Содержание к диссертации
Введение
1 Общая теория функциональных тождеств 14
1.1 Обобщенные функциональные тождества 14
1.1.1 Определения и обозначения 14
1.1.2 Доказательство теоремы 1.1.1 17
1.1.3 Замечание об образе решений 27
1.1.4 Тождества специального вида 32
1.2 Функциональные тождества: общая теория 42
1.2.1 Алгебраичность подмножеств первичных колец 42
1.2.2 rf-свободные множества: определения и первые результаты 50
1.2.3 Какие множества с?-свободны? 59
1.2.4 Квазиполиномы 72
1.2.5 Тождества вовлекающие инволюцию 90
2 Лиевы отображения 98
2.1 Лиевы гомоморфизмы лиевых идеалов 98
2.2 Лиевы дифференцирования лиевых идеалов 113
2.3 Лиевы гомоморфизмы лиевых идеалов кососимметрических элементов 125
2.4 Лиевы дифференцирования лиевых идеалов кососимметрических элементов 148
3 Отображения, сохраняющие алгебраические свойства элементов 168
3.1 Функциональные тождества на левых идеалах 168
3.2 Отображения в кольцах с инволюцией 184
4 Приложение функциональных тождеств к некоторым за дачам из теории алгебр Ли 196
4.1 Ли-совместимые отображения 196
4.2 Отображения, удовлетворяющие тождеству [f(u,v),w] = f([u,w),v) + f(u,[v,w]) 201
- Определения и обозначения
- Алгебраичность подмножеств первичных колец
- Тождества вовлекающие инволюцию
- Лиевы гомоморфизмы лиевых идеалов кососимметрических элементов
Введение к работе
Первые результаты по функциональным тождествам связаны с описанием коммутирующих отображений, то есть отображений / кольца 71 таких, что [f(x),x] = f(x)x — xf(x) = 0 для всех х Є 72..•
В 1957 году была опубликована работа Познера [119], в которой было показано, что ненулевое дифференцирование первичного кольца 7L является коммутирующим отображением тогда и только тогда, когда кольцо 7Z. — коммутативно:
Аналогичный результат для коммутирующих автоморфизмов был получен Мэйном [99].
Результаты Познера и Мэйна многократно обобщались разными авторами [7,17, 21, 22, 30, 49, 50, 53, 54, 62, 63, 70, 71, 77, 78, 79, 82, 87, 97, 98, 100, 107, 125, 127]. Из этих работ следует выделить статью Брешара [30], который описал все коммутирующие отображения первичных колец. Этот результат стал первой работой по функциональным тождествам. Как и в случае с теоремами Познера и Мэйна, к этому результату был проявлен значительный интерес и в течение нескольких лет появилось большое количество работ на эту тему [6,12, 16, 19, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 48, 83, 84, 86].
Существенное влияние на развитие этого направления теории колец оказали статьи Брешара [35, 36]. Основной результат работы [35] — это описание аддитивных отображений /1,/2, /3,/4 первичного кольца 71 удовлетворяющего тождеству /i(z)j/ + ЫУ)Х + xf3(y) + yf4{x) = 0 для всех х,у Є 71.
Такие тождества называются функциональными тождествами степени 2, поскольку в них участвуют 2 переменные х к у.
В работе [36] рассматривалось более сложное тождество п т k I Fi(y)xai + Gi(x)ybi + J2 СІУНІ(Х) + dixKi(y) = 0 1=1 ;=і «=і t=i для всех х,у Є 11, где Fi,Gi,Hi,Ki : 71 — 1Z аддитивные отображения первичного кольца 71 и {cti,... ,ап}, {6Ь ..., Ьт}, {сх,... ,Cfc}, {dl5... ,di}
— подмножества элементов кольца 72, линейно независимых над расширенным центроидом. Такие тождества называются обобщенными функциональными тождествами степени 2.
Однако не было ясно, можно ли описать отображения в функциональных и обобщенных функциональных тождествах степени отличной от 2, хотя высказывалось предположение, что результаты о Тождествах степени 2 могут быть продолжены до более общего случая [36, стр. 691].
В первом общем результате теории функциональных тождеств [154] были рассмотрены обобщенные функциональные тождества произвольной степени и практически сразу же было показано, что аналогичные результаты могут быть получены для тождеств, вовлекающих фиксированный антиавтоморфизм [133].
Используя эти результаты Бейдар [14] рассмотрел функциональные тождества произвольной степени, а функциональные тождества с инволюцией были рассмотрены Бейдаром и Мартиндейлом в работе [18]. Тем самым был создан необходимый задел для развития общей теории функциональных тождеств.
Следующим шагом было создание конструкции d-свободных множеств [147, 148], на базе которых были получены все основные приложения. Одновременно с этим исследовались некоторые тождества специального вида с целью расширения класса колец, для которых применима техника функциональных тождеств [136, 138,139,140,142, 146,152, 153].
Наиболее важным приложением теории функциональных тождеств является полученное с их помощью описание отображений лиевского типа.
В 1961 году Херстейном [56, стр. 528] был сформулирован ряд открытых проблем. В частности им были поставлены задачи описания лиевых изоморфизмов и лиевых дифференцирований для (I) простых и первичных колец 72, (II) лиевых колец [72.,7.] и [TZ,1Z]/Z П [72,72], где Z — центр кольца 72, (III) лиевых колец кососимметрических элементов К простых колец 72 с инволюцией, I (IV) лиевых колец [К.,/С] и [K,,K.\IZ С\ [К.,К,\.
Из первых работ по лиевым изоморфизмам отметим статью Хуа [64], где была рассмотрена задача описания лиевых автоморфизмов для колец матриц порядка п 3 над телом в случае характеристики, отличной от 2 и 3. В случае простых колец 1Z характеристики 2 задача описания лиевых изоморфизмов ф была исследована Херстейном и Клейнфельдом [60] при дополнительном предположений о том, что лиев изоморфизм сохраняет третью степень, то есть ф(х3) = ф(х)3 для всех х Є И. Важный вклад в изучение лиевых изоморфизмов и лиевых дифференцирований внес Мартиндейл, описавший эти отображения в кольцах с несколькими нетривиальными ортогональными идемпотен-тами [88, 89, 90, 92, 93, 94]. Отображения лиевского типа изучались в операторных алгебрах [8, 9, 10, 103, 104, 105, 106], где также использовалась техника работы с идемпотентами.
В связи с этим интересно отметить, что хотя в кольцах матриц над телами описание лиевых автоморфизмов и дифференцирований было известно, в самих телах эта проблема до недавнего времени была открыта.
Проблемы Херстейна были полностью решены с помощью теории функциональных тождеств. Описание Брешаром [32] биаддитивных коммутирующих отображений стало ключевым результатом в решении проблем Херстейна о лиевых изоморфизмах и лиевых дифференцированиях первичных колец. Аналогично, описание триаддитивных коммутирующих отображений в кольцах с инволюцией, полученное Бейдаром, Мар-тиндейлом и Михалевым [19], привело к решению проблемы Херстейна о лиевых изоморфизмах лиевых колец кососимметрических элементов первичных колец с инволюцией. Эта же конструкция была использована Свэйном [126] для описания лиевых дифференцирований лиевых колец кососимметрических элементов первичных колец с инволюцией.
