Содержание к диссертации
Введение
1. Предварительные сведения 15
1.1 Основные определения 15
1.2 Вспомогательные факты 20
2. Полиномиальные тождества в нильалгебрах над полем характеристики р>3 31
2.1 Предварительные результаты 31
2.2 Построение алгебры Вп и ее свойства 36
2.3 Доказательство основной теоремы 42
3. Некоторые неконечнобазируемые системы тождеств с тождеством вида хп = 0 57
3.1 Некоторые дополнительные следствия леммы 1.3 58
3.2 Неконечнобазируемая система тождеств над полем характеристики 3, содержащая тождество х12 = О 60
3.3 Неконечнобазируемая система тождеств над полем характеристики р > 3, содержащая тождество х6р = 0 67
Библиография 70
- Вспомогательные факты
- Построение алгебры Вп и ее свойства
- Неконечнобазируемая система тождеств над полем характеристики 3, содержащая тождество х12 = О
- Неконечнобазируемая система тождеств над полем характеристики р > 3, содержащая тождество х6р = 0
Введение к работе
Тождества являются одним из важнейших объектов исследования в теории универсальных алгебр. Теория тождеств представляет собой достаточно разветвленный раздел алгебраической науки. Язык тождеств позволяет описывать многие свойства алгебраических систем и их классов, а изучение тождеств конкретных алгебраических объектов помогает исследовать структуру этих объектов, выяснять взаимосвязи между различными объектами и их классами.
Начало изучения тождеств как абстрактных объектов было связано с решением вполне конкретных задач. Одной из таких задач является знаменитая проблема Бернсайда 1902 года о периодических группах: является ли конечной группа с конечным числом порождающих и с тождеством хп = 1, где п фиксированное натуральное число? Эта, проблема породила различные ее варианты и в полном объеме не решена до сих пор.
Исследования по проблеме Бернсайда в группах способствовали рассмотрению аналогичных вопросов и в других алгебраических структурах (полугруппах, кольцах, алгебрах и др.).
Огромную роль в развитии науки о тождествах сыграла проб-
лема конечной базируемости, впервые поставленная Б. Нейманом для групп в 1935 году в докторской диссертации: верно ли, что произвольная система групповых тождеств является следствием своей конечной подсистемы?
Проблема, поставленная Б. Нейманом, долгое время оставалась открытой и была решена отрицательно. В 1970 году А.Ю. Ольшанский [26] доказал, что существуют системы групповых тождеств, не эквивалентные никакой конечной системе, в том же году СИ Адяном [1] и М. Воэн-Ли [44] были построены первые примеры таких систем.
Вариант проблемы конечной базируемости для ассоциативных алгебр известен как проблема Шпехта: верно ли, что любая система полиномиальных тождеств ассоциативных алгебр конеч-нобазируема?
Первоначально этот вопрос, сформулированный В. Шпех-том [43] в 1950 году, был поставлен для ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики. А.И. Мальцев [18] поставил вопрос в иной формулировке: существуют ли неконечнобазируе-мые системы тождеств ассоциативных колец?
Первые результаты, связанные с данной проблематикой, принадлежат В.Н. Латышеву [20], [21]. А первые контрпримеры к проблеме конечной базируемости для алгебр были получены в классе алгебр Ли в 70-е годы, поскольку вопрос о конечной базируемости систем полиномиальных тождеств представляет интерес не только для ассоциативных алгебр, но и для других классов
алгебр (алгебр Ли, альтернативных, йордановых алгебр). В 1970 году М. Воэн-Ли [45] построил пример неконечнобазируемого многообразия алгебр Ли над полем характеристики 2, затем в 1974 году В. Дренски [14] построил пример неконечнобазируемого многообразия алгебр Ли над полем произвольной положительной характеристики. Отметим, что проблема конечной базируемости для алгебр Ли над полем нулевой характеристики до сих пор остается открытой.
В 1980 году Ю.А. Медведев [25] построил пример неконечнобазируемого многообразия альтернативных алгебр над полем характеристики 2, соответствующий пример в случае поля характеристики 3 построен СВ. Пчелинцевым [28].
