Содержание к диссертации
Введение
І. Кватернионньїй аналог теории потенциала 12
1.1 .Кватернионные аналитические функции 13
1.2 .Интегральное представление кватернионных аналитических функций (аналоги интегралов Коши и типа Коши) 21
2. Общий подход к построению интегральных тождеств 28
2.1. Тождества в кватернионной теории потенциала 30
2.2. Интегральные тождества, следующие из классической теории потенциала 37
2.3. Интегральные тождества для уравнений теории упругости 41
2.4. Операция антикоммутирования для кватернионных операторов потенциалов двойного и простого слоев и её приложение 48
3. Применение тождеств для исследования спектральных свойств некоторых операторов и явное построение регуляризаторов 59
3.1 Спектральные свойства некоторых интегральных операторов, вытекающие из тождеств кватернионной теории потенциала 60
3.2. Тождества классической теории потенциала и спектральные свойства операторов 65
3.3. Тождества для обобщённых потенциалов теории упругости и спектры соответствующих операторов 68
4. Применение техники кватернионов к построению новых интегральных уравнений 82
4.1. Конструирование интегральных уравнений для восстановления векторного поля по известным ротору и дивергенции 83
4.2. Получение новых интегральных уравнений теории упругости 90
Заключение 96
Список работ автора 98
Литература
- .Интегральное представление кватернионных аналитических функций (аналоги интегралов Коши и типа Коши)
- Интегральные тождества для уравнений теории упругости
- Тождества классической теории потенциала и спектральные свойства операторов
- Получение новых интегральных уравнений теории упругости
Введение к работе
В настоящее время, как в фундаментальных, так и в прикладных вопросах появляется значительный интерес к применению в исследованиях кватернионных функций. Благодаря им, удается получать результаты, которые сложно или нельзя получить другим путем. Используются и более сложные подходы на основе теории функций многих комплексных переменных. В этой связи представленная работа посвящена актуальному вопросу исследования известных, а также построения и исследования новых интегральных тождеств, получающихся в теории кватернионных аналитических функций, теории гармонических функций и теории упругости.
На основе кватернионных интегральных представлений Коши и типа Коши стоятся граничные интегральные тождества [72,73], которые применяются для исследования спектров операторов в них входящих. Опираясь на эти результаты, в данной работе получена группа граничных интегральных тождеств для гармонических функций, [78,79]. Используя тождества, новым способом установлено соответствие спектров операторов потенциала двойного слоя и нормальной производной потенциала простого слоя, а также найдены операторы пересчета собственных функций операторов потенциала двойного слоя и нормальной производной потенциала простого слоя. Исследованы спектры композиций операторов потенциала простого слоя и нормальной производной потенциала двойного слоя, [79].
Используя кватернионные тождества, [72,73], классическая задача по восстановлению векторного поля по известным ротору и дивергенции сведена к двум граничным сингулярным интегральным уравнениям. В них содержится произвольный постоянный вектор. Из этих уравнений находится не потенциал, как обычно, а непосредственно граничное значение искомой функции. Поэтому представление решения в области не требует операций численного дифференцирования, [75,76].
Изучение интегральных уравнений теории упругости (уравнений Ламе) в данной работе начинается с их представления в кватернионной форме.
Применяя к ним методику решения кватернионного уравнения, построены граничные сингулярные интегральные тождества, [77,80,81,82]. Эти тождества связывают на границе дивергенцию и ротор вектора перемещений. В отличие от кватернионного уравнения Лапласа уравнения Ламе удалось проинтегрировать только один раз. Эти интегральные тождества могут быть полезны при решении задач геофизики и сейсморазведки, [136,137].