Однако, для решения (II) и (IV) потребовалось значительно более емкое использование общей теории функциональных тождеств, чем описание коммутирующих отображений. Используя конструкцию с/-свободных множеств [147, 148], в работе [150] удалось описать лиевы эпиморфизмы лиевых идеалов первичных колец, что не только дает ответ на вопрос Херстейна, но и решает существенно более общую задачу. Характери-зация лиевых дифференцирований иа лиевых идеалах первичных колец дана в [151]. Аналогичные проблемы для лиевых колец кососимметрических элементов решены в [143, 144]. Помимо этого в статье [143] описаны n-йордановы отображения кососимметрических элементов, что отвечает на еще один вопрос Херстейна [56, стр. 528].
С середины 70-х годов XX века в линейной алгебре и функциональном анализе были довольно популярны задачи характеризации линейных операторов, сохраняющих алгебраические свойства элементов. Одной из таких задач было описание отображений, сохраняющих коммутативность. В 1976 году Уоткинс [128] описал биективные отображения, сохраняющие коммутативность в кольцах матриц порядка п 4. Затем аналогичная проблема изучалась для разных подпространств матричных алгебр и некоторых операторных алгебр [13, 51, 52, 115, 116, 117, 118]. Используя функциональные тождества, Брешар [32] описал биективные отображения, сохраняющие коммутативность в первичных кольцах, а Баннинг и Матье [12] получили аналогичный результат для полупервичных колец. В статье [146] дано описание биективных отображений, сохраняющих коммутативность на односторонних идеалах первичных колец.
Еще одним приложением функциональных тождеств является описание Ли-совместимых отображений. В 1948 году Альберт [4] инициировал изучение Ли-допустимых алгебр. Эти алгебры привлекали внимание как математиков, так и физиков. С некоторыми приложениями Ли-допустимых алгебр к физике можно ознакомиться в книгах Оку бо [113] и Мыюнга [111], мы же сосредоточимся на алгебраической стороне вопроса, связанной с проблемой Альберта классификации гибких Ли-допустимых алгебр А таких, что соответствующие алгебры Ли Л полупросты [4].
В 1962 году Лауфер и Томбер [81] дали классификацию конечномерных гибких Ли-допустимых алгебр Л над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики таких, что операция возведения в степень ассоциативна и алгебры Ли Л полупросты. Мыюнг [110, 111] получил описание конечномерных гибких Ли-допустимых алгебр Л над алгебраически замкнутыми полями положительной характеристики таких, что операция возведения в степень ассоциативна и А — это либо классические алгебры Ли, либо обобщенные алгебры Витта.
В 1981 году Бенкарт и Осборн [24] и Окубо и Мыюнг [114] независимо получили классификацию конечномерных гибких Ли-допустимых алгебр Л над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики таких, что алгебры Ли Л полупросты, решив тем самым проблему Альберта.
В гибких алгебрах операция взятия третьей степени ассоциативна, то есть (х х) х = х (х х) и известно, что операция взятия любой степени ассоциативна тогда и только тогда, когда это справедливо для третьей и четвертой степеней [111]. В статье [25] Бенкарт и Осборн описали все умножения на алгебре матриц, относительно которых операция взятия степени;;ассоциативна, а в работе [23] Бенкарт Дала классификацию Ли-допустимых алгебр Л таких, что операция возведения в третью степень ассоциативна и алгебры Ли Л полупросты. Подобные задачи изучались также в случаях, когда Л — алгебра Вирасоро [112] или алгебра Каца-Муди [67]. Во всех этих работах используется техника работы с алгебрами Ли и матричными алгебрами. Применяя методы функциональных тождеств, в статье [149] были описаны все умножения на лиевых идеалах первичных алгебр и алгебрах Ли косимметрических элементов, относительно которых операция взятия степени ассоциативна.
Цель данной работы состоит в создании математического аппарата, позволяющего решить ряд открытых проблем, возникших при исследовании дифференцирований и лиевых изоморфизмов первичных колец.
В работе используются методы и результаты теории колец с функциональными тождествами.
Краткое содержание работы. В первой главе излагается общая теория функциональных тождеств. Пусть г 2— целое число, 72. — некоторое множество и Q — некоторое кольцо. Для отображения F : 7V l —» Q и 1 г г, определим отображение Fx : TZr — Q, 1 гі r, по правилу F (xi,...,xr) = F(xi,...,x,-_i,x,-+1,... ,хг) для всех хі,...,хг Є TZ.
Аналогично, для отображения р : 7V 2 -+ QH 1 і j- r определим отображение р,} = р : TZ — Q по правилу Р%} {XU • • • і Хт) = р(хх, . . . , Х.--1, Х;+1, . . . , Xj_i, Xj+i,..., xr).
Основным результатом первого параграфа является следующая теорема, в которой рассматриваются обобщенные функциональные тождества произвольной степени.
Теорема 1 Пусть 1Z — первичное кольцо, Q — максимальное левое кольцо частных, 1ZC — центральное замыкание, С — расширенный центроид, г 2 — целое число и ПІ,ГПІ, і = 1,...,г — неотрицательные целые числа. Пусть Eji,Fik :7lr — Q — такие отображения, что г nj г ті X) Щі(хи - • •, xr)xja\ + J2 S bU/ /fc( b - • -, xr) = 0 j=i i=i 1=1 jt=i л ecez 11..,,1,671, где {a{,... ,a.} u {bj,... ,&,.}, У = 1,... ,r, суть С-кезависиліьіе подмножества Q. Тогда выполняется одна из двух возможностей:
(i) 71с — примитивное кольцо с ненулевым цоколем и eTZce — конечномерная алгебра с делением над С для каждого минимального идемпотента е из TZC, или (И) существуют и единственны отобраоїсения pjuk : VJ 2 — Q и \цк : іи х —+ С такие, что ті mj Ці{?\,.• • i«r) = 5Z Y,fcU/?j« ( i»• --. ) + 2хЫх • • • х№, 1 1 г fc=l fc=l F}k(xu...,xl) = - Yl E L i»---» ) -53А№(яг,...,жг)о{, v • :-. . v 1 J »- 1 = 1 i=l
Более того, если все отображения Eji и Fik являются аддитивными по каждому аргументу, то это оке справедливо для отображений PjUk и \цк Во втором параграфе вводятся понятия d-свободного множества, (,с/)-свободного множества, квазиполиномов и на их базе формулируются результаты, необходимые для приложений. В частности, доказывается следующая теорема:
Теорема 2 Пусть Q — кольцо с единицей, S — некоторое подмнооїсество Q, и Е : Sm —+ Q — квазиполипом степени т. Если Е(хт) — О для всех хт Є Sm и подмнооїсество S является (т + 1)—свободным, то все коэффициенты Е равны нулю.
Глава 2 посвящена описанию отображений лиевского типа, то есть, решению проблем Херстейна [56, стр. 529]. В первом и втором параграфах рассматриваются лиевы изоморфизмы и лиевы дифференцирования лиевых идеалов первичных колец. Доказываются две следующие теоремы.
