Введение к работе
Актуальность темы. В современной алгебре исследование классов универсальных алгебр, выделенных по признаку выполнения в них фиксированного набора тождеств, является общепринятым. Класс всех алгебр, в которых выполнен фиксированный набор тождественных соотношений называется многообразием.
Традиционными объектами исследований являются линейные алгебры над некоторым полем и их многообразия, в частности интенсивно изучались многообразия ассоциативных алгебр, алгебр Ли, йордановых алгебр. Можно отметить некоторые монографии на эту тему l 2 3.
Так же, в последнее десятилетие появилась серия работ, посвященных исследованию многообразий линейных алгебр без каких-либо ограничений. Среди авторов можно назвать таких математиков, как А. Джам-бруно, А. Валенти (Италия), М.В. Зайцев (МГУ, Москва), СП. Мищенко (УлГУ, Ульяновск).
Около тридцати лет назад СП. Мищенко доказал, что многообразие, порожденное простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа имеет экспоненциальный рост 4.
Напомним строение простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии Wk- Пусть R = Ф[[г\,..., Zk\] — кольцо формальных степенных рядов от к переменных над полем Ф. Дифференциальные операторы D : R —> R вида D = Хл=і fidi, где fi Є R, a di — формальное дифференцирование по г-й переменной [Di, 1] = D1D2—D2D1 образуют необходимую алгебру Ли Wk-
1 Бахтурин Ю.А.Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука., 1985.
2 Giambruno, A., Zaicev, M.V. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. Mathematical Surveys
and Monographs 122.- American Mathematical Society. Providence. RL, 2005.
3Жевлаков К.А. Кольца, близкие к ассоциативным. К.А. Жевлаков, A.M. Слинько, И.П. Ше-
стаков, А.И. Ширшов. Москва: Наука., 1978.
4 Мищенко СП. К проблеме энгелевости. Математический сборник.- 1984- Т. 124(166).- №1(5).-
С. 56-67.
Диссертационная работа связана с исследованием многообразий, порожденных алгебрами Wk-, а также с поиском примеров коммутативных и антикоммутативных многообразий линейных алгебр, числовые характеристики которых отличаются от традиционных объектов исследова-нией. Характеристика основного поля предполагается равной нулю, поскольку А.И. Мальцевым было доказано, что в этом случае всякое тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств.
Объектом исследования в работе являются многообразия коммутативных и антикоммутативных линейных алгебр над полем нулевой характеристики, в частности алгебр Ли и их числовые характеристики.
Исследование экспонент многообразий коммутативных и антикоммутативных линейных алгебр над полем нулевой характеристики, в частности алгебр Ли является предметом исследования.
Цель и задачи работы. Основной целью диссертационной работы является исследование значений экспонент многообразий коммутативных или антикоммутативных линейных алгебр над полем нулевой характеристики, В частности, экспонент многообразий, порожденных простыми бесконечномерными алгебрами Ли картановского типа общей серии. Для достижения поставленой цели были поставлены и решены следующие задачи:
1. Уточнение верхней оценки экспоненты многообразия, порожден
ного простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей
серии Wk-
Уточнение нижней оценки экспоненты многообразия, порожденной алгеброй W'i-
Наложить дополнительные условия на серию построенных алгебр с изначально заложенными в них характерами роста коразмерностей.
Найти малоразмерную алгебру с дробным ростом коразмерностей.
Методы исследования. В работе использованы методы теории много-
образий линейных алгебр, теория представлений симметрической группы, техника, связанная с диаграммами Юнга, комбинаторные методы.
Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми. Построены примеры многообразий с любой экспонентой в классе коммутативных или антикоммутативных алгебр. Впервые указана классическая простая алгебра Ли, порождающая многообразие с дробной экспонентой.
Научные положения, выносимые на защиту.
Верхняя оценка экспоненты многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии Wk-
Пример многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой, порожденного классической простой алгеброй: простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии И7^- является дробным числом.
Континуальные серии многообразий линейных алгебр с любой экспонентой большей единицы в классе коммутативных или антикоммутативных алгебр, а также в этих же классах алгебр континуальные серии многообразий промежуточного роста.
Четырехмерная алгебра с дробным ростом последовательности ко-размертностей.
Достоверность результатов проведенных исследований. Достоверность результатов, полученных в данной работе, определяется строгими доказательствами, опирающимися на методы теории представлений симметрической группы, комбинаторные методы, а также аппробацией работы на конференциях и научных семинарах.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в исследованиях многообразий линейных алгебр.
Апробация работы. Основные результаты и вопросы диссертации об-
суждались в виде выступлений на следующих конференциях и семинарах:
Международная математическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (МГУ, Москва, 2008).
Восьмая международная конференция, посвященная 190-летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Саратов, 2011);
Семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета.
Личный вклад автора. Идея доказательства верхней оценки экспоненты многообразия, порожденного простой алгеброй Ли принадлежит научному руководителю. Проработка деталей, в частности, нахождение конкретного вида не нулевого элемента, необходимого для нижней оценки проделаны лично автором. Гезультаты третьей главы полностью получены лично автором.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, в том числе одна статья в журнале из списка ВАК.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Содержит 81 страницу машинописного текста, список литературы состоит из 47 наименований.
![Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0](/i/i/4467/317899.png "Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0 Ваулин Андрей Николаевич")