Перенесение метода интегральных представлений из теории кватернионных аналитических функций позволило нам предложить общий подход к построению граничных интегральных тождеств для гармонических функций и для функций, которые являются решением уравнений Ламе. Отметим, что все рассматриваемые выше уравнения относятся к эллиптическим уравнениям не более чем с постоянными коэффициентами. Фундаментальные решения таких уравнений, используемые для интегральных представлений, известны. Более общее преставление, называемое методом параметрикса, [123,124], связано с построением параметрикса для эллиптических уравнений с переменными коэффициентами, обладающими определенными свойствами гладкости. В данной работе этот общий подход, естественно, не используется. Однако в настоящее время он активно развивается, например, в работах [88,89,90,141,142]. Не используется здесь и интегральное представление Мартинелли-Бохнера, так как не используются функции многих комплексных переменных, но применяются кватернионные аналитические функции. По-видимому, было бы интересно пересмотреть все полученные интегральные представления, увидеть аналогии и возможные пресечения. В настоящее время приложения интегрального представления Мартинелли-Бохнера представлены, например, в работах [88,89,90].
Опираясь на результаты теории кватернионных аналитических функций, в работе получено антикоммутирование кватернионных потенциалов простого и двойного слоев. Отметим, что потенциал простого слоя используемый здесь, записан иначе, чем в классической литературе, так как в подынтегральном выражении содержит нормаль, [84,85,86]. К кватернионному оператору антикоммутирования можно подойти также как к кватернионному тождеству. Переход в тождестве антикоммутирования к операциям векторного анализа приводит к четырем граничным интегральным тождествам, которые в подынтегральных выражении содержат нормаль, скалярное и векторное произведения, связанные с нормалью. Эти тождества пока не нашли дальнейшего развития, поэтому расписанная форма в диссертации не приведена.
Результаты диссертационной работы могут быть использованы для численного решения и тестирования задач теории упругости и теории потенциала.
Цель работы состоит в применении единого подхода к построению интегральных тождеств в кватернионной теории потенциала, классической теории потенциала и теории упругости. На этой основе ставится задача выявления общих методов для исследования спектров некоторых интегральных операторов и построения новых интегральных уравнений некоторых задач математической физики и теории упругости.
Научная новизна.
• Разработан общий подход к построению интегральных тождеств, на основе которого выписаны тождества в теории кватернионных функций, теории упругости и теории потенциала.
• На основе тождеств построена схема исследования спектра некоторых операторов, что позволило повторить некоторые известные результаты в теории потенциала и теории упругости, а также получить новые факты, такие как наличие трех точек сгущения спектра сингулярных операторов теории упругости, являющихся точками спектра конечной кратности.
• Спектральные свойства операторов и тождества позволили предложить один вариант прямого вычисления интеграла из интегральных уравнений теории упругости, основанный на свойстве непрерывности векторной части сингулярного обобщенного кватернионного интеграла Гаусса.
• Систематическая запись уравнений теории потенциала, теории упругости, теории поля в кватернионной форме привела к единообразному получению новых сингулярных интегральных уравнений для определения роторов и дивергенций искомых функций, в некоторых случаях и самих искомых функций.
• На основе разработанных тождеств доказано антикоммутирование кватернионных операторов потенциалов двойного и простого слоев. Научная значимость и достоверность работы. Научная значимость диссертации заключается в разработке и применении аппарата теории кватернионных аналитических функций, применительно к построению и явной регуляризации сингулярных интегральных уравнений в теории поля и теории упругости, в исследовании спектра встречающихся здесь сингулярных интегральных операторов. Работа имеет теоретическую значимость. Полученные результаты опираются на известные математические теоремы функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений. Некоторые результаты исправляли утверждения других авторов, что в свою очередь подтверждалось личными беседами с этими авторами. В частности, Ворошко П.П. подтвердил полученное нами исправление сингулярных интегральных равенств, связывающих ротор и дивергенцию вектора перемещений в теории упругости. Ранее В.Г.Мазья подтвердил исправление, полученного им (и им же исправленного) регуляризатора сингулярных интегральных уравнений теории упругости. В наших исследованиях эти и другие факты получены на основе других методов, а именно методов теории кватернионных аналитических функций. Эти факты косвенным образом доказывают достоверность и других результатов, полученных применением указанного математического аппарата.
Обзор работ по теме диссертации.
