Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Представления унимодулярных псевдоортогональных групп
1. Группа SO(p, q), ее алгебра Ли и некоторые подгруппы 13
2. Орбиты некоторых подгрупп и инвариантные меры 26
3. Представление Та группы SO(p,q) в пространстве Da 32
Глава 2. Соотношения, соответствующие переходам между базисами
1. Соотношения, связанные с группой SO (2, 1) 41
2. Соотношения, связанные с группой SO(2,2) ..55
3. Соотношения, связанные с группой SO(3, 2) 63
4. Соотношения, связанные с произвольной псевдоортогональной группой 86
Глава 3. Соотношения, индуцированные представлениями подгрупп
1. Соотношения, связанные с группой SO (2,1) 94
2. Соотношения, связанные с группой SO (2, 2) 107
3. Соотношения, связанные с группой SO (3,2) 117
Заключение 124
Литература 126
- Орбиты некоторых подгрупп и инвариантные меры
- Соотношения, связанные с группой SO(2,2)
- Соотношения, связанные с произвольной псевдоортогональной группой
- Соотношения, связанные с группой SO (2, 2)
Введение к работе
Актуальность темы. Теория специальных функций возникла в конце 18-го века, когда при решении дифференциальных уравнений математической физики и вычислении интегралов появилось большое число неэлементарных функций. В настоящее время насчитывается огромное количество как самих таких функций, так и их классов. Столь же обширна и область приложения специальных функций — Ричард Аски предложил даже в связи с этим называть специальные функции «функциями, используемыми всюду» ([71]; в предисловии к [43] он дает «простое, но не инвариантное относительно времени определение: функция называется специальной, если встречается настолько часто, что ей присваивается название»).
Наряду с другими подходами к проблеме унификации знаний о специальных функциях (общей теорией ортогональных многочленов, аналитической теорией линейных дифференциальных уравнений, к которым относится уравнение Гаусса, теорией интегральных преобразований, таких, как Лапласа, Меллина, Фурье) важную роль играет теоретико-групповой подход, основу которого составляет теория представлений групп Ли.
Связь между специальными функциями и представлениями групп, обнаружившаяся в теории инвариантов и картановской теории симметрических римановых пространств, оказалась наиболее заметна в квантовой механике, поскольку для решения возникающих там дифференциальных уравнений методом разделения переменных понадобилось использовать симметрию, то есть группы преобразований, оставляющие инвариантными некоторые важные характеристики уравнений. Поскольку в некоторых частных случаях решения таких уравнений удавалось выразить через специальные функции, возникла потребность в изучении связи специальных функций и указанных групп преобразований. Таким образом, представления групп оказались связаны в первую очередь со специальными функциями математической физики. Соответственно изменилось и понимание последних: в теоретико-групповой трактовке их первостепенная роль заключается в демонстрации отношений симметрии.
Под влиянием работ И. М Гельфанда и М. А. Наймарка по исследованию неприводимых представлений некомпактных групп Ли в 1965 году вышла монография Н. Я Виленкина [12], впервые оформившая «побочный эффект метода разделения переменных» в самостоятельное научное направление. В 1968 году, когда эта книга была переиздана в США, появились две родственные ей монографии У. Миллера ([84]) и Дж. Толмена ([94]). С этого момента число работ, посвященных теоретико-групповым методам в теории специальных функций, нарастает лавинообразно. Важные результаты, относящиеся в первую очередь к самой теории представлений, получили в своих работах И. М. Гельфанд, М. А. Наймарк ([49]), Н. Я. Виленкин, 3. Я. Шапиро, М. И. Граев, ф. А. Березин, С. Г. Гинди-кин, Д. П. Желобенко, Р. С. Исмагилов, В.-Б. К. Рогов, В. Ф. Молчанов, А. У. Климык и др. В работах Н. Я Виленкина ([12] - [23]), М. И. Граева, М. А. Шлейниковой ([23], [64]), Е. Е. Петрова, А. И. Нижникова ([20], [21], [50] - [55]), Л. М. Клесовой ([15], [16]), А. П. Павлюка ([16, 58], [62]), Г. М. Гузаирова, А. А. Руднева, О. А. Дорошкевич ([14]) теоретико-групповые методы являются лишь средством, с помощью которого получены различные соотношения, интегральные представления, рекуррентные и предельные формулы и т. д. для различных специальных функций.
