Содержание к диссертации
Введение
1. Обобщенные разбиения Фибоначчи. 29
1. Определение и основные свойства обобщенных разбиений Фибоначчи 29
1.1. В -оператор 29
1.2. Обобщенные разбиения Фибоначчи порядка т 30
2. Вычисление длин и количеств полуинтервалов 34
2.1. а-регулярные числа 34
2.2. Вычисление длин полуинтервалов 36
2.3. Рекуррентные формулы для количеств и длин полуинтервалов. 38
2.4. Связь между длинами и количествами полуинтервалов. 41
2.5. Неравенства для количества полуинтервалов 43
3. S-свойство 45
4. Разбиения CTilm(a) и их основные свойства 47
4.1. Отображение Со/та 47
4.2. Разбиения CTilm(a) 49
4.3. Последовательность Штерна-Броко 51
5. Глобальные координаты 54
6. Квазилокальные координаты 59
2. Производные поворота окружности и их приложения . 66
1. Производные поворота окружности 66
1.1. Определение производной отображения на множестве . 66
1.2. Производные на собственных интервалах 67
1.3. Производные на несобственных интервалах 69
2. Операторы dm 71
3. Прямые перенормировки 78
3.1. Определение и основные свойства прямых перенормировок 78
3.2. Вычисление прямых перенормировок 80
3.3. Время к -го возвращения точки в интервал 83
3.4. Некоторые неравенства для Rff(a,i) 85
3.5. Перенормировки на произвольном собственном интервале 88
4. Обратные перенормировки 89
4.1. Определение и основные свойства обратных перенор мировок 89
4.2. Вычисление обратных перенормировок 90
4.3. Композиции прямых и обратных перенормировок 91
5. Приложения к распределению дробных долей (га) 93
5.1. Некоторые классические результаты 93
5.2. Основное неравенство 94
5.3. Следствия из основного неравенства 96
5.4. Некоторые метрические результаты 102
5.5. Случай произвольного интервала ограниченного остатка 107
3. Двухцветный поворот окружности . 110
1. Определение и основные свойства двухцветного поворота окружности 110
2. Верхние и нижние производные двухцветного поворота окружности 112
2.1. Верхние производные двухцветного поворота 112
2.2. Нижние производные двухцветного поворота 116
2.3. Самоподобие двухцветного поворота окружности 118
3. Внутренние производные и плато 120
3.1. Внутренние производные двухцветного поворота окружности 120
3.2. Интегральное преобразование 122
3.3. Лакуна 124
3.4. Аттрактор 126
3.5. Частотное распределение 132
Литература
- Вычисление длин и количеств полуинтервалов
- Определение производной отображения на множестве
- Перенормировки на произвольном собственном интервале
- Нижние производные двухцветного поворота
Введение к работе
Диссертация посвящена изучению обобщенных разбиений Фибоначчи и их приложений к теории чисел. В диссертации получены следующие основные результаты.
Вычисление длин и количеств полуинтервалов
Доказательство. Непосредственное вычисление дает L0(a) — 1, Li(a) — qi. При і 2 , Li(a) = Li_i(a) + І _2(а). Таким образом, рек курентные формулы и начальные значения последовательности {Li(a}} совпадают с реккурентными формулами и начальными значениями для последовательности знаменателей подходящих дробей.
