Содержание к диссертации
Введение
1. Определения и обозначения. Формулировки теорем. Некоторые известные результаты 6
2. Конечные группы, в которых централизатор любой элементарной подгруппы порядка 8 является 2- группой 16
3. Конечные группы, в которых элементы нечетного порядка не централизуют подгрупп порядка 8 20
1. Случай группы типа характеристики 2 20
2. Компонентный случай 35
4. О централизаторах инволюций, в которых централи затор любой подгруппы порядка 4- является 2- группой 40
5. О централизаторах инволюций, имеющих фактор группу, изоморфную 57
Литература 70
- Конечные группы, в которых централизатор любой элементарной подгруппы порядка 8 является 2- группой
- Случай группы типа характеристики 2
- Компонентный случай
- О централизаторах инволюций, имеющих фактор группу, изоморфную
Введение к работе
В теории конечных неразрешимых групп большое значение имеют
характеризации групп свойствами централизаторов инволюций. По за
данному строению централизатора некоторой инволюции были открыты
многие простые группы. Так были получены спорадические группы
J -і » Jz » J3 » пв и другие. Большой интерес вызывают
также теоремы, характеризующие конечные группы, в которых центра
лизаторы всех инволюций обладают некоторым общим свойством. При
доказательстве одной теоремы такого рода М.Судзуки открыл новую
бесконечную серию конечных простых врупп. Эта теорема, называе
мая теоремой о СІТ -группах, утверждает, что конечная неабеле-
ва простая группа, централизаторы всех инволюций которой являют
ся 2-группами, изоморфна одной из следующих групп: І__2\2 J>
H->2,S%(22^1),"«*> 1, Lz{%) , где ^ -про-
стое число Ферма или Мерсенна,
В последние годы появился интерес к характеризациям конечных неразрешимых групп свойствами централизаторов 2-подгрупп порядка, большего 2. В 1973 году В.В.Кабанов в[~?-1 описал конечные простые группы, в которых централизаторы всех подгрупп порядка 4- являются 2-грулпами, все инволюции центральны и их централизаторы .разрешимы. В 1976 году А.Н.Фомин [15] выяснил строение нетонкой 2-скованной 2-локальной подгруппы в группе, в которой централизаторы всех четверных подгрупп являются 2-группами.
В 1978 году С.А.Сыскин? избавился от дополнительного ограничения на инволюции и их централизаторы в результате В.В.Кабанова. В [l4j им был0 доказано, что все конечные простые группы, в которых централизатор любой подгруппы порядка 4 является 2-группой, исчерпываются известными и, следовательно, принадлежат списку:
L2((3) для подходящего ct 5 Ьті(2. )j,
UN), 31 , M„.
В этом же году была опубликована статья С.А.Сыскина которой он классифицировал конечные простые группы, централизаторы всех четверных подгрупп которых являются 2-группами. К группам из списка теоремы I из [.14 ] добавились следующие группы: все оставшиеся LlsC^/) ) ^"з^ЧО для подходящих нечетных ^
Естественным продолжением исследований В.В.Кабанова, А.Н. Фомина и С.А.Сыскина является изучение групп с соответствующими ограничениями на централизаторы подгрупп порядка 8. К этому вопросу относятся теоремы I и 2 диссертации.
Теоремой I классифицируются конечные простые группы типа характеристики 2, в которых централизаторы всех элементарных подгрупп порядка 8 являются 2-группами, причем 2-локальный 3-ранг самой группы не превосходит I. Эта теорема используется в доказательстве теоремы 2, которой описываются конечные простые группы, централизаторы всех подгрупп порядка 8 которых являются 2-группами.
Заметим, что теоремы I и 2, как и цитируемые результаты С.А.Сыскина, являются также нечетными характеризациями. Так, теоремой 2 описываются конечные простые группы, централизатор любого элемента нечетного порядка в которых имеет силовскую 2-под-группу порядка, не превосходящего 8.
Во всех изложенных результатах централизаторное условие, а именно, требование, чтобы централизаторы подгрупп порядка 4- (соответственно 8) или только элементарных этого же порядка были 2-группами, выполняется во всей группе. Естественный интерес вы-
зывает изучение групп, в которых это централизаторное ограничение налагается лишь на централизаторы 2-подгрупп в некоторой собственной подгруппе. В теоремах 3 и 4 в качестве такой собственной подгруппы берется централизатор некоторой инволюции.
Теорема 3 выясняет строение конечной простой группы, в которой есть центральная инволюция (то есть инволюция, принадлежащая центру некоторой силовской 2-подгруппы), в централизаторе которой централизаторы всех подгрупп порядка 4 являются 2-группами, при условии неразрешимости рассматриваемого централизатора инволюции. В теореме 4- при некоторых ограничениях рассматриваются конечные группы, имеющие централизатор инволюции (не обязательно центральной) , централизаторы всех четверных подгрупп в котором являются 2-группами. Теорема 3 доказана совместно с А.А.Махневым.