К сегодняшнему дню взгляд на специальные функции математической физики как на матричные элементы представлений групп Ли является общепризнанным. И хотя в последнее время много внимания уделяется q-аналогам специальных функций, все так же актуальным остается исследование классических специальных функций теоретико-групповыми методами. Так, решение многих задач в различных областях науки и техники часто приводит к вычислению интегралов (в том числе и многомерных) и рядов (в том числе по нескольким параметрам), содержащих специальные функции. Несмотря на обширность справочной литературы по этому вопросу, всегда остаются ряды и интегралы, не попавшие в нее. Полученные в настоящей работе результаты пополняют наши представления о специальных функциях.
Целью работы является получение новых соотношений для некоторых специальных функций математической физики. Ставятся задачи: а) получить формулы, возникающие при рассмотрении матричных элементов линейных преобразований одних базисов пространства представления унимодулярной псевдоортогональной группы в другие; б) получить формулы, возникающие при изучении матричных элементов представлений указанных групп или их подпредставлений.
Методологическую основу исследования составляют теоретико-групповые методы, методы математического анализа и линейной алгебры и теория групп и алгебр Ли.
Новыми результатами, полученными в работе, являются все теоремы о соотношениях между специальными функциями, полученные в главах 2 и 3, а также теорема о согласованности пространств представления, доказанная в главе 1. При этом из некоторых теорем, содержащихся в главах 2 и 3, легко выводятся частные случаи некоторых известных формул (например, теорема 3 и замечание к ней). Более подробно о теоремах глав 2: иЗ: а) найдены элементы матриц операторов перехода между базисами пространства представления, содержащие специальные функции. Например» элементы одной из таких матриц имеют вид (при к є N и Reo-> ): га12 n=0/=0 W
С/ + Я + 1, , л
Д-/ + 1 x x 2^1 fn-l+l r } л /1-/ + 3 . Л -о,Л-/ + 1; — + Jt;-1 + f-n-l + l -Л-/ + 3 , ЛТ б) вычислены матричные элементы представлений и подпредставлений псевдоортогональных груші; выражающиеся через специальные функции. Например, матричные элементы одного из подпредставлений группы Лоренца при -1 < Re ст < 0 имеют вид ta&l.^-'-e.-pHM») S №+"2№+"2 - x Г (-лт siga X - о) Г~ (-& sign ц + cr +1) x *W i(2|A,|)IT . і(2|ц|(ехр(-0)); -к sign к, a+- -аг sign и, a+- в) вычислены значения некоторых интегралов, содержащих специальные функции. Так, при -1 < Re a < — J J Y(y)K i(-y)^ =
0 +2 +2
1 —о— = (-1) 2тг2
2ст-3 CT + l Л Г 31 Gf + — X [ x І 2ї- В -oto + — В —— ,1 В l(-a,-a) x
I 2 J „( И. a + 3 Л x 2*(- —,1;—;-lJ- -rCcT + ^r-^a + I^F^a + l^iCT + ^-lj]; при Re cr > -1 и к є N j (1 + ish s) 2 (1 - *sh 5) 2 exp (/ps) ds = jfc-1 + 1 x -LiW(g[-^+u-a. „( ст + 1 + ф , o + 3-ip . ; Л x 2^1 --/tJt-2/ + l; - + k-i;-l\ + \ 2 ; „f a + \~ip _. , a + 3 ^+*-/;-i)]; г) вычислены суммы сходящихся числовых рядов, элементы которых являются значениями специальных функций. В частности, доказано, что при -2<Яест<0и/>0 2(W-v+,2)-i-'Bg+1)_| s=Qt=-s
2 2 ґ і г-](^) 1-(^2)^^(0^^(0 = 2F,(l,o + 2;2;I); д) вычислены некоторые конечные суммы, элементы которых суть значения специальных функций. Показано, например, что при -1 < Re a < 5, m > 0 и 2и > т и;
2п-т п J (2п-т\ М fj^
Е Z Е w = 0 7=0 / = 0 V и У (1 + (_1)2«-/"-«-7^)х Н)у-»—21 BL + 7-/-^-m/+»-nj х * Z Е НГ t/+w+1>+v+1 (a + я + l)v (a + v + л + З)"1 х v=0 w = 0 х 5F4 ^, <7 + Л + V + 1 СУ + Л + V . / + И + 1 + V CF + M + V + 3
1+v 1 0_i+v ,,;-Д + 1 + у ст + д + у + 5 V 2 2 2 e) найдены некоторые представления специальных функций. Например, если к є N, X є R и -1 < Re о < 0, то a+l/2 ^signX,o+l/2(2| А.|)=|>. Г r(signA,-a) х n=o/=o К1 J v ^ у
Д-/ + 3 + Jt;-1 Ґ/-И + 1 + a, - / +1 x otk-t + l;— + a + ;-l J; a.k-1 + ї. x 2*1 гя-/ + 1 , 2 + (1-И2А+Зн+/)В „f-n-Z + l x 2Fl{—j— при Re a < О ch t + sh t cos a = (ch ґ + sh Г cos a) L exp ^chf + shf cos a^ ~ Г I expC-ibcsign^P^chO^ t і(2|Л|); при-2 < Re a < 0, .s eNU {0},f є Z,|f|<^ и |v|
2 ' 2
2 ' 2 —00 —ao x 2F10> - <* 2; 1 + vu~l (exp 2p -1) (exp 2p +1)) du dv.
