Содержание к диссертации
Введение
1 Измерение R при низких энергиях 13
1,1 Общий подход к измерению полного сечения 13
1.2- Систематические неопределенности 13
1.3 Анализ конкретньсх каналов е+е- аннигиляции 22
1.4 Анализ измерений величины R 41
2 Вычисление экспериментальных интегралов и усреднение результатов 51
2.1 Интегрирование 51
2.2 Специфические вклады 54
3 Аномальный магнитный момент /і-мезона и r-лептона в Стандарт ной Модели 61
3.1 Вклад квантовой электродинамики во,, 61
3.2 Электрослабый вклад в% 63
3.3 Адронные вклады в аномальный магнитный момент мюона 65
3.4 Новый расчет ведущего адронного вклада вс^ 77
3.5 Аномальный магнитный момент т-лептона 91
4 Сохранение векторного тока и распады т-лептона 93
4.1. Основные соотношения- между- е+е~ аннигиляцией- и- распадами лептона 93
4.2 Применение СВТ к распадам т 96
4.3 Итоги вычислений в рамках СВТ 114
5 Распады г в два и четыре пиона и а 117
5.1 Нарушение изоспиновой симметрии в е+е~ и т спектральных функциях117
5.2 Сравнение е+е~ и т спектральных функций 120
5.3 Относительные вероятности распадов г и СВТ 122
5.4 Вычисление а^ на основе данных из т распадов 127
5.5 Окончательные результаты для а^ 130
6 Адронные эффекты в сверхтонкой структуре мюония 134
6.1 Основные соотношения 134
6.2 Квантовоэлектродинамические вклады 137
6.3 Адронные вклады 140
6.4 Перспективы изучения сверхтонкой структуры мюония 144
Заключение 147
Библиография 158
- Систематические неопределенности
- Специфические вклады
- Адронные вклады в аномальный магнитный момент мюона
- Относительные вероятности распадов г и СВТ
Введение к работе
Многочисленные проверки Стандартной Модели, проведенные к настоящему времени, неизменно демонстрируют ее справедливость и не дали сколь-нибудь достоверных указаний на ее нарушение. Важную роль в таких проверках играют эксперименты на встречных электрон-позитронных пучках, в частности, измерение сечений е+е~ аннигиляции-в ад роны. Эти-эксперименты- имеют более- чемтридцатилетнюю историю, но по-прежнему имеют огромное значение для физики элементарных частиц.
В начале целью подобных исследований были спектроскопические эксперименты па установках ВЭПП-2 в Новосибирске [1-3] и АСО в Орсэ [4-13], в которых изучались свойства легких векторных мезонов (р,и,ф). Однако после наблюдения множественного рождения адронов в Новосибирске [14] и Фраскати [15,16] и последовавшего вскоре за ним открытия с-кварка и семейства J/^-мезонов [17-19] начинается интенсивный поиск новых состояний (//, о/, ф\ а также узких резонансов) во всей доступной имевшимся е+е~ коллайдерам области энергий. За экспериментами с детекторами первого поколения на установках ВЭПП-2 в Новосибирске [20,21], АСО в Орсэ [22,23] и ADONE во Фраскати [24-28] следует измерение полного сечения и сечения эксклюзивных процессов при более высокой энергии и с более совершенными детекторами 772 [29,30], ВЁ [31,32] и МЕА [33-35] на установке ADONE во Фраскати, с детектором M3N [36,37] на установке DCI в Орсэ, с детектором MARK-I [38-40] на установке SPEAR в СЛАК, с детекторами PLUTO [41] и DASP [42,43] на установке DORIS в ДЕЗИ, на установке СЕА в Бостоне [44,45]. Накопленная в этих экспериментах информация сыграла важную роль в развитии квантовой хро-модинамики (КХД).
Одновременно с повышением энергии ведутся более точные эксперименты в уже исследованных областях энергии. Здесь следует отметить эксперименты с детекторами ОЛЯ [46,47], КМД [48] и НД [49] на установке ВЭПП-2М в Новосибирске, DM1 [50] и DM2 [51] на установке DCI в Орсэ, MARK-III [52] и Crystal Ball [53,54] в СЛАК.
В последние годы эта область исследований получила дополнительный импульс в связи с осознанием важности знания величины сечения при низких энергиях для вычисления вкладов адронной поляризации вакуума в аномальный магнитный момент мюона и другие фундаментальные физические параметры.