Результаты диссертации докладывались на УП Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Шушенское, 1980 год), на ХУІ Всесоюзной алгебраической конференции (Ленинград, 1981 год), на семинаре "Алгебра и логика", на семинаре отдела алгебры Института математики и механики УНЦ АН СССР, на семинаре по конечным группам в Новосибирском университете, на конференциях молодых ученых ИММ УНЦ АН СССР.
Содержание диссертации полностью отражено в работах г2-б|.
В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору А.И.Старостину, под руководством которого была написана диссертация, а также А.А.Махневу за поддержу и внимание к работе.
Г Л А В А І Приведем некоторые необходимые нам обозначения и определения.
Lм Ok) "" пР08ктивная специальная линейная группа размерности ft. над полем порядка О, .
S^C^) - простая группа Судзуки порядка <^ (^ -И )0^/-^). іХцЛ'і) - проективная специальная унитарная группа размерности ru над полем порядка О. .
Рьр(и<,0,) - проективная симплектическая группа размерности М. над полем из О, элементов.
L о, - циклическая группа порядка w- .
Е_ри, - элементарная абелева группа порядка р1* .
Q2"- - обобщенная группа кватернионов порядка 2
Qn*1, "" гРУппа ДиэДРа порядка 2
SD^ " полудиэдральная группа порядка 2 ^сц,...,0,^7 -группа, порожденная элементами cLi}a2).,t ,а^.
U Cot') - централизатор элемента CL в группе Gr (букву G внизу иногда опускаем).
Nq.(M) - нормализатор подгруппы Н группы Gr в Gr .
С г W) " централизатор подгруппы Н группы & б G
|-| < G означает, что q является собственной подгруппой группы
Ц^& означает, что f-f -подгруппа группы G-
Ц^і& означает, что Н - нормальная подгруппа группы G .
И * К - прямое произведение групп И и К И ХК - полупрямое произведение групп Н и К с нормальным множителем Н .
- центральное произведение групп П и "
^К У - нормальная подгруппа в G , порожденная элементами, сопряженными с элементом X из Gr , наименьшая нормальная подгруппа в Gr , содержащая х
Сх - множество неединичных элементов группы Сх .
Z(G] - центр группы
полный прообраз центра фактор-группы G/H.
Cd^Py - нижний слой р -группы Р , подгруппа в Р , порожденная всеми элементами из Р порядка р 2i.P
OpCG) - наибольшая нормальная р -подгруппа в Cj .
OCG) - наибольшая нормальная подгруппа нечетного порядка в Ст
\jfy\\Cxj - наибольшая нормальная р -подгруппа в & ( р --подгруппа - подгруппа, порядок которой не делится на р )
ф (GJ - подгруппа Фраттини группы G
|G : Н I - индекс подгруппы Н в группе G .
E\.G) - слой группы & , центральное произведение всех субнормальных квазипростых подгрупп труппы G.
ІГ \Gj - обобщенная подгруппа Фиттинга группы Сх . (G(to - наибольшая степень простого числа b , делящая порядок группы G .
Ьу'рЙу - множество силовских b -подгрупп группы G .
02 2»(Gj - полный прообраз подгруппы 0\GIOz[Gl) факторгруппы Gr/Oi(G) при каноническом отображении.
AotG - группа автоморфизмов группы G .
Ou.tG - группа внешних автоморфизмов группы
- подгруппа, порожденная элементарными абе левыми |о -подгруппами р -группы Р наибольшего ранга.
Квазипростая группа - это такая группа О » что G- =G-и G-/Z(G)- простая неабелева группа \ р -скованная группа -группа Gr , в которой централизатор в Gr силовской р -подгруппы из Ob',p(,G-) содержится В Op<jb(G).
р -группа симплектического типа - р -группа, в которой все абелевы характеристические подгруппы являются циклическими.
ТІ - подгруппа группы G - это любая подгруппа п группы иг такая, что
р - замкнутая группа - группа с нормальной силовской р -подгруппой
P - зажнутая группа - группа, имеющая нормальное р -дополнение .
Центральная инволюция в группе Cx - инволюция, централизатор которой в группе G* содержит силовскую 2-подгруппу группы
G .
Подгруппа А силовской р -подгруппы Ь группы Ст называется сильно замкнутой в S относительно G" » если для любых элементов СІЄ Д и <$G:Gr из того, что CL S следует
Подгруппа /\ подгруппы В группы Cj называется слабо замкнутой в В относительно G" , если из того, что А ^ В СЛб~ дует А3=А,
Инволюция группы Cj называется изолированной в подгруппе Н , содержащей - , если ^^ слабо замкнута в Н
ОТНОСИТеЛЬНО Cj
Группа Сх имеет самоцентрализаторную систему типа (2,2),
если в Сг имеются две не сопряженные абелевы подгруппы Д и 13 такие, что централизатор в G любого элемента CL из А равен А » централизатор любого элемента - из В равен о и /\/(^(А)/А и N^(6)/6 - группы порядка 2.
