Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Предварительные сведения 14
1.1 Основные соглашения и обозначения 14
1.2 Целозначные многочлены 15
1.3 Градуировки и фильтрации 17
1.4 Дифференцирования. Модули дифференциалов и модули кэллеровых дифференциалов 22
1.5 Некоторые основные понятия разностной алгебры 28
Глава 2 Характеристические многочлены разностных и инверсных разностных модулей и их инварианты 36
2.1 Теорема о характеристическом многочлене граду ированного разностного модуля 38
2.2 Характеристические многочлены фильтрованных разностных модулей 45
2.3 Определение и некоторые свойства разностной размерности 56
2.4 Инверсные разностные модули 62
2.5 Теорема о характеристическом многочлене фильтро ванного инверсного разностного модуля. Инверсная разностная размерность 69
2.6 Тип и размерность разностных и инверсных раз ностных векторных пространств 91
Глава 3 Разностные размерностные многочлены расшире ний разностных полей 97
3.1 Теорема существования разностного размерностного многочлена для сепарабельной отличной фильтрации разностного расширения 104
3.2 Метод вычисления разностного размерностного многочлена конечно порожденного разностного расширения 114
3.3 Разностный размерностный многочлен простой системы разностных уравнений. Примеры вычислений разностного размерностного многочлена некоторых конкретных систем разностных уравнений 120
Глава 4 Применение разностных размерностных многочле нов к исследованию разностных алгебр 132
4.1 Тип и размерность конечно порожденной разностной алгебры над разностным полем 133
4.2 Модуль кэллеровых дифференциалов разностной алгебры. Разностные локальные алгебры 138
Литература 144
- Дифференцирования. Модули дифференциалов и модули кэллеровых дифференциалов
- Характеристические многочлены фильтрованных разностных модулей
- Теорема о характеристическом многочлене фильтро ванного инверсного разностного модуля. Инверсная разностная размерность
- Метод вычисления разностного размерностного многочлена конечно порожденного разностного расширения
Введение к работе
Основным направлением исследований в разностной алгебре является, как известно, изучение расширений разностных полей и систем алгебраических разностных уравнений. Первые результаты в этой области, полученные в 30-х годах в работах Ритта и Роденбаша [зз] , [34]и [35J , состояли в описании множеств решений некоторых конкретных обыкновенных разностных уравнений, а также в изучении разностных идеалов кольца разностных многочленов. Следующий этап развития разностной алгебры был связан с работами Бэбита [19] , Белиники-Бируля [20] и франка [24] , но главным образом с работами Кона, в монографии которого [21] , вышедшей в 1965 г., суммированы практически все полученные к этому времени результаты о разностных полях, кольцах разностных многочленов и алгебраических разностных уравнениях. Следует отметить, что во всех этих работах изучались лишь обыкновенные разностные уравнения, а все рассматриваемые разностные поля предполагались ординарными.
В последнее десятилетие было начато изучение частных разностных полей и систем частных разностных уравнений (см. [22], [25] ), для которых был получен ряд результатов по разностной теории Галуа, а такие доказана теорема о базисе, обобщающая известную теорему Ритта [22]. В то же время в работах Колчина, Джонсона и др. была далеко продвинута теория частных дифференциальных полей и начато изучение частных дифференциальных модулей и алгебр. Значительное место в этих исследованиях занимает изучение дифференциальных размерно стных многочленов конечно порожденных расширений дифференциальных полей и их инвариантов (см. [2б], [29]и[о7] ), одним из которых является дифференциальная степень трансцендентности расширения. Анализ проблематики дифференциальной алгебры, связанной с дифференциальным размерностным многочленом, был дан Колчи- ным в работах [29] , [30]и в его докладе на Международном конгрессе математиков в Москве в 1966 г., где он сформулировал следующую теорему (доказательство которой было впоследствии опубликовано в [Зі] ): пусть г — дифференциальное поле (т.е. поле, на котором задано конечное множество Д =<
В 70-х годах в цикле работ Джонсона [2б], J27J , [28], а также в работах Зита [Зб], [37], было продолжено изучение дифференциальных размерностных многочленов дифференциальных расширений. Одновременно Джонсон начал изучение дифференциальных модулей (т.е. модулей над кольцами дифференциальных операторов), для которых ил был получен ряд результатов, нашедших применение при исследовании дифференциальных полей. В частности, Джонсон доказал существование характеристических многочленов для фильтрованных дифференциальных векторных пространств, установил их инварианты и с помощью полученных результатов дал простое доказательство теоремы Колчина, а такие получил ряд новых результатов в теории дифференциальных полей и алгебр. Среди работ последних лет, касающихся дифференциальных размерностных многочленов, следует отметить работу А.В. Михалева и Е.В. Панкратьева [12] , в которой приводятся методы и примеры вычисления дифференциального размер-ностного многочлена системы дифференциальных уравнений (рассматриваемой как систему уравнений на образующие соответствующего дифференциального расширения). Там же устанавливается связь между дифференциальным размерностным многочленом системы дифференциальных уравнений и введенным А.Эйнштейном [I8J понятием "жесткости" такой системы (более подробно об этом сказано во введении к третьей главе настоящей работы).
