Введение к работе
Актуальность темы.
Родоначальником теории пучковых представлений считается Гротен-дик [31], доказавший изоморфизм между произвольным коммутативным кольцом R с единицей и кольцом сечений пучка локализаций кольца R по всем его простым идеалам И Ламбек [40] ограничивает представление Гротендика до факторного и получает принципиально новое представление, основанное на открытом семействе идеалов (Op), Р Є Spec R Этот подход оказался очень плодотворным — адаптация идей Ламбека для некоммутативных колец привело к целой серии работ по пучковым представлениям Прежде всего отметим работу Д Даунса и К Гофмана [18] о представлении бирегулярного кольца и применении полученной конструкции для описания группы автоморфизмов бирегулярного кольца Характеризационная теорема Даунса-Гофмана обобщает результаты Р Аренса и И Капланского [6] о представлении произвольного бирегулярного кольца кольцом функций, которые в свою очередь обобщают классическую теорему М Стоуна [49] о представлении булевых колец Эти результаты вместе с преобразованием И М Гельфанда [2] банаховых алгебр можно считать непосредственными источниками, приведшими к возникновению теории пучковых представлений
В дальнейшем К Кохом [38] доказана изоморфность ламбековского представления для колец без нильпотентов Он же дал представление строго гармонических колец [39] В статье Г Симмонса [47] изучаются свойства строго гармонических колец прежде всего в терминах пучков, в частности, получена их пучковая характеризация Ламбек [40] построил пучок колец, основанный на первичном спектре так называемой симметрической части кольца Эта конструкция позволяет получить пучковое представление произвольного кольца, однако, каких-либо приложений этому не найдено В случае же симметрического кольца и симметрического модуля получены изоморфные ламбековские представления Представления ртг-колец и коммутативных гармонических колец рассматривали Р Бкуш [7] и С Телеман [50] Гельфандовы кольца, их свойства и представления изучались С Д Малви [42, 43] и Симмонсом с соавторами [8]
В фундаментальной работе [44] Р С Пирсом построены пучки колец
и модулей на стоуновском пространстве кольца (как на базисном пространстве) Любое кольцо изоморфно кольцу сечений своего пирсовского пучка, но нетривиальные представления получаются только для колец с достаточно богатой булевой алгеброй центральных идемпотентов Для изучения таких колец широко используется техника с применением конструкции пирсовского пучка. Отметим работу Д В Тюкавкина [4] о регулярных кольцах с инволюцией, статью А Б Карсона [13] о пирсовском пучке регулярного кольца конечного индекса нильпотентности Изучение пирсовского пучка и его применение осуществлено в работах В Д. Бе-джеса и В Стефенсона [10, 11], в которых они ввели полезное понятие пирсовской цепи, строя пучки для слоев пучка Пирса и продолжая этот процесс для построенных пучков (см также [12])
В 1971 году К Кеймель [37] развил теорию представлений для реше-точно упорядоченных колец, которая применима также для решеточно упорядоченных абелевых групп
К середине 70-х годов был накоплен достаточный материал по различным типам конкретных пучковых представлений, что неизбежно поставило вопрос о создании общей теории представлений. Вышли обзоры Гофмана [34] и Малви [43], сборники [45, 5] Гофманом, в частности, получено следующее Отталкиваясь от произвольного семейства идеалов, осуществляется переход к открытому семейству идеалов, индексированных точками топологического пространства X Показано, что таким образом может быть получено любое факторное представление кольца Равносильный гофмановскому подход через открытые семейства идеалов и идеальные пространства предложен Малви Позже, в 1989 году, Симмонс [48] дал описание функционального представления кольца как соответствия Галуа между решеткой Id R идеалов кольца R и решеткой тХ открытых множеств базисного топологического пространства X
Симмонсу [47] принадлежит разработка еще одного фрагмента общей теории Как было замечено, факторное представление кольца R сечениями пучка над X задает соответствие между решетками Id Д и тХ (типа соответствия Галуа или соответствия, близкого к сопряжению) Симмон-сом найдены достаточные условия, при которых такое соответствие задает полное факторное представление Применение найденных конструкций дает два вида пучковых представлений, основанных на фреймах идеалов
и юс точечных пространствах (наиболее интересные представления получаются с помощью чистых идеалов)
Так же с именем Симмонса связан структурный предпучок над чистым спектром кольца R Именно, каждому открытому множеству точечного спектра сопоставляется кольцо эндоморфизмов соответствующего чистого идеала, рассматриваемого как правый модуль над R В [8] показано, что каноническое представления кольца R сечениями предпучка является изоморфным, а сам предпучок — пучком для произвольного кольца В случае гельфандова кольца его пучок Симмонса совпадает с ламбеков-ским пучком, а для коммутативного кольца с ограничением пучка Гро-тендика
Наконец, скажем о вкладе Голана в теорию представлений колец [26, 27, 28] Каждой точке пространства простых кручений кольца R сопоставляется кольцо частных кольца R относительно соответствующего кручения Получаем пучок и изоморфное представление для произвольного кольца Изложение конструкции Голана и некоторое ее обобщение можно найти в [46]
На русском языке теория пучковых представлений колец в достаточно полном объеме изложена в монографии Е М Вечтомова [1]
Без всякого сомнения, кольцо является наиболее важным и удобным алгебраическим объектом с точки зрения пучковых представлений Однако пучки широко применяются и для изучения других алгебраических систем, прежде всего, ограниченных дистрибутивных решеток и почти-колец.