Пусть G/02(G)~L2.(2 />,г>2 и 02(Gj - элементарная абелева группа порядка 22и" Будем говорить, что G/O^CCj) действует естественно на Q^G] , если в 0^(0) существует базис, относительно которого Cr/QZ(.G) является группой матриц, изоморфной SL 12,2й).
пусть G/OalG)fisS*C
кі>1 , и 02CG) - элементарная абелева подгруппа порядка
о/* . Будем говорить, что действует естествен-
но на , если в (\(G). можно выбрать базис, в кото-
ром G/OjjXG/ имеет матричное представление, как в работе Суд-зуки [481 .
ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРЕМ ДИССЕРТАЦИИ
В теоремах I и 2, в отличие от ниже следующих теорем 3 и 4, централизаторное ограничение (централизаторы подгрупп порядка 8 или только элементарных подгрупп порядка 8 являются 2-группами) требуется во всей рассматриваемой группе. Теорема 2 является непосредственным обобщением первой из цитируемых во введении тео-_ рем С.А.Сыскина.
ТЕОРЕМА I. Пусть Сх - конечная простая группа типа характеристики 2, в которой централизатор любой элементарной подгруппы порядка 8 является 2-группой. Предположим также, что 2-локальный 3-ранг группы Сх не превосходит I. Тогда G изоморфна одной из следующих групп: L-zi^j » где Q, - простое число Ферма или Мерсенна, 1-^(2^) , 1^> 2, Si^2""*1) ,^7,1 }іг(Ч)9
Напомним, что группой типа характеристики 2 называется группа, в которой для любой 2-локальной подгруппы а 2-локальный 3-ранг - это максимум З-рангов 2-локальных подгрупп. Доказательство теоремы і несложно, но опирается на сильные результаты Тиммесфельда, Строта и С.Смита о группах с "большой ТІ-подгруппой".
ТЕОРЕМА 2. Пусть Сх - конечная простая группа, в которой централизатор любой подгруппы порядка 8 является 2-группой. Тогда Сг изоморфна одной из следующих групп: (-2.(2 )0 №^2, L-2LQ,) для некоторого нечетного О, , S-(2. к* ) ) <а ^ Ъ
Основную часть доказательства теоремы 2 занимает случай группы типа характеристики 2.
Применением теоремы I и теоремы Ашбахера о тонких группах показывается, что в г есть 2-локальная подгруппа /ч , в которой есть элементарная подгруппа порядка 9, а ее силовские р --подгруппы по другим нечетным простым р цикличны. Анализ возможного строения Ал показывает справедливость теоремы в этом случае.
Теоремы I и 2 доказываются соответственно во 2-й и 3-й главах.
В теоремах 3 и 4 централизаторное ограничение требуется только для 2-подгрупп соответствующего порядка в централизаторе некоторой инволюции.
ТЕОРЕМА 3. Пусть Ъ - центральная инволюция в конечной группе Gr , ее централизатор С(д) неразрешим и централизаторы подгрупп порядка 4 в С(д) являются 2-группами. Тогда G =
OCG)CU) шшС-^-Х,.
Применение теоремы Судзуки о -группах приводит к впол-
не определенной конфигурации. Изучение слияния инволюций и элементарных 2-подгрупп из С(т) приводит либо к изолированности %-в силовской 2-подгруппе группы Сх , либо к компонентному случаю, в котором легко доказывается, что Gr— J-j .
ТЕОРЕМ 4. Пусть G- - конечная группа, % - инволюция в
Gr , централизатор которой есть расширение 2-подгруппы Q с помощью группы, изоморфной L2(2 ),rt>2, . Предположим кроме того, что централизатором элемента порядка 3 из 0() в
Q является циклическая нодгруппа, нормальная в С(%) . Тогда, если ^ - центральная инволюция, то G*—O(G)C0) или G-— Xf а если Ч: - нецентральная, то t&Cr > в частности группа Q
непроста.
Заметим, что в известных конечных простых группах довольно
часто встречается неразрешимая 2-локальная подгруппа ) , то CS0)-Q>
4)lz(S)flK;hf и ZCS)-
5) все инволюции из H~Q сопряжены в И
Доказательство. Из (1-І) легко следуют с 1-го по 4-ое утверждения леммы, в частности то, что rj является СТТ-груп-пой. Отсюда и из (1.7) вытекает пятое утверждение леммы.