Теоретическая значимость работы состоит в том, что полученные новые соотношения раскрывают свойства специальных функций. Найденные формулы могут быть применены в вычислительных задачах как математики (например, в задачах математической физики ([4], [7], [71], [72], [92]), гармоническому анализу на группах ([73], [90]) и т. д.), так и других областей науки, что объясняет практическую значимость работы.
Структура работы. Работа состоит из введения и трех глав, разбитых на пункты. Нумерация лемм и теорем — сквозная. Завершают работу библиографический список, в котором указаны 99 работ, и список печатных работ автора по теме диссертации; Общий объем работы — 132 страницы.
Содержание работы. В первой главе рассмотрены использованные далее свойства псевдоортогональной группы, определено представление и описан алгоритм получения соотношений.
Пункт 1 посвящен определению линейной псевдоортогональной группы, ее матричному представлению, простейшим свойствам и орбитам. Указан явный вид разложения Картана и Ивасавы, для чего построена касательная алгебра Ли группы Ли SO(p, q), вычислены коммутационные соотношения для базиса касательного пространства, найден общий вид элементов касательной алгебры, ее подалгебры к и картановского линейного подпространства р, таких, что пара (&, р) есть Z2-градуировка касательной алгебры и exp к — максимальная компактная подгруппа, ехр р —-главная векторная подгруппа в SO(p, q), получены максимальные R-диа-гонализируемые коммутативные подалгебры в р. Максимальная нильпо-тентная подгруппа получена непосредственным конструированием. При этом ее общий вид подсказан, в первую очередь, работой [58], а также многочисленными рассмотренными частными случаями (например, [23], [51], [53], [79]), а максимальность и нильпотентность доказаны рассмотрением ее касательной алгебры. Отмечено, что наиболее простой вид элементы максимальной нильпотентной подгруппы имеют в случае, когда вещественный ранг группы SO(pt q) равен 1 (в этом случае рассматриваемая подгруппа (max {р, q) -1)-параметрична)).
Во втором пункте рассмотрен конус, являющийся орбитой псевдоортогональной группы, и различные его сечения, по одному и только по одному разу пересекающие все или почти все образующие конуса, на каждом таком сечении введена удобная система координат, указаны подгруппы в SO(p, q\ действующие транзитивно на этих сечениях, вычислены инвариантные меры на конусе и его сечениях.
В пункте 3 определено представление группы SO(p, q\ введены базисы в функциональном линейном пространстве представления и билинейный интегральный функционал, определенный на паре пространств представления и заменяющий скалярное произведение в теоретико-групповых методах. Показано, что в качестве пути интегрирования можно взять любое сечение, определенное в пункте 2. Для введенного функционала вычислен нормирующий множитель и найдено необходимое и достаточное условие инвариантности функционала относительно пары представлений (теорема 1), представления относительно скалярного произведения. Теорема 1 для частных случаев SO(2, 1) и SOQ, 1) сформулирована и доказана в [7], для и-мерной группы Лоренца SO(n, 1) сформулирована, но не доказана в работе [20]; наконец, для группы SO(pt q) сформулирована и не доказана в работе [8]: В этом же пункте рассмотрен общий алгоритм получения интегральных соотношений для специальных функций, примененный в настоящей работе.