Теорема 3 Пусть А— первичное кольцо, С —расширенный центроид и Лс — центральное замыкание. Пусть Л — лиев идеал кольца A, S — лиев идеал первичного кольца Т и пусть a : S — 7Z — сюръектив-ный лиев гомоморфизм. Предоположим, что S u1Z порооїсдают кольца Т и А соответственно. Далее предположим, что char(,4) ф 2 и А не удовлетворяет, Stu, стандартному тождеству степени 14. Тогда существуют гомоморфизм (антигомоморфизм) •у : Т —+ Ас и аддитивное отображение \i :1)-+0 такие, что ха = х1 + ц(х) (соответственно, ха = — х"1 + ц{х)) для всех х Є S и fi([S,S]) = 0. Более того, если [S,S]=S, то7Х1 = А. Теорема 4 Пусть А — первичное кольцо иС — расширенный центроид. Пустъ/R. — лиев, идеал кольца А, В — подколъцо кольца А, порожденное 1Z и пусть 8:71 — 1Z — лиево дифференцирование на 7Z. Предположим, что сЬаг(Л) ф 2 и А не удовлетворяет Stu, стандартному тождеству степени 14. Тогда существуют дифференцирование D : В — ВС -\-С и аддитивное отобраоїсение : 7t — С такие, что (а)С([П,Т1]) = 0. (b) xD = Xs+ С(х) для всех х Є%. (c) Если [71,71] = 71, mo BD СВ.
В третьем и четвертом параграфах описаны лиевы изоморфизмы и лиевы дифференцирования лиевых идеалов кососимметрических элементов в первичных кольцах с инволюцией.
Теорема 5 Пусть V — кольцо с инволюцией, С — лиево кольцо косо-симметрических элементов и S — лиев идеал С. Пусть А — первичное кольцо с инволюцией, К. — лиево кольцо кососимметрических элементов А и 1Z — нецентральный лиев идеал К.. Пусть С — расширенный центроид кольца А, % = Tt/IZCiC и пусть a : S — TZ — сюръективный лиев гомоморфизм. Предположим, что спаг(Д) ф 2 и А не удовлетворяет 5 40; стандартному тождеству степени 40. Тогда существует гомоморфизм ф : (S) —»• {Ti)C +С такой, что х — ха для всех х Є S. Более того, если инволюция кольца А первого рода, то ( 5) = (7?.).
Теорема 6 Пусть Л — первичное кольцо с инволюцией, /С — лиево кольцо ко со симметрических элементов, Q = QmT(A) — максимальное правое кольцо частных и С — расширенный центроид. Пусть Ті. — нецентральный лиев идеал К,, Q = Q/C, Ті = 72./72. П С и пусть 8 :7i— Q лиево дифференцирование, отображающее Ті в Q. Пусть у • Ті —+ Q любое отображение такое, что х ї = xs для всех х Є 72., и В = 7Z\J TV. Предположим, что char( 4) ф 2 и А не удовлетворяет St4o, стандартному тооюдеству степени 40. Тогда существуют дифференцирование d : (Ті) — {В)С +С и отображение ц : 72. — С такие, что х — ху + fi(x) для всех х Є Ті {отсюда xs — xd для всех х Є Ті).
Более того, еслиТІ6 С Ті, mo справедливо следующее:
(a) ц{[ТІ,Щ) С Z(7i) = ТІ ПС.
(b) xd - ц{х) Є ТІ для всех х Є Ті (отсюда (7i)d С {ТІ)С + С).
(c) Если К = [Ti,Ti], mo 7ld С Ті (отсюда (Ti)d С {Ті)).
В третьей главе функциональные тождества используются для описания операторов, сохраняющих алгебраические свойства элементов. В первом параграфе рассматриваются операторы, сохраняющие коммутативность. В частности, доказан следующий результат.
Теорема 7 Пусть А и А — центрально замкнутые первичные алгебры с единицами над полем С, пусть TiuTi! — собственные левые идеалы алгебр А и А соответственно и пусть а : Ті — 72- биективное линейное отображение. ПуЬть deg(72.),deg(72/) 4 и char(C) ф 2. Предположим, что [(а2)01, ] = 0 для всех а Є Ті. Тогда существуют 0 ф Ь Є С, (антигомоморфизм f : Ті, —У 7І + С и линейное отображение ц : Ті — С такие, что ха = Ьх1 + п(х) для всех х Є Ті. Более того, если у Ті в А есть ненулевой правый апиулятор, то п = 0 и j : 7Z — Ті является изоморфизмом.
Второй параграф посвящен описанию операторов, сохраняющих нормальные элементы. Его целью явлются следующие теоремы.
Теорема 8 Пусть Л и Л центрально замкнутые первичные алгебры над полем \F с инволюцией второго рода. Предположим, что deg(A) 2, deg(A ) 2, и сЬаг( ) ф 2,3. Пусть в : А — А - — биективное линейное отображение, что элемент 9{х) является нормальным при условии, что х Є А является нормальным. Тогда существуют О ф а Є F, линейное отображение (3 : А —+ J- и — (анти)эпиморфизм ф алгебры А на А такие, что 9(х) = аф(х) + 0(х) для всех х Є А.
Теорема 9 Пусть А и А центрально замкнутые первичные алгебры над полем J- с инволюцией первого рода. Предполооїсим, что deg(A) 6, deg(.A ) 13 и char ) ф 2,3. Пусть в : А —» А — биективное —линейное отображение, что элемент 0{х) является нормальным при условии, что х Є А является нормальным. Тогда существуют 1 1, № Є Т, /іі ф fi2 І і ф 1 2, линейное отображение w : (JC) —+ Т, и -эпиморфизм ф алгебры (/С) на {К, ) такие, что в{х) — ф(у,\Х + ціх ) + UJ(X + х ) для всех х Є (/С).
В четвертрй главе описаны умножения на лиевых идеалах первичных алгебр и алгебрах Ли косимметрических элементов, относительно которых операция взятия третьей степени ассоциативна. В частности, доказан следующий результат.
Теорема 10 Пусть J- — коммутативное кольцо с 1 и \, пусть С — алгебра Ли над J-, удовлетворяющая одному из двух условий:
(г) Существует первичная J--алгебра А с расширенным центроидом С и центральным замыканием АС такая, что deg(»4) 5 и С — нецентральный лиев идеал алгебры А.
(И) Существует первичная J- -алгебра А с инволюцией первого рода, с расширенным центроидом С такая, что deg(.4) 10 и С = К{А).
Пусть : С2 — С — Ли-совместимое умножение па С. Тогда справедливо:
(a) Операция взятия третьей степени относительно умноэюения : } —» ассоциативна тогда и только тогда, когда существуют обратимый элемент t Є С, элемент А Є С, -линейное отображение ц : С — С, и симметрическое -билинейное отображение т : С2 — С такие, что x y s= -{t[x,y] + \xoy + n(x)y + p,(y)x + r(x,y)} (0.1) для всех х,у Є С. Здесь х о у означает ху + ух.
(b) Алгебра (,-f, ) является гибкой тогда и только тогда, когда выполнено (0.1) м справедливо р,([х,у]) — 0 = т(ж, [х,у]) 9ЛІГ бсеаг х,у Є С.
Основные результаты работы следующие:
1. Рассмотрены обобщенные функциональные тождества произвольной степени. Это обобщает результат Брешара [36] и подтверждает предположение [36, стр. 691].