Аномальный магнитный момент мюона а^ = (у^ — 2)/2 - одна из наиболее точно измеренных величин в физике. Новый эксперимент по прецизионному измерению аномального магнитного момента мюона, набор данных в котором начался в 1998 году в Брукхэйвенской Национальной лаборатории (эксперимент Е821), планирует довести относительную точность измерения a ft до величины порядка 0.35 10~6. Уже в первой публикации этой группы, описывающей измерения 1998 г., был получен результат, согласующийся с лучшим предыдущим измерением, выполненным в ЦЕРНе [55], и имеющий примерно такую же точность - 13 Ю-6 [56]. В дальнейшем точность заметно возросла [57,58] и в последней публикации достигла 0.7 10~6 [59]. Полученный результат после усреднения с предыдущими дал значение alT = 11659203(8) х 10~10, что примерно на 2.6 стандартных ошибки превышает теоретическое предсказание в рамках Стандартной Модели, составляющее Щі ' = 11659177(7) х Ю-10 [60]. Позже выяснилось, что в это теоретическое предсказание, как и во многие предыдущие, входил ошибочно вычисленный адронный вклад рассеяния света на свете из работы [61]. После исправления этой ошибки [62] расхождение уменьшилось до 1.5 стандартных ошибки. Следует отметить, что теоретическое предсказание из [60] было в сильной степени основано на дополнительных предположениях о справедливости КХД при довольно низких энергиях л/ (2-ЬЗ) ГэВ, а также использовало данные по распадам т-лептона.
Измерение аномального магнитного момента мюона - это одни из наиболее чувствительных тестов Стандартной Модели, который, в случае подтверждения достоверного отличия теории и эксперимента, дает указания на возможную новую физику [63]: суперсимметричные нарушения Стандартной Модели, лептокварки, техно-пвет, новые калибровочные бозоны, высшие размерности, возбужденные фермионы и т.д. Заметим, что так как а^ - величина безразмерная, то в общем случае для
8 аномального магнитного момента произвольного лептона /, щ, можно ожидать, что пі ~ (mi/Mpjp)2, где Л/np - шкала новой физики. Поэтому а^ в (тц/те)2 ~ 4 104 раз более чувствителен к новой физике, чем яе> что компенсирует в 200 раз худшую точность измерения о^ по сравнению с ас [64].
Погрешность а],, определяется, в основном, точностью знания вклада адронной поляризации вакуума, который может быть вычислен из величины полного сечения аннигиляции е+е~ в адроны или, как принято в настоящее время, эквивалентной ему величины R - отношения полного сечения е+е~ аннигиляции в адроны к борновскому сечению реакции е+е~ аннигиляции в пару мюонов:
R = а{е+е~ —* адроны)/<7(е"'"е~ —» ft+fi~),
с помощью дисперсионных соотношений. Большая часть величины вклада адронной поляризации вакуума в а^ связана с областью энергий ВЭПП-2М - установки со встречными электрон-позитронными пучками в Новосибирске, охватывающей энергии от порога рождения адронов до 1.4 ГэВ. Прецизионные измерения сечений электрон-позитронной аннигиляции в адроны с детекторами КМД-2 [65] и СНД [66] позволили уменьшить вклад неопределенности величины а,щ связанный с областью энергий ВЭПП-2М, до уровня лучше 0.7 - 10_в.
Измерение сечений эксклюзивных каналов е+е~ аннигиляции оказывается важным и для понимания адронных распадов т-лептона. Сохранение векторного тока (СВТ) и изоспиновая симметрия связывают сечения е+е~ аннигиляции в изовек-торные адронные состояния и дифференциальные вероятности распада т-лептона в соответствующий адронный канал, например е+е~ —У 7г+7Г~ с г- —і- 7r~7rfT и т.д. [67-69]. Уже первые проверки справедливости СВТ в распадах т-лептона показали, что в пределах экспериментальных ошибок данные по е+е~ аннигиляции и по распадам т-лептона согласуются [70,71]. Дальнейший систематический анализ, основанный на всей совокупности экспериментальных данных по е+е~ аннигиляции, позволил вычислить относительные вероятности для всех наблюдавшихся распадов г-лептона, идущих через векторный ток, и показать, что следствия СВТ выполняются с точностью порядка 5% [72-74]. Было также показано, что кроме ка-
9 чественного согласия спектральных функций совпадают и механизмы образования конечного адронного состояния в е+е~ аннигиляции и распадах т-лептона [75]. Однако в последние годы экспериментальные точности как в е+е~, так и т секторах заметно улучшились и появились указания на возможное разногласие между предсказаниями СВТ и данными по распадам г-лептона [76,77]. Наибольшее отличие связано с двухпионным каналом, в котором спектральные функции, измеренные в распадах г-лептона группами ALEPH [78] и CLEO [7D] лежат систематически выше, чем в е+е~ аннигиляции (это явление подтверждается также измерением векторной спектральной функции группой OPAL [80]). Заметные расхождения наблюдаются и в процессах с четырьмя пионами. Упомянутые явления потребовали анализа всей совокупности данных по распадам г-лептона, включая полную статистику, набранную с детектором ALEPH [81], а также всех новейших данных в е+е~ аннигиляции, набранных на установке ВЭПП-2М [82], что было осуществлено в работе [83] (см. также [84]). Понимание тонкостей нарушения изоспиновой симметрии в этом секторе исключительно важно и для обсуждавшейся выше проблемы уточнения адронного вклада в величину а^. Как было впервые предложено в работе [85], использование СВТ и данных по распадам т-лептона позволяет уточнить величину адронного вклада более чем вдвое [85,86,60]. Однако из-за значимого расхождения спектральных функций в е+е~ и г секторах оценки адронного вклада, использующие данные из распадов т, оказываются заметно выше, чем аналогичные величины, полученные на основе только данных из е+е~ аннигиляции.
