
Структура и объем работы