Следствие 1.10. Пусть {Qi(ot)} - последовательность знаменателей подходящих дробей для а. Пусть га — (i:t). Тогда Lm{a) = Qi(a), Sm{a) = Qi i{a) + tQi(a). Доказательство получается из следствия 1.9 с учетом формул (1.14),(1.12). Объединяя предложение 1.10 с формулами (1.11) и (1.13), получаем Теорема 1.2. Пусть т = (г, t). Тогда 2.3. Рекуррентные формулы для количеств и длин полуинтервалов . Определим последовательность {(т} соотношением { 1, если т + 1 а-регулярно (1.26) 0, если т + 1 не а-регулярно
Из определения и теоремы Лагранжа о периодичности разложения квадратичной иррациональности в цепную дробь следует Предложение 1.11. Последовательность {Cm} периодична (возможно, с некоторым предпериодом) тогда и только тогда, когда а является квадратичной иррациональностью. Пусть разложение а в цепную дробь имеет вид а (в квадратных скобках записаны неполные частные разложения а в цепную дробь, в круглых - период разложения)
Теорема 1.3. Пусть квадратичная иррациональность,... Тогда существует с такое, что при т Мо(а) Ьт+2т{а) = cLm+T(a) + (-l)r+1Lm(a), ( "J Sm+2T(a) = cSm+T(a) + {-l)r+1Sm(a). Доказательство. Для доказательства воспользуемся формулой (1.28) с к — Т. Из предложения 1.11 следует, что для mi,m2 М0(а) 2mi)T(a) = Zm2;r(a), если mi = m2 (mod T).
Далее заметим, что любая из матриц Zmj-(a) имеет вид Zm T{a) = Z ZQ+1... ZtoQ+TZ ;Mo... ZCi_L. (1.30) В частности, они получаются циклической перестановкой составляющих их матриц ZQ И Z\. Отсюда следует, что для т М0(а) det(Zm T) и tr{Zm,T) не зависят от т. Матрица ZVhT содержит г матриц Z\. Поскольку det{Z) 1 и det(Zi) = —1, получаем det(Zm,T) - (-1)г- (1.31) Обозначим c = tr(ZmX)- (1-32) Пусть т М0(а) и Zm,t — j Используя (1.28), получаем, что (1.33)
Умножая первое равенство системы на гп , второе - на гп\, вычитая из первого равенства второе, и сдвигая индексы на Т влево, получим m Lm+T = т\Ьш + (т2т? - m1m4)5m. Подставив полученное выражение для Lm+x в первое равенство системы, получаем, что Sm+2T = {mi + mA)Sm+T + {т2тг - m1m4)Sm. Замечая, что tr{ZVhT) = mi + т± , и det{ZmtT) = 1 4- ГП2ГП3 , получаем первую из формул (1.29).
Для получения второй формулы (1.29) нужно умножить первое равенство системы (1.33) на т , второе - на т и вычесть из второго равенства первое, а затем подставить полученный результат, индексы которого сдвинуты на Т влево, в первое равенство системы.
Проводя аналогичные рассуждения для длин полуинтервалов, получаем следующий результат:
Доказательство. Вначале докажем соотношение (1.35) для a-регулярных т, то есть покажем, что . вДа), г = 0 (mod 2) a) - [ . (1.37) 1 — Si (а), г = 1 (mod 2) Доказательство будем проводить индукцией по г. Поскольку Lo(a) — 1 и 3Q(Q) = а, для г = О соотношение (1.37) выполнено. Соотношение (1.37) для г = 1 также проверяется непосредственно.
Определение производной отображения на множестве
Пусть QN - разбиение единичной окружности, образованного точками {ка), 0 к N. Тогда интервалы разбиения QN имеют не более трех различных длин.
Доказательство. По теореме 1.8 разбиение Tilm(a) есть разбиение единичной окружности S1, образованное точками с координатами (ка), где -Ет к Gm. Следовательно, QEm+am = Tilm{a) + Ета (mod 1). Пусть Tilrn(a,5) - разбиение, для которого Tilm(a,d) = Tilm{a) + 5 (mod 1). Выберем 6 — {Ета). Тогда QEm+Gm состоит из интервалов двух типов: Е{5) = Е? + 6 (mod 1) и G (6) = Gf + S (mod 1). Отсюда получаем, что если существует такое т, что N = Ern + Gm, то QN СОСТОИТ из интевалов, длины которых принимают лишь два значения 1т{о) и sm(a).