Лемма 4. Пусть некоторая группа Н является расширением 2-группы Q с помощью S (<{,), ^22и+1) К"? і > S -
силовская 2-подгруппа из И Если элемент порядка 5 из И действует на Q без неподвижных точек, то выполняются следующие утверждения:
1) (j} ^=- К і X* - X К^ , где (л л - естественные 4-мер
ные модули для 5 (<(,) ;
2) инволюции из Г\ j распадаются на 2 класса под действием
И порядков ^С^2"-* 1НV*) и (q Ч^ )(,^->l) соот
ветственно;
4) если У^
(z(C2(.S9 а к\) х - - к CzCQts)) п К^) і
б) все инволюции из (—J, —^/ сопряжены в Н m
Доказательство. Аналогично доказательству леммы 3, все утверждения леммы легко следуют из (1.2) и (1.7).
Вернемся к доказательству теоремы. Из наших условий и из лемм и 4 ясно, что Q/<^>=^ К\/<^> X * X К^/<^^. для некоторого t ~% А » где «^ /< %у - элементарная группа порядка Q, , на которой C(%)/Q действует естественно.
Лемма 5. \\ і - элементарная группа для любого С ~ А у
Доказательство. Пусть сначала лемме 3 все элементы из K\/^qr^ сопряжены в С(*к)Kl? Далее,
Ы-1**1 для любого У. ив «с-<*>
, поэтому все элементы из К\, — <^> имеют один и тот де порядок. Если все они имеют порядок 4, то в К* есть только одна инволюция, откуда
Г\ - циклическая группа или группа кватернионов, (обобщенная кватернионная отпадает, потому, что К^ имеют экспоненту не выше 4-). Получили противоречие с тем, что \^\,К%у- элементарная группа, порядок которой не менее 16.
Пусть Ct^j/Qci Sntf^) .Если \K"i - а бе лева группа, то K^—Ot^xXKcj ^И для лю<5ого элемента^- нечетного порядка из С(Д)#, поэтому {\^ - элементарная группа (из -не извлекается корень). Допустим, что гС^ - неабелева группа. Так как KilCl? - минимальная нормальная подгруппа из С(іУ/<^>
то "ZtlCiJ^S^^ и так как К^/ч*? элементарная абелева, то фС^с) -^ ^^ » поэтому К"- - экстраспециальная группа порядка 2 4^ . Б силу леммы 4 К* содержит либо (Q -4J (%-ti)
либо %/(% "*"Ї)(Л~1) подгрупп порядка 4. С другой стороны, из 5.5 [г? J следует, что в (<^с (cAfcЯ?")/ 2_ подгрупп порядка 4. Получили противоречие. Лемма доказана.
Лемма 6. Если К^} К'*]^^ , то ГС^,'(Cj - экстраспециаль
ная группа. Без ограничения общности, можно считать, что Ср~
KfК^*- — я^гь^^гк * А для некоторого t > О и неко-
торой а беле вой подгруппы А порядка огчі-2и (при (^д. q
полагаем \^zk-t^Lk~^-i^o~^\^y ).
Доказательство. Если элемент % из tQ ~~^%у централизует Кд , то Lfo>Kjl=n , так как К; = <*С(* \ \ у , Значит, если [К;, Kj ] ^= А , то Кі П "Z-tlftlCj) -=- <*>. Аналогично, Kj П ZCKcK\) =- <Ч> Если Xt ^z^TiK^
где Х\ Є К^- <0, У* К^ , то С *i, КС\ = Л . так
как К2 - абелева группа. Значит, Z.( ^clCj) = ^^ и
*^- і J - экстра специальная группа.
Если Q - неабелева группа, то можно считать, что [Жі^^Л гф А . Тогда по п.5.4.б из L2*3 Q~ K*i «г. * C-Q^ К^Д
Если CqC^ pClj неабелева группа, то »? Cq fC,!^) найдутся
нормальные в подгруппы Liy L?_ порядка 2-%,ZoC такие,
что [Li} ^-2.3 ^ ^ Заменяя пару (К'з^ч)119 ( L-4> t-^J
и продолжая процесс, мы получим утверждение леммы.
Лемма 7. Подгруппа CJ слабо замкнута в о относительно
G- .
Доказательство. Допустим, что Гч^С? - подгруппа из S Для некоторого элемента Ч< из G-— /\J(Q). По лемме б
, поэтому 0 . Если Q П (? не элементар-
ная группа, то "44Q ) — ФЦЗ?П I? ) — *Ф(Р) , поэтому
4GC(tO и Ч Q: /\|(Q) . Получили противоречие. Значит, Qf]R - элементарная группа. Так как ( $0: G?(— Чу » то
/ Q-(?П (?($.
