Введение к работе
Актуальность темы
В диссертации с помощью приближений Паде гипергеометрических функций получены арифметические результаты в области теории чисел.
В 1873 году Эрмит построил совместные приближения функций ez,... , emz рациональными функциями. То есть, он нашел в явном виде многочлены Qo(z),..., Qm(z) такие, что кратности нуля в точке z = 0 функций Qo(z)ekz — Qk{z) будут максимально возможными в зависимости от степеней многочленов Qk- Значения этих многочленов в точке z = 1 использовались Эрмитом для построения совместных приближений к е,е2,. .. ,ет рациональными числами, что позволило ему доказать трансцендентность е.
Пусть скі,... , ат - различные комплексные числа, щ,щ,...,пт - неотрицательные целые числа, и определим
f(x) = хщ(х - ai)ni (х- ат)Пт.
Полагая М = щ + щ + + пто, получим
Qo(z)eakZ - Qk(z) = zM+1eakZ / e~ztf(t) dt, (1)
где degQk{z) < M — rik- При подстановке z = 1 в (1), мы получим равенство, которое Эрмит использовал для доказательства трансцендентности е, а Линдеман в 1882 году для доказательства трансцендентности 7Г.
Таким образом, конструкция совместных приближений e^z рациональными функциями Qk{z)/Qo{z) позволила построить совместные приближения чисел е% рациональными числами Qk(l)/Qo(l).
Подобная конструкция существует и для гипергеометрической функции. Рассмотрим следующий ряд, называемый Гауссовой гипергеометрической функцией:
7 \ ОО
а, о
[а)ЛЬ)і
[с)
F(z) = F(a,b,c;z) = 2F1
\ X r \yjJ}V\иIV у
z)=2^ — z
где а, Ь, с Є С и с ф 0, —1, —2,...; здесь (ско) = 1 и [a)v = а (а + 1) (a + v — 1). Если а или Ъ принадлежат множеству {0, —1, —2,... }, то
F(z) - многочлен; в противном случае это ряд с радиусом сходимости, равным 1.
Гаусс нашел следующее разложение в цепную дробь:
F(a, &, с; z)
F(a,b + 1,с + l\z) где комплексные числа
{а + к){с-Ъ + к)
d2k+i
[c + 2k){c + 2k + l] Эта цепная дробь сходится к
1 + 4А + 4А +
(b + к)(с-а + к) {с + 2к-1)(с + 2к) '
(2)
F(a, &, с; z)
F(a,b + 1,с + l\z)
в области 0 < arg(z — 1) < 27г. Числитель An(z) и знаменатель Bn(z) подходящей дроби - это многочлены с комплексными коэффициентами и
~п + 1"
deg Бп <
deg Лп <
Имеет место подобное (1) равенство
Bn(z)F(a, 6, с; г) - An(z)F(a, Ь + 1, с + 1; z) = (-1) an+1zn+lfn+1{z),
f2k{z) = F{a + k,b + k,c + 2к; z), f2k+i{z) = F{a + k,b + к + l,c + 2k + I] z).
Из (2) следует такое разложение:
F(a, 1,с; z)
1 at a? ^ + ^ + ^ + 1 1 1
где коэффициенты а* получаются из ai подстановкой Ъ = 0 и заменой с на с-1.
В 1907 году Паде нашел явное представление для рациональных приближений F(a,l,c; z) с различными ограничениями на степени числителей и знаменателей подходящих дробей.
Якоби нашел следующее представление для остатка и знаменателя приближения Паде функции F(a, 1, с; 1/х) в окрестности бесконечности. Пусть Re а > 0, Re(c — а) > 0, и пусть
Qn(x) = F(—n, с + п — 1, а, ж)
1-а/
11+а—с
'А'
1 *ЛУ
а-\-п—1 і
іс—а+п—1N
- многочлен Якоби, degQn(^) = п. Пусть многочлен Рп(х) степени п — \ определен равенством
-f п, \ X ,
ta-l(l
,\c-a-\4n\t) Qn\Xj ,
Тогда имеем следующее тождество:
'1 4-а+п—1/1 уЛс—а+п—1
dt.