Ю.П. Размыслов [29] доказал конечную базируемость многообразия алгебр матриц второго порядка над полем нулевой характеристики. Многообразиям, порожденным различными матричными алгебрами, посвящены работы Г.К. Генова [6], Г.К. Генова и П.Н. Сидерова [8], А.Н. Красильникова[19] и др.
Нематричными многообразиями занимались В.Н. Латышев [22]-[24], Г.К. Генов [7], А.П. Попов [27], в частности, они показали шпехтовость нематричных многообразий алгебр над полем характеристики нуль.
Полное решение проблемы конечной базируемости систем полиномиальных тождеств в той формулировке, которую дал В. Шпехт, было получено в 1987 году А.Р. Кемером [17]. В серии своих работ [16], [17] А.Р. Кемер показал, что любая система полиномиаль-
ных тождеств ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль конечнобазируема.
В случае поля ненулевой характеристики ситуация оказалась иной. В 1999 году вышли статьи А.Я. Белова [3], А.В. Гришина [12] и В.В. Щиголева [30], в которых были построены примеры неконечнобазируемых систем тождеств ассоциативных алгебр над полем положительной характеристики (см. также [4], [13], [37], [31]).
Необходимо отметить, что на сегодняшний день все существующие примеры неконечнобазируемых систем тождеств ассоциативных алгебр над полем простой характеристики получены с использованием неконечнопорожденных Т-пространств. Понятие Т-пространства было впервые введено А.В. Гришиным в [9]. Он стал систематически изучать Т-пространства с точки зрения их конечной порожденности (см. работы [10], [11], [36]) и получил первый пример неконечнопорожденного Т-пространства над полем характеристики 2 [10] (см. также [12]). Над полем характеристики р > 2 неконечнопорожденные Т-пространства были позднее построены Щиголевым [31], [32].
Отметим, что построенная А.В. Гришиным [12], [37], [38] не-конечнобазируемая система тождеств над полем характеристики 2 включает тождество ж32 = 0, а построенная В.В. Щиголевым [30] система над полем характеристики р > 2 — тождество я.2р3(2р+і) = о. С другой стороны, над полем характеристики р тождество хп = 0 не может быть включено ни в какую неконечноба-
зируемую систему, если п < р. Действительно, согласно теореме Нагаты-Хигмана-Дубнова-Иванова ([41], [40], [34], см. также [35]) из тождества хп = 0 при п < р следует тождество нильпотентности x\X2...Xknp = 0 для некоторого кп>р, зависящего от п и р. А любая система, содержащая тождество нильпотентности, конечно-базируема (см., например, [2]).
После построения А.В. Гришиным примера неконечнобазируе-мого многообразия асоциативных алгебр над полем характеристики 2 с тождеством ж32 = 0 на семинаре по теории колец кафедры высшей алгебры МГУ им был сформулирован естественно возникающий вопрос: каким может быть минимальный индекс ниле-вости, чтобы многообразие оставалось неконечнобазируемым?
Настоящая работа посвящена изучению проблемы неконечной базируемости систем полиномиальных тождеств в нильалгебрах над полем положительной характеристики. В частности, в ней рассматривается следующая
Проблема Для каких натуральных п тождество хп = 0 может быть включено в неконечнобазируемую систему тождеств ассоциативных алгебр над полем характеристики р?