симальная элементарная подгруппа из Q) имеет индекс в Q са
мое меньшее 9 . Пусть «=р - такой элемент из С(^) , что
<С&)0. У - не 2-группа. Такой элемент, найдется, так как
(? 4 O^eeU)) . Тогда, поскольку / Q : Qf\R 3 | < ^,
централизует
^(?(^Ь » которая не является 2-группой. По условию теоремы
Q(l!?flf?W>H, значит, {Ql^Zl2- , причем CU;/Qr-
^2_(^). Если IQ: QClRt < Q/ , то инволюция \~ из R—(?
в фактор-группе CCt)^ СС^^/<^> при действии на Q центра
лизует там подгруппу порядка, большего чем 9^ . Но так как X
< ОгХС-ІЛ})^ Q , то по лемме Бэра (1.10) ST инвер-
тирует некоторый элемент нечетного порядка из CL(fc) и, следовательно, ICqCSOI — 1/ Получили противоречие. Значит, (Q:Onr?l^V . поэтому S=Q*?,Qni? ^21CSJ,
Покажем теперь, что если I — Су - подгруппа из о ,
отличная от Q, то L- R . Как и выше, o~QL3QDL ким образом, в о точно две сопряженных с С? подгруппы, причем одна из них нормальна в о Значит, и другая нормальна в S » и обе подгруппы сопряжены в /Vg(S/ — Л/ Получили противоречие с тем, что /VI ^ajCQ ) имеет нечетный порядок. Лемма доказана. Лемма 8. Если X - нормальная 2-подгруппа из С(„%) , содержащая Чг , то KJq^J-CI^). Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда СЫ/Q =-(-1(^)- Пусть D, и DA - подгруппы из порядков <^— і и <Р 4І соответственно. Пусть М^МСХ/^ Н- И/л , Если у-ег N^CDj . ї0 L^^l^ К -но CXCD.) -=^^ , поэтому Ч G ( J . Теперь ясно, что D( и D^ образуют самоцентрализаторную систему типа (2, 2) в Д~ . По лемме 2 |-і/Оі_^И] — L2-IV) Теперь, поскольку т~ - центральная инволюция, Н — ^-^д). Пусть t(4=)lQ изоморфна теперь S *(<{,), Н~ lSl(.K?,Tf^H//f подгруппу СС^)/Q 7 изоморфную $3-(9,) » нечетного индекса. Теперь, если элемент х из Н нормализует У , где У - подгруппа порядка то она нормализует 4Q _, и, значит ) *Z(,yQ) = <^ , поэтому /\/^ ( У,) ^= C(*J Из леммы Фраттини теперь следует, что срав- нение порядков влечет равенство H-CC&J» Лемма доказана. Положим 2Г = ^С^о ^и о A Лемма 9. 2Г - элементарная подгруппа из Q порядка 2<^ , Доказательство. Из (і. 1)и .2)следует, что ~Z ^ 2 Q, Покажем, что Z- - абелева группа. Так как "Z. = \"ZOtC^( t^V"»'1? » то достаточно показать, что ~ZC\\tCi централизует Zflk^ для не коммутирующих подгрупп K^i j Kj . По лемме б (<ґс iCj - экстра специальная группа порядка 2-Q ^ . Отсюда, (ч и frCj - максимальные а бе левы подгруппы из (<с ІС\ Так как | КК-.-е^.^ДхПК])!-^. «о ICtf.C-z.niCjOle. |ZniCj|-=2^ . для доказательства леммы осталось показать, что С-jc-(ZП KV ) содержится в 2ГПК . Предположим, что элемент ч, IS : C.-sCy"> I = 2.«^ . Пусть КГ<Ї^ X «f , a {3,,...,^^- множество элементов, сопряженных в S с Ч- . ясно, что «fи**^*и~.^ W^f ^^i^ten^X Предположим, что ^киК"; =- для некоторого элемента 5 из S) L ^и*, S"] Kf С другой стороны, ^Ыг sj є К; , так как Kc^S . Отсюда _, L *н, Я - 1 Значит. I Кд*и ^, K*U- - U tf at< К J"( - о (M-j-Z^, j . Получили противоречие с тем, что I fCj К* ' С К-|<» (Z. Г) К;) | = \ґ . Лемма доказана. Лемма 10. Cq(Z.) - элементарная группа. Если ~Ь~ - инволюция из S — Q j то CqC"^J "= 21 Доказательство. По лемме б Q-/?*/4 , где (? - экстраспециальная группа порядка 2-tf » А - элементарная группа. Но тогда /pflZ - элементарная подгруппа из I? по Ясно, что CqQ-L) ^Z. Допустим, что QqH)<'Z. Тогда (So * C-S *Л Я 7 2 . Но все инволюции, сопряженные в о с *t , лежат в Z*x~ » так как S0/Z. - абелева группа, /"Z-^(-2.9,/^ по лемме 9, следовательно, все элементы из Z"t сопряжены с х . Теперь для любого элемента Си из Z CL ^"t -=^(ol--J —'f , поэтому -fc централизует "Z . Получили противоречие. Лемма доказана. Лемма II. Инволюция -^- изолирована в О Доказательство. Допустим, что 0,-^ принадлежит О для и по- Np.