х-
хРп(х) -Qn(x)F[ а, 1,с;
v xj (a)nJ0 (t-x)n+l
Обобщенная гипергеометрическая функция определяется рядом
ttQ, CLl;
і 0"m
(3)
(<»o)>-(ai)„- (am)„zl
m+l"m
і um
&i, ..., b.
z/=0
(bi)^ (brra)^ v\
условие
Re(a0 + cl\ H h am) < Re(&i H + bm)
обеспечивает сходимость ряда (3) в области \z\ < 1. Важную роль в анализе гипергеометрических рядов играют формулы суммирования и преобразования; в качестве примеров укажем формулу суммирования Гаусса
и, h .- 11 г(с)г(с - а -Ь)
F(a,6,c,l)-r(c_a)r(c_6),
формулу суммирования Пфаффа-Заалынютца
—n, а, 6 с, 1 + а + 6 — с
(с-а)п(с-&),
п Є N.
3^2
(с)п(с - а - Ь)п '
Классическая проблема Варинга утверждает, что для любого целого к > 2 существует s с тем условием, что каждое натуральное число представляется в виде суммы не более s слагаемых вида ак, где а - натуральное число. Наименьшее s с таким свойством обозначается д(к). Известно, что неравенство
3/
>
(4)
влечет представление
т
2к +
(5)
где [] и || || обозначают соответственно целую часть числа и расстояние
до ближайшего целого, ||ж|| = тіп({ж}, 1 — {х}).
В 1957 г. Малер1 использовал обобщение Риду известной теоремы Рота,
чтобы показать, что неравенство
для целых и и v и вещественного О имеет лишь конечное число решений
в целых к для любого С < 1. В частности, в случае 0=1, u/v = 3/2,
С = 3/4 получается неравенство (4), а вместе с ним и представление (5),
для всех к > К7 где К - абсолютная, но неэффективная постоянная.
В связи с этим возникла задача получить нетривиальную (с С > 1/2) и
эффективную (в терминах К) оценку вида
> Ск для всех к > К. (6)
Первое продвижение в решении этой задачи сделали в 1975 г. Бейкер и Коэтс.2 Применив эффективные оценки линейных форм для р-адических логарифмов, они показали справедливость (6) с С = 2_(-1_1 К
В 1981 г. Бэйкерс3 существенно улучшил этот результат, доказав, что неравенство (6) выполняется с С = 2-0-9 = 0.5358... при к > 5000. Доказательство Бэйкерса основано на приближениях Паде к остатку биноми-
ального ряда (1 - z)m = EJIU (")(-*Г-
В 1990 г. Дубицкас4 использовал конструкцию Бэйкерса для получения оценки (6) с С = 0.5769 ....
ХК. Mahler, "On the fractional parts of powers of real numbers. II", Mathematika 4, 1957, 122-124.
2A. Baker, J. Coates, "Fractional parts of powers of rationals", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 77, 1975, 269-279.
3F. Beukers, "Fractional parts of powers of rationals", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 90:1, 1981, 13-20.
4A.K. Дубицкас, "Оценка снизу величины ||(3/2)fc||", УМН 45:4, 1990, 153-154.
В этом же году Кубина и Вундерлих5 проверили неравенство (4) для всех к < 471600000.
В 1993 г. Беннет6'7 рассмотрел обобщение проблемы Варинга, именно, задачу о порядке дм{к) аддитивного базиса
(к)
{l\Nk,{N + l)k,...}, N>2,
множества целых положительных чисел. Он установил лучшие на данный момент оценки для последовательностей ||(1 + 1/W)fc||:
1 +
1 V
N )
>3"
при 4 < N < к У
и с их помощью получил представление
gN(k) = Nk +
1 +
(7)
при 4 < N < (к + l)^-1)/* - 1.
В 2003 г. Хабсигер,8 пользуясь, как и Дубицкас, конструкцией Бэйкерса, получает оценку (6) с С = 0.5770...; его работа также содержит оценку
(8)
> 0.57434^ при к > 5,
полученную на основе вычислений работ Делмера, Дезуера и Кубины, Вун-дерлиха.