Над полем характеристики 2, как было отмечено выше, А.В. Гришин [37] построил неконечнобазируемую систему тождеств, включающую тождество ж32 = 0. Аналогичная система с тождеством х6 = 0 была построена Ч.К. Гуптой и А.Н. Красиль-никовым в [39]. Также уже отмечалось, что над полем характеристики р > 3 В.В. Щиголев [30] построил неконечнобазируемую
систему с тождеством х2р (2p+1) = 0. В [32] им была построена аналогичная система с тождеством #V+^+1 = о. Для р = 3 результат В.В. Щиголева был улучшен автором [46]. С помощью модификации конструкции, использованной в [39], нами была построена неконечнобазируемая система тождеств над полем характеристики 3, содержащая тождество х12 = 0 (система В.В. Щиголева в этом случае содержит тождество ж378 = 0 [30] или я64 = 0 в [32]). Аналогичную модификацию конструкции из [39], хотя и ценой гораздо больших усилий, можно осуществить и для произвольного р > 3. Это позволяет построить над полем характеристики р > 3 неконечнобазируемую систему с тождеством ж6р = 0 (см. работы автора и А.Н. Красильникова [52], [53], [54]).
Цель работы. Построение неконечнобазируемой системы тождеств нильалгебр над полем характеристики р > 3, содержащей тождество х2р = 0.
Научная новизна и практическая ценность. Все результаты работы являются новыми. Основными результатами можно считать:
Построение неконечнобазируемой системы тождеств нильалгебр над полем характеристики 3, содержащей тождество х12 = 0.
Построение неконечнобазируемой системы тождеств нильалгебр над полем характеристики р> 5, содержащей тождество х6р = 0.
3. Построение неконечно базируемой системы тождеств нилъ-алгебр над полем характеристики р > 3, содержащей тождество х2р = 0.
Пока остается открытым вопрос о конечной порожденности многообразия нильалгебр над полем характеристики р с тождеством хп = 0 для р < п < 2р. В связи с этим хотелось бы выяснить, верна ли следующая
Гипотеза Над полем характеристики р > 3 каждая система полиномиальных тождеств ассоциативных алгебр, содержащая тождество хп = 0 для п < 2р, является конечнобазируемой.
Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении многообразий алгебр над полем положительной характеристики.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре по теории групп под руководством А.Л. Шмель-кина (МГУ, 2003), на семинаре по теории колец под руководством В.А. Артамонова, В.Н. Латышева, А.В. Михалева (МГУ, 2004), на научном семинаре кафедры алгебры Московского педагогического государственного университета.
Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:
Международном семинаре "Алгебра и линейная оптимизация", посвященном 90-летию со дня рождения С.Н. Черникова (Екатеринбург, 2002), Международной алгебраической конференции, посвященной памяти З.И. Боревича (Санкт-Петербург, 2002), V
Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 2003), X Международной конференции "Groups and Group Rings" (Устрои, Польша, 2003), Международной конференции "Algebras, Modules and Rings" (Лиссабон, Португалия, 2003), IV Международной алгебраической конференции на Украине (Львов, Украина, 2003).
Результаты диссертации изложены в работах [46] - [55].
Автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору А.Н. Красильникову за постановку задачи, полезные замечания и внимание к работе и кандидату физико-математических наук, профессору Г.А. Карасеву за всестороннюю помощь и поддержку в период обучения в аспирантуре, а также доктору физико-математических наук, профессору А.В. Гришину за полезные обсуждения вопросов по теме диссертации.
Содержание диссертации
Во введении приводится краткий обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности рассматриваемых задач, а также кратко излагаются полученные в диссертации результаты.
Вспомогательные факты
В настоящем разделе мы сформулируем и докажем некоторые вспомогательные факты, необходимые для доказательства основных результатов. Следующие два утверждения хорошо известны. Для полноты изложения приведем их с доказательством. Лемма 1.1 В ассоциативном кольце для любых элементов а\,...,а8,г имеет место равенство Доказательство. Докажем формулу индукцией по s. При s = 2 формула верна, так как Пусть формула (1.1) уже доказана для всех произведений а\... as_i, то есть имеет место равенство Тогда формула верна и для произведения а\... as. Действительно, Далее будем считать, что [я, у, z] = [[ж, у], 2]. Лемма 1.2 В ассоциативном кольце с тождеством [х, у, z] = О для любых элементов о, Ь, с имеют место равенства Доказательство. Первое равенство очевидно вытекает из тождества [я, у, z] = 0. Докажем второе равенство. Используя равенство (1.1) при з — 2 и первое из равенств (1.2), имеем Пусть Clk = щ=ш — число сочетаний из к по I. Положим по определению С\. = 0, если к I. Лемма 1.3 Пусть G — ассоциативное кольцо, удовлетворяющее тождеству [x,y,z] = 0. Пусть t и к — целые числа такие, что t 1, к 0, причем хотя бы одно из последних двух неравенств строгое. Тогда для любых ai,a2,...,ot_i,r G G имеет место равенство Доказательство. Докажем формулу (1.3) индукцией по t и к. При = 1 формула (1.3) принимает вид а при & = 0 — вид Значит, для t = 1 и любого & 0, а также для & = 0 и любого 1 формула верна. Пусть t 1 и к 0. Допустим, что формула (1.3) верна для пар чисел (t, к — 1) и (t — 1, к). Покажем, что тогда она верна и для пары (t, к).