В связи с полученными Колчиным, Джонсоном и другими авторами результатами о дифференциальных размерностных многочленах, естественным образом возникают следующие задачи, решение которых и составляет цель настоящей работы.
I) Вяяснить, имеет ли место в разностной алгебре аналог теоре мы Колчина. Другими словами, можно ли утверждать, что если U — разностное расширение разностного поля с базисным множеством автоморфизмов Д = <о^/ *,о^>, ? ~^%)"^^) — конечное семейство разностных образующих этого расширения и множество всех таких мономов Ц *--о{кк (кь->кк,/), для которых Zjk| 1 (tew) » то существует такой многочлен X(t) от од-ной переменной t с рациональными коэффициентами, что №)- Ltdeo, г(къ)41и---и lit)*) )для всех достаточно больших ХЄ^.
В случае, если указанный многочлен существует, возникает задача определения его инвариантов (т.е. величин, не зависящих от выбора семейства разностных образующих расширения С поля Г ), а также разработки методов вычисления размерностного многочлена ко- нечно порожденного разностного расширения в том случае, когда система разностных образующих этого расширения удовлетворяет заданной системе алгебраических разностных уравнений.
2) Исследовать свойства модулей над кольцами разностных и инверсных разностных операторов над разностным кольцом (если 1\ — разностное кольцо с заданным множеством попарно коммутирующих автоморфизмов A = ^/--,^) , I — свободная коммутативная полугруппа, порожденная элементами Ыи- -,ЫК , а I — свободная коммутативная группа, порожденная этими элементами, то каждое из множеств, элементами которых являются всевозможные выражения вида
2. GtJC и соответственно 2-av\ ( a,_.,
Основными результатами данной работы являются следующие: I) доказано существование характеристических многочленов для отлично фильтрованных разностных и инверсных разностных модулей над артиновым разностным кольцом К (теоремы 2.2.1 и 2.5.1). В случае, когда |\ — разностное поле, определены инварианты указанных многочленов и установлены их свойства (теорема 2.5.4, предложения 2.3.1 - 2.3.3, 2.5.2 - 2.5.4); доказано существование разностного размерностного многочлена для конечно порожденного расширения разностного поля произвольной характеристики, снабженного сепарабельной отличной фильтрацией (теорема 3.I.I), а также для произвольного конечно порожденного расширения разностного поля нулевой характеристики (теорема ЗД.2), определены инварианты этих многочленов. (Таким образом, доказан разностный аналог теоремы Колчина о дифференциальном раз-мерностном многочлене и получено его обобщение для расширений разностных полей произвольной характеристики); получены соотношения, связывающие тип и размерность конечно порожденной разностной алгебры без делителей нуля с ее разностной степенью трансцендентности (теорема 4.1,1), вычислены тип и размерность алгебры разностных многочленов над разностным полем нулевой характеристики (теорема 4.1.2).
В диссертации применяются методы коммутативной алгебры, теории колец, теории полей и гомологической алгебры. Кроме того, для изучения различных вопросов разностной алгебры предложены и развиты следующие методы.
I) Изучение конечно порожденных расширений разностных полей и простых систем разностных уравнений с помощью соответствующих инверсных разностных модулей дифференциалов (предложения 3.1.I и 3.1.2). Его применения относятся к доказательству существования разностного размерностного многочлена отлично фильтрованного разностного расширения (см. теорему 3.I.I), к доказательству разностного аналога теоремы Колчина (см. теорему 3.1.2), а также к вычислению разностных размерностных многочленов конечно порожденных разностных расширений и простых систем разностных уравнений г 9 - (см. предложения 3.2.1, 3.2.2 и примеры 3.3.1 - 3.3.3). Метод может применяться как в разностной алгебре, так и в теории колец (например, при изучении расширений колец с операторами).