В главах 2 и 3 получены новые соотношения для некоторых специальных функций математической физики, среди которых гипергеометрическая функция mFn(al>—>amІ^ь—»^лі^)» в том числе ее частные случаи: гипергеометрическая функция Гаусса 2 ^1 (<*, Р; УІz) и гипергеометрическая функция Куммера і F\ (а, р; z), вырожденные гипергеометрические функции Уиттекера первого рода MZ)ii(z) и второго рода WT^(z), функция Бесселя Jv(z), модифицированная функция Бесселя (функция ^1,...,^
Соотно-
Г Макдональда) A?v(z) и G-функция Мейера G" b\,...,bt шения, найденные в главе 2, получаются при исследовании матричных элементов операторов перехода между базисами. Соотношения, содержащиеся в главе 3, найдены при рассмотрении матричных элементов подпредставлений псевдоортогональных групп. Первые три параграфа этих глав содержит отношения, относящиеся соответственно к частным случаям: SO(2,1), SO(2,2) и SO(3, 2). Кроме того, в главе 2 имеется параграф, содержащий соотношения, полученные при рассмотрении общего случая.
Апробация работы. Результаты работы периодически обсуждались на семинарах профессора Л. И. Нижникова и на заседаниях кафедры высшей математики в МГОПУ, были представлены в виде сообщения на заседании кафедры математического анализа в МГОУ, в виде выступления на Первой Всероссийской научно-технической конференции (Нижний Новгород, 2002 г.) и VI Международном Конгрессе по математическому моделированию (Нижний Новгород, 2004 г.). Выступлению автора по теме диссертации было целиком посвящено 188-ое заседание семинара по математической физике в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН (2004 г.).
Без каких-либо дополнительных пояснений в тексте используются следующие обозначения: Symm М—группа преобразований множества М, Aut G — группа автоморфизмов группы G,
Inn G—подгруппа внутренних автоморфизмов в Aut G, Mat(m х и, R) — линейное пространство действительных матриц размером т хп, Mat (л, R) — линейное пространство действительных матриц размером я х и,
В_(п,К) — линейное пространство кососимметрических действительных матриц размером и х и, St (г) -— стабилизатор элемента xt diag (aj,..., а„ ) — диагональная матрица, [X, У] — коммутатор двух элементов алгебры Ли, [х] — целая часть действительного числа xt -1, х<0, sign х = - 0, х = 0, 1, х>0, tr X— след линейного оператора Х> Sy —символ Кронекера,
8(х) — обобщенная дельта-функция Дирака, биномиальный коэффициент, \т; /и! (и-/я)! (p)w — символ Похгаммера (сдвинутый на w факториал) id—тождественное преобразование, Res^r ф —сужение отображения ф:Х^ К на подмножество Л сХ, д(хъ...,хп) — якобиан матрицы перехода от системы координат д(уъ-,Уп)
У\> ---іУп к системе координат Х\,...,хп.
Орбиты некоторых подгрупп и инвариантные меры
Рассмотрим некоторые сечения Г(т) конуса [, ] = 0, по одному и только по одному разу пересекающие почти каждую его образующую. Слово «почти» означает, что пересекается каждая — быть может, за исключением одной — образующая. Для каждого сечения укажем подгруппу в SOip, q), относительно которой данное сеченне является однородным пространством. На каждом сечении введем удобную систему координат и вычислим меру, инвариантную относительно транзитивно действующей на данном сечении подгруппы. Пусть первое такое сечение являющееся гиперболическим параболоидом. Сечение Г2 является iV-op битой точки SO(pt q) — группа Ли ранга 1, поскольку в этом случае сама группа N, как отмечалось в пункте 1, имеет простой вид (8). Для доказательства достаточно посмотреть, как преобразуются под действием преобразова Геометрически оно является сечением конуса двумя плоскостями. Ведем на этом сечении гиперболическую систему координат Для того, чтобы найти инвариантную относительно подгруппы SO(p - 1, #) меру cfrj3 на Гз, проведем следующие рассуждения. Найдем инвариантную относительно SO (р, qO меру на конусе [, ] = 0 и выражение, связывающее эту меру и и искомую меру на Г3. — контур на конусе [, ] = О, по одному и только по одному разу пересекающий почти каждую образующую конуса. Найдем выражение, связывающее инвариантную меру а\ на конусе в «Г-ической» системе координат После вычисления ей; в «Гз-ической» системе координат получаем вьфажение для меры d\\ на Г3: является однородным пространством подгруппы SO (пі) х SO(p — от, /), а геометрически — прямым произведением сферы и однополостного гиперболоида. Введем на Г4 цилиндрическую систему координат геометрической точки зрения являющееся прямым произведением двух однополостных гиперболоидов. Подгруппа в SO(p, q), изоморфная SO(m, Г) х SO (р — m,q-1), действует транзитивно на