Подобно ((^-2)/2, эффекты адронной поляризации вакуума весьма важны для вычисления значения постоянной тонкой структуры при энергии, равной массе Z-бозона, a(Mz) [87]. Как значение, так и неопределенность а{М-) критичны для интерпретации экспериментов при высокой энергии на LEP, SLC и Tevatron, в частности для непрямого определения возможного интервала значений массы Хиггсовско-го бозона, проблемы дополнительных поколений и многих других [88]. И для этой проблемы оценка вклада сильных взаимодействий в области энергии до 1.4 ГэВ является очень важной, хотя и не столь определяющей, как в случае (^-2)/2.
Существенное уточнение величины сечения е+е~ аннигиляции в адроны в изо-векторном канале позволит провести дальнейшую проверку правил сумм КХД и оценить фундаментальные параметры КХД (кварковый и глюонный конденсаты, константу связи ая), предложенную в [89-91] и впервые выполненную в [92]. Недавняя попытка изучения эффектов, выходящих за рамки теории возмущений КХД, основанная на применении функции Адлера в эвклидовой области, также показала важность знания R с хорошей точностью в области энергий между 1.5 и 2.5 ГэВ [93]. Прецизионное измерение R в широком диапазоне энергии от 3 до 12 ГэВ важно для вычисления а3, а также масс тяжелых (с- и Ь-) кварков [94].
Еще одна проблема, вызывающая интерес к точным измерениям сечения е+е~ аннигиляции в адроны, - это сверхтонкая структура мюония. Мюоний - это чисто леп-тониый аналог атома водорода, в котором роль протона выполняет положительный мюон. Прецизионные измерения величины сверхтонкого интервала в мюоний дают возможность уникальных проверок квантовой электродинамики (КЭД), а также определения таких фундаментальных физических констант как постоянная тонкой структуры и масса мюона [95], Быстрый прогресс как в области новых измерений сверхтонкой структуры мюония, так и в теоретических расчетах поставил вопрос о том, какова роль адронных поправок в мюоний [96]. И для этой проблемы оказывается возможным выразить величину адронного вклада в сверхтонкую структуру мюония через интеграл от сечения е+е~ аннигиляции в адроны, с подынтегральным ядром, как и в случае а^ подчеркивающим роль низких энергий.
В связи с этим еще актуальней становится задача повышения точности измерения сечения электрон-позитроннои аннигиляции в адроны, без знания которого теоретические вычисления различных обсуждавшихся выше физических величин с нужной точностью (по крайней мере лучше 1%) становятся невозможными. Большая часть величины адронного вклада в аномальный магнитный момент мюона, сверхтонкую структуру мюония, а также соотношения между сечениями е+е~ аннигиляции в адроны и распадами т-лептона связаны с областью энергий ВЭПП-2М. Это и предопределило задачи данной работы.
Цель работы - систематическое изучение рождения адронов в е+е~ аннигиляции при энергии ниже 1.4 ГэВ на установке ВЭПП-2М; критический анализ существующих измерений R при невысоких энергиях, а также их точности; создание базы данных измеренных сечений, а также расчеты фундаментальных параметров /і-мезона и r-лептона, основанные на величинах этих сечений. Принципиально важным обстоятельством является то, что во всех вычислениях применяется по возможности модельнонезависимый подход. Сущность его предельно проста - при вычислении любых интегралов, в подынтегральной функции которых фигурирует величина сечения е+е~ аннигиляции (полного сечения или сечения некоторого конкретного канала), непосредственно интегрируются экспериментальные значения сечения. Этот подход контрастирует с общепринятым, в котором е+е~ сечение в подынтегральной функции либо сразу заменяется предсказанием некоторой теоретической модели, либо вместо данных используется их аппроксимация, опять-таки подразумевающая некоторую модель. Даже оценка статистической погрешности при подобном способе вычислений становится нетривиальной, не говоря уже об учете систематических погрешностей эксперимента (обычно игнорируемых), а также возникающей модельной неопределенности. В используемом нами подходе оценка статистических и систематических погрешностей осуществляется стандартными методами математической статистики.
Структура работы следующая. В первой главе подробно обсуждается методика измерения сечений эксклюзивных процессов и полного сечения (величины R) в экспериментах по е+е~ аннигиляции в адроны, а также типичные источники систематических погрешностей в таких экспериментах. Далее приведен обзор экспериментов по отдельным конечным состояниям со специальным акцентом на их точность (статистическую и систематическую).
Вторая глава приводит основные формулы, применявшиеся при вычислениях, в частности в ней обсуждаются методы интегрирования данных, способы учета возможных корреляций между различными экспериментами, выполненными одной или различными группами, а также методика усреднения результатов.