В настоящее время интерес к различным алгебрам и теориям гиперкомплексных функций возрастает в связи с их приложениями к задачам математики, физики, математической физики. Различные гиперкомплексные алгебры (кватернионы, бикватернионы, спиноры, алгебры Клиффрода), и функции на них, находят применение для решения различных физических задач, [8], для описания структуры кварков применяется алгебра октав (Кэли), [4]. С помощью теории Фуэтера [2,3] и ее обобщения получают кватернионнозначные интегральные представления гармонических электромагнитных и спинорных полей, [67], отыскивают фундаментальные решения обобщенной системы уравнений Коши-Римана с кватернионным параметром [18], а также гиперкомплексные решения уравнений Максвелла [9,143].
Кватернионы находят широкое применение в задачах ориентации твердого тела, [39,132,133]. Использование кватернионов позволяет представить в единой векторной форме бесконечно малые вращения, определяющие вектор угловой скорости, и произвольные преобразования, являющиеся конечными поворотами. Опираясь на кватернионы, описывают ориентацию орбиты для оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле, [133,134], конструируют и анализируют дифференциальные уравнения задачи определения ориентации твердого тела с помощью бесплатформенной инерциальной навигационной системы, [116]. В задачах механики стержневых систем также используют кватернионные преобразования, [131].
С помощью кватернионов решают задачи геофизики, гравиразведки, томографии, магнито- и электроразведки, [135,137].
С помощью кватернионов получают фундаментальное интегральное кватернионное тождество [34,41,73], которое может быть использовано для решения различных задач математической физики, электродинамики, теории упругости, [41,74,75,78,79,]. Используя фундаментальное кватернионное тождество, установлен способ антикоммутирования интегральных операторов аналогов потенциалов простого и двойного слоев в кватернионном представлении, выполнена кватернионная факторизация некоторых дифференциальных уравнений, [83-86].
В настоящее время интерес к построению новых интегральных и дифференциальных уравнений задач математической физики и теории упругости не ослабевает.
Приведем ряд известных нам работ: [5, 13-14, 20, 22, 28-29, 31, 36, 40-45, 57, 87, 92-93, 98-99,107-109,112-113,115,128-129,138-139].
С фундаментальных работ Г.В.Колосова и Н.И.Мусхелишвили началось применение методов теории функции комплексного переменного к построению решений задач теории упругости, [104].
Для построения основных интегральных соотношений плоских задач теории упругости используются сингулярные решения Кельвина и Бюргерса в комплексной форме и формулы Колосова-Мусхелишвили. Получены различные комплексные интегральные уравнения для двух основных краевых задач теории упругости. Показана взаимозаменяемость интегральных уравнений, полученных в прямом и непрямом методе, [52,53]. С помощью теории функций двух комплексных переменных получают общее решение трехмерной задачи теории упругости, выраженное через две голоморфные функции. Показана возможность применения голоморфного разложения комплексных перемещений с помощью функции Бесселя, [23].
В работе [36] изучаются свойства интегралов типа Коши по ляпуновскому замкнутому контуру и связанных с ними сингулярных интегральных уравнениях в пространствах Бесова, вложенных в пространство непрерывных функций. Эти пространства Бесова не вложены в класс непрерывных по Гельдеру функций и являются (распадающимися) банаховыми алгебрами с единицей, что представляет собой определенные удобства. Установлены справедливость формул Сохотцого-Племеля для граничных значений интеграла Коши и формулы для перестановки сингулярных интегралов, существующих в смысле главного значения, рассмотрены вопросы композиции и регуляризации интегральных операторов, доказана нетеровость эллиптических сингулярных операторов с ядром Коши.
В работе [ПО] получены общие решения и симметрии уравнений линейной теории упругости.
Новые методы решения в замкнутой форме полных сингулярных интегральных уравнений второго рода с ядром Коши и с замкнутым контуром интегрирования представлены в [31].