Г$. Ведем на этом сечении цилиндрическую систему координат 3. Представление Га(#) группы SO (p, g) в пространстве 7)a. Пусть о є С и a —линейное пространство ст-однородных бесконечно дифференцируемых функций, областью определения которых является конус [, ] = 0. Поставим любому g є SO(p, q) в соответствие линейное преобразование Ta(g): Z a D0, /() h /(g 4). Тогда отображение 0(р, у) —» GL(Da\ g \-+ Tc(g) является представлением. В работах [8] и [44] разными методами показано, что оно операторно неприводимо почти при любом ст є С и пространственно неприводимо при ст g Z (а для случая ст є N в препринте [8] перечислены инвариантные подпространства). Определим теперь в пространстве DQ базисы. Пусть Функции (13) встречаются, например, в работах [10] и [66]. Из этих работ следует, что множество {Е (jt)} является базисом в пространстве 2 2 п бесконечно дифференцируемых функций на сфере j +... + „— 1 в R , а множество {2 K(JC)} —базисом в пространстве бесконечно дифферен цируемых функций на гиперболоиде , + ...+ , — я =1 в R .
Поскольку почти все многообразия, рассмотренные в пункте 3 (кроме Г2), можно представить в виде прямого произведения двух компонент, каждая из которых является сферой или гиперболоидом, из функций H -(JC) и Е к(лг) компилируются базисы пространства ст. Пусть с є С. Из однородности функций, принадлежащих линейному пространству Da, и связи между инвариантной мерой на конусе [ , ] = О и инвариантной мерой на любом из сечений Г], Г2, T tT и Г5 следует, что комплексные билинейные функционалы Fi -ifiJi c /Л(тіШл) 1;, і є {1, .-, 5}, Г, совпадают на Da xD p q Будем считать, что мультипликативная константа с удовлетворяет условию с jdr\i =1. Тогда, перейдя к сфери ческим координатам и воспользовавшись формулой (21) для инвариантной меры dr\i, получим, что При исследовании специальных функций теоретико-групповыми методами важную роль играет инвариантность скалярного произведения в пространстве представления относительно представления. Рассмотрим аналогичное свойство пары представлений (Та Т ). равносильны. Воспользуемся разложением Картана (9) группы SO(p, q). Так как представление является гомоморфизмом групп, то с учетом разложения (6) подгруппы Н получаем, что для любого g є SO(p, q) ч где tj, 2 Gj и преобразование й л є /f определено формулами (3). Отсюда следует, что утверждение достаточно доказать для линейных преобразований Г0(), к є Ktn Ta(h j ). то есть для пары подпредставлений (Res, , TGl, Res , , ГСТ2) равенство (14) выполняется при любых aj и о . Далее, произвольная точка
Соотношения, связанные с группой SO(2,2)
Актуальность темы. Теория специальных функций возникла в конце 18-го века, когда при решении дифференциальных уравнений математической физики и вычислении интегралов появилось большое число неэлементарных функций. В настоящее время насчитывается огромное количество как самих таких функций, так и их классов. Столь же обширна и область приложения специальных функций — Ричард Аски предложил даже в связи с этим называть специальные функции «функциями, используемыми всюду» ([71]; в предисловии к [43] он дает «простое, но не инвариантное относительно времени определение: функция называется специальной, если встречается настолько часто, что ей присваивается название»). Наряду с другими подходами к проблеме унификации знаний о специальных функциях (общей теорией ортогональных многочленов, аналитической теорией линейных дифференциальных уравнений, к которым относится уравнение Гаусса, теорией интегральных преобразований, таких, как Лапласа, Меллина, Фурье) важную роль играет теоретико-групповой подход, основу которого составляет теория представлений групп Ли. Связь между специальными функциями и представлениями групп, обнаружившаяся в теории инвариантов и картановской теории симметрических римановых пространств, оказалась наиболее заметна в квантовой механике, поскольку для решения возникающих там дифференциальных уравнений методом разделения переменных понадобилось использовать симметрию, то есть группы преобразований, оставляющие инвариантными некоторые важные характеристики уравнений. Поскольку в некоторых частных случаях решения таких уравнений удавалось выразить через специальные функции, возникла потребность в изучении связи специальных функций и указанных групп преобразований. Таким образом, представления групп оказались связаны в первую очередь со специальными функциями математической физики. Соответственно изменилось и понимание последних: в теоретико-групповой трактовке их первостепенная роль заключается в демонстрации отношений симметрии.