2. Изложены необходимые понятия и результаты, относящиеся к конструкции d-свободных множеств, что является основой для приложений функциональных тождеств.
3. Решены проблемы Херстейна описания лиевых изоморфизмов и лиевых дифференцирований для лиевых идеалов первичных колец [56, стр. 529].
4. Решены проблемы Херстейна описания лиевых изоморфизмов и лиевых дифференцирований для лиевых колец кососимметрических элементов в первичных кольцах с инволюцией [56, стр. 529].
5. Рассмотрены задачи описания отображений, сохраняющих коммутативность, и отображений, сохраняющих нормальные элементы, что дает новый метод для работы с операторами, сохраняющими алгебраические свойства элементов и обобщает некоторые результаты статей [13, 32, 51, 52, 115, 116, 117, 118].
6. Описаны умножения на лиевых идеалах первичных алгебр и алгебрах Ли косимметрических элементов, относительно которых операция взятия третьей степени ассоциативна, что обобщает некоторые результаты работ [23, 25].
Все полученные результаты являются новыми и могут быть использованы при исследовании некоторых вопросов теории колец.
Р езультатьк диссертации докладывались на семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры механико - математического факультета МГУ в 1996-2003, на алгебраических семинарах Мариборского университета (Марибор, Словения), Тайваньского государственного университета (Тайбэй, Тайвань), университета им. Сунь Ятсена (Гаосюн, Тайвань) и университета им. Ченг Гуна (Тайнань, Тайвань), на конференции по теории колец в Мишкольце (Венгрия) в 1996, на конференции, посвященной памяти Д.К. Фаддеева, в Петербурге в 1997, на конференции, посвященной памяти А.Г. Куроша, в Москве в 1998, на алгебраической конференции в Тайнане (Тайвань) в 2001.
Основные результаты опубликованы в 26 работах, список которых приведен в конце диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Полный объем диссертации — 215 страниц, бибилиография включает 155 наименований.
Автор выражает глубокую благодарность своим научным консультантам доктору физико-математических наук профессору МГУ Александру Васильевичу Михалеву и доктору физико-математических наук профессору ТулГУ Валерию Ивановичу Иванову за полезные обсуждения, постоянную поддержку и внимание к работе.
Определения и обозначения
В теории функциональных тождеств особую роль играют кольца частных. Мы будем следовать терминологии книги [20]. Кольцо 7с называют первичным, если для двух идеалов U и V кольца 7с равенство UV = 0 влечет U = 0 или V = 0. Введем понятие максимального правого кольца частных. Напомним, что правый идеал J кольца 7с называется плотным, если для любых 0 ф Гі Є 7с, г2 Є 7с существует г Є 7с такой, что гіг ф 0 и г2г Є і/. Множество всех плотных идеалов кольца 7с обозначим через Т . Рассмотрим множество пар где / - гомоморфизм J в 7с как правых 7с - модулей. Пары (/; J) и ( ?; /С) считаются эквивалентными, если существует идеал С J П /С такой, что С Є V и f = д я& С Обозначим через {/ , 7} класс эквивалентности с представителем (f ,J) Є Т і. Определим на множестве классов эквивалентности операции сложения и умножения по следующим правилам: где является плотным идеалом ввиду [20, Предложение 2.1.1.]. Множество классов эквивалентности с заданными операциями сложения и умножения является кольцом Qmr(7), которое называется максимальным правым кольцом частных. Центр С кольца Qmr{jVj называют расширенным центроидом кольца 7. Подкольцо TZC = TZC + С называется центральным замыканием кольца It. Подмножество Qr{TZ) элементов Qmr(7t) таких, что для любого q Qr( ) найдется ненулевой идеал U такой, что qU С. 7Z образует кольцо называемое правым мартиндейловским кольцом частных. Нас.также будет интересовать подмножество Qa(7?.) элементов Qmr(TZ) таких, что для любого q Qs(7t) найдется ненулевой идеал Ы такой, что qUXMAqC. 1Z. Это подмножество образует кольцо называемое симметрическим кольцом частных. Аналогичным образом можно определить максимальное левое кольцо частных Qmi(7V) и мартиндейловское левое кольцо частных Qi(1Z). Пусть г — натуральное число, 7Z — некоторое множество и Q — некоторое кольцо. Для отображения F : VJ X — Q и 1 і г, определим отображение Аналогично, для отображения р : lZr 2 — Q и 1 і j г мы определим отображение р13 = р?% : V, — Q. по правилу ля удобства подразумевается, что отображение, определенное на 72., является константой из Q и отображение, определенное на 1Z 1, является нулевым. Мы будем также писать (здесь t (z Q — это такой элемент, что 1Zt С TV). Основной целью этой главы является следующая теорема Теорема 1.1.1 Пусть 71 первичное КОЛЬЦО, Q Є {QmhQmr}, С — расширенный центроид, г 2 — целое число и щ ггц, і = 1,... ,г — неотрицательные целые числа. Пусть V — конечномерное подпространство векторного пространства Q над С, и пусть Eji,Fik : TV-1 — Q — такие отображения, что для всех xi.. .,xr Є 71, где {a[,... ,aJn.} и {b{,... ,6 .), j — 1,... ,r, суть С-иезависимые подмножества Q.