Теория кватернионных аналитических функций позволяет получить новые представления трехмерных задач теории упругости и термоупругости, выраженные в терминах регулярных кватернионнных функций, которые в трех и четырех измерениях имеют свойства, аналогичные свойствам комплексных аналитических функций в двух измерениях, [17]. Граничное уравнение для первой основной задачи теории упругости на основе метода Колосова-Мусхелишвили может быть построено путем замены поля комплексных чисел на поле гамильтоновых кватернионов. [114]. С помощью кватернионов исследуются проблемы рационального распределения ортотропного упругого материала в трехмерных телах и конструкциях, подверженных действию статических нагрузок. Формулируются задачи минимизации упругой податливости для пространственных тел посредством выбора оптимальной ориентации главных осей упругой симметрии ортотропного конструкционного материала, [32].
Решению пространственных статических задач теории упругости методами кватернионных задач посвящена работа Григорьева Ю.М., [55]. С помощью кватернионов получен пространственный аналог интегрального уравнения Мусхелишвили, [54], а также получен кватернионный метод граничных элементов, [56]. Развитие кватернионного подхода для решения пространственных задач теории упругости, получение кватернионных представлений общего решения уравнений Ламе теории упругости в звездных и произвольных областях, их эффективное приложение при решении основных краевых задач теории упругости нашли отражение в работе Наумова В.В., [106].
В ряде работ рассматривается вопрос регуляризации решения задач механики, теории упругости, [1, 65, 69,95, 96, 100,113,121]. С использованием кватернионов предложен метод регуляризации интегральных уравнений теории упругости идентичный для плоских и пространственных задач, записаны регуляризаторы и регуляризованные уравнения, [72, 73]. Метод не использует теорию символа или переход к комплексной форме, а опирается на теорию кватернионных аналитических функций, [79], или на идее спектральной регуляризации, связанной с определением непрерывного спектра с последующей трансформацией операторов к вполне непрерывным операторам
В работах Шваба А.А. рассматриваются задачи статической теории упругости с неклассическими краевыми условиями. Используя кватернионные функции, построено интегральное уравнение, доказана единственность его решения, предложено численное решение задачи без процедуры регуляризации, [135,137].
В последние годы весьма актуальны задачи, связанные с реконструкцией граничных полей, когда на одной части границы заданы граничные поля перемещений и напряжений, а на другой части границы информация о граничных полях отсутствует. Особенно эффективными при решении задач такого типа оказывается метод граничных интегральных уравнений 1-го рода. В работе [120] рассмотрен ряд примеров о реконструкции граничных полей. Многие задачи, связанные с определением полей различной природы могут быть решены посредством интегрирования уравнения Лапласа, являющегося математическим описанием этих потенциальных полей. Но в ряде случаев аналитическое решение уравнения Лапласа сопряжено с большими трудностями, ввиду чего приходится прибегать к численным методам расчета, [15]. В работе И.САржаных [24,25] проблема восстановления векторного поля сведена к задаче нахождения функции Грина задачи Неймана для уравнения Лапласа.. Используя функцию Грина находится некоторый промежуточный вектор в области, по которому с помощью операции численного дифференцирования восстанавливается векторное поле. Другой результат более просто получен методами кватернионных функций. Построена компактная система интегральных уравнений для восстановления векторного поля по его ротору и дивергенции, [74,75].
В работах ряда исследователей осуществляются попытки построения новых интегральных уравнений теории упругости. Одно из направлений-связать на границе ротор и дивергенцию вектора перемещения. [44,136,80,81]. Наиболее простым способом построения соответствующих равенств для теории упругости является кватернионный подход. Он позволяет выполнить выкладки, сходные с выкладками теории потенциала, [80,81].
Непосредственно из обзора вытекают проблемы представляющие интерес: исследование спектров некоторых операторов, появляющихся в интегральных равенствах кватернионной теории потенциала, теории гармонических функций, теории упругости и применение в ряде случае этой информации к регуляризации сингулярных интегральных уравнений. Представляет интерес получение новых интегральных уравнений как в теории потенциала и теории поля, так и в теории упругости. Было интересно получить и применить для исследования некоторые другие результаты, такие как антикоммутирование оператора двойного слоя и оператора почти совпадающего с оператором простого слоя. Всем этим вопросам и посвящена данная работа.