(vj?/*=->-l^J , откуда -тЬ изолирована в о Противоречие. Значит, можно считать, что Q - неабелева группа. Тогда Cq(cl) имеет индекс в Q , не превосходящий 2, поэтому %- лежит в коммутанте группы Cq(o^) . Если некоторая инволюция *fcr из Cq CbJ не принадлежит Q , ю г , как и выше, централизует в Q подгруппу порядка, не превосходящего *2-%, этому I CrC~(jb) (-^) I ^ 2<Г ^ <^ .С ДРУГОЙ СТОРОНЫ, поскольку коммутант группы Q имеет порядок 2, "tr централизу причем 4 9, , следовательно, Ъ- 2_ > с/^13 ^ - Ц 2 t?V = *~ * ^ ь , откуда С <.(*)<*)= ^К, С-0, Пусть *f- - элемент порядка 3 из нормализатора силовской 2- [_-t > 4: 1 - і п0 теореме 8.1 из лекций Хигмэна L 1 Поэ- тому, если А -= <^-h }*t ,4 >т7 -подгруппа порядка 16, нормали ^-C(a)("J - элементарная группа. Получили противоречие с тем, что Ц^ лежит в коммутанте группы С.(^)(4^ ^ы получили противоречие, исходя из того, что Cq(а) —ф^~ непусто. Значит, ^Qv^J < G? . Аналогично, (-Q)fC:) - не элементарная группа, следовательно, <^> — Получили противоречие. Лемма доказана. Лемма 12. Если для некоторой инволюции CL из S— W = Сч^' для лю<5й инволюции V из S — О. Доказательство. Так как по лемме 10 Сл(г)г "Zi у то S0 "^^SoO^J^? Если инволюция v принадлежит S — Q і то V ~ X и » где *тг - некоторая инволюция из С ^ [си) , а )С принадлежит Q . Так как (~о (сц) - эле- ментарная группа, то С$ (jxJ^=^-S0 (&) ^ лемме 3D Vх ^ 2. . Отсюда, v/G С5 {Jc) у поэтому С^ (vj = CsoCa) . Лемма доказана. Лемма 13. не содержит инволюции такой, что C^a(4j - элементарная группа порядка 2 Доказательство. Предположим противное. Покажем, что подгруп S содержит такую подгруппу S1 , что С? С «^ S^ 9 Так как ^) , то можно считать, что о1 содержится в So . Докажем теперь, что Z <3 A/(Sf) , Так как не содержится в и о1 содержит ИНВО- ЛЮЦИЮ из о ~ Q ,toZ.(S1 **«с(<С^7 J = Z Если S1 -группа ступени нильпотентности 3, то в силу строения S <Г^> = С^ъ^З, поэтому Z. Допустим, что подгруппа Z не инвариантна в . Тог- да S| - группа ступени нильпотентности 2, "Z ^"ZCSt) . Пока 10,(^3(^^ , так как |СЛ: Z.A С,'I"* ! . Значит, ZCSt"o4#EcJI1I xr^QRSt-Z ,toIL^CJ( ^ Ч/ , следовательно, "Z ( S\ и*о Д^Ч>) ^ ^_ # jaK как У ^-ZfS-f) » то *,>У7~ ir Для некоторых элементов G$>13 Ує^* Тогда ^ ^ Z.CS,^o4<^>J .Итак, для любой инволюции Отсюда, CO- характеристическая подгруппа в S1 , В любом случае Z?, С3^ So , поэтому С и t* сопряжены в Но по лемме 7 подгруппа Q слабо замкнута в о0 относительно G і поэтому Nl^)^iN(Q) Получили противоречие. Таким образом, подгруппа С слабо замкнута в S относительно (J Покажем теперь, что 2-замкнут. Пусть и - подгруппа порядка Я-4 из Nq(ii($). Тогда, если элемент % принадлежит NCC/ilNCVo) ,где!)е - некоторая не единичная подгруппа из D , то у нормализует CD0 , а, значит, и Z( V0) - К%7} /v/\/(C) ( AJ» то ує S , так как {i)(Q - СІТ-грушіа. Поэтому l\ff\j(d)(Do) —^^D Пусть D0 - силовская р -подгруппа из J) . Тогда по теореме Бернсайда 1\1(С)/С имеет нормальное > -дополнение. Отсюда, Л/Сб) содержит такую нормальную подгруппу Л/, что NCQ~ A/Dcj A/^Do^^ По теореме Томпсона А// - нильпоте-нтная группа, поэтому /vfw - 2-замкнутая группа. В силу Z - теоремы Глаубермана (_25"1 инволюция ^-не изолирована во .По лемме II ^ сопряжена с некоторой инволюцией "t из S — Q .Из леммы 12 следует, что ^ &С . Теперь ясно, что т- и X сопряжены в Но A/CS) < fv/(Q) по лемме 7, а по лемме 8 N(Q)- (%). Получили противоречие. Лемма доказана. Лемма 14. (-v - неабелева группа. Доказательство. Допустим, что Q - абелева группа. Пусть "t" - сопряженная с инволюция из ь—С? , которая суще- u-—7 "Л ствует по . - теореме Глаубермана и по лемме П. По(1.9) . Отсюда, ввиду того, что централизует в фактор-группе С (і) ~ ^\^) I < ^> подгруппу порядка ^jQHH^>C(*?