Пусть По предположению индукции имеем из равенств (1.2), получаем Лемма 1.3 доказана. Из леммы 1.3 вытекает ряд необходимых нам следствий. Следствие 1.1 Пусть F — поле характеристики р (p 3),G — ассоциативная F-алгебра с тождествами [х, у, z] = О и хр = О. Пусть t и к — целые числа такие, что 1 t р — 1, к p — t + l. Тогда для любых а а ,..., at-ъ г Є G выполняется равенство Доказательство. При t = 1 равенство (1.4) принимает вид rk = 0. Это равенство справедливо при к р в силу тождества хр = 0. Пусть 2 t р — 1. Тогда из леммы 1.3 следует, что в силу тождества xp = 0, поэтому равенство (1.4) справедливо. Если sp — t -f 1 к sp — 1 (s = 1,2,...), то целые числа делятся на р, поэтому в алгебре над полем F характеристики р выполняется равенство (1.4). В частности, (1.4) выполняется при p + l k p-l. Наконец, если к — р, то в силу тождества хр = 0, и делится на р, поэтому при к = р w.2 t р — 1 равенство (1.4) также выполнено. Следствие 1.1 доказано. Следствие 1.2 Пусть F — поле характеристики р (р 3). Пусть дик — целые числа такие, что р — 1 д 2р — 2, к 1. Пусть G — F-алгебра с тождествами [х, у, z] = 0 и хр = 0. Тогда для любых а\, й2, г Є G выполнено делится на р при 1 к р— 1, кроме того, имеет место тождество хр = 0, поэтому при & 1 имеем так как а и г — элементы алгебры над полем характеристики р. Следствие 1.2 доказано. Следствие 1.3 Пусть F — поле характеристики р (р 3), к — неотрицательное целое число. Пусть G — ассоциативная F-алгебра с тождеством [х, y,z] = 0. Тогда для любых a,do,...,dk Є G выполняется равенство
Построение алгебры Вп и ее свойства
В настоящей главе мы сформулируем и докажем основной результат нашей работы, полученный в соавторстве с А.Н. Красильни-ковым. В разделе 2.1, с использованием результата В.В. Щиголева [31] (см. также [32]), доказывается предложение 2.1, на основании которого в разделе 2.2 для каждого натурального п строится матричная алгебра Вп, используемая в разделе 2.3 для доказательства основной теоремы. 2.1 Предварительные результаты Пусть F — поле характеристики р 3, A = F{x\, Х2,...) — сво бодная ассоциативная алгебра с единицей со свободными порожда ющими х\, Х2, Пусть Т — Т-идеал алгебры А , порожденный полиномом [[яі,Я2],жз]. Пусть m — четное число, где f(xhx2) = xJi 1x% 1[xi,x2]. Лемма (В.В. Щиголев [31, лемма 13]). Т-пространство, порож денное полиномами (pi,..., ipm,..., при р 2 не является конеч- нобазируемым по модулю идеала, порожденного Т-идеалом Т@ и полиномами др, где g — полином без свободного члена. Докажем следующее Предложение 2.1 Пусть F — поле характеристики р 2. Существует F-алгебра R, удовлетворяющая следующим условиям: 1. R как векторное пространство над F является прямой суммой своего двустороннего идеала I и одномерного подпространства, порожденного 1; 2. для любого h Є I выполнено равенство hp = 0; 3. R как F-алгебра с единицей порождается элементами zi, z2,. . Є I, при этом для любого п 0 элемент не лежит в линейной оболочке множества {1}U {f(uhи2)... f(u2k-i,и2к) 1 к п,иъ...,и2к Є #}; 4. [и, v, w] = 0 