Под влиянием работ И. М Гельфанда и М. А. Наймарка по исследованию неприводимых представлений некомпактных групп Ли в 1965 году вышла монография Н. Я Виленкина [12], впервые оформившая «побочный эффект метода разделения переменных» в самостоятельное научное направление. В 1968 году, когда эта книга была переиздана в США, появились две родственные ей монографии У. Миллера ([84]) и Дж. Толмена ([94]). С этого момента число работ, посвященных теоретико-групповым методам в теории специальных функций, нарастает лавинообразно. Важные результаты, относящиеся в первую очередь к самой теории представлений, получили в своих работах И. М. Гельфанд, М. А. Наймарк ([49]), Н. Я. Виленкин, 3. Я. Шапиро, М. И. Граев, ф. А. Березин, С. Г. Гинди-кин, Д. П. Желобенко, Р. С. Исмагилов, В.-Б. К. Рогов, В. Ф. Молчанов, А. У. Климык и др. В работах Н. Я Виленкина ([12] - [23]), М. И. Граева, М. А. Шлейниковой ([23], [64]), Е. Е. Петрова, А. И. Нижникова ([20], [21], [50] - [55]), Л. М. Клесовой ([15], [16]), А. П. Павлюка ([16, 58], [62]), Г. М. Гузаирова, А. А. Руднева, О. А. Дорошкевич ([14]) теоретико-групповые методы являются лишь средством, с помощью которого получены различные соотношения, интегральные представления, рекуррентные и предельные формулы и т. д. для различных специальных функций. К сегодняшнему дню взгляд на специальные функции математической физики как на матричные элементы представлений групп Ли является общепризнанным. И хотя в последнее время много внимания уделяется q-аналогам специальных функций, все так же актуальным остается исследование классических специальных функций теоретико-групповыми методами. Так, решение многих задач в различных областях науки и техники часто приводит к вычислению интегралов (в том числе и многомерных) и рядов (в том числе по нескольким параметрам), содержащих специальные функции. Несмотря на обширность справочной литературы по этому вопросу, всегда остаются ряды и интегралы, не попавшие в нее. Полученные в настоящей работе результаты пополняют наши представления о специальных функциях. Целью работы является получение новых соотношений для некоторых специальных функций математической физики. Ставятся задачи: а) получить формулы, возникающие при рассмотрении матричных элементов линейных преобразований одних базисов пространства представления унимодулярной псевдоортогональной группы в другие; б) получить формулы, возникающие при изучении матричных элементов представлений указанных групп или их подпредставлений. Методологическую основу исследования составляют теоретико-групповые методы, методы математического анализа и линейной алгебры и теория групп и алгебр Ли. Новыми результатами, полученными в работе, являются все теоремы о соотношениях между специальными функциями, полученные в главах 2 и 3, а также теорема о согласованности пространств представления, доказанная в главе 1. При этом из некоторых теорем, содержащихся в главах 2 и 3, легко выводятся частные случаи некоторых известных формул (например, теорема 3 и замечание к ней). Более подробно о теоремах глав 2: иЗ: а) найдены элементы матриц операторов перехода между базисами пространства представления, содержащие специальные функции. Например» элементы одной из таких матриц имеют вид (при к є N и
Соотношения, связанные с произвольной псевдоортогональной группой
В настоящей работе удалось получить новые естественные соотношения для некоторых специальных функций математической физики. В частности, вычислены значения определенных интегралов, содержащих функции Бесселя (теоремы 9 и 10), функции Уиттекера (теорема 2) и гипергеометрические функции Гаусса (теорема 7), получены представления функции Макдональда в виде ряда по произведениям функции Лежандра первого рода на функцию Уиттекера второго рода (теорема 11) и в виде определенного двойного интеграла от произведения двух функций Уиттекера второго рода (теорема 19), найдено представление функции Уиттекера второго рода в виде ряда по функциям Гаусса (теорема 5), установлено соотношение для G-функции Мейера (теорема 3), подсчитаны некоторые конечные суммы, в слагаемые которых входят гипергеометрические функции Гаусса (теорема 34), гипергеометрические функции 4 3(---) (теорема 29) и 5 4(-) (теорема 30) и т. д. Полученные соотношения