Наконец, в 2007 г. Зудилин,9 модифицировав конструкцию Бэйкерса, а именно, рассмотрев приближения Паде к остатку ряда 1/(1 — z)m+l = Yln^o (ШтП)^П и П0ЛУЧИВ точные оценки р-адических порядков возникающих биномиальных коэффициентов, пришел к оценке
> 0.5803'
для всех к > К,
5J. Kubina, М. Wunderlich, "Extending Waring's conjecture up to 471600 000", Math. Сотр. 55:192, 1990, 815-820.
6M.A. Bennett, "Fractional parts of powers of rational numbers", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 114:2, 1993, 191-201.
7M.A. Bennett, "An ideal Waring problem with restricted summands", Acta Arith. 66:2, 1994, 125-132.
*L. Habsieger, "Explicit lower bounds for ||(3/2)fc||", Acta Arith. 106:3, 2003, 299-309.
9W. Zudilin, "A new lower bound for ||(3/2)fc||", J. Theor. Nombres Bordeaux 19:1, 2007, 311-323.
4 '5'
при к > К\} при к > Я~25
где К - некоторая эффективная постоянная. Конструкция его работы позволила ему также получить оценки
> 0.4914"
> 0.5152"
где К\ и ІС2 - эффективные постоянные. Указанная оценка снизу для ||(4/3)fc|| дополняет результат Беннета о порядке аддитивного базиса {1^, 3fc,4fc,... }, который требует выполнения ||(4/3)fc|| > (4/9)fc при к > 6, с тем условием, что последнее неравенство будет проверено в диапазоне 6
В качестве обобщения предыдущей темы могут рассматриваться последовательность дробных долей степеней фиксированного числа а > 1 и более общая последовательность {<^ап}, п = 1,2,..., где ^^0иа>1-вещественные числа.
Для натуральных s = 1,2,... определим д-ряды
Us) = ^2^s-i(n)qn дєС, \q\ < 1,
(9)
n=l
^2id\n^a 1 обозначает сумму степеней делителей. Несложно
где а3-\[п)
проверить предельные соотношения
lim(l-g)eCg(s) = (s-l)!-CW:
q->l
где ((s) - значения дзета-функции Римана (дзета-значения). Это обстоятельство мотивирует название q-дзета-значения для рядов (9).
Для четных s > 2 ряды Es(q) = 1 — 2s(q(s)/Bs, где Bs Є Q - числа Бернулли, известны как ряды Эйзенштейна. Поэтому из устройства пространства модулярных форм следует, что функции Cg(2), Cg(4), (q(6) алгебраически независимы над Q[q]: в то время как остальные четные q-дзета-значения являются многочленами (с коэффициентами из Q) от Сд(4) и Cq(6).
Цель работы
Получение эффективных оценок снизу дробных долей некоторых последовательностей действительных чисел с помощью рациональных аппроксимаций и гипергеометрической конструкции.
Доказательство трансцендентности и алгебраической независимости некоторых д-рядов.
Научная новизна
В диссертации решены следующие новые задачи.
Доказана эффективная нижняя оценка для ||(4/3)fc|| в зависимости от к.
Получена оценка на расстояние ||31'32fc|| при к, превосходящих некоторую эффективную границу.
Доказаны теоремы о линейной и алгебраической незавасимости над C(q) некоторых д-рядов.
Основные методы исследования
В работе используются следующие методы исследования: приближения Паде, гипергеометрические ряды и арифметический метод в улучшении знаменателей рациональных приближений.
Теоретическая и практическая ценности работы
Диссертация имеет теоретический характер. Предложенные в диссертации методы и полученные результаты представляют интерес для специалистов теории чисел.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и научных конференциях:
Научно-исследовательский семинар по теории чисел (Чл.-корр. РАН
Ю.В. Нестеренко, проф. Н.Г. Мощевитин), неоднократно в 2009-2010 гг.
Семинар "Диофантовы приближения и трансцендентные числа" (Чл.-корр. РАН Ю.В. Нестеренко, асе. Е.А. Уланский), 2009 г.
International scientific conference "Diophantine and analytic problems in number theory" (Moscow, MSU, 2007).
Публикации
Результаты автора по теме диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце автореферата [1]-[4].
Структура и объем диссертации