Предположим теперь, что не существует такого числа т, что TV = Ет + Gm. Так как Ет + Gm возрастая стремится к бесконечности при т —+ оо, то можно однозначно определить число т, удовлетворяющее условию Еш + Gm N Em+i -J- Gm+i. Рассмотрим два случая.
1) Em+i — Ет. В этом случае дп еп. Выберем 8 — (Ета). Тогда множество вершин разбиения QN содержит множество вершин разбие ния Tilm(a, 8) и содержится в множестве вершин разбиения Tilm+i(a, 8). Так как Ет = Em+l, то все интервалы Е{8) = Е+1{8) Є QN. Так как Gm = Em+i ф Gm+i5 т0 ДДЯ интервалов Gm{8) Є Tilm{a,8) в QN воз можно два варианта: Gm(5) - сохраняется, и Grn(5) - распадается на два интервала. Таким образом, разбиение QN содержит интервалы трех типов E l+1{8)1 Gf{8) и Gf+l(8). Их длины равны ет+]_, дт и дт+1 соответ ственно. Воспользовавшись равенствами em+i — ет, grn+i — Эт — єт і Ят — 1т ) ет = sm )
2) Gm+i — Gm. В этом случае gn en. Выберем 6 — ((Gm — N)a) и рассмотрим разбиение QN{S) , определяемое равенством QN(S) = QN + 8 (mod 1). Оно имеет те же длины интервалов, что и QN И множество вер шин (ко), Gm — N к Gm. Следовательно, множество вершин раз биения QN(S) содержит множество вершин разбиения Tilm(a) и содер жится в множестве вершин разбиения Tilm+i(a). Так как Gm — Gm+1 и Ет = Gm+l Ф Em+l, то QN($) содержит интервалы трех видов: Gm(8), Ет(8) и Ет+1(8). Их длины равны дт, ет и еш+1 соответственно. Вос пользовавшись равенствами em+i = єт—дт , дш — sm , em = lm , получаем, что множество длин интервалов вновь есть {7m(ct), sm(a), lm{a) — sm(a)} .
С помощью теоремы 1.8 можно получить новое решение еще одной классической теоретико-числовой задачи.
Число N назовем наилучшим правосторонним приближением к а, если для любого п N выполняется неравенство {па} {Na). Аналогично, число N будем называть наилучшим левосторонних приближением к а, если для любого п N выполняется неравенство {па} {Na}.
Теорема 1.11. Последовательность наилучших правосторонних приближений к а есть {Gm(a)} . Последовательность наилучших левосторонних приближений к а есть {Ет(а)} .
Доказательство. Для доказательства второй части теоремы достаточно воспользоваться теоремой (1.8) для разбиения CTilm(l — а) и равенством Ет{а) = Gm{\ — а). Первая часть теоремы вытекает из теоремы (1.8) для разбиения CTilfm(l — a) = CTilm{a) + ет(1 — a) (mod 1) и равенства Gm{a) = Ет(1 -а).
Доказательство будем проводить индукцией по т. Для т О утверждение очевидно. Предположим, что утверждение доказано для последовательностей {е} , {д} и докажем его для последовательностей {е"1"1} , {зГ+1} Необходимо рассмотреть два случая.
1) ит(а) — 0. В этом случае єт+і = єт и последовательность {е+1} совпадает с {е} . Поэтому, достаточно доказать, что gjl+i1 Р +1 + 7m+i (mod Gm+i). Из теоремы 1.12 следует, что С"Шт+1(а) не содержит двух подряд идущих Е -интервалов. Следовательно, возможно два случая.
1.1) Между G+i и GrrJ +\ нет Е -интервалов. Тогда, по теореме 1.12, 9k+i 9k+l + Jm+i, и, следовательно, (1.85) выполняется.
1.2) Между СЗД и G расположен единственный интервал E+1. Тогда из теоремы 1.12 следует, что I = gj" 1 и / = g+1 + 7m+i _ Gm+i. Поэтому мы вновь получаем, что g+i = 5fcl+1 + 7m+i (mod 7m+i).