Тогда выполняется одна из двух возможностей: (i) 7ZC — примитивное кольцо с. ненулевым цоколем и e7Zct — конечномерная алгебра с делением над С для каждого минимального идемпотента е из 1ZC, или (И) существуют и единственны отображения pjnk : 7ZT 2 — Q и \цк : 7ZT l —+ С такие, что Более того, если все отображения Е3{ и Fik являются аддитивными по каждому аргументу, то это же справедливо для отображений PjUk U \цк. Случай когда г = 2, V = 0 и образы отображений лежат в 7ZC был рассмотрен Брешаром в работе [36]. Помимо этого Брешар высказал предположение о том, что результаты о тождествах степени 2 могут быть продолжены до более общего случая [36, стр. 691], что и подтверждает теорема 1.1.1. В работе [133] теорема 1.1.1 была обобщена на тождества с фиксированным антиавтоморфизмом, а в работе [136] были рассмотрены тождества с дифференцированиями, автоморфизмами и антиавтоморфизмами. Поскольку стиль доказательств близок к теореме 1.1.1, но при этом требуется значительное увеличение терминов и обозначений, мы ограничимся доказательством теоремы 1.1.1. Доказательство теоремы 1.1.1 будет опираться на серию вспомогательных результатов, которые мы приведем ниже. Пусть X — бесконечное множество, С(Х) — свободная алгебра с единицей на X и Q{X) — свободное произведение С-алгебр Q и С{Х). Элемент р(.т11ж2,... ,жп) Є Q(A ) называется обобщенным полиномиальным тождеством (GPI) на 71, если p(ri,г2,..., г„) = 0 для всех гх, г2,...,гп Є 7Z. Если 71 удовлетворяет ненулевому обобщенному полиномиальному тождеству, то 71 мы будем говорить, что 71 — GPI кольцо. Структура GPI колец описана в теореме Мартиндейла [20, Corollary 6.3.3]. Теорема 1Л.2 ([20, Corollary 6.3.3]) Пусть К — первичное кольцо. Предположим, что % удовлетворяет ненулевому обобщенному полиномиальному тооїсдеству. Тогда центральное замыкание 7ZC кольца 7Z содержит ненулевой идемпотент е такой, что e7Zc — минимальный правый идеал (отсюда 7ZC — примитивное кольцо с ненулевым цоколем.) и e.7Zce — конечномерная алгебра с делением над С. Пусть N — множество неотрицательных целых чисел и J\f = {п Є jV I n 0}. Обозначим через \S\ — мощность множества S. Для любого 7 Є Q, определим отображения lq,rq : Q — Q по правилу Ясно, что / j,rg Є Endc( 2). Положив заметим, что M(7) = /2; Д. С Endc(Q) является подкольцом кольца эндоморфизмов Endc(Q). Если h = Y%=\ L bi Є М(71) и х Є Q, то h(x) = Y%=1 аіхЬі. Теорема 1.1.3 ([20, Theorem 2.3.3]) Пусть Л — полупервичиое кольцо с расширенным центроидом С, Q ( {Q.mi{A), Qmr{A)}, п Є N, п 1 и Ч\Лїч- , 7п Є Q. Предположим, что q\ Yl?=2 4i Тогда существует h Є М{Л) такой, что h(qi) ф 0 и h(q,) = 0 для всех і = 2,3,... ,п. Лемма 1.1.4 ([20, Lemma 6.1.8]) ПустьТІ — не GPIпервичное кольцо, U — непулевой идеал кольца Л и ТІ = {fij(x) Є Q{X) j = 1,2,... , гц}, і = 1,2,... ,m, подмнооїсестпва Q{X), каждое из которых С-независимо. Тогда существует такой элемент а Є ZY, что для каоїсдого і — 1,. ..,т, Ti(a) = {fij{a) I j — 1 2, ...,n,-} является С-иезависимым подмножеством Q. Лемма 1.1.5 Пусть Ті. — не GPI первичное кольцо, пусть r,nj Є JV где j = 1,2,..., г, и пусть все подмнооїсестпва {qji,qj2,... , 7jn,} = QmiCR), і = 1,2,...,г, — С-независимы. Тогда существует такой элемент а Є ft, что каждое подмножество {aqji,aqj2,... , a Zjn,} является С-независимым и все aqji Є ft. Доказательство. Пусть По [20, Lemma 2.1.8], J — плотный левый идеал ft. По [20, Lemma 2.19, Proposition 2.1.10], J ПерВИЧНОе КОЛЬЦО И Qml(J) = Qmf(ft)- ЛеМ ма 1.1.4 завершает доказательство. ДЛЯ ЭЛеМеНТОВ Хі,Ж2, . . . ,ХГ Є ft, ПОЛОЖИМ Xr = (хі, Х2, . ., хг) Є TV, где под ftr мы подразумеваем г-ю степень декартова произведения множества ft. Теорема 1.1.6 Пусть г Є М , rij Є М, j = 1,2,..,,г и V — конечномерное подпространство векторного пространства Quad С. Пусть gjk : TZr l — Q, j = 1,2,..., г, к = 1,2,..., п,-, отображения, и пусть каоїсдое из множеств {а{,а32,..., а.} Q Q, j = 1,2,..., г, является С -независимым. Предположим, что 7Z не GPI и Доказательство. Если Q = Qmr, то по лемме 1.1.5 существует такой элемент b Є 11, что {a{b,a32b,... ,a3n.b} — С-независимы и все akb Є 71-Умножая (1.2) на Ъ справа мы сводим доказательство к случаю, когда а3к Є 1Z. Случай Q = Qmi(TZ) более сложный. Пусть Q = Qmi(7Z). Предположим, что теорема неверна. Без ограничения общности будем считать, что rij ф 0 влечет, что gjk ф 0 для всех 1 к п,-. Положим Пусть s Є К{Щ, то есть 1 s г и n, / 0. По лемме 1.1.5 существует такой элемент b Є 1Z, что все ba ba ,... ,Ьа3Па являются С-независимыми и все Ьа% Є 7. Положив Н(хг) = Н(хі,.. .,жа_і,а:3&,ж5+і,.. . ,жг), мы имеем Понятно, что К{Н) С К(Н). Так как мы хотим доказать, что все gsk равны 0 то без ограничения общности можно считать, что для любого фиксированного s Є К{Н) элемент ask Є "П. Проведем индукцию по \К{Н)\.. Пусть \К(Н)\ — 1. Без ограничения общности мыгможем считать, что п = щ ф 0 и rij — 0 для всех j Ф I. Более того, мы можем считать, что все а\ 1Z . Фиксируем Х2,х3,...,хг Є
Алгебраичность подмножеств первичных колец
Всюду далее N — множество неотрицательных целых чисел, Л/" = JV \ {0}, Т — коммутативное кольцо с единицей, Q — .F-алгебра с 1 и центром С, и С — группа обратимых элементов кольца С. Для непустого множества S, п Є Л/ и s\,S2,... ,sn Є S, положим sn = (si,s2,... ,sn) Є Sn где под Sn мы подразумеваем п-ю степень декартова произведения множества S. Элемент х Є Q называется алгебраическим над С степени п, если существуют со, сі,..., с„ Є С такие, что J2i=o CiXn l = 0. Элемент х называется алгебраическим над С степени п, если он является алгебраическим степени п и не является алгебраическим степени п — 1. Под deg(a;) мы подразумеваем степень алгебраичности элемента х над С (если а; ал-гебраичен над С) или со (если ж не алгебраичен над С). Для непустого подмножества 71 С Q, мы положим Если А — первичное кольцо, Q — максимальное правое (или левое) кольцо частных и deg( ) = п со, то из теории колец с полиномиальными тождествами [120, 124] известно, что кольцо А изоморфно подкольцу В кольца п X п матриц над С, алгебраическим замыканием С, причем ВС = Мп{С). Наша задача — определить .степени алгебраичности -некоторых важных подмножеств первичного кольца А как функций от deg(.4). Для п Є -А/ , обозначим где Sn+i — группа перестановок п + 1 элементов и (—I) 7 — знак перестановки а. Пусть а Є А. Согласно [20, Corollary 2.3.8], deg(a) п тогда и только тогда, когда дп(а, Ъп) =0 для всех Ьп 6 Л". Как и раньше мы будем обозначать через Qmr(A) (Qmi(A)) максимальное правое (соответственно, левое) кольца частных кольца А. Лемма 1.2.1 Пусть А — первичное кольцо u1Z — нецентральный лиев идеал кольца А. Тогда deg(7) = deg(.4). Доказательство. Положим Q = Qmr(A). Поскольку кольцо А — первично, то С является полем. Предположим, что deg(.4) = 2. Если deg(7) deg(.4), то deg(7) = 1и, стало быть, Я С С. Значит, 7L — центральный лиев идеал кольца А, противоречие. Без ограничения общности мы можем теперь считать, что deg( .) 2. Ввиду [80, Theorem 13] существует ненулевой идеал X кольца А такой, что [Х,Х] С 7. Предположим, что deg(7) = п deg(.4). Так как deg(ft) = п, то gn(a,bn) = 0 для а Є ТІ и 6„ Є Ап по [20, Corollary 2.3.8].