для всех u,v,w Є Л. Доказательство. Пусть F — поле характеристики р 3, А = F{xi,X2,...) — свободная ассоциативная алгебра с единицей со свободными порождающими жі,Я2 Пусть J — идеал алгебры А , порожденный Т-идеалом Т и всеми полиномами др, где д — полином без свободного члена. Положим R = A /J. Покажем, что алгебра R удовлетворяет условиям предложения 2.1. Отметим, что из построения алгебры R следует, что для любых u,v,w Є R выполнено равенство [[и,v,],w] = О, то есть выполняется последний пункт предложения. Пусть / — двусторонний идеал алгебры R, порожденный всеми элементами вида (д-{- J), где д многочлен из А без свободного члена. Тогда R как векторное пространство над F является прямой суммой идеала / и одномерного подпространства, порожденного 1. Кроме того, поэтому для любого h Є I выполнено ЬР = 0. Положим Z{ = ХІ + J. Тогда Z{ Є I и R как F-алгебра с единицей порождается элементами z\, Z2, Поскольку Т-пространство, порожденное полиномами (pi,...,(pn,... , согласно лемме Щиголева, неконечнопорождено по модулю идеала J, то полином (рп+1 не принадлежит Т-пространству, порожденному полиномами ip\,..., (рп и идеалом J.
Действительно, если предположить, что для некоторого натурального п полином (рп+і при- надлежит Т-пространству, порожденному полиномами pi,..., (рп и идеалом J, то ipn+i можно представить в виде где h Є J, ajt Є F, фк — эндоморфизмы алгебры А , 1 ik п для всех к. Тогда полином рп+2 можно записать в виде для подходящих элемента Ы J и эндоморфизмов фк алгебры А . Элемент по предположению, лежит в Т-пространстве, порожденном полиномами (pij...,(pn и идеалом J, поэтому рп+2 также лежит в данном Т-пространстве. Далее, используя индукцию, можно показать, что для любого натурального к полиномы рп+к также будут лежать в Т-пространстве, порожденном полиномами y?i, , рп и идеалом J, что противоречит лемме Щиголева. Поэтому для любого натурального п полином ірп не принадлежит Т-пространству, порожденному полиномами (pi,..., (pn-i и идеалом J, а это значит, что элемент не лежит в линейной оболочке всех произведений Таким образом, предложение 2.1 полностью доказано. Следствие 2.1 Для любого г Є R выполняется гр Є F. Доказательство. По построению R = / (1)FJ поэтому любой элемент г Є R можно представить в виде где h Є І, а Є F. Учитывая лемму 1.4 и предложение 2.1, имеем Таким образом, гр Є F, что и требовалось доказать. D Теперь перейдем непосредственно к построению алгебры Вп. Пусть Мп — F-линейная оболочка в R множества Пусть р — простое число, р 2. Пусть Теорема 2.1 (Б.В. Аладова, А.Н. Красильников) Над полем F характеристикир 3 система тождеств не эквивалентна никакой конечной системе тождеств ассоциативных F-алгебр. Доказательство. Система тождеств {гу„=:0п = 3,4...} U {х2р = 0} неконечнобазируема, если она не эквивалентна никакой своей конечной подсистеме, поэтому для доказательства теоремы для каждого натурального п достаточно построить F-алгебру Вп, которая удовлетворяет тождествам х2р = 0 и Wk = 0 для всех к п, но не удовлетворяет тождеству Wn+\ = 0.