Третья глава посвящена вычислению аномального магнитного момента мюона. Основной упор сделан на вычисление ведущего вклада в адроиную поправку. Там же обсуждается статус вычислений других вкладов: квантовоэлектродинамическо-го, электрослабого, а также адронных вкладов высшего порядка, включая вклад рассеяния света на свете. Глава завершается новой оценкой адронного вклада в аномальный магнитный момент г-лептона.
В четвертой главе проводится детальная проверка предсказаний для спектральных функций и относительных вероятностей в распадах т-лептоиа, идущих через векторный ток, и обсуждаются механизмы рождения конечного адронного состояния.
В пятой главе делается расчет ведущего адронного вклада в аномальный магнитный момент мюона, основанный на привлечении данных из распадов г-лептона в два и четыре пиона.
Шестая глава посвящена анализу поправок к сверхтонкой структуре мюония, вычислен ведущий адронный вклад в эту величину, обсуждается возможность улучшения точности определения фундаментальных физических констант,
В заключении обсуждаются перспективы возможного улучшения точности вычисления адронных вкладов, а также перечислены основные результаты, полученные в работе.
Систематические неопределенности
В этом разделе мы кратко обсудим типичные источники систематических неопределенностей, возникающих при определении адроиных сечений. Некоторые источники приводят к эффектам, сильно зависящим от энергии и меняющимся от точки к точке. Такие погрешности обычно квадратично прибавляют к статистической ошибке величины сечения в данной точке. Другої! вид погрешностей - это коррелированные ошибки, практически одинаковые для всех точек эксперимента. Их принято приводить отдельно от статистических. Иногда дополнительно указывают систематические неопределенности, связанные с моделью для описания сечения, так называемые модельные ошибки. Для простоты рассмотрим последовательно различные множители в формуле (1-І)- Конечно, такое деление систематических ошибок несколько условно. Выделение любого процесса (эксклюзивное или инклюзивное) неизбежно сопровождается наложением условий отбора на зарегистрированные события, т.е. кандидатами в события искомого процесса считаются лишь те из них, которые удовлетворяют некоторой совокупности требований. Например, события должны иметь вершину (точку рождения), находящуюся в области взаимодействия пучков; определенное число треков заряженных частиц и фотонов; треки и фотоны должны находиться в области углов, для которой детектор обеспечивает адекватное разрешение; импульсы (энергии) треков и фотонов должны находиться в определенном интервале; определенные значения должны принимать параметры, обеспечивающие идентификацию частиц и т.д. Условия отбора определяются на основе анализа всевозможных распределений, как экспериментальных, так и полученных моделированием эксперимента методом Монте-Карло. Такой анализ позволяет выбрать более или менее оптимальные условия отбора событий, обеспечивающие хорошее соотношение эффект-фон. Для оценки возможных систематических погрешностей, связанных с условиями отбора, последние варьируют в некоторых разумных пределах и для каждого набора условий вычисляют соответствующие вероятности регистрации и радиационные поправки. После этого можно определить сечение процесса и сравнить его с сечением, полученным для оптимальных условий отбора. Разница между ними и даст оценку соответствующей систематической ошибки.
Отдельно следует упомянуть погрешности, связанные с определением числа фоновых событий. В некоторых случаях это число вычисляется с использованием ве личины сечения фонового процесса и вероятности регистрации из моделирования, так что точность знания фонового сечения и дает оценку систематики. Другой возможный способ - это определение фона по самим экспериментальным событиям, например, путем подсчета числа событий в тех частях спектра, которые не должны содержать событий эффекта (метод "боковых интервалов" или "sideband"). В этом случае систематическая погрешность будет определяться статистикой числа событий в боковых интервалах. Наконец, часто сечение находится аппроксимацией некоторого распределения, для которой делаются конкретные предположения о поведении эффекта и фона. Ясно, что не вполне правильный выбор формы распределения фона приведет к возникновению систематической ошибки, которую принято оценивать путем варьирования формы фонового распределения. Например, в эксперименте группы BES [97,98] число фоновых событий есть сумма пучкового фона, возникающего при взаимодействии пучков с остаточным газом в вакуумной камере, и фона от рождения пар т-лептонов и двухфотонных процессов. Первый источник приводит к числу фоновых событий, составляющему (3-10)% от числа адронных событий, причем число подобных фоновых событий определяется аппроксимацией распределения по координате Z (вдоль пучка) вершины события суммой Гауссовского распределения для эффекта и степенного полинома для фона. Наилучшие результаты дает аппроксимация полиномом второй степени, а изменение степени полинома до первой или третьей.меняет величину фона не более чем на 1%. Эта величина и включается в систематическую погрешность условий отбора. Второй источник приводит к числу фоновых событий, составляющему (1-8)% от числа адронных событий, и это число вычисляется из сечений рождения пар г-лептонов и двухфотонных процессов. Если первое из них известно из КЭД с высокой точностью, то второе определяется из экспериментального сечения 77 адроны, известного в этой области энергий с невысокой точностью (10 — 15)%. В итоге систематическая ошибка из-за этого источника фона оказывается заметно ниже, чем от пучкового фона. В эксперименте группы BES фон от условий отбора является основным, что особенно хорошо видно при минимальной энергии эксперимента (2 ГэВ), где он составляет В большинстве экспериментов по измерению сечений е+е аннигиляции светимость, которая используется для вычисления сечения, определяется по числу событий Баба рассеяния на большие углы.