Фиксируем произвольное число s Є J\f . Мы имеем, что gn(11i-i[xi,2і],Уп) является полиномиальным тождеством на I для любого s. Согласно [14, Теорема 2] всякое полиномиальное тождество полупервичного кольца является полиномиальным тождеством на его максимальном правом кольце частных. Отсюда дп(І2ї=і[хіі2і]іУп) — полиномиальное тождество на Qmr(Z) = Qmr(A) = Q (см. также [20, Theorem 6.4.1]). По теореме Познера dimc(Q) со (см. [20]). Если \С\ оо, то Q — кольцо матриц над С по теореме Веддерберпа о конечных телах (см. [20]). Если \С\ = со, то всякое полиномиальное тождество на Q стабильно при расширении основного поля [120, Theorem 3.16] и, стало быть, при тензорном домножении на алгебраическое замыкание поля С, мы сводим доказательство к случаю когда Q — это кольцо матриц над С. Ясно, что [Q,Q] = { =i[s,-,2i] I xt,zi Є Q, s = 1,2,...} и значит дп(х,Уп) = 0 для всех х Є [Q, Q], уп Є Qn. Из [20, Corollary 2.3.8] мы получаем, что [Q, Q] алгебраично степени п над С. Поскольку А С Q и deg( 4) п, мы имеем Q — Мк{С), где & п. Известно, что [Q, Q] — это множество матриц следа ноль. Рассмотрим 2 случая. Случай 1. Предположим, что \С\ со. Известно, что существует и единственно расширение поля С УС такое, что степень dime (С) = к — 1 и С — СЩ для .некоторого примитивного элемента t Є С (см. [75]). Пусть /(х) Є С[х] — неприводимый полином для t над С. Ясно, что deg(/) = к — 1. Мы можем рассматривать С как С-подалгебрукольца Mjt_i(C). Тогда /(ж) — минимальный полином элемента t. Стало быть, t алгебраичен степени к — 1 над С. Обозначим через q след матрицы t. Поскольку q Є С и /(х) неприводим над С, то f[—q) ф 0. Положим f Є [Q, Q]. С другой стороны, deg(i ) = к п, противоречие. Случай 2. Предположим, что С = со. Выберем такие элементы А,- Є С, і = 1,2,..., -1, что Aj ф Afc для всех j = 1,2,..., к — 1, где А , = — Y2iZi i- Обозначим через t диагональную матрицу diag(Ai, А2,..., А ). Ясно, что след t равен нулю (и, значит, і Є [Q, О]) и deg(i) = к, противоречие. Значит, deg(7) = deg(A). Доказательство завершено. Доказательство. Положим Q = QmT(A). Пусть п = deg(S(A) U JC(A)). Если п = со, то доказательство завершено. Предположим, что п со. Покажем, что все сводится к случаю, когда А кольцо матриц над С. В самом деле, по [20, Corollary 2.3.8], дп(а + а ,Ъп) = 0 = дп(а — а ,Ъп) для всех а Є А и Ьп Є Ап. Согласно теореме Амицура [5] кольцо А является Pi-кольцом и, таким образом, его центральное замыкание АС является центральной простой алгеброй над С (см. [20, Theorem 6.1.11]). По [20, Proposition 2.5.4] инволюция может быть единственным образом продолжена на АС. Согласно [20, Theorem 6.3.18], всякое -полиномиальное тождество полупервичного кольца является тождеством на его центральном замыкании, и стало быть, дп(а + а , Ъп) = 0 = дп(а — а , Ь„) для всех а Є АС и Ъп Є АСп. Используя [20, Corollary 2.3.8], мы заключаем, что deg(S(AC) U }С(ЛС)) = п. Те же самые аргументы, но по отношению к А дают deg(.4) = deg( C). Таким образом, без ограничения общности, мы можем считать, что А — это центральная простая С-алгебра. Если \С\ оо, то А является кольцом матриц над С по теореме Веддерберна о конечных телах. Теперь можно считать, что \С\ = оо. Так как С является центром А, имеем (С) = С. Пусть Т — S(C). Тогда dirnr(C) 2 и.отсюда \!F\ = оо. Пусть .F является алгебраическим замыканием Т. Тогда инволюция "-алгебры А продолжается единственным образом на "-алгебру А — A jr F так, что (а Ь) = а b для всех а Є Ли 6 Є Т. Ясно, что S(A) = S(A) У и К(А) = К{А)У. Из [16, Lerama_2.3] следует, что дп(а + а ,Ьп) = 0 = дп(а — а ,Ьп) для всех а Є А и Ьп Є Ап. Хорошо известно, что А является либо прямой суммой двух матричных алгебр одного размера над Т с перестановочной инволюцией (то есть, (а, Ь)" — (Ь, а)) или А — это матричная алгебра над Т. В любом случае, А — полупервичное кольцо. Так как дп(а + а ,Ьп) = 0 = дп(а — а ,Ьп) для всех а Є А и Ьп Є Х\ то [20, Corollary 2.3.8] _влечет, что deg(S{A)_Li (34)) = п. Аналогично доказывается, что deg(.4) = deg(A). Если А является суммой двух матричных алгебр над J-" с перестановочной инволюцией, то легко видеть, что deg(.4) = п и значит deg(«4) = п. Таким образом, без ограничения/общности можно считать, что А — кольцо т х т матриц над полем С. Пусть А = Мт(С). Достаточно доказать, что т = п. Согласно описанию инволюций в матричных алгебрах над полями [59], нам следует рассмотреть два случая. Случай 1. Существует инволюция с - с, с Є С, на С и обратимая диагональная матрица X = diag{7r!, 7Г2,... ,пт} такие, что все 7г,- = WI и A = X l{ja]i)tj=iX для всех A = (ay)Jj=i Є Mm(C). Рассмотрим Mm(C) как алгебру линейных преобразований векторного пространства V над полем С с базисом {ui,V2,...,um}. Определим линейное преобразование Ясно, что Л = Л. Из определения А мы получаем, что AkV\ Є 111 CUJ и Akvi 2 =1 СУ,- для всех і = 0,1,..., m — 1 и отсюда 1, A,..., Am_1 являются линейно независимыми над С. Это эквивалентно тому, что deg(A) = m. Так как А Є S(A) и deg(«S(.4)) n deg(,A) = m, мы заключаем, что т = п. Случай 2. Инволюция является симплектической. В этом случае число т четно. Пусть к = т/2. Отождествим Мт(С) с Мк(С) 8 с М2(С). Пусть А - А, А Є Mk(C), инволюция, являющаяся транспонированием, и пусть а : М2(С) - М2(С),
Тождества вовлекающие инволюцию