2) wm(a) = 1. В этом случае 7m+i = 7т и {si+1} совпадает с {р[}. Поэтому, достаточно доказать, что є 1 = е+1 + єт+і (mod Em+i). Из теоремы 1.12 следует, что CTilm+i(a) не может содержать двух подряд идущих G-интервалов. Поэтому, возможно два случая.
Перенормировки на произвольном собственном интервале
Диссертация посвящена изучению обобщенных разбиений Фибоначчи и их приложений к теории чисел. В диссертации получены следующие основные результаты. 1) Изучены обобщенные разбиения Фибоначчи и вычислены их основные инварианты. 2) Вычислены отображения первого возвращения для иррационального поворота окружности. 3) Получены точные и асимптотические формулы для времени к -го возвращения точки в интервалы обобщенных разбиений Фибоначчи. 4) Получены новые оценки остаточного члена в проблеме распределения последовательности по модулю 1 в случае множеств ограниченного остатка. 5) Изучено распределение орбит двухцветного поворота окружности.
Использование разбиений при изучении иррационального поворота окружности берет свое начало в работах [52],[55],[56]. G.Rauzy ввел понятие кодирующей последовательности отображения. Пусть Т - отобра-ение единичного полуинтервала / = [0; 1) в себя, Р = {/0,..., h-i} -разбиение / на интервалы, х - точка из /. Последовательность {sn}, определяемая равенством sn — і, если Тп(х) Є h , называется кодирующей последовательностью отображения Т. Если (mod 1) - поворот окружности, обычно выбирают В работах Rauzy, Ferenczi, Arnoux, Berthe и др.[22],[27],[28],[52] было доказано, что многие свойства иррационального поворота окружности могут быть описаны в терминах его кодирующей последовательности.
Сами кодирующие последовательности {sn} обладают целым рядом интересных свойств. Отметим следующую комбинаторную характериза-цию кодирующих последовательностей в случае иррационального поворота окружности [28],[51].
Последовательность {sn} является кодирующей последовательностью некоторого иррационального поворота окружности тогда и только тогда, когда для любого натурального т число различных подслое длины т последовательность {sn} равно т + 1.
Такие последовательности {$п} называются последовательностями Штурма. Наибольший интерес представляет случай а = т-1, где т = -1+2 -золотое сечение. В этом случае кодирующая последовательность представляет собой знаменитую последовательность Фибоначчи, открытую М. Морсом [46].
Последовательность Фибоначчи можно определить многими различными способами [51] 1) Как единственное слово, начинающееся с нуля и являющееся непо движной точкой подстановки (D 1 — 0, 2) Как слово, начинающееся с символов 01 и удовлетворящее рекур рентному соотношению wn+2 = wn+iwn, где wn - первые Fn символов по следовательности Фибоначчи и Fn - п -ое число Фибоначчи, определяемое рекуррентным соотношением Fn+2 — Fn+ Fn и начальными условиями FQ = F1 = 1. 3) n-ый символ последовательности Фибоначчи есть коэффициент при F0 В разложении п в фибоначчиеву систему счисления.
Последовательность Фибоначчи имеет многочисленные приложения к теории чисел, фрактальной геометрии, теории формальных языков, теории сложности вычислений, квазикристаллам [51].
В последние годы были найдены применения общих последовательностей Штурма к анализу сигналов, теории автоматов и диофантовым приближениям [51]. N. de Brujin в работах [32],[33] ввел разбиения Фибоначчи Хг/т(т-1), являющиеся геометрическим обобщением последовательности Фибоначчи. Разбиения ТИт{т 1) можно определить различными способами [21] 1) С помощью подстановок интервалов, обобщающих подстановки (1). 2) С помощью проектирования на прямую у — тх ближайших к ней точек целочисленной решетки Z2 . 3) С помощью рекуррентного соотношения для разбиений, имеющего вид TilJr1) = т- Тй т-1) т-2ТіІт-2(т-1), где символ означает некоммутативную операцию прикладывания интервалов [70]. 4) С помощью разложения чисел из полуинтервала [0; 1) по степеням т. 5) С помощью сечения некоторого периодического разбиения плоскости.