Достоинством-такого метода является-то,- что-события Баба рассеяния регистрируются тем же детектором, что и адронные события, что приводит к эффективному сокращению по крайней мере части возможных поправок. Основными источниками систематической погрешности являются условия отбора событий и радиационные поправки. В первых экспериментах по е+е аннигиляции в адроиы типичная величина систематической ошибки в величине сечения, связанной с измерением светимости, составляла 10% [30,35]. По мере возрастания культуры эксперимента и повышения точности вычисления радиационных поправок систематическая погрешность, обусловленная светимостью, снижалась и в проводимых в настоящее время прецизионных экспериментах составляет (2-3)% [98,99,65]. В эксперименте группы СХЕО благодаря высокому качеству регистрации, а также возможности независимого определения светимости по трем пропессам - Баба рассеянию, аннигиляции в д+/г пару и в два 7 кванта - величина обсуждаемой систематической ошибки составила всего 1% [100]. Отметим также прецизионное измерение формфактора пиона группой КМД-2, в котором величина формфактора, то есть и сечения, определяется отношением числа пар пионов и событий Баба рассеяния [101]. Так как и изучаемый, и нормировочный процессы имеют очень близкую сигнатуру - два коллинеарных трека, большинство возможных неточностей или нсэффективностей одинаково и в сильной степени сокращается. В результате соответствующий вклад в систематическую ошибку определяется неточностью знания радиационных поправок, которая не превышает 0.2% [102],
Специфические вклады
В некоторых областях энергии, в которых экспериментальной информации мало, но зато имеются достаточно надежные теоретические предсказания, мы используем аналитические выражения для сечения при вычислении интеграла. Некоторой спецификой обладает и подход к узким резонансам (и- и -мезоны, а также резонансы семейств ее и ЬЬ). Так- как данные по этому-конечному-состоянию вблизи порога весьма скудны, а вклад области низких энергий не пренебрежим, то мы воспользуемся аналитичностью формфактора и разложим его в ряд по s. Сечение процесса е+е — тг+тг связано с формфактором выражением Из точных данных по формфактору пиона в проетранственноподобной области [246] можно получить (r2)w = (0.439 ± 0.008) фм2, а параметры Ci$ подгоняются изданных во времениподобной области в диапазоне от порога до 0.6 ГэВ: для е+е аннигиляции используются результаты измерений различных групп на ВЭПП-2М [123-125,131], а для т-лептона - результаты группы ALEPH [78]. Результаты подгонки приведены в Таблице 10 и показаны на Рис. 15. В области низких энергий, где ожидается, что разложение достаточно надежно, наблюдается хорошее согласие с данными. Так как эта аппроксимация основана на аналитичности, мы воспользуемся полученной параметризацией для оценки интеграла при энергии от порога и до 0.5 ГэВ. В ошибку включены систематические погрешности, возникающие при аппроксимации (границы подгонки, фиксирован или нет коэффициент с2). Заметим, что полученные таким образом параметры разложения не противоречат значениям, вычисленным в рамках киральной теории возмущений для е+е [247] и т [248] соответственно. По утверждению самих авторов этих работ их оценки содержат заметную теоретическую (модельную) неопределенность, которую довольно трудно оценить, так что применение нами параметров разложения, основанных на экспериментальных данных, представляется вполне обоснованным. Узкие резонансы В этом параграфе мы обсудим методику вычисления интегралов в области энергии узких резонансов. На Рис. 16 и 17 мы приводим сечения ш- и -мезона. Хотя в нашем подходе естественно вычислять интегралы прямо от данных, так что автоматически учитываются возможные нерезонансные вклады, а также интерференционные эффекты, быстрое изменение сечения с энергией может внести некоторые искажения. Дело в том, что при недостаточно высокой плотности экспериментальных точек линейная интерполяция измерений приводит к значительному завышению значения интеграла при интегрировании сильно вогнутой функции, как, например, "хвост" резонансной кривой Брейт-Вигнера. На хвостах резонансов хорошо виден эффект искажения результатов интегриро Здесь суммирование ведется по всем кваркам q, которые могут рождаться при этой энергии, т.е. y/s 2mq, eq и mq - заряд и масса кварка.