Положим п,х = гс,- — fc,x г = 1,2,..., m. Линеаризовав (1.88) и используя теорему 1.2.24, мы получаем, что 13 ,( 1,,(1), 2/1 (2), . . . , 2/і г,(пц,), , Утст{1), -, Ут тт(птЬ)) = О для всех j/,j Є S. Подставляя ж,- вместо у, -, 1 г m, j = 1,2, ...,п,х, мы завершаем доказательство. Функциональные тождества с инволюцией были изучены в работе Бей-дара и Мартиндейла [18]. Нашей задачей будет некоторое развитие их результата с той целью, чтобы использовать тождества с инволюцией для решения проблемы Херстейна на лиевых идеалах кососимметриче-ских элементов. Мы докажем следующую теорему. Теорема 1.2.38 Пусть d N , Л — первичное кольцо с инволюцией и кососимметрическими элементами /С = К{Л), 7Z. — нецентральный лиев идеал лиева кольца К, и пусть Q Є {Qmh Qmr} Предположим, что char( 4) ф 2 и deg(«4) 2d + 3. Тогда 7Z — d-свободное подмножество Q. Пусть Л" : .Д"1-1 — Q — некоторое отображение, агІ5 хг,..., хт+і Є Л иі i i m + l. Для простоты, мы будем писать Нас будет интересовать случай, когда Л удовлетворяет функциональному тождеству + ЕЕ #«= О, (1.89) Понятно, что а = О (Ь = 0, а = 0, 6 = 0) если J = 0 (соответственно, J = 0, /С = 0, = 0). Какие решения заведомо удовлетворяют (1.89)? Допустим, что существуют отображения Понятно, что если m = 1, то все piajp, qiais, rjpkf и siryis равны 0. Несложно убедиться в том, что EicFjp Gk-ytHis действительно является решением (1.89). Выражения (1.90)-(1.95) мы будем называть стандартным решением функционального тождества (1.89). Теорема 1.2.39 Предположим, что Л удовлетворяет (1.89) и Тогда (1.89) имеет стандартное решение. Доказательство. Проведем индукцию по \1\ + . Сначала предположим, что \Х\ + \С\ = 0. Тогда 1 = 0 = , deg(t) max{ + a, \J\ + b] и результат следует из [18, Theorem 3.5]. m m В случае \X\ -f 0, без ограничения общности мы будем считать, что 1 Є X \J С. Подставляя xjx +1 вместо хі в (1.89) и используя (ХіХт+іУ = xm+ixl мы видим, что Ясно, что \T\ + = J + , U + = U + и, таким образом, выполняется условие (1.96). Так как 1 Є JU , ХУ + \Т\ + j, то индуктивное предположение вместе с (1.97) дают следующее (здесь все суммы вовлекающие Аш+і а и (J.m+itls равны нулю ввиду (1.90) и (1.91), поскольку m + 1 1 и т+1 0 ). Так как J + /C 1 + /С, то ввиду [18, Theorem 3.6] (где х\ следует заменить на х\) мы получаем (здесь /5 заменена на S). Заметим, что цхУ$ = 0, если 1 $ /С, и все слагаемые в (1.98) равны нулю при 1 . С. Так как 1 71 + J7" 4- то из [18, Theorem 3.6] (а если быть точным, то из результата симметричного к [18, Theorem 3.6]) мы получаем, что (здесь 7 заменена на о;). Как и выше заметим, что все слагаемые в (1.99) равны нулю, если 1 X, и все \\ар — О, если 1 J. Подставляя (1.98) и (1.99) в (1.89).мы получаем Теперь мы имеем, что Х + Х + и индуктивное предположение завершает доказательство.
Следствие 1.2.40 Пусть К = К{А) или К = S(A), пусть Eia,Fjp : Пт 1 - Тогда существуют и единственны отображения piajp 7tm 2 — Q и \{а(3 : 7m-1 — С такие, что для всех iGZ,jEj,0 a a, 0 /3 b. Дадим набросок доказательства следствия 1.2.40. Подставив ж,- + tx\ вместо ж,- в (1.100), (е = ±1 в зависимости от 7Z = S(A) или 7Z = /С(Л)), получаем где /а = -а(жі + exj,..., хт + tx m), и так далее. Условие deg(i) max{2I + a,2\J \ + 6} необходимо для применения теоремы 1.2.39, и значит (1.102) должно иметь стандартное решение. Следуя доказательству [18, Theorem 4.1] мы получаем, что Е{а и Fjp имеют требуемый вид. Заменяя ж,- на ж,- + еж? в (1.101) мы получаем Ті = А Є С. Из условия deg(f) max{2J + a, 2\J\ + 6) + 1 мы получаем deg(f) тах{2Х\ + а + 1,21 1), то есть условие, которое нужно для использования [18, Corollary 3.4], что влечет А = 0, а этот случай уже был рассмотрен. Теорема 1.2.41 Пусть А — первичное кольцо с инволюцией , симметрическими элементами S(A) и косо симметрическими элементами К.(А), и пусть либо Ті. = S(A), либо Ті = 1С(А). Пусть d Є М и t Є S{A) U JC(A). Предположим, что deg(t) 2с/+ 1. Тогда "Я, — (t;d)-ceo6odno. Доказательство. Предположим, что d max{J + a, \J\ + 6} и выполнено (1.41). Тогда мы имеем, что deg(i) 2d 2max{J + a, \J\ + 6} max{2J + a,2\J\ + b} и ввиду следствия 1.2.40 справедливо (1.43). Пусть выполнено (1.42) и d max{J + a, \J\ + 6}. Тогда deg( ) 2d 2(max{J + a, \J\ + 6} + 1) max{2J + a,2\J\ + 6) + 1
Лиевы гомоморфизмы лиевых идеалов кососимметрических элементов
Пусть Т — коммутативное кольцо с 1 и А —ассоциативная -алгебра с инволюцией . Пусть множество симметрических и кососимметрических элементов алгебры А, соответственно. Хорошо известно, что /С — алгебра Ли и S(A) — йорданова подалгебра А. Под лиевым идеалом fC мы будем понимать "-подмодуль Т "-модуля./С, удовлетворяющий [Т,/С] С Т. Например, [, /С] — лиев идеал 1С. Следующий результат подводит черту под программой Херстейна об описании лиевых изоморфизмов решая последнюю из открытых проблем в этой области [56, стр. 529, problem 5]. Теорема 2.3.1 Пусть 72 — -алгебра с инволюцией, С — мнооїсество кососимметрических элементов алгебры Т , и пусть S — лиев идеал С. Пусть А — первичная --алгебра с инволюцией, С — расширенный центроид, К, — мнооїсество кососимметрических элементов алгебры Л, 71— нецентральный лиев идеал К, и пусть 7Z = 7Z/7Z Г\С. Наконец, пусть a : S — 71,— сюръективный лиев гомоморфизм. Предположим, что deg(A\ 20.u char(.4) ф 2. Тогда существует гомоморфизм ф : (S) —У (7V)C + С такой, что х = ха для всех х Є S. Более того, если инволюция А первого рода, то (S) = (7Z). Частные случаи этой теоремы, в которых требовалось условие существования нетривиальных идемпотентов, были рассмотрены Мартиндей-лом [94], Роузен [123], Аюповым и Азамовым [9, 10]. В качестве следствия теоремы 2.3.1 и [19, 27,155] мы получаем следующий результат, который дает решение проблемы Херстейна в случае простых колец. Теорема 2.3.2 Пусть 7) — простая J7- алгебр а с инволюцией и расширенным центроидом Т, С —мнооїсество кососимметрических элементов алгебры V, S — [С, С] и пусть S = S/(S П Z{T )). Пусть далее А — простая J7-алгебра с инволюцией и расширенным центроидом С, К, V — множество кососимметрических элементов алгебры A, 71 = [1С, 1С], и пусть 71 — 7Zf(7i.f] 2(A)). Наконец, пусть a : S — 7Z — изомор физм алгебр Ли .:Предположим, что char( ") ф 2 и выполнено одно из следующих условий: Тогда существует изоморфизм ф : Т — А такой, что ха = х$ для всех % xeS. Мы также установим справедливость следующих результатов. Теорема 2.3.3 Пусть А — простая J--алгебра с инволюцией , с расширенным центроидом С, и множеством кососимметрических элементов 1С. Пусть далее 71 = [1С,1С], И = 71/(71П_2(А)), Autjr(7Z) uAutjr(7Z) — группы автоморфизмов алгебр Ли 7Z uTZ соответственно, и пусть что char ) ф2 и выполнено одно из следующих условий: (a) Инволюция первого рода и dimc( 4) ф 1,4,9,16,25,64. (b) Инволюция второго рода и dime(«4) 4 (если char(Jr) ф 3) или л dime (Л) 9 (если char(.F) = 3). Теорема 2.3.4 Пусть А — первичное кольцо с инволюцией , косо-симметрическими элементами 1С и расширенным центроидом С. Далее, пусть 71 — нецентральный лиев идеал 1С. Предположим, что сЬаг(Л) ф 2 и deg(.4) 20.