2) Исследование размерности разностных модулей и алгебр над разностным полем с помощью характеристических многочленов (обос нование этого метода содержится в доказательствах теорем 2.6.1 и 4.I.I). В настоящей работе этим методом доказываются теоремы
2.6.1, 2.6.1 и 4.I.I. Этот подход может применяться как в разностной алгебре, так и в теории колец (например, при изучении колец косых многочленов и их фактор-колец).
3) Изуение разностных локальных алгебр и разностных алгебр конечного типа с помощью соответствующих инверсных разностных мо дулей кэллеровых дифференциалов (предложение 4.2.1, лемма 4.2.1). Этот метод применяется при изучении вопросов, связанных с опреде лением разностной степени трансцендентности разностной локальной алгебры конечно порожденного типа (см. предложение 4.2.2), а так же для доказательства аддитивности разностной степени трансцен дентности на классе всех конечно порожденных разностных расшире ний данного разностного поля (предложение 4.2.3). Его можно при менять в разностной алгебре, в теории полей и в теории колец (при изучении полей с операторами и алгебр над такими полями).
Результаты настоящей работы могут найти и находят применение как в разностной, так и в дифференциально-разностной алгебре, а также в теории колец. Так, например, теоремы о характеристических многочленах инверсных разностных модулей и расширений разностных полей (см. теоремы 2.5.1 и 3.1.2 настоящей работы) были использованы Г.А.Джавадовым в работе [б] и в его кандидатской диссертации [?] для получения аналогичных результатов в _дифференциально-разностном случае и при изучении дифференциально-разностных уравнений. Другое применение результатов о характеристических многочленах -.10 - разностных модулей (в частности, теорем 2.5.1 и 2.5.2 настоящей диссертации) содержится в [2] , где приводится метод вычисления разностного размерностного многочлена инверсного разностного векторного пространства, основанный на рассмотрении характеристического множества соответствующего простого разностного идеала.
Настоящая работа состоит из введения и четырех глав, разбитых на 16 параграфов.
В первой главе вводятся основные обозначения и соглашения, а также приводятся некоторые известные результаты из различных областей алгебры, которые наиболее часто используются в дальнейшем. В частности, формулируются основные понятия разностной алгебры и некоторые утверждения о разностных полях и кольцах разностных многочленов. Большинство результатов первой главы приводится без доказательств, но дается ссылка на работу, содержащую соответствующее утверждение с доказательством. Лишь в тех случаях, когда такая ссылка невозможна (например, если приводимое утверждение ранее не публиковалось (хотя и может быть получено как следствие известных результатов — см. предложения І.2.І, 1.4.4, 1.4.5) или публиковалось, но в меньшей общности — см. предложение 1.5.2), соответствующий результат приводится с доказательством.
Вторая глава посвящена изучению разностных и инверсных разностных модулей над разностным кольцом К (разностным (соответственно инверсным разностным) К -модулем называется левый модуль над кольцом разностных (инверсных разностных) операторов над кольцом R). Центральное место в этой главе занимают теоремы 2.2.1 и 2.5.1, устанавливающие существование характеристических многочленов разностных и инверсных разностных модулей, снабженных отличными фильтрациями (фильтрация. \і\)гє-^ разностного (инверсного разностного) К -модуля называется отличной, если все К -модули 1\ (t*Z ) конечно порождены и существует такое ге/> - II - что для любого SN выполняется равенство SDSM - И (соответственно 6sl\=Mt+s), где (Ds)seZ и (s)s ^-ъ — естественные фильтрации колец разностных и инверсных разностных операторов соответственно). В связи с этюш результатами значительное место во второй главе уделяется определению инвариантов характеристических многочленов разностных и инверсных разностных векторных пространств, а также описанию свойств разностной и инверсной разностной размерности (эти инварианты дают, по-видимому, наибольшую информацию о разностном (инверсном разностном) векторном пространстве) —см. теорему 2.5.4, а также предложения 2.3.1 - 2.3.3 и 2.5.2 - 2.5.4.
Среди других результатов второй главы следует отметить теорему 2.4.1 о спектральной последовательности для функтора Е XL в категории инверсных разностных модулей над разностным кольцом, а также теоремы заключительного параграфа, устанавливающие связь между разностной (инверсной разностной) размерностью конечно порожденного разностного (инверсного разностного) векторного пространства и такими характеристиками этого пространства, которые служат естественным обобщением понятия размерности векторного пространства на случай разностных (инверсных разностных) векторных пространств.