оказались тем проще, чем меньше число р + q. Так, самые простые соотношения (значения рядов и интегралов, содержащих одну или произведение нескольких специальных функций) оказались связанными с трехмерной группой Лоренца. Свойства некоторых рядов по двум параметрам, содержащие специальные функции, оказалось возможным получить, перейдя к группе 50(2, 2). Соотношения для других случаев уни-модулярных псевдоортогональных групп оказываются, как правило, более сложными, и упрощения получаются в том случае если искусственно ограничивать часть параметров матричных элементов или элементов группы (то есть придавать им конкретные значения, например, приравнивать к нулю). Полученные в работе формулы могут быть использованы в вычислительных процессах, осуществляемых на ЭВМ. Так, многие из формул содержат гипергеометрическую функцию Гаусса или функцию 3 F2 (...)» но в последнее время появились мощные программы, вычисляющие значения этих функций (например, программы [69] и [88], составленные на языке Фортран). Кроме того, в ряде случаев с помощью теорем о пониже ний порядка обобщенную гипергеометрическую функцию можно выразить через з гС--) или функцию Гаусса (одна из новых теорем содержится в статье [80]; в этой же статье помещены таблицы, позволяющие иногда свести вычисление значений функции з 2 С— [ 1) к вычислению значений гамма-функции). Материал, содержащийся в работе, может быть использован для дальнейшего исследования. Во-первых, с помощью вычисленных в работе матричных элементов линейных преобразований пространства представления, переводящих один базис в другой, и матричных элементов представлений и подпредставлений можно конструировать новые соотношения, используя в различных вариациях свойства матричных элементов. Во-вторых, даже в случае групп SO (2, 2) и SOQ, 2) были использованы не все из 10 переходов между базисами и вычислены матричные элементы относительно только некоторых из 5 базисов.
В-третьих, в SO(p, q) можно выделить новые подгруппы и рассмотреть связанные с ними под-представления. В-четвертых, к уже полученным соотношениям можно применить известные формулы, выражающие одни функции через другие (например, формулы понижения порядка, о которых говорилось в предыдущем абзаце). Все это позволит получить новые интересные соотношения для специальных функций. 1. Барут А-, Рончка Р. Теория представлений и ее приложения. - М., Мир, 1980. 2. Бейтмеп Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. - М., Наука, 1969, Том I —1969, Том II—1970. 3. Вейль Г, Классические группы, их инварианты и представления. — М., ИЛ, 1947. 4. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. - М, Наука, 1986. 5. Вердиев Й А. Группа 0(2, 1) и ее дуальность // Ядерная физика, 1974, 20,4,819-826. 6. Вердиев И. А.. Инварианты невырожденных представлений группы псевдоортогональных матриц SO(p, 1). - Баку, препринт № 60 ИФ АН Азербайджана, 1978 7. Вердиев И. А, Инварианты представлений групп Лоренца и их приме нения в дуальной модели физики частиц. Баку, АН- Азербайджана, 1978. 8. Вердиев И. А, Инварианты представлений группы псевдоортогональ ных матриц SO (р, q). - Киев, препринт № 46 ИТФ АН Украины, 1977. 9. Вердиев Й. А. Коэффициенты Клебша — Гордона группы Лоренца // Теоретическая и математическая физика, 1973,16, 3, 360 - 367. 10. Вердиев Й. А. Полная система функций на однополостном гиперболоиде //Ядерная физика, 1969,10,6,1282 - 1286. 11. Вердиев Й. А. Реализация представлений группы SO(p, q) на пространстве однородных вектор-функций на конусе. — Баку, препринт № 44 ИФ АН Азербайджана, 1976 12. Вилепкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. -М, Наука, 1991. 13. Вилепкин Н. Я., Денисова Г. B.t Кудряшова Г. Г., Руднев А. А. Неприводимые представления групп SO(n)f SO(py q\ SU(n\ 4 и их матричные элементы // Теоретико-групповые методы в физике (труды международного семинара, Юрмала, 22 - 24 мая 1985 г.). Том П. - М., Наука, 1986,213-217. 14. Вилепкин К Я., Дорошкевич О. А. Аналоги теоремы Функа — Гекке и теоремы сложения для специальных функций // Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса (сб. научн. трудов, МГОПИ), 1993, 8 (1), 33 - 45. 15. Виленкин Н. Я., Клесова Л. М. Непрерывные части базисов на гиперболоидах // Ядерная физика, 1980,31,1,204 - 220.