Тогда кольцо Ли 71 = 71/(7ІГіС) не является гомоморфным образом лиева идеала ни для какого кольца. Случай TZ = 1С был рассмотрен в теореме 2.1.6. Лиевы (йордановы) гомоморфизмы можно рассматривать как отображения, сохраняющие полином ху — ух {ху + ух, соответственно). Мы коснемся проблемы описания отображений сохраняющих произвольный полином. Частные случаи этой проблемы были рассмотрены Капланским [69] (полином хух), Джекобсоном и.Рикартом [66] (полином [[x,y],z]) и Херстейном [56] (полином хп). Использование функциональных тождеств для этой проблемы доказало свою эффективность в работе Брешара, Мартиндейла и Майерса [42] и особенно в статье Б ейд ар а и Фонга [15]. Мы докажем следующую теорему. Теорема 2.3.5 Пусть А — первичное кольцо с сЬаг(Л) ф 2, инволюцией и расширенным центроидом С. Пусть 1Z — нецентральный лиев идеал лиева кольца К,{А), Т — такое подкольцо кольца S{C), что Є J-, FTl = 1Z и ТА = А. Пусть Т — J--алгебра с инволюцией, S — лиев идеал Т-алгебры JIu.JC{"D). Далее пусть 0 ф f(x\, х2у... ,хт) Є Т{Х) — полилинейный полином от переменных Х\,х2,..., хт, т 2, такой, что /(Si, 2,.-.. ,-Srn)..Є S для всех Si Є S и пусть a : S — 1Z — эпиморфизм .Т -модулей такой, что Предположим, что deg(A) max{4m + 2,20} и выполнено одно из следующих условий: Тогда существуют Є С, Т-линейное отображение ц : (S) —+ С и гомоморфизм J--алгебр (5 : (S) — {7Z)C +С такие, что m_1 = \} и n(f(si,S2,...,sm)) = 0 для всех S{ Є S. Более того, если fXi, частная производная f по ж,-, отлична от нуля для некоторого 1 і т, то /і = 0 и (5) = (К). В качестве следствия к теореме 2.3.5 мы получим решение проблемы Херстейна об аддитивных автоморфизмах К, сохраняющих полином х2п+1 [56, Problem 1, стр. 528]: Теорема 2.3.6 Пусть Л — первичная -алгебра с инволюцией и косо симметрическими элементами К,, С — расширенный центроид алгебры Ли пусть т 3 нечетное число. Далее пусть, Т — J--алгебра с ин волюцией и ко со симметрическими элементами Си пусть а : С —» К, — сюръективные отображения -"-модулей такие, что (хт)а = (ха)т для всех х Є С Предположим, что char( 4) ф 2 и deg(.4) max{4m + 2,20}. Тогда существуют гомоморфизм F-алгебр /3 : () —» (fC)C + С, J- линейное отображение у. : (С) — С и элемент ( Є С такие, что "»-і = і и ха = х13 + ц(х) для всех х Є С. Более того, если char( ) = О или char(«4) = р О и т не является степенью р, то р, = 0. Далее мы будем считать, что Т — коммутативное кольцо с 1, Q — "-алгебра с 1 и центром С, и 7 — подмножество Q.
Положим Q = Q/C и "R, = 71/(ИПС). Мы будем отождествлять 7Z. с (71 +С)/С С Q и заметим, что Q — фактор-алгебра Ли Q по лиевому идеалу С. Нашей главной целью будет теорема 2.3.10, которую мы будем доказывать в несколько шагов. Сначала мы сведем общий случай проблемы описания лиевых гомоморфизмов к случаю, когда область определения замкнута относительно тройного йорданова произведения xyz -j- zyx (что в классических обозначениях означает, что случай [К., /С] сводится кХ). Лемма 2.3.7 Пусть Т — 3--алгебра, В — лиева подалгебра алгебры ,, Т такая, что xyz -{ zyx Є В для всех x,y,z Є В и S — лиев идеал В. Далее, пусть 7Z — подмодуль F-алгебры Q и a : S — Q.— отобраэюепие -модулей такое, что Sa — 1Z и (b) где А Є С — некоторый обратимый элемент. Предположим, что 1Z — -свободное подмножество Q и С — прямое слагаемое С-модуля Доказательство. Мы начнем с простого наблюдения. Пусть V — подмодуль Q, содержащий 1Z. Тогда V — 9-свободно по теореме 1.2.10. Пусть с Є (V). Тогда сх — хс = 0, х Є V, и отсюда с Є С ввиду следствия 1.2.29. Таким образом, 2(V) = С П V. Рассмотрим множество Г2 всех пар (W;j ), удовлетворяющих условиям (a)-(d). Для {U \i),(U"\i ) Є П, мы будем писать (U ;i) \u";i ) при условии, что W 2 И" и а;7 = х7 для всех х Є Ы". По лемме Цорна множество fl имеет максимальный элемент, который мы обозначим (U;7) Остается показать, что выполнено условие (е). Пусть Ы — "-подмодуль алгебры Х , порожденный подмножеством {x,xyz -f zyx I x,y,z Є Щ. Так как Ы С. В, то Ы CS. Для t Є В и x,y,z Є Ы, мы имеем что показывает, что Ы — лиев идеал алгебры Б, содержащий Ы (и значит, содержащий S). Наша следующая цель — продолжить 7 ДО .F-линейного отображения U — Q, удовлетворяющего (с). Тогда из максимальности {Ы; 7) мы получим И = Ы, что завершит доказательство.
Выберем С-подмодуль VV алгебры Q такой, что Q = W фС. Так как .F 1. С С, то С и W являются "-подмодулями Q. Ясно, что "-модули W и Q изоморфны, так что без ограничения общности можно считать, что 7 : U —» W. Пусть 7г — каноническая проекция модуля Q на W. Тогда Таким образом, где е(х, у) Є С. Так как мы не знаем, является ли множество W1 — 9-свободным, мы сделаем следующее. Положим V = Т (В С, В = В С С. ТУ и W =