В третьей главе изучаются расширения разностных полей, обладающие конечной системой разностных образующих. Основным результатом этой главы является теорема 3.І.І, устанавливающая существование разностного размерностного многочлена для разностного расширения разностного поля произвольной характеристики, снабженного сепарабельной отличной фильтрацией (т.е. такой возрастающей последовательностью подрасширений \^х)г<П1 3ar4aHHoro разностного расширения Q ^\ , которая удовлетворяет условиям: для любого автоморфизма ot из базисного множества поля Г ; 2) Qx~ р для всех достаточно малых гс2 ; 3)У2Ц=С ;
Сг — конечно порожденное расширение поля F для любого і^Ж; G — сепарабельное расширение поля Qx для любого tcZ ;
6) существует такое ге , что для любого SIn выполняется ра венство Gt+^Gt(r(s)Gj , где множество f(S) , соответствующее базисному множеству разностного поля г , определено выше). В ка честве следствия этой теоремы для расширений разностных полей ну левой характеристики получается аналог теоремы Колчина (см. теоре му 3.1.2). Здесь же вводится понятие "меры жесткости" системы уравнений в конечных разностях (являющееся разностным аналогом введенного А. Эйнштейном [18] понятия "меры жесткости" для системы дифференциальных уравнений) и показывается, что в качестве "меры жесткости" системы алгебраических разностных уравнений естественно рассматривать разностный размерностный многочлен, существование которого устанавливает теорема 3.1.2 (более подробно этот вопрос рассмотрен в 3.3, а также во введении к третьей главе). Среди других результатов третьей главы следует отметить предложение 3.2.1, в котором обосновывается метод вычисления разностного раз- мерностного многочлена простой системы разностных уравнений (сис тема разностных уравнений ;(%'">%,) = 0 0<«^$) над разностным по лем называется простой, если разностный идеал, порожденный раз ностными многочленами 1/"Д& в кольце Г {^,— Лт}» является прос тым), а также приведенные в 3.3 примеры вычислений разностных размерностных многочленов для конкретных систем разностных урав нений.
В четвертой главе ранее полученные результаты применяются для изучения разностных алгебр. Один из основных результатов этой - ІЗ - главы (см. теорему 4.1.I) состоит в обобщении на случай конечно порожденных разностных алгебр над разностным полем следующей классической теоремы: если А — конечно порожденная коммутативная алгебра без делителей нуля над полем \ , то размерность алгебры А (определяемая как длина наибольшей убывающей цепочки простых идеалов этой алгебры) равна степени трансцендентности А над t . Именно, теорема 4.I.I устанавливает связь между разностной степенью трансцендентности конечно порожденной разностной алгебры и такими ее характеристиками, которые являются естественным обобщением на случай разностных алгебр понятия размерности коммутативной алгебры.
Помимо вопросов, связанных с размерностью разностных алгебр, значительное место в четвертой главе занимает рассмотрение модулей кэллеровых дифференциалов, ассоциированных с разностными алгебрами, и использование свойств этих модулей при изучении разностных локальных алгебр и расширений разностных полей (см. предложения 4.2.1 - 4.2.3).
Результаты диссертации докладывались на ІУ и У Всесоюзных симпозиумах по теории колец, алгебр и модулей (Кишинев, 1980 г., Новосибирск, 1982 г.), на ХУІ Всесоюзной алгебраической конференции (Ленинград, 1981 г.), на Ш и ІУ конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 1981 г. и 1982 г.), на научно-исследовательском семинаре по общей алгебре и на семинаре по гомологической алгебре в МГУ, а также на семинаре по общей алгебре и математической логике в Институте математики с ВЦ АН МССР. Кроме того, все основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [38] - [46] .
В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю — доценту А. В. Михалеву за постановку задачи и постоянное внимание к работе. Автор также благодарен Е.В. Панкратьеву за многочисленные полезные обсуждения и советы. т 14 -
Дифференцирования. Модули дифференциалов и модули кэллеровых дифференциалов
Определение 1.4.I Дифференцированием из кольца А в А -модуль и называется такое аддитивное отображение , что D (оЛ) = Q- U(t) + ъ D (оь) для любых элементов л., ь Є- А Множество всех дифференцирований из кольца А в А -модуль М обозначается через 2)ег(А М) . Если D, . А" и и иг А-5 І I — дифференцирования и сєА , то отображения также, очевидно, являются дифференцированиями. Таким образом, множество 23ег(А П) является А -модулем, который называется модулем дифференцирований из А в И . Определение 1.4.2 Пусть л — алгебра над кольцом А -модуль. Дифференцирование D- А" И называется дифференцирова- ниєм над кольцом jf? или R-дифференцированием, если Q обращается. в нуль на всех элементах вида Хе , где Хс к , а е — единица алгебры А Множество всех я -дифференцирований из я -алгебры А в А -модуль И обозначается через 50еЧо(А,М). Если & А , Хе к. и Легад.ви деть, что является п-подаюдулем модуля Ниже мы будем в основном рассматривать дифференцирования из коль ца А в А -модуль П в случаях, когда А — поле, а ГІ - алгебра над полем А (в частности, когда А — подполе поля М ). Предложение I.4.I (см. [3, гл.У, 9, предложение 4] ). Пусть Е — некоторое подполе поля iZ , г — чисто трансцендентное расширение поля L , содержащееся в _ L, (ХІ.)ІЄІ— чистый базис поля г над с . Тогда для каждого дифференцирования D поля h в Si и каждого семейства О ит элементов из S1 существует единственное дифференцирование Q поля г в S с, продолжающее D и такое, что иСхЛгЦ для любого ієі .