Коэффициенты Сч и Сг выражаются через число таких кварков JVf: Этот результат справедлив в пределе нулевых масс кварков, т.е. фактически мы пренебрегаем пороговой зависимостью сечения и считаем, что асимптотический режим для рождения данного аромата кварков наступает очень быстро. Поправки порядка О(о $) известны и для массивных кварков [251,252], но их влияние на наши результаты пренебрежимо мало, так как сечение модифицируется локально, в узкой Рис. 17: Сечение ф-мезона, измеренное детектором КМД-2. Точки с ошибками соответствуют экспериментальным данным, заштрихованная полоса - результат применения метода трапеций, а кривая - феноменологическая подгонка кривой Брейт-Вигнера плюс два Гауссиана для учета нерезонансных вкладов. области вблизи дорога рождения нового кваркового аромата. Выражение для значения эффективной константы связи КХД при энергии /І, задающей характерную шкалу, имеет вид Фигурирующие Б этом выражении коэффициенты можно выразить через введенную выше величину JVf - число кварков с массой меньше р. Первые два коэффициента / и fii не зависят от выбора схемы перенормировки, в то время как значение / и следующих коэффициентов разложения определяется ее конкретным выбором. Приведенное выше значение 02 соответствует наиболее распространенной схеме перенормировки - так называемой MS схеме [253]. Наконец, размерный параметр Л в выражении для as можно найти из различных экспериментов и рекомендуемое в [245] его среднее значение для пяти кварков, а также среднее значение константы связи КХД есть Следует также отметить, что в некоторых приложениях, в которых величина У/SQ составляла 12 ГэВ, при энергии выше массы Т(1) учитывалась поправка к R?xp(s), обусловленная j — Z смешиванием [254,87]. где /1и S- векторы магнитного момента и спина частицы; е, т и д - ее заряд, масса и гиромагнитный фактор соответственно. Из уравнения Дирака следует, что д=2, однако радиационные поправки к вершине лептон-фотон-лептон могут слегка изменить это значение. Величину изменения удобно охарактеризовать аномальным магнитным моментом, который определяется как В Стандартной Модели ожидаемая величина аномального магнитного момента мюона (т-лептона) дается суммой трех вкладов - квантовой электродинамики, электрослабого и вклада сильных взаимодействий (адронного):
Ниже мы рассмотрим современные представления о знании каждого из указанных вкладов отдельно, подробно описав статус вычислений адронного вклада. Квантовоэлектродинамический вклад в а или r$ED был вычислен или оценен вплоть до пятипетлевых диаграмм [255,256]. В общем виде его можно записать как где me, rrip и тт - массы соответствующих частиц. Перенормируемость КЭД гарантирует, что функции Лі, Л2 и Лз можно разложить в степенной ряд по с конечными коэффициентами: Если А\ ,А[ И ЛІ известны аналитически (см. [257] и ссылки в ней), то большинство членов, дающих вклад в А\\ получены численным интегрированием. Для интересующей нас оценки a ED достаточно извлечь А\ ИЗ измеренного значения aQED g4j с небольшими поправками. Члены А2 (гпц/тпе) и А\ (гПр/тпе,) известны точно (см. [258] и приведенные там ссылки). Большинство членов, дающих вклад в Лз (тц/тпе), известны лишь численно. Первая частичная оценка коэффициента перед членом (-) была выполнена в работе [259], в которой был вычислен вклад диаграмм с максимальной степенью 1п(т /те). В [260,261] был найден численный коэффициент для другого класса диаграмм, дающих усиленный вклад, пропорциональный л"2" 1п(т.р/тпе), где (2п + 1) (ротонов соединяют электронную и мюонную петли в диаграммах свет-на-свете. Значение коэффициента перед членом ( ) , приведенное в следующей формуле, взято из работы [262], в которой среди прочих вычислен вклад диаграмм с двухпетлевыми вставками вакуумной поляризации. Другие частичные вклады вычислялись в работах [263-268]. Собирая все члены, получим окончательно [255,256,269]:
Адронные вклады в аномальный магнитный момент мюона
В настоящее время принято представлять адронный вклад в величину аномального магнитного момента мюона в виде суммы трех вкладов - ведущего, вклада высших порядков, а также вклада рассеяния света на свете: Рассмотрим каждый из этих вкладов отдельно. Адронный вклад ведущего порядка. Старые расчеты Адронный вклад ведущего порядка описывается диаграммой Рис. 19 и может быть представлен в виде дисперсионного интеграла: Вторая форма в у-ии (3.18) удобна для вычисления вкладов при больших энергиях. В ней используется общепринятая величина R: Этот интеграл вычисляется аналитически и его удобно представить в терминах переменной Функция K"(s) ограничена: она монотонно растет от 0.63 на пороге s = 4т2. до 1 при з — оо. Следует отметить, что при малых х вычисление функции K(s) в виде, приведенном выше, численно нестабильно, так что взамен мы используем асимптотическое выражение (обычно используемое при х 0.0006) Другие представления K(s) как, например, более просто выглядящее с г = s/mjl гораздо менее пригодны для численного счета из-за существенно более сильных численных сокращений. Представление К($) в у-нии (3.20) справедливо для мюона (или электрона), когда мы имеем s 4т2. Так как в области интегрирования s 4m2., то х вещественно и 0 х 1. Для г-лептона у-ние (3.20) может быть использовано лишь при s 4m2.. Так как ядро K(s) ограничено, то из-за наличия s2 в знаменателе основной вклад в интеграл в соотношении (3.18) дает область малых энергий - меньше 1 ГэВ,