/,3~ С^-Сг; . Так как в каждом смежном классе из S/Q найдется инволюция, то ^-"ZCS^ по лемме 10. Теперь ясно, что в С Оз. J точно три класса центральных инволюций. q В— По (1.8) найдется такой элемент Q, , что - в Q> 'Р По лемме II -і2'- ^ ^^4Q . Если ( Vl: Dz. '' Cv І *У 2 , то Dj. содержит такую четверную подгруп- пу <ех*Д*7 ' что <оь*,г^> riQ-=^-1 . Из(1.7)следу-ет, что в СС^«—Q не более двух классов инволюций, поэтому инволюции OL и <Х Ц=- сопряжены. Но тогда в G- точно два класса центральных инволюций. Получили противоречие, так как число классов центральных инволюций всегда нечетно. Значит, |D^^Dt\-2^ Если D — ТЭ,, , то D^—О . Вновь по ,-О-содержит такой элемент У , что L'tj УІ ^ Т^ Но тогда по определению І)^ ЧЄ D^ . Противоречие. Лемма доказана. Лемма 15. Су ~ не экстраспециальная группа. Доказательство. Допустим, что G/ - экстраспециальная группа. По лемме 9 ^ - элементарная группа порядка *- %, Так как ( S - (LC* п ^ 2. для любого X из "Z.—^^ то і d$CZ)| ^ Z^-^j/^ , так как ^(^ есть пересечение централизаторов в О элементов из Z . Если /CS(Z)1-7-2^^ io 'Cscz^-zi^^ Іогда содержит элемент, не лежащий в Z . Но "2L - мак то все элементы изС$ (Z.^'— Z. имеют один и тот же поря- док. Отсюда, С^ (21) - элементарная группа порядка 2<^.^ , Противоречие с леммой 13. Лемма доказана. Обозначим через подгруппу гС^ К*з * * ^kk-1 ^ Тогда . максимальная абелева подгруппа из (р <3G(^Jf Лемма 16. Подгруппа Е слабо замкнута в о относительно G-, Доказательство. Если ^ ,то ^ Е » так как S - максимальная абелева подгруппа из Q . Теперь .<г <| Q , поэтому Е и _« сопряжены в (V(Q) по лемме Глаубермана о слиянии. Но по лемме 8 поэтому Є *" — Е: . о О q Допустим, что ^ S и Ef<0 . Пусть -teE3- О, ж = г-2к . 1огда ICsC-UU^'V^""- С другой стороны, | Ьа[ =- ^\, , поэтому о* ^. V Следовательно, ии — 1 . Так как С. - элемента- рная группа, то о=1 jC^O-tJ - элементарная группа порядка 2.^;% . Противоречие с леммой 13. Завершим рассмотрение 2-скованного случая в теореме I. Из экстраспециальная группа порядка 2.0, , /г- нетривиаль- ная элементарная группа. Предположим, что инволюция <Х. из сопряжена с некоторой инволюцией Лі из А Значит, инволюции из Rf)E— <Ч.? и из А не могут быть сопряжены в Пусть % - инволюция из S— С? » сопряженная с Цг- По (1.8) G~ содержит такой элемент сх , что -, ^ С? ? . Так как инволюция - изолирована в Q , ТО "Ь ~ %. ^ Ц: Ц. Q . Теперь OL ИЛИ 3,)^ НЄ ЛЄЖИТ в Q , А. или (ъ %) не лежит в Q . Получили противоречие с тем, что б о*"0 не более двух классов сопряженных инволюций. Итак, теорема 3 доказана в предположении, что С{%) - 2-скованная группа: в этом случае Теорему 3 осталось доказать для компонентного случая, т.е. случая, когда СД^-/ - не 2-скованная группа. Рассмотрим этот случай. Из того, что ty является CIT -группой, сле- дует, что . Если не 2-скован и , то существует элемент % из нечетно- го порядка, который централизует Ог(С(ї)) - подгруппу порядка, большего, чем 2, что противоречит условию теоремы. Значит, . Пусть G- - контрпример к теореме I в компонентном случае. Лемма 17.Инволюция ЯЕ- не лежит в коммутанте группы (ЦЧ.) Доказательство. Допустим противное. Если С(^://\^^^^2(р) где р - простое число Ферма или Мерсенна, или Пусть о - силовская 2-подгруппа из С(Д,) . Силовская Пусть СЫ/<д7 Ci S^( Й . ТогдаQHS) - эле- ментарная группа порядка 16. Так как « - центральная инволю следует из(1.9)и из того, что ^с CS) , будучи элементарной группой, слабо замкнута в S относительно G- . Отсюда,In/(C?