Введение к работе
Целью работы является исследование достижимости минимального показателя экспоненциального роста для различных классов групп, а также нахождение точных значений минимальных показателей роста.
Актуальность темы. В работе исследуются функции роста бесконечных групп, их асимптотическое поведение, а также зависимость такого поведения от выбора системы порождающих группы.
Длиной элемента х группы G относительно данной системы её порождающих S = {<2i,... ,} называется минимальное число N: при котором в G выполнено равенство х = д\г... дє^, где ді Є S: Єі Є {—1,1}. Длину элемента х относительно данной системы порождающих S мы обозначаем через s(%). Если е — единица группы G, то s(e) = 0.
Функцией роста Fq^s{ti) группы G относительно множества S называется количество различных элементов х Є (7, для которых s(x) ^ п.
Говорят, что группа G имеет полиномиальный рост относительно данной системы порождающих S: если можно указать такой многочлен Ps(n), что при любом п ^ 0 выполняется неравенство Fq^s{ti) ^ Ps(n). Если для некоторой конечной системы порождающих S существует такой многочлен Ps(n), то аналогичный многочлен существует для любой конечной системы порождающих S' группы G, причем минимальная степень возможных многочленов для любых двух систем порождающих S и S' будет одна и та же. Таким образом, свойство группы G иметь полиномиальный рост так же, как и минимальная степень искомого полинома, не зависят от выбора системы, хотя сам многочлен Ps(n) может зависеть от выбора системы порождающих S. Однозначно определённая минимальная степень искомого полинома для данной группы G называется степенью полиномиального роста этой группы.
Говорят, что группа G имеет экспоненциальный рост относительно данного множества порождающих S, если существует такое действительное число cs > 1 и натуральное число Ns: что для всех п > N$ выполнено неравенство
FG,s(n) > cns-
Для данной системы порождающих S существует максимально возможное из таких чисел cs: и оно совпадает с пределом
Нт (FGiS(n))^n. (1)
п—^оо
Этот предел называется показателем, экспоненциального роста группы G относительно множества порождающих S и обозначается через X(G,S). Существование предела (1) следует из того, что для функции роста при любых целых m,n ^ О выполнено неравенство Fc^s(m + п) ^ Fc^s(m) Fc^s(n). Значение показателя роста A(G, S) может зависеть от выбора множества порождающих S. Точная нижняя грань множества показателей роста данной группы G относительно всех конечных множеств её порождающих называется минимальным показателем роста данной группы G и обозначается \{G).
В 1981 году М.Громов в книге [4] поставил вопрос о существовании конечно-порождённой группы G, для которой точная нижняя грань всех показателей экспоненциального роста равна 1. Очевидно, в этом случае 1 не может быть показателем экспоненциального роста группы G ни при каком выборе конечного множества порождающих.
Группа, в которой минимальный показатель роста не реализуется ни при какой конечной системе порождающих, называется группой с недостижимым минимальным показателем роста. Если же минимальный показатель роста реализуется для некоторой системы порождающих, то говорят, что группа обладает достижимым минимальным показателем роста,
В той же работе Громов обратил внимание на то, что свободная группа F& данного ранга к имеет минимальный показатель экспоненциального роста 2к — 1, и этот показатель роста достигается на любой системе порождающих из к элементов.
Естественным образом возникает вопрос: какие ещё группы имеют экспоненциальный рост, и при этом минимальный показатель роста достигается на некотором множестве порождающих?
По-видимому впервые в литературе этот вопрос был сформулирован в совместной статье П. де ля Арпа и Р.И.Григорчука [2].
В 1998 году А.Самбусетти построил первые примеры групп экспоненциального роста с недостижимым минимальным показателем роста, большим 1. В работе [5] он доказал, что минимальный показатель роста свободного произведения любой нехопфовой группы G (т.е. изоморфной некоторой собственной факторгруппе) и нетривиальной группы Н не достижима. Если в качестве множителя G взять известную нехопфову группу Баумслага-Солитэра 5/5(2,3) = (а, 6 | а2 = 6а36-1), а в качестве Н — бесконечную циклическую группу, свободное произведение G * Н будет примером группы, заданной одним определяющим соотношением, минимальный показатель роста которой не достигается. К сожалению, для самих групп Баумслага-Солитэра вопрос о достижимости минимального показателя роста пока остаётся открытым.
В 2002 году Дж.Вилсон впервые построил пример группы G экспоненциального роста, для которой A(G) = 1. Более короткое доказательство этого интересного результата с использованием той же конструкции Вилсона, получил Л. Бартольди (6 страниц вместо 17 у Вилсона). Уже в 2002 году в интернете были доступны предварительные версии обеих работ с полными доказательствами, но статья Вилсона была опубликована в печати на год позже работы Бартольди (см.[6] и [1]).
Первые примеры групп, которые имеют достижимый минимальный показатель роста и не являются свободными группами, были указаны диссертантом в докладе на международной конференции по теории групп в г.Гаета (Италия) в 2003 году. Было доказано, что минимальный показатель экспоненциального роста достигается для свободных произведений Ър * Z циклической группы простого порядка р на бесконечную циклическую группу. Тезисы этого доклада были опубликованы в сборнике трудов этой конференции (см. [4]). В 2005 году в работе [1] было опубликовано полное доказательство более общего результата о достижимости минимального показателя экспоненциального роста свободных произведений Ър * F& циклической группы простого порядка р и свободной группы конечного ранга к ^ 1.