В диссертации принята независимая система ссылок внутри каждой главы: (k. т), где к- номер главы, т - номер формулы. Применяемые обозначения поясняются по ходу изложения материала.
.Интегральное представление кватернионных аналитических функций (аналоги интегралов Коши и типа Коши)
На основе интегрального представления кватернион-функций (1.18) и (1.19) рассматривают представление К-аналитических функций, то есть кватернионных функций, удовлетворяющих равенству Vq = О. В этом случае в представлении (1.18) объемный интеграл исчезает и вытекает следующая
Теорема 1.4. Для К-аналитической в области D функции q(y) имеет место представление через ее граничные значения q(x), xeS,
Последний интеграл непрерывен при переходе через границу, а прямое его значение является сингулярным. Классический интеграл Гаусса напротив, при переходе через границу терпит разрыв, а на границе в случае ляпуновской поверхности, является несобственным интегралом.
Пусть q(y), yeD , К-аналитическая функция, исчезающая на бесконечности и S- поверхность Ляпунова, тогда имеет место представление: где n,q,V - кватернионы, H = cos(jj,e,.)e,, где cos(w,e,.) - направляющие косинусы нормали в точке xeS, внешней по отношению к области D+, r = x- , оператор V действует на переменную х. Отметим, что для yeS интегралы в последних теоремах понимаются в смысле главного значения по Коши. Для существования таких интегралов на функцию q(y) накладывается дополнительное ограничение, она должна удовлетворять условию Гёльдера. Формулы (1.22) и (1.23) позволяют представить К-аналитические функции, заданные в области +или D через их граничные значения q(y) = ±±-lvLq(x)dxS, yeD".
Здесь q(x)- предельное граничное значение К-аналитической функции q, заданной в области +или D. По своему смыслу этот интеграл аналогичен интегралу Коши представления аналитической функции q{y) ysD через её граничное значение q(x), xeS в теории функций комплексного переменного. Однако он более сложен из-за того, что в нем использованы кватернионы и кватернионные операции умножения.
В соответствии с (1.17) аналог потенциала двойного слоя (аналог интеграла типа Коши) в поле кватернионных функций имеет вид: e(y)=fviWx&S, уеД (1.24)
Здесь г = \х-у\,у є Еъ -S,x є S п - мнимый кватернион, п = cos(n,el)el, где cos(n,et) - направляющие косинусы внешней к области D нормали в точке х є S, q(x) произвольная кватернион-функция.
Теорема 1.8. Пусть q(x), xeS произвольный кватернион, ограниченный и интегрируемый на S, тогда кватернион Q(y), y$S вычисляемый по формуле (1.24) является кватернионной аналитической функцией, как в области D+, так и в области D .
Если, кроме того, граница S является ляпуновской поверхностью и на ней функция q(x) удовлетворяет условию Гёльдера, то предельные граничные значения Q выражаются через прямое значение интеграла типа Коши Qi{y) = ±2mI(y)+ \vLq{x)dxS, yeS (1.25)
Интеграл, входящий в это равенство, называется прямым значением интеграла типа Коши, является сингулярным. При указанных в теореме условиях, он существует только в смысле главного значения по Коши.
Здесь C'fi(S) - класс гёльдеровских функций с показателем р, Л^а) - класс поверхностей Ляпунова. Для этих поверхностей в каждой её точке х существует касательная плоскость. Как следствие, в каждой точке может быть построена декартова ортонормированная система координат, у которой одна из осей , проходит по нормали к поверхности. Для поверхности S существует цилиндр конечного радиуса d. Его можно построить около любой точки х є S так, чтобы иметь в качестве оси цилиндра координатную ось , локальной системы координат. Этот цилиндр вырезает на поверхности S некоторую окрестность точки х. В локальной системе координат вырезанный кусок поверхности может быть представлен явной записью уъ =у3(у1,у2). Полученная функция имеет первые производные, равные нулю в начале координат, которые удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а. Иначе говоря, у3(уиу2) є С1".