Предложение 1.4.2 (см. [з, гл.У, 9, предложение 5J ). Пусть С. — некоторое подполе поля І2 и г — сепарабельное алгебраическое расширение поля L , содержащееся в з с . Тогда каждое дифференцирование D поля Ь в Si однозначно продолжается до дифференцирования у поля Пусть Q — некоторое расширение поля К и L — подрасширение поля Ь с. Следующее предложение устанавливает существование сепара-бельного базиса трасцендентности поля L над К в случае, когда L — сепарабельное расширение конечного типа (если последнее условие не выполнено, то сепарабельного базиса трансцендентности L над К может и не существовать — см. [3, гл.У, 8, упр. I3J ). Предложение 1.4.3 (см. [3, гл.У, 9, теорема 2J ). Пусть F К (х х c.Q_— сепарабельное расширение конечного типа по- ля N . Пусть г — алгебраическая размерность поля Е над К ; тогда векторное пространство ) (над Q. ) К -дифференцирований поля L ві 2. имеет ту же размерность t , существует часть D множества элементов х такая, что и является базисом трансцендентности поля h над К и t является алгебраическим сепарабельным расширением поля (базис трансцендентности D называется в этом случае сепарабельным базисом трансцендентности поля L над К ). Пусть Г — некоторое подполе поля (л . Обозначим через «Осі ьі множество всех г -дифференцирований поля U в себя. Как показано выше, 1)ег U является векторным пространством над полем G , по этому мы можем рассмотреть двойственное векторное U -пространство (ЗЗеггС) по Л)еч.рЦ U) . Каждому элементу Ьє& сопоставим такой элемент doe для любого Легко проверяется, что отображение hv- dh г -линейно и что 0(4, )= "Ь ЧгМг її для лю вх ь7г (Действительно, для любого Обозначим через Лр\Сі) векторное С-подпространство пространства (ДЗет Qj , порожденное элементами вида «и , где И пробегает поле С\ . Будем называть векторное U-пространство JdpvU) модулем дифференциалов, соответствующим расширению Q i .В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение о модуле дифференциалов, соответствующем конечно порожденному расширению. Предложение 1.4.4 Пусть Q= Г( Г К) конечно порожденное расширение поля г . Тогда SZjAW является конечно порожденным векторным пространством над полем С, с Доказательство.
Очевидно, достаточно показать, что любой образующий элемент d ЦСі) векторного С, -пространства bcplU) линейно выражается через элементы а4о " с коэффициентами из поля С . Но каждый элемент VcC, может быть представлен в виде T Q(ub J г » гДе t и V "" многочлены от к неизвестных с коэй-фициентами из поля Г . Следовательно, а)- ТгТГ ІЛчіГмк) ГІь" Лк) кіь Л } "W у" Л )\ » 0ТКУДа вытекает, что элемент J k « представим в виде линейной комбинации с коэффициентами из поля U элементов d /, с" к (ибо таким образом представим, очевидно, любой из элементов d(. b- }K) и do,(h ;..;ік) . Предложение доказано. Предложение 1.4.5 Пусть V — поле нулевой характеристики и Q — расширение поля Г . Пусть далее ( ) . — некоторое семейство элементов поля U . Тогда для того, чтобы семейство WKA было алгебраически независимым над полем Г, необходимо и достаточно, чтобы семейство элементов (аЧ ) Л векторного &-пространства ScplU) было линейно независимым над полем Ц . Доказательство. Предположим сначала, что семейство (Д ) л алгебраически независимо над полем г . Дополним семейство ("7 ) Л до базиса трансцендентности D поля Ц над г (согласно [з, гл.У, 5, теорема 2] такое дополнение возможно) и положим D = О Д ді В силу предложения 1.4.1 для каждого Р Д существует такое Г -дифференцирование UB поля в U , что .