Именно поэтому особую роль приобретет прецизионное измерение сечений на установке ВЭПП-2М, максимальная энергия экспериментов на которой составила 1.4 ГэВ (вклад соответствующей области энергии приблизительно равен 87%). Первые работы по расчету ведущего адронного вклада выполнены либо до до-лучения экспериментальных данных по е+е аннигиляции в адроны, либо в рамках модели векторной доминантности с довольно грубым учетом р-, и-, -мезонов [290,289,291-294]. История расчетов начинается с работы [290], в которой адронный вклад насыщался 7Г7Г каналом, т.е. фактически р-мезоном. В работе [289] было показано, что расчет двухпионного вклада в первом Борновском приближении (Fw(x)) дает малую величину на уровне 0.7 ХІ0-8. Более реалистичный расчет с учетом р- и и резонансов дал величину на порядок большую 1.1 ХІ0-7. Автор оценил также вклады трех- и четырехпионных состояний, а также нуклон-антинуклонного промежуточного состояния и сделал вывод об вх малости. В работе [291], выполненной позже, были использованы экспериментальные данные о константах векторных мезонов и получена более точная оценка. Результаты вычисления ведущего вклада адронной поляризации вакуума в а различными авторами на этом этапе показаны в Табл. 11. Как правило, в первых работах по расчету ведущего адронного вклада ввиду отсутствия более или менее точной информации о поведении R в континууме делались достаточно произвольные предположения о его поведении. Впрочем, из-за специфического поведения подынтегрального ядра, отмеченного выше, вклад этой области в окончательный результат и его ошибку относительно невелик. Этот недостаток постепенно был устранен в более поздних расчетах, заметно сильнее опиравшихся на экспериментальные данные [131,60,85-87,295-309]. Оценки, сделанные в 80-ых годах и позднее, учитывают результаты измерения сечений на установке ВЭПП-2М, так что их точность сразу же заметно выше, чем в указанных выше работах. Вместе с тем следует отметить, что в подавляющем большинстве эти работы используют некоторые модельные предположения по крайней мере для части сечений: параметризация сечения процесса е+е —$ тг+тг- [303-306,309], замена экспериментального сечения его асимптотическим значением в КХД уже при малых энергиях СІ 3 ГэВ [307,86,60,308,309], использование данных по распадам т-лептона [85,86,60,308]. Поэтому ошибки адронного вклада в этих работах представляются нам заметно заниженными. Первый расчет адронного вклада в а , полностью опиравшийся на экспериментальные данные вплоть до 40 ГэВ, был вы полнен в пашей работе [87]. Результаты соответствующих расчетов приведены в Таблице 12.
Наконец, в Таблице 13 мы приводим результаты расчета ведущего адронного вклада, которые практически полностью основаны на теоретических предположениях о поведении сечений [310-314]. Как уже обсуждалось выше, такие расчеты вряд ли могут использоваться для серьезного сравнения с экспериментом, поскольку реальная ошибка или сильно занижена или же вообще не оценивалась авторами. Так, например, в работах [312,313] вклады резонансов, в том числе и р мезона, оцениваются в предположении, что резонансы - узкие, а вклад континуума заменяется вкладом бесконечного числа векторных мезонов. Исключением является недавняя работа [314], где сделана первая попытка расчета ведущего адронного вклада в а на решетке. Хотя результат весьма далек от оценок, основанных на дисперсионном интеграле, автор считает, что прогресс возможен, так как в данном расчете были сделаны многие упрощающие предположения. Мы не приводим результатов частичных расчетов, например, доминирующего вклада от 7Г7Г конечного состояния [315], или работы [316], а которой рассматривался вклад конечного состояния 7Г7. Адронные вклады высших порядков Поправки из адронную поляризацию вакуума высшего порядка, возникающие при учете диаграмм, показанных на Рис. 23, также могут быть представлены в виде интеграла от экспериментального сечения с некоторым ядром К (s). Заметим, что имеется две диаграммы типа а и четырнадцать типа Ь. На диаграмме типа b прерывистая линия соответствует фотонной линии с адронной петлей. Аналитическое выражение для этого ядра было получено в [317]. Первый расчет подобных адронных вкладов, использующий экспериментальные данные, был выполнен в 1976 г. [299,300]. Почти через 10 лет в работе [302] удалось заметно уточнить эту оценку, используя возросшую точность измерений сечения е+е" ан
Относительные вероятности распадов г и СВТ