Неконечнобазируемая система тождеств над полем характеристики 3, содержащая тождество х12 = О
В настоящем разделе мы приведем пример неконечнобазируемой системы тождеств над полем характеристики 3, содержащей тождество х12 = 0. Доказательство теоремы, сформулированной в данном разделе, проводится аналогично доказательству теоремы 2.1, поэтому мы остановимся только на некоторых различиях в доказательствах этих теорем. Более подробное доказательство приведенной ниже теоремы можно найти, например, в работах [47], [51]. Перейдем непосредственно к формулировке результата. Пусть F — поле характеристики 3. Пусть Имеет место следующая Теорема 3.1 Над полем F характеристики 3 система тождеств не эквивалентна никакой конечной системе тождеств ассоциативных F-алгебр. Опишем, как строится алгебра Вп, необходимая для доказательства теоремы 3.1. Пусть F[ti,t2,tz,t4\ — алгебра многочленов над полем F с единицей, L — идеал алгебры F[ti, tz, t , ti\, порожденный множеством Положим К — F\t\,t2,tz,t lL. Пусть & = U + L (г = 1,2,3,4), р — идеал алгебры К, порожденный ,-, г = 1,2,3,4. Имеет место следующая Лемма 3.1 Идеал р алгебры К удовлетворяет тождеству х9 = 0. Доказательство. Так как идеал р порождается , (г = 1,2,3,4), то произвольный элемент а Є р имеет вид где (ЗІ EF,0 mf 3, {mf)2 + (n$)2 + (mf)2 + lpif)2 ф 0. Учитывая, что в коммутативной алгебре над полем характеристики р для любых а, Ь из алгебры имеет место равенство получаем Так как f = 0, то для любого а Є р что и требовалось доказать. Отметим, что в р существует эле мент, например, 7 = i + & + з такой, что 78 Ф О (& именно, 78 = -?$$ - ййй - ййй)- Таким образом, р не удовлетворяет тождеству ж8 = 0. Пусть R — К %F R, где R — алгебра, описанная в предложении 2.1. Заметим, что так как в алгебре R выполняется полилинейное тождество [х, у, z] = 0, то алгебра R также удовлетворяет этому тождеству. Пусть J — идеал алгебры R, порожденный элементами где і = 1,2,3,4, h Є І, І — идеал алгебры R, указанный в предложении 2.1. Любой элемент а Є J можно записать следующим образом: где a i,/3j,yij G F, & Є р, /іу Є /. Отсюда получаем, что произвольный элемент алгебры J можно представить в виде где ао Є /э, а,- Є К, hi Є І (і 1). Лемма 3.2 В алгебре J выполнено тождество я9 = 0. Доказательство.
Рассмотрим произвольный элемент Учитывая лемму 1.4, получаем, что Согласно предложению 2.1, в случае поля характеристики 3 для каждого h Є I имеем /і3 = 0, тогда Далее, поскольку для любого а Є /о имеет место равенство а9 = О, то Таким образом, для всех г Є J выполнено равенство г9 = 0. Следствие 3.5 Для каждого г Є R элемент г3 лежит в подал гебре К pF алгебры R — К S F R- D Пусть Мп = К S F Мп, где Мп — F-линейная оболочка множества Можно показать, что Мп есть ІІГ-линейная оболочка множества Доказательство данной леммы проводится аналогично доказательству леммы 2.1. Неконечная базируемость системы тождеств доказывается аналогично тому, как это сделано в разделе 2.3 главы 2. При доказательстве того факта, что при любом натуральном п алгебра Вп удовлетворяет тождеству х12 = 0, вместо следствий 1.1 и 1.2 леммы 1.3 используются следствия 3.1 и 3.2 той же леммы. 3.3 Неконечнобазируемая система тождеств над полем характеристики р 3, содержащая тождество х6р = О В настоящем разделе мы приведем пример неконечнобазируемой системы тождеств над полем характеристики р 3, содержащей тождество х6р = 0. Результат настоящего раздела получен в соавторстве с А.Н. Красильниковым. Так же, как и в предыдущем разделе, мы остановимся только на некоторых различиях в доказательствах теоремы, приведеной в данном разделе, и теоремы 2.1. Пусть р — просто число, р 3. Пусть Имеет место Теорема 3.2 (Е.В. Аладова, А.Н. Красильников)