Характеристические многочлены фильтрованных разностных модулей
Пусть К — разностное кольцо с базисным множеством А5Ц/"/к) , и I , 1г , К -) (ле(к1) — ассоциированные с А множества, определенные в предыдущем параграфе. Обозначим через D кольцо разностных операторов над R и рассмотрим на кольце D фильтрацию 0дг\е2 » где Юг={и;еЗ)огси;а}при 1 ,0 и =0 при г«Э Легко видеть, что фильтрация (\)г- согласуется с градуировкой кольца 2) , рассмотренной в 2.1, и градуированные кольца 2} и Фг.2) изоморфны (здесь через Qfijj обозначено градуированное кольцо, ассоциированное с фильтрованным кольцом 33 , снабженным фильтрацией (Э3гд60.В дальнейшем, рассматривая кольцо разностных операторов «D как фильтрованное, мы всегда будем предполагать, что оно снабжено введенной выше фильтрацией -\)ге2 Определение 2.2.1 Пусть п — разностный К -модуль и задана исчерпывающая и отделимая фильтрация М как Є -модуля, (см. 1.3, определение 1.3.8). Тогда модуль П называется фильтрованным разно стным К -модулем. Определение 2.2.2 Пусть П — фильтрованный разностный К -модуль с фильтрацией (J \)г 1и ПУСТЪ для любого гс/ модуль Пг конечно порожден над кольцом К . Тогда фильтрация ( г)г _лк дуля П называется конечной, а модуль М — конечно фильтрованным. Определение 2.2.3 Пусть П — фильтрованный разностный К -модуль с фильтрацией \Лт)г » Если существует такое число гс , что M IlM при всех целых Ъ г , то фильтрация Ц\)г-2 на-зывается хорошей, а модуль И — хорошо фильтрованным.
Определение 2.2.4 Конечная и хорошая фильтрация разностного модуля п называется отличной. В этом случае модуль П называется отлично фильтрованным. Замечание. Рассмотрим на кольце К тривиальную фильтрацию \іч)гє2 где "Ч" 11 г ( и Ч" "Р11 гУ/0 Тогда любой К -модуль г , на котором задана "неубывающая цепь К -подмодулей УЪСЛ такая» чт0 - , . Р и для всех достаточно малых Wit2 » можно рассматривать как фильтрованный К -модуль с фильтрацией Ч. {«, ) и, е- ДЗЛее» ТеНЗОрНОе Произведение оОлГ можно естественным образом рассматривать как левый JJ -модуль (при этом умножение на элементы кольца 23 задается следующим образом: wtCw2x) ю фх для любых юь(огє2) ; ХєР ). Полагая \ jD-r ) Д. АоП Для любого ьгс"2, получим фильтрацию \(2}рг) ) .- левого 5D-модуля dDr. В дальнейшем, если модуль рассматривается как фильтрованный ( Р — фильтрованный модуль над кольцом К с тривиальной фильтрацией, причем фильтрация модуля г отделимая и исчерпывающая), то предполагается, что его фильтрация имеет указанный выше вид. Теорема 2.2.1 Пусть К — артиново разностное кольцо с базисным множеством ( /"А) и ЯУ0115 (пг)ге- — отличная фильтрация разностного К-модуля М .