Теорема требует, для того, чтобы решение уравнения A
l, принадлежит тому же классу гёльдеровских функций, что и функция /.
Интегральные тождества для уравнений теории упругости
Два из этих операторов хорошо известны в классической теории потенциала, это операторы V - оператор потенциала простого слоя и оператор В -оператор потенциала двойного слоя. Они хорошо изучены. Например, известны спектральные свойства оператора В и эти сведения понадобятся для изучения ряда других операторов.
Подстановка приводит к равенствам Произвол в выборе функций q и позволяет положить их последовательно равными нулю. Окончательно получим следующие тождества: верные для произвольных функций р и у/, обеспечивающих существование интегралов.
Эти тождества получены в работах [78,79] и они могут быть использованы как для изучения свойств интегральных операторов V,B,G,M, входящих в эти тождества, так и для исследования свойств интегральных уравнений типа теории потенциала, и свойств эллиптических дифференциальных уравнений. В параграфе 3.2 эти тождества использованы для доказательства известного факта: совпадение спектров операторов потенциала двойного слоя и производной оператора потенциала простого слоя.
Рассмотрим интегральное представление решений уравнений теории упругости, [94]. где /(л:)-граничные значения вектора напряжения, a q(x)-граничные значения вектора перемещения точек упругого тела, занимающего трёхмерную область D с границей S, 1/(х,у)- тензор Кельвина-Сомильяна, а Ф(х,у)- силовой тензор влияния. Эти тензоры второго ранга имеют следующий вид: nr -rn-n rl)-3—-rr где x,y-радиус-векторы точек пространства, r = x-y, nr,m,rr-диадные произведения векторов, /-единичный тензор, v-коэффициент Пуассона, /л-постоянная Ламе (модуль сдвига). В равенстве (2.19) б(у) характеристическая функция области, равна 1, если yeD+ и 0, если yeD .B случае yeS равенство является граничным интегральным тождеством, верным только если q(x) решение краевой задачи теории упругости. Отметим, что если S ляпуновская поверхность и функция q(y) на границе области удовлетворяет условию Гельдера с некоторым показателем р, то 8(у) = 0,5. Напомним, что под ляпуновской поверхностью понимается поверхность класса Л а), [69, с. 63] Кроме того, граничный вектор напряжения /-вычисляется по вектору перемещения q с помощью оператора напряжений Тп, [94] здесь 2 = 2//v/(l-2v), и-нормаль в точке площадки, на которой вычисляется вектор напряжения. Так как некоторые необходимые производные не могут быть вычислены непосредственно в точках границы, то равенство (2.20) может иметь смысл только как результат предельного перехода из изучаемой области. Техника прямого тензорного исчисления, используемая в этом параграфе, изложена, например, в цитируемой книге А.И.Лурье.
Анализ интегральных представлений (2.19) показывает, что в (2.19) входят граничное значение функции и линейная комбинация ее первых производных, вычисленная по формуле (2.20).
Для равноправия вхождения производных в левые и правые части к равенству (2.19) добавим равенство, полученное применением к нему дифференциального оператора напряжения Тп. Дополнительное уравнение имеет вид:
В исходном представлении (2.19) и дополнительном равенстве (2.21) перейдем к пределу на границу области. Существенную роль в таких предельных переходах играют специальные интегралы типа Гаусса, имеющие место в теории упругости:
Первый из этих операторов известен как прямое значение обобщенного потенциала простого слоя, второй - прямое значение обобщенного потенциала двойного слоя. Техника получения тождеств громоздка, но аналогична технике получения тождеств для классической теории потенциала. Она заключается в следующем: в равенстве (2.19) функции fix), q(x) можно считать произвольными, обеспечивающими существование соответствующих интегралов. Заменим эти функции некоторыми произвольными, несогласованными между собой функциями р(х),у/(х). Несогласованность понимается в том смысле, что не существует решения задачи теории упругости q(x), для которого lim q{x)=у/{х), lim Tnq(x)=(р{х). При этом функция q(y), получающаяся в результате вычисления интегралов, будет продолжать удовлетворять дифференциальным уравнениям Ляме. Вычислим предельные граничные значения этой функции и её производной q+(z) = limq(z), f{zY = \\m[Tnq{zj\, zsS и подставим в интегральные тождества (2.23), (2.24). В результате будем иметь тождества, содержащие две произвольные функции р(х), у/(х). Полагая их по очереди равными нулю, будем получать интегральные тождества для интегральных операторов теории упругости.