Нижние производные двухцветного поворота
Теорема о квазилокальных координатах позволяет построить алгоритм вычисления последовательности Е и G -интервалов в разбиении CTilm(a). Эта теорема также применяется при изучении двухцветного поворота окружности в главе 3.
Вторая глава диссертации посвящена применениям обобщенных раз биений Фибоначчи при изучении иррационального поворота окружности.
В основу изучения иррационального поворота окружности в диссертации положено понятие отображения первого возвращения (индуцированного отображения, производной отображения на множестве), введенное Пуанкаре.
Пусть Х- некоторое множество, отображение множества X в себя. Отображение первого возвращения dyA определя ется соотношением В диссертации рассматривается случай, когда X некоторый полуинтервал и A = Ra : х -+ х — a (mod 1) - иррациональный поворот окружности.
Отображения (4) в теории чисел впервые были использованы в работах Raiizy [53] и Arnoux [22]. В этих работах впервые было вычислено отображение djRa для полуинтервала / — [а; 1). Впоследствии это же отображение независимо вычислил Mintchev [45]. Arnoux и Rauzy нашли бесконечное семейство интервалов /, для которых djRa вновь является поворотом окружности, но не смогли вычислить отображения первого возвращения на этих интервалах. В часных случаях отображения первого возвращения для Ra были вычислены в работах В.Г.Журавлева [70] (а — г) и Н.Н.Мануйлова [8] (а = тд). В диссертации отображение djRa вычисляется для произвольного интервала / и произвольного иррационального а.
Полуинтервал / будем называть собственным, если его длина / = im(a) = em(a) + gm(a) для некоторого га. В диссертации доказаны следующие результаты. Теорема 2.1. Пусть I - собственный интервал. Тогда diRa вновь является поворотом окружности. Теорема 2.2. Пусть I - несобственный интервал. Тогда djRa есть нециклическое перекладывание трех отрезков.
Эти результаты применяются к вычислению величины n,j(x) - времени первого возвращения точки х Є І в полуинтервал I под действием отображения Ra . Функция ni(x) была впервые изучена в работах Floreik [38] и Slater [61]. Ими было доказано, что при фиксированном интервале / функция nj(x) принимает не менее двух и не более трех значений. R.Twarock в работе [68] вычислил множество значений функции nj(x) при а = т и сформулировал гипотезы для случая а = тв . В диссертации щ{х) вычислена для произвольных а, /. Точнее, в следствии 2.2 доказано, что для собственного интервала / функция щ{х) принимает только значения Em(a), Gm(a). Следствие 2.3 утверждает, что в случае несобственного интервала / величина Пт(х) принимает три значения: Ет{а), Gm(a) и Ет(а) + Gm{a).
Поведение функции пііх) для отображения Ra отличается от поведения этой функции для большинства других отображений. Известно [31], что для широкого класса гиперболических отображений величина щ{х) имеет распределение Пуассона. Точнее,
Результаты об отображениях первого возвращения можно переформулировать на языке орбит иррационального поворота окружности. Пусть Orb(a,a} I) = {а + ш (mod Л} -ос Тогда, согласно предложению 2.3, для произвольного интервала / с / = im(a) существуют числа a/, d a и гомотетия hi такие, что
Наибольший интерес формула (5) представляет, когда - квадратичная иррациональность с чисто периодическим разложением в цепную дробь и В этом случае справедливо равенство (следствие 2.8)
Формула (6) означает самоподобие орбиты Ог6(0, а, /) иррационального поворота окружности в случае квадратичной иррациональности. Эффект самоподобия орбит был обнаружен В.Г.Журавлевым [70] в случае а = г.