Тогда существует такой целозначный многочлен X(t) от одной переменной t , что Мг) КДпг) Для всех достаточно больших 1С/.. При этом степень многочлена f\i) не превосходит К . Доказательство. Очевидно, что CR\Mj - 2- LR(tV slїї ) (так как мы рассматриваем лишь отделимые фильтрации, то сумма в правой части последнего равенства конечна). Покажем, что существует такой целозначный многочлен ip(l)Q[t] , что dea if(t) fc-l и для всех достаточно больших Ъ . выполняется равенство iff -ILx s l/ Так как фильтрация (пг)г отличная, то существует такое ге/, что П Ц_,Пг при всех s t . Замечание перед теоремой 2.2.1 показывает, что модуль J3 пг можно рассматривать как фильтрованный разностный К -модуль, если считать, что К -модуль rL снабжен фильтрацией (n McJav (предполагается, что кольцо R снабжено тривиальной фильтрацией). Таким, является эпиморфизмом, причем эпиморфизмом фильтрованных модулей, так как H(3)RMtU=M при г . Предложение 1.3.3 показывает, что из точности последовательности фильтрованных ) -модулей следует точность последовательности 12)йпг) -П" 0 градуированных Чш -модулей. С учетом естественного эпиморфизма 53 ч— " К1 №R"V) "" " получаем, что последовательность градуированных Уи)-модулей Цг К R 4 М г и - 0 точна, а так как toS -модуль Sfi3)n(yiut конечно порожден над кольцом On«D (ибо по условию модуль ГЦ конечно порожден над кольцом К ), то Ч Іч — конечно порожденный VIJD-модуль. Как было отмечено выше, градуированные кольца to2) иЗ) изоморфны, поэтому Ji ГІ можно рассматривать как конечно порожденный градуированный D -модуль. 8 силу теоремы 2.I.I суіцествует такой целозначный многочлен f (і) от одной переменной t , что deo, if (1) И-1 и для всех достаточно больших Se2 (скажем, при всех S s0 , где S0 — некоторое целое число) выполняется равенство f(S) = cR ( п)
Теорема о характеристическом многочлене фильтро ванного инверсного разностного модуля. Инверсная разностная размерность
Пусть К — разностное кольцо с базисным множеством Л /--,0 Ь — кольцо инверсных разностных операторов над кольцом К и \h\sj/ — рассмотренная в 2.4 фильтрация кольца & . Введем следующие определения. Определение 2.5.1 Фильтрацией инверсного разностного Ц -модуля М называется такая неубывающая последовательность К -модулей 0 --- М7 Мь - - П (она будет обозначаться через (МЛ J, что U Мь= П , М=0 для всех достаточно малых te / и М М Для Л1бнх г?Ь . (Таким образом, (П ) исчерпывающая и отделимая фильтрация м как ь -модуля). Определение 2.5.2 Фильтрация \1\)и инверсного разностного К -модуля П называется конечной, если для каждого te / модуль П конечно порожден над кольцом К . В этом случае модуль П называется конечно фильтрованным. Определение 2.5.3 Фильтрация (j\)t-b инверсного разностного К -модуля П называется хорошей, если существует такое число гє2 , что П$:=Ц_гпг для любого se Z , Ь ї . В этом случае модуль и называется хорошо фильтрованным. Определение 2.5.4 Конечная и хорошая фильтрация (1\)ге инверсного разностного К -модуля П называется отличной. В этом случае модуль
П называется отлично фильтрованным. Теорема 2.5.1 Пусть R — разностное артиново кольцо с базисным множеством Д= /"/0 и пусть (Мг)Ч62 "" отличная Фи льтрация инверсного разностного К -модуля П . Тогда существует целозначный многочлен "уШ от одной переменной t , обладающий следующими свойствами: 1) Y «\Мг) для всех достаточно больших чисел it. ; 2) decLYlt) її » причем многочлен уШ может быть представлен в виде Yltt = ЬИ) , где ає2 . Доказательство. Обозначим через и кольцо инверсных разностных операторов над разностным кольцом К . Будем рассматривать кольцо Ь как фильтрованное (с введенной выше фильтрацией \ i)iej) и обозначать через toG ассоциированное градуированное кольцо (см. определение 1.3.10). Пусть 3 /--, — канонические образы в кольце % о элементов о( ы о - -уоС соответственно (дру-гими словами, L= .+ 0 6 , /о (кию j = у.к+0 0 Cvt+1 v j $ 2a) ). Легко видеть, что элементы ь - ги, порождают кольцо №& над R , попарно коммутируют между собой и э х -О для любого 1-\ ... ц, . Кроме того, для любого 0- К имеем: ос а=о .(а,)х при kUn и х- CL= 0 7 (А) ,- при n-4 U2n . Одно-родные компоненты Vis (sew) градуированного кольца у. 6 представляют собой R -модули, порожденные всевозможными мономами вида X 1 такими, что k: е IN U j 0 » ZK -S И АлЧ 1- Для любых и-і;---,и, ; к=і,-..,уі . С учетом вышесказанного, мы будем в дальнейшем (до конца доказательства)обозначать градуированное кольцо 01 & также и через R X - Х2К\ . Пусть (I \х)ха 1 отличная фильтрация инверсного разностного К -модуля М и пусть №ГІ = (В К М — ассоциированный градуированный Vib -модуль.