Тождества классической теории потенциала и спектральные свойства операторов
Так как оператор В, являющийся оператором потенциала двойного слоя, не имеет точек непрерывного спектра, то из первого равенства следует, что либо последовательность F% компактна, либо все ее элементы нулевые. Тогда из второго равенства следует два случая. Случай 1: Орп сходится, причем из-за некомпактности последовательности % эта сходимость возможна только к нулю и в этом случае Л = ±1. Случай 2: Gpn 0 для любого п и приходим к предыдущему выводу. Следовательно, можно предполагать, что только в двух дискретных точках Х = ±\ спектр может оказаться непрерывным. Для доказательства во-первых отметим, что эти точки не могут быть точками сгущения дискретного спектра. Действительно, дискретный спектр оператора D совпадает с дискретным спектром оператора В, а у последнего точкой сгущения может быть только точка 0. Остается показать, что эти точки являются точками спектра оператора D бесконечной кратности. Действительно, введем в рассмотрение кватернион р = р0+у/, где р0 = 0, i// = Vw, w- произвольная гармоническая функция в области 1 +или D", а V кватернионный оператор Гамильтона. Кватернионные вычисления дают, что Vq = 0. Отсюда следует, что кватернион р - К-аналитическая функция в области гармоничности функции w. Ранее было показано, что в зависимости от принадлежности функции к области D+ или Г, для граничных значений К-аналитической функции р верно равенство А(р = ± р (аналог интеграла Коши для кватернионных аналитических функций).
Если раскрыть это кватернионное равенство, воспользовавшись представлением оператора Л через операторы B,C,F,D Раскрытие приводит к следующему результату: Ap = Dy/-Fy/ = ±y/. Отделяя действительную и мнимую части, получим Dy/ = ±y/, Fy/ = 0. Следовательно, точки Я = ±1 являются собственными числами оператора D, а из произвольности гармонической функции w следует, что функций у/ = Vw будет бесконечно много. Таким образом, оператор D имеет три точки непрерывного спектра: одна точка сгущения спектра Л = О, общая с оператором В потенциала двойного слоя, и две точки бесконечной кратностиЯ = ±1. Собственными функциями оператора D будут, в частности, предельные граничные значения градиентов гармонических функций w: y/ = Vw. Для конечной области, ограниченной поверхностью S, собственные функции вычисляются по правилу ц/(х) = Iim Vw(y), где w гармоническая функция в области D\ Аналогичное yeD - xeS утверждение имеет место для области D .
Эта теорема позволяет дополнить информацию о спектрах суперпозиций операторов CF и FC. Действительно, если у/ граничное значение градиента произвольной гармонической функции, то оно является собственной функцией оператора D, следовательно, X = ±1 и CFy/ = 0 и оператор CF имеет точку О точкой спектра бесконечной кратности. У оператора FC точка 0 является точкой спектра кратности 1, так как оператор потенциала двойного слоя имеет эту точку собственным числом кратности 1. Соответствующая собственная функция оператора В является константой.
Таким образом, кватернионное тождество A2q = q, записанное в координатной форме в виде тождеств (3.1), (3.2), позволило детально изучить спектр оператора D. Автором данной работы дано новое доказательство теоремы 3.2., а также изучены спектры произведений операторов CF и FC.
Исходя из спектральных свойств операторов можно заключить, что суперпозиция CF не является вполне непрерывным оператором, так как спектр этого оператора содержит одну точку бесконечной кратности, а оператор FC является вполне непрерывным, так как его спектр является дискретным и конечной кратности. Этот вывод следует из кватернионных тождеств (3.1)-(3.2). Из них следует, что суперпозиция FC может быть заменена на суперпозицию, содержащую вполне непрерывный оператор В.