Соотношения, связанные с группой SO (2, 2)
Дорошкевич ([14]) теоретико-групповые методы являются лишь средством, с помощью которого получены различные соотношения, интегральные представления, рекуррентные и предельные формулы и т. д. для различных специальных функций. К сегодняшнему дню взгляд на специальные функции математической физики как на матричные элементы представлений групп Ли является общепризнанным. И хотя в последнее время много внимания уделяется q-аналогам специальных функций, все так же актуальным остается исследование классических специальных функций теоретико-групповыми методами. Так, решение многих задач в различных областях науки и техники часто приводит к вычислению интегралов (в том числе и многомерных) и рядов (в том числе по нескольким параметрам), содержащих специальные функции. Несмотря на обширность справочной литературы по этому вопросу, всегда остаются ряды и интегралы, не попавшие в нее. Полученные в настоящей работе результаты пополняют наши представления о специальных функциях. Целью работы является получение новых соотношений для некоторых специальных функций математической физики. Ставятся задачи: а) получить формулы, возникающие при рассмотрении матричных элементов линейных преобразований одних базисов пространства представления унимодулярной псевдоортогональной группы в другие; б) получить формулы, возникающие при изучении матричных элементов представлений указанных групп или их подпредставлений. Методологическую основу исследования составляют теоретико-групповые методы, методы математического анализа и линейной алгебры и теория групп и алгебр Ли. Новыми результатами, полученными в работе, являются все теоремы о соотношениях между специальными функциями, полученные в главах 2 и 3, а также теорема о согласованности пространств представления, доказанная в главе 1. При этом из некоторых теорем, содержащихся в главах 2 и 3, легко выводятся частные случаи некоторых известных формул (например, теорема 3 уравнение
Гаусса, теорией интегральных преобразований, таких, как Лапласа, Меллина, Фурье) важную роль играет теоретико-групповой подход, основу которого составляет теория представлений групп Ли. Связь между специальными функциями и представлениями групп, обнаружившаяся в теории инвариантов и картановской теории симметрических римановых пространств, оказалась наиболее заметна в квантовой механике, поскольку для решения возникающих там дифференциальных уравнений методом разделения переменных понадобилось использовать симметрию, то есть группы преобразований, оставляющие инвариантными некоторые важные характеристики уравнений. Поскольку в некоторых частных случаях решения таких уравнений удавалось выразить через специальные функции, возникла потребность в изучении связи специальных функций и указанных групп преобразований. Таким образом, представления групп оказались связаны в первую очередь со специальными функциями математической физики. Соответственно изменилось и понимание последних: в теоретико-групповой трактовке их первостепенная роль заключается в демонстрации отношений симметрии. Под влиянием работ И. М Гельфанда и М. А. Наймарка по исследованию неприводимых едставлений некомпактных групп Ли в 1965 году вышла монография Н. Я Виленкина [12], впервые оформившая «побочный эффект метода разделения переменных» в самостоятельное научное направление. В 1968 году, когда эта книга была переиздана в США, появились две одственные ей монографии У. Миллера ([84]) и Дж. Толмена ([94]). С этого момента число абот, посвященных теоретико-групповым методам в теории специальных функций, нарастает лавинообразно. Важные результаты, относящиеся в первую очередь к самой теории дставлений, получили в своих работах И. М. Гельфанд, М. А. Наймарк ([49]), Н. Я. Виленкин, 3. Я. Шапиро, М. И. Граев, ф. А. Березин, С. Г. Гинди-кин, Д. П. Желобенко, Р. С. Исмагилов, В.-Б. К. Рогов, В. Ф. Молчанов, А. У. Климык и др. В работах Н. Я Виленкина ([12] - [23]), М. И. Граева, М. А. Шлейниковой ([23], [64]), Е. Е. Петрова, А. И. Нижникова ([20], [21], [50] - [55]), Л. М. лесовой ([15], [16]), А. П. Павлюка ([16, 58], [62]), Г. М. Гузаирова, А. А. Руднева, О. А. Дорошкевич ([14]) теоретико-групповые методы являются лишь средством, с помощью которого получены различные соотношения, интегральные представления, рекуррентные и предельные формулы и т. д. для различных специальных функций. К сегодняшнему дню взгляд на специальные функции математической физики как на матричные элементы представлений групп Ли является общепризнанным