Удобным способом оценки совместимости спектральных функций е+е и т является вычисление относительных вероятностей распадов т с использованием соответствующих спектральных функций е+е [84]. При этом необходимо учесть все поправки на нарушение изоспиновой симметрии, как это было описано в Разделе 5.1. Удобство такого сравнения заключается в том, что количественная проверка включает в себя лишь одно число. Используя относительную вероятность лептонного распада В[т — vre De) = (17.810 ± 0.039)%, полученную в предположении леп-тонной универсальности в слабом заряженном токе [81], получаются следующие результаты для основных мод распада, которые приведены в Таблице 35. Ошибки, цитируемые для предсказаний, основанных на СВТ, разбиты на неопределенности Таблица 35:
Относительные вероятности векторных распадов т в 2 и 4 пиона. Во второй колонке приведено мировое среднее. В третьей колонке приведен результат, основанный на е+е данных и СВТ, поправленные на нарушение SU(2). Экспериментальная ошибка СВТ значения для тг+7г содержит абсолютную ошибку 0.08%, связанную с процедурой интегрирования. Отдельно показаны экспериментальные ошибки-(с учетом-неопределенностей-процедуры интегрирования)-и-теоретические" неопределенности, включающие недостающие радиационные поправки для е+е и поправки на нарушение SU(2). В правой колонке показана разность между прямым измерением в распадах т и оценкой из СВТ. в которой отдельные ошибки были квадратично сложены. от (/) экспериментальных сечений е+е- аннигиляции и процедуры численного интегрирования, (2) недостающих радиационных поправок, примененных к соответствующим е+е данпьш и (3) поправок на нарушение SU(2). Значения относительных вероятностей распадов т полупены из результатов измерений [81,388,429,430], взятых без идентификации заряженных частиц, т.е. для конечных состояний hiv0i/T, h37r0pT and ЗЛ7Г Т- Имеются результаты измерений относительных вероятностей распадов для соответствующих каналов с заряженными каоиами [431,432], так что их вклады можно вычесть, чтобы получить значения для чисто пиоипых мод. Рис. 37: Измеренные относительные вероятности распада г — итт; тг в сравнении с предсказаниями из данных по е+е -4 7Г+7Г- с поправками на нарушение SU(2). Измеренные вероятности взяты из данных детектора ALEPH [81], CLEO [388], OPAL [429] и L3 [430]. Результаты OPAL и L3 получены из их измерений относительной вероятности распада в /і7г за вычетом небольшого вклада Ктг по данным ALEPH [431] и CLEO [432]. Как и ожидалось из предыдущей дискуссии, наибольшее несовпадение наблюдается для относительной вероятности распада т —) I/TTV TY, где разница составляет (—0.94±0.10T±0.26ee±0.11rati±0.12su(2))%, и указанные неопределенности возникают из относительной вероятности распада г, сечений е+е , недостающих радиационных поправок для е+е и поправок на нарушение SU(2) (с учетом неопределенности Vud). При квадратичном сложении всех ошибок наблюдаемый эффект соответствует 2.9 а. Поскольку несовпадение спектральных функций е+е и г особенно выражено при энергиях выше 850 МэВ, можно ожидать, что оно окажется меньше при вычислении а 1"1 из-за быстро падающего с ростом энергии подынтегрального ядра K(s). Сравнение особенно наглядно на Рис. 37, из которого видно, что каждое из измерений ALEPH, CLE О, OPAL и L3 по отдельности, хотя и с разной достоверностью, не согласуется с предсказанием СВТ, основанным на е+е данных. Ситуация несколько другая в 4х каналах. Для моды л"-3тг наблюдается согласие с точностью 11%, но для моды 2х-7г+7г сравнение неудовлетворительно. В этом случае относительная разница очень велика, _(22±6)%, для любого разумного уровня нарушения изоспиновой симметрии.
Это скорее всего указывает на наличие серьезных экспериментальных проблем. Как уже отмечалось выше, первые попытки применить данные из г распадов к вычислению яа 1 привели к заметному улучшению точности вычисления дисперсионного интеграла [85,86,60]. Посмотрим, как выглядит такое вычисление при учете последних данных с большой статистикой с детектора ALEPH [81]. Для этой цели мы будем использовать усредненные спектральные функции из экспериментов ALEPH [81], CLEO [79] и OPAL [80] для доминирующих 2тг и 47Г распадов. Из-за ограниченной статистики при энергии выше 1600 МэВ мы будем пользоваться е+е данными. Кроме того, е+е данные применяются при всех энергиях для всех остальных изовекторных каналов (кроме 2л" и Аж), а также для всех изоскалярных каналов, которые вообше не имеют аналога в распадах г. В Табл. 36 мы резюмируем поправки на нарушение SU(2) к a had LO, которые обсуждались ранее и которые необходимо применять при вычислениях, основанных на данных из г распадов. Как мы уже отмечали, степень понимания нарушения SU(2) для канала 4тг заметно ниже, чем для 27Г, так что соответствующие поправки в Таблице основаны лишь на очевидном изменении фазовых объемов из-за разности масс пионов [415]. Они приводят к сдвигу -0.7 10_10(-3.8%) и +0.1 10-,0(+1Л%) для 2тг+2л- и п+тт 2тга Таблица 36: Ожидаемые источники нарушения SU(2) при сравнении е+е иг спек тральных функций в 27Г и 47г каналах, и соответствующие поправки к адЬаа,ьо при использовании данных т. Поправки (I) основаны на процедуре из работ [85,86,60], а в (II) используется подход из [428]. Отличия от работы [428] связаны с моделью для формфактора и пересчетом электрослабой поправки на малых расстояниях. Ошиб ки только теоретические, т.е. здесь не учтены экспериментальные ошибки самих спектральных функций.