Отметим также, что оператор D является сингулярным интегральным оператором. Он входит линейным слагаемым в операторы интегральных уравнений теории упругости, и по этой причине они оказываются также сингулярными. Тождества (3.1) и (3.2) позволяют записать явные регуляризаторы этих интегральных уравнений.
Получение новых интегральных уравнений теории упругости
Оператор дифференцирования (оператор напряжения в точке х на площадке с нормалью п) определён по формуле:
Эти уравнения в непрямой постановке (по аналогии с классической теорией потенциала) имеют хорошо известный вид: р - К (р = -2м р + К р = 2/ где и - граничное значение вектора перемещения, а /- граничное значение вектора напряжения. В каждом из уравнений находится вектор плотности ср обобщённых потенциалов теории упругости. Первое интегральное уравнение решает первую внутреннюю задачу с помощью обобщённого потенциала двойного слоя. Эта задача является аналогом задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Второе интегральное уравнение решает задачу, аналогичную краевой задаче Неймана, посредством аналога потенциала простого слоя. Вместо уравнения Лапласа рассматриваются уравнения Ляме теории упругости. Соответственно более сложными являются потенциалы и краевые условия задач, аналогов задачам Дирихле и Неймана. Аналогично интегральным тождествам в кватернионных функциях, или в классической теории потенциала, получаются тождества для уравнений теории упругости:
Они позволяют доказать совпадение спектров операторов К и К , что является аналогом второй теоремы Фредгольма для вполне непрерывных операторов. Доказательства этих утверждений, если пользоваться тождествами (3.9), (3.10) аналогичны выполненным в предыдущих параграфах в случае кватернионных тождеств или тождеств теории потенциала, поэтому здесь опускаются. Запишем лишь цепочку последовательных вычислений и пересчётов собственных функций:
Следует отметить, в классических исследованиях интегральных уравнений теории упругости не упоминается, что оператор обобщённого потенциала простого слоя оказывается оператором пересчёта собственных функций оператора К в собственные функции сопряжённого ему оператора К .
Так как операторы КпК сингулярны, то в теоремах Фредгольма должны быть отличия от аналогичных теорем для вполне непрерывных операторов, не отмеченные грузинскими математиками. Именно, меняется содержание четвертой теоремы Фредгольма. Теорема 3.4. В отличие от интегральных операторов классической теории потенциала, спектры интегральных операторов теории упругости имеют три точки непрерывного спектра. Доказательство опирается на обобщение теоремы Вейля о вполне непрерывных возмущениях, сформулированное, например, [51]: Прибавление к замкнутому линейному оператору произвольного вполне непрерывного оператора не изменяет непрерывной части спектра. Доказательство. Действительно, интегральные операторы теории упругости К и К (3.7) с учетом вида ядра Ф(х,у) (параграф 2.3) и оператора D (формулы(2.5)) могут быть представлены в виде сумм K = -fiD + Ti (3.12) K =-pD + T2 где р- число, зависящее от коэффициента Пуассона, D- сингулярный изученный выше интегральный оператор (2.5), имеющий три точки непрерывного спектра, а Г, и Т2 - интегральные операторы со слабой особенностью, которые можно считать вполне непрерывными возмущениями оператора /Ю. Этот оператор, как и оператор потенциала двойного слоя В, может иметь одну точку непрерывного спектра, равную нулю. Кроме того, поскольку для оператора D точки ±1 являются точками спектра бесконечной кратности, то для оператора /3D такими точками будут точки ±р. Так как вполне непрерывные возмущения не могут изменить точки непрерывного спектра (параграф 2.1), то операторы К и К имеют такое же количество точек непрерывного спектра, что и оператор D, то есть три: 0 и ±р. Выяснить, являются ли эти точки точками сгущения спектра или это собственные числа бесконечной кратности, пока не удаётся.