Над полем F характеристики р 5 система тождеств не эквивалентна никакой конечной системе тождеств асоциа-тивных F-алгебр. Как и в разделе 3.2, мы остановимся только на описании конструкции алгебры Вп. Пусть F[ii, 2] — алгебра многочленов с 1 над полем F, L — идеал алгебры Ffii, ]» порожденный множеством Положим К = F[ti,t2]/L. Пусть , = U + L (г = 1,2), р — идеал алгебры К, порожденный элементами &, г — 1,2. Лемма 3.4 Идеал р алгебры К удовлетворяет тождеству Доказательство леммы 3.4 проводится аналогично доказательству леммы 3.1. Пусть R — К F R, где R — алгебра, описанная в предложении 2.1. Поскольку в алгебре R выполняется тождество [х, у, z] = 0, то алгебра R также удовлетворяет этому тождеству. Пусть J — идеал алгебры R, порожденный элементами где г = 1,2, h Є І, І — идеал алгебры R, указанный в предложении 2.1. Ясно, что произвольный элемент алгебры J можно представить в виде где а0 Є р, оц Є К, hi Є І (і 1). Имеет место следующая Лемма 3.5 В алгебре J выполнено тождество х5р = 0. Лемма 3.5 доказывается аналогично лемме 3.2. Следствие 3.6 Для каждого г Є R элемент гр лежит в подалгебре К р F алгебры R = К S)F R- D Пусть Мп = К F Мп, где Мп — F-линейная оболочка множества Как уже отмечалось ранее, можно показать, что Мп есть К-пи-нейная оболочка множества В данном случае общая конструкция алгебры Вп совпадает с той, которую мы описывали в разделе 2.2 главы 2. Отличие состоит в том, что вместо алгебры R и ее идеала I мы берем, соответственно, алгебру Л и ее идеал «7. Отметим, что для построенной таким образом алгебры Вп имеет место аналог леммы 2.1. Неконечная базируемость системы тождеств 3.1 доказывается так же, как в разделе 2.3 главы 2. При доказательстве того, что алгебра Вп удовлетворяет тождеству х6р = 0, используются следствия 3.3, 3.4 и 1.3 леммы 1.3.
Неконечнобазируемая система тождеств над полем характеристики р > 3, содержащая тождество х6р = 0
Основным результатом нашей работы является Теорема 2.1 (Б.В. Аладова, А.Н. Красильников) Над полем F характеристикир 3 система тождеств не эквивалентна никакой конечной системе тождеств ассоциативных F-алгебр. Доказательство. Система тождеств неконечнобазируема, если она не эквивалентна никакой своей конечной подсистеме, поэтому для доказательства теоремы для каждого натурального п достаточно построить F-алгебру Вп, которая удовлетворяет тождествам х2р = 0 и Wk = 0 для всех к п, но не удовлетворяет тождеству Wn+\ = 0. Сначала мы докажем, что построенная в разделе 2.2 алгебра Вп удовлетворяет тождествам Wk = 0 для всех к п и не удовлетворяет тождеству Wn+\ = 0. тождества [х, y,z] = О вытекает [х, z] [у, z] = О, кроме того, г І Є I, поэтому (г,)р = 0. Отсюда получаем, что Согласно следствию 2.1, если r Є R, то rp = а, где а Є F. Значит, d = «/(rf», rf )/(tf , tf )/(r? , Если к n, то, по определению M„, получим, что поэтому W — 0 для любых Xj Є Вп (і — 1,2,...,к, j = 1,2). Таким образом, алгебра Вп удовлетворяет тождествам Wk = О для всех к п. Для доказательства того, что в алгебре Вп не выполняется тождество wn+i = 0, рассмотрим элемент где zi — матрица вида (2.1), соответствующая элементу Z{, а 2,- — порождающие алгебры R, указанные в предложении 2.1. Повторяя проделанные выше вычисления, можно показать, что матрица W имеет вид (2.4) с Используя тождество [x, у] [x, z] = 0, получаем: Согласно предложению 2.1 d $. Мп. Таким образом, матрица W не равна нулю и алгебра Вп не удовлетворяет тождеству wn+\ = О, что и требовалось. Осталось показать, что алгебра Вп удовлетворяет тождеству х2р — О, где р = char F. Пусть E{j — матричная единица, то есть матрица, в которой элемент, лежащий на пересечении г -ой строки и j-ro столбца, равен 1, а остальные элементы нулевые. Ясно, что г О, если j ф к; EijEki = ЕЦ, если j = к. Произвольную матрицу X Є Вп можно представить в виде 1) и, наконец, ait2P+i Є R/Mn. Так как в идеале / алгебры R выполняется тождество хр = О, то матрица Х2р нильтреугольная и ее можно записать в виде Xр = 22 Tiii jiEiiji, где все rrii ji — однородные некоммутативные многочлены степени 2р от переменных dij, 1 і Каждый многочлен т у является суммой всех произведений вида Пусть г = 022- Произведение (2.5) можно представить в виде где I t р, i\,.. .,ц 0, для следующих элементов bj Є R 0 = 0,1,...,0: где 0 со p (при со = 0 считаем бо = 1), sf) s при q q\ A J s2 sc$ — нечетные, a s +i — четное число; as2 ,...,sj.? — нечетные числа; s2 J ) 5ct+i — нечетные, asj = Sct_i+i — четное число.
Пусть deg(&o bt) — степень одночлена bo. ..bt относительно переменных Щу Ясно, что Отметим, что последовательность (2.8) является подпоследовательностью последовательности содержащей членов. В этой подпоследовательности члены для 1 j t четные, а остальные члены s,- — нечетные. Таким образом, (2.8) содержит t четных членов. Вся последовательность 1,2,..., 2р+1 содержит р четных членов, поэтому (2.8) не содержит р — t четных чисел из множества {1,2,.. .2 + 1}. Следовательно, в (2.8) не более членов, то есть С учетом (2.7) получаем Отметим, что (или, что эквивалентно, Co+Cl + . . .+Q+1 = p+t+ї) только если в (2.8) содержатся все нечетные числа из множества {1,2,..., 2р+1}. В частности, в этом случае Рассмотрим rriiiji. Для каждого значения t (1 t р) и каждого множества {bo, b\,..., & } описанных выше произведений слагаемые вида (2.6) многочлена т у можно объединить в суммы вида Таким образом, ту у является суммой элементов вида (2.10) таких, что 1 t р и. к р — t. Предположим, что г ф 1 или f ф 2р + 1. Тогда для каждой суммы вида (2.10) в многочлене т у выполнено поскольку из равенства deg(&o& ) = p + t следует і — 1, j = 2р + 1. Значит, При 1 t p — 1, согласно следствию 1.1, суммы вида (2.10) равны нулю. Пусть t = р. Тогда каждый член bj (1 j р — 1) равен или 02J,2J+2 или a2j,2j+ia2j+i,2j+2- Учитывая лемму 2.1, получаем, что либо bj = 024, либо bj = 023 12- Для данного числа I, р — 1 I 2р — 2, и данных bo, bt все суммы вида (2.10) в многочлене ту у можно сгруппировать в суммы вида где Так как t = p, то k p — + 1 = 1. Согласно следствию 1.2, если A; 1 и p — 1 / 2p — 2, то суммы вида (2.11) равны нулю. Следовательно, rriiiji = О, если г ф 1 или f ф 2р + 1. Теперь рассмотрим элемент mi p+i- Используя приведенные выше рассуждения, нетрудно показать, что в элементе mi,2P+i сумма всех элементов вида (2.10) таких, что
![Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0](/i/i/4467/317899.png "Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0 Ваулин Андрей Николаевич")