Отметим, что первые работы по представлению дистрибутивных решеток и почти-колец появились уже в конце 60-х годов Различным типам пучковых представлений посвящены работы [9, 14, 16, 17, 22, 23]
По универсальным алгебрам укажем такие результаты С Д. Комер [15] получил представление на стоуновском пространстве булевой подре-шетки решетки всех конгруэнции универсальной алгебры, показано применение для бирегулярных колец и для цилиндрических алгебр В [36] К Кеймелем дано представление, пригодное для изучения бирегулярных полугрупп Вопросам общей теории представлений универсальных алгебр посвящены статьи Б А Дейви [20] и Г Вернера [52].
Реферируемая диссертация посвящена представлениям полуколец По-
лукольцо понимается нами как алгебраическая система, отличающаяся от ассоциативного кольца с 1, возможно, необратимостью аддитивной операции Впервые термин полукольцо появился в 1934 г в статье Г С Ван-дивера [51], однако, фактически полукольца изучались с конца 19 века в работах, связанных с изучением идеалов колец [21, 41] и с вопросами аксиоматики натуральных и неотрицательных рациональных чисел [33, 35]
Планомерное изучение полуколец началось в 50-х годах 20 века в работах А. Алмейда Косты, С Берна, М Хенриксена, К.Исеки, В Словиковско-го, В Завадовского и др С конца 80-х годов повышенное внимание к полукольцам обуславливается также многочисленными приложениями теории полуколец (в теории автоматов, оптимального управления, формальных языков, графов и др.) Опубликованы монографии Голана [29, 30], У Хебиша и ГВейнерта [32], обзоры литературы по теории полуколец К Глазека [24, 25]
Впервые вопрос о возможности применения пучковых методов для изучения полуколец поставил К И. Вейдер в 1990 году на научно-исследовательском семинаре "Кольца и модули" в МГУ
Цель работы. Создание теории пучковых представлений полуколец и полумодулей
Методы исследования. В диссертации применяются методы теорий полуколец, колец, дистрибутивных решеток и универсальных алгебр, общей топологии, теории пучков и пучковых представлений, а также оригинальные методы и приемы
Новизна результатов. Приведенные в диссертации результаты являются новыми Основные результаты состоят в следующем
Строятся пучки полуколец Ламбека, Корниша, Пирса, Гротендика и Симмонса, аналоги кольцевых и/или решеточных конструкций, даны соответствующие представления полуколец и полумодулей
Развивается общая теория представлений полуколец и полумодулей
Выделяются и описываются полукольца, "удобные" для функциональных представлений
Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер Полученные результаты могут быть использованы в теории полуколец, теории пучковых представлений алгебр.
Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в [53]
— [74] и докладывались Международных алгебраических конференциях в Туле (2003 г), в Москве (2004 г) и в Екатеринбурге (2005 г), на кольце-модульных семинарах в МГУ им М В Ломоносова, на алгебраических семинарах МПГУ и ВятГГУ, в Институте математики и механики Уральского отделения РАН, на семинаре "Алгебраические системы"в Ур-ГУ (2006 г.)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 20 параграфов, и списка литературы Полный объем диссертации — 234 страницы, библиография включает 114 наименований