В работе [2] диссертантом была доказана достижимость минимального показателя роста групп (s\,ti,... ,sg,tg \ ([si,ti] .. .[sg,tg])n = 1), где п ^ 2. Известно, что такими заданиями обладают фуксовы группы с одним эллипти-
ческим элементом порядка п. В случае д = 1 были найдены точные значения минимальных показателей роста и доказано, что они достигаются на стандартном множестве порождающих {s\,ti}.
В работе [3] А.Манн доказал достижимость минимального показателя роста для свободного произведения Z2 * Z3, а также его центральных расширений вида (а, Ь \ а2 = Ь?\а2к = 1). Сюда, в частности, входят матричная группа SL(2,Z) и группа кос на трёх нитях. Минимальный показатель всех этих групп равен л/2 и достигается на стандартных множествах их порождающих. Там же доказан аналогичный результат для группы Z2 * Z4 и её центральных расширений вида (а, Ь \ а1 = б4, а = 1). Их минимальные показатели роста равны +2 и также достигаются на множестве {а, Ь}.
В той же статье [3] Манн заметил, что минимальный показатель роста прямого произведения двух групп X(G х Н) равен max(A(G), Л(і7)), при этом он достигается в группе G х Н тогда и только тогда, когда он достигается в тех множителях, минимальный показатель роста которых равен max(A(G), Х(Н)).
В 2010 году диссертантом были получено усиление некоторых результатов работы А.Манна [3]. А именно, для свободных произведений вида Z2 * Zn = (а, Ь | а2 = Ьп = 1), где п есть степень простого числа, доказана достижимость минимального показателя экспоненциального роста на множестве порождающих {а, Ь]. Аналогичный результат доказан для свободного произведения Z3 * Z3. В качестве следствий получены аналогичные результаты для некоторых центральных расширений указанных групп, в частности, для групп (а, Ь | а2 = 6П), которые при нечётных п являются фундаментальными группами торических узлов типа (2,п). Также были вычислены минимальные показатели роста описанных выше групп как величины, обратные минимальным действительные корни целочисленных многочленов. Эти результаты опубликованы в статье [3].
Методы исследования. В диссертации применяются известные методы комбинаторной теории групп, в частности теория малых сокращений, теория Басса-Серра. Также применяется некоторый комбинаторный метод сравнения функций роста, разработанный автором.
Основные результаты работы. В диссертации получены следующие результаты:
1. Минимальный показатель роста свободного произведения циклической
группы, порядок которой есть степень простого числа р, и любой сво
бодной группы конечного ранга к, имеющего задание
G = Ъп * к = (аь ..., ак) Ь \ Ьп = 1), п = р% (2)
достигается на некотором множестве порождающих, состоящем из к + 1 элементов.
2. Минимальный показатель роста группы
Hg,n,r = {ui,...,Ur,Si,ti,S2,t2,...,Sg,tg | ([Sl,ti][s2,t2] ... [Sg,tg])n = 1)
при п > 1 достигается на некотором множестве порождающих, состоящем из 2д + г элементов.
При д = 1 он достигается на любом множестве из двух порождающих и равен 1/, где z\ - корень многочлена z2n+l — 3z2n + 3z — 1, лежащий в интервале (д, ^).
3. Если группа G имеет задание G = (а, Ь | а2 = bn = 1), где п^2 есть сте
пень простого числа р, то минимальный показатель роста A(G) = A(G, S)
равен 1/) гДе z2 есть минимальный положительный корень многочлена
о п-\-3
1 - z - 2z + 2z 2 , при р ^ 2;
9 — Л-Л п I 9
1 - 2 - 22 + z2 + + z2 + , прир = 2.
4. Если группа G имеет задание (а, 6 | а2 = Ьп = а2г), где п есть степень
простого числа и г ^ 1, то A(G) = A(G,{a,6}) = 1/ где z2 — корень
соответствующего многочлена из п.4.
Все результаты диссертации являются новыми.
Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты и методы исследований могут быть применены в дальнейших исследованиях по теории групп и топологии.
Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:
Семинар "Алгоритмические вопросы алгебры и логики" под руководством академика РАН СИ. Адяна (2004, 2009, 2010).
Семинар "Теория групп" под руководством проф. А.Л.Шмелькина, проф. А.Ю.Ольшанского и к.ф.-м.н. А.А.Клячко (2009)
XXVI Конференция молодых учёных (г. Москва, МГУ, 18 апреля 2004 г.).
Международная конференция по теории групп, посвященная 50-летию Р.И.Григорчука (г. Гаета (Италия), 1-6 июня 2003 г.).
Международная конференция "Леонард Эйлер и современная комбинаторика" (г. Санкт-Петербург, Институт Эйлера, 1-7 июня 2007 г.)
Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в трёх работах автора [1-3], которые опубликованы в журналах из списка ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. Текст диссертации изложен на 56 страницах. Список литературы в диссертации включает 26 наименований.