С помощью тех же рассуждений, которые показывали, что для отлично фильтрованного разностного К -модуля N модуль Фім конечно порожден над кольцом Ot2) (см. доказательство теоремы 2.2.1), получаем, что Jtt.Pl — конечно порожденный fl -модуль. Положим М М . Так как СДМг)= Л 0 , то для доказательства теоремы достаточно показать, что существует целозначный многочлен U tt) от одной переменной t , обладающий следующими свойствами: I) { ) vAn ) для всех достаточно больших S. , скажем, при всех S s0 С s0 (N) и 2) многочлен ЧШ может быть записан в виде if({,) - 2 - I + o{jf ) » гДе at Z (Действительно, если многочлен if Ш с такими свойствами существует, то в силу предложения І.2.І существует такой целозначный многочлен vtti» что Для всех достаточно больших t Ц_ выполняется равенство у(г) = c0+Z Сг) [ (Мг) (здесь с0 ! (f(So ) ). При этом с!во,и({) = decLip j-Wj и старший коэффициент многочлена y(t) получается из старшего коэффициента многочлена ij (t) умножением на Индукцией по Vt - Catd Д докажем существование многочлена f(t) , обладающего требуемыми свойствами. Если VL=0 , ТО fit)-О (ибо в этом случае модуль од. М конечно порожден над артиновым кольцом К и, следовательно, П и для всех достаточно больших S /L ) и доказываемое утверждение справедливо.
Метод вычисления разностного размерностного многочлена конечно порожденного разностного расширения
Пусть Г — разностное поле нулевой характеристики с базисным множеством А= «:1;-- и_ и пусть & — конечно порожденное разностное расширение поля Г , заданное семейством разностных образующих l7 4i/". V) и системй алгебраических разностных уравнений на образующие где I. [и. "Льі) № ) — разностные многочлены от разностных неизвестных tyi/"; Vv (Как показано в 1.5, з рассматриваемом случае разностный идеал Р , порожденный в кольце г {jh/ \ } элементами AA/ -,\S » является простым и поле С, изоморфно разностному полю частных фактор-кольца HVr/Wj/p) Ниже мы покажем, каким образом в ряде случаев может быть вычислен разностный размерностный многочлен Kir (і) соответствующий рассматриваемому разностному расширению. (Напомним, что, согласно теореме 3.1.2, КЛІ) — такой целозначный многочлен, что deaj lt) , JWlt) может быть записан в виде JL ({)- Ls2 № +otf1) и для всех достаточно больших гє _ выполняется равенство р(г) - = tide Cy где Gt F(rU)fyU"-ufo)»JnpH г 0 и Ct-F при г 0 ). Замечание.
Пусть К — разностное поле с базисным множеством i,- toC y . Тогда кольцо инверсных разностных операторов над полем К будет в дальнейшем (до конца главы) обозначаться через 6. Как и в примере 2.5.2, через Ь будет обозначаться свободный fig-модуль ранга к , снабженный фильтрацией (л к/г/ге , где (Е ) = = й(&и)г-е ( ь" к — свободные образующие -модуля Е, Ъь2 рассмотренная в 2.4 фильтрация кольца GR ). Определение 3.2.1 Пусть К — разностное поле с базисным множеством к- о(ь- оСк) . Тогда свободным фильтрованным инверсным разностным К -модулем называется прямая сумма фильтрованных ь0- Л R модулей t описанного выше типа. Для каждого свободного фильтрованного инверсного разностного модуля П над разностным полем К "обозначим через V Ш характе- М ристический многочлен этого модуля, ассоциированный с имеющейся р р на модуле п фильтрацией (если м Ек - Lk , то у It) = К,- 2ЧЖ 0 + -" + Ч 2ЧіН )- см. пршер 2.5.2)М. Если N — фильтрованный инверсный разностный модуль над разностным полем К , то его свободной резольвентой мы будем называть точную последовательность фильтрованных инверсных разностных К -модулей ..._vM .РЧ М M-5 (J-»0, в которой модули М; (o. UP) яз- ляются свободными фильтрованными ь.-модулями. Пусть SdpW») — модуль дифференциалов, соответствующий расширению Q F . Согласно предложению 3.1.2, iZJti) является инверсным разностным векторным G, -пространством, обладающим отличной фильтрацией (QF(Qt\-» гДе Лр(С)г- О при г о , а при г 0 irv.Q)7 является векторным d -пространством, порож-денным всеми элементами вида eta , для которых Qt . (Ниже при рассмотрении SlFV&) как фильтрованного инверсного разностного векторного Q -пространства всьэду подразумевается именно такая филь- /грация пространства ііДС) ) Следующее предложение позволяет свести вычисление разностного размерностного многочлена /иіДі) рассмотренного выше разностного расширения G r к построению свободной резольвенты для модуля дифференциалов ібДС,) и вычислению характеристических многочленов инверсных разностных векторных U -пространств L (последнее не представляет трудности, так как соответствующие формулы уже получены в примере 2.5.2). Предложение 3.2.1 Пусть г — разностное поле с базисным множеством Д= ;") Пусть,далее