(S)): A/fQCSj)^ *'| ~1-> . Пусть У - подгруппа порядка 7 из Тогда ^/^(g^^)j(.y)-^ ^СЧ) , поэтому A/rOCSP^-^'^^V- По теореме Бернсайда Л/7С?($^=Л/У где Л/<3 /\/(S?(S)) ., Л/П У= 1 . По теореме Томпсона - нильпотентная группа, следовательно, . Противоречие. Лемма доказана. лемма 1. c(*j= <;*>*/_ , где и^ СЛг"\ Доказательство. По лемме I?.. (1() — ^> X L5 где L^t^li14) S*(22mw4 L^Cp) , где р -простое число Ферма или Мерсенна, L^(4j, А^ или Мі0 . Все инволюции из L- сопряжены. Пусть о - силовская 2-подгруппа visCfa). Если инволюция ^ не изолирована во > а число классов центральных инволюций в G- нечетно, можно считать, что все инволюции из о сопряжены. Отсюда, инволюция ^. сопряжена с элементом "t из ZCSDL) . По лемме Бернсайда *- и + сопряжены в N(S/ , следовательно, о - элементарная группа, L* Oz Lз.(.2!**/> Ті > 2. Лемма доказана. Завершим доказательство теоремы I. По лемме 2.1 из [З-?-! L— А5" . Теперь по теореме Янко L^3 G-^Z3^ Теорема 3 доказана. В теории конечных неразрешимых групп большое значение имеют характеризации групп свойствами централизаторов инволюций. По за данному строению централизатора некоторой инволюции были открыты многие простые группы. Так были получены спорадические группы J -і » Jz » J3 » пв и другие. Большой интерес вызывают также теоремы, характеризующие конечные группы, в которых центра лизаторы всех инволюций обладают некоторым общим свойством. При доказательстве одной теоремы такого рода М.Судзуки открыл новую бесконечную серию конечных простых врупп. Эта теорема, называе мая теоремой о СІТ -группах, утверждает, что конечная неабеле ва простая группа, централизаторы всех инволюций которой являются 2-группами, изоморфна одной из следующих групп: -простое число Ферма или Мерсенна, В последние годы появился интерес к характеризациям конечных неразрешимых групп свойствами централизаторов 2-подгрупп порядка, большего 2. В 1973 году В.В.Кабанов в[ ?-1 описал конечные простые группы, в которых централизаторы всех подгрупп порядка 4- являются 2-грулпами, все инволюции центральны и их централизаторы .разрешимы. В 1976 году А.Н.Фомин [15] выяснил строение нетонкой 2-скованной 2-локальной подгруппы в группе, в которой централизаторы всех четверных подгрупп являются 2-группами. В 1978 году С.А.Сыскин? избавился от дополнительного ограничения на инволюции и их централизаторы в результате В.В.Кабанова. В [l4j им был0 доказано, что все конечные простые группы, в которых централизатор любой подгруппы порядка 4 является 2-группой, исчерпываются известными и, следовательно, принадлежат списку: В этом же году была опубликована статья С.А.Сыскина которой он классифицировал конечные простые группы, централизаторы всех четверных подгрупп которых являются 2-группами. К группам из списка теоремы I из [.14 ] добавились следующие группы: все оставшиеся LlsC /) ) "з ЧО для подходящих нечетных Естественным продолжением исследований В.В.Кабанова, А.Н. Фомина и С.А.Сыскина является изучение групп с соответствующими ограничениями на централизаторы подгрупп порядка 8. К этому вопросу относятся теоремы I и 2 диссертации. Теоремой I классифицируются конечные простые группы типа характеристики 2, в которых централизаторы всех элементарных подгрупп порядка 8 являются 2-группами, причем 2-локальный 3-ранг самой группы не превосходит I. Эта теорема используется в доказательстве теоремы 2, которой описываются конечные простые группы, централизаторы всех подгрупп порядка 8 которых являются 2-группами. Заметим, что теоремы I и 2, как и цитируемые результаты С.А.Сыскина, являются также нечетными характеризациями. Так, теоремой 2 описываются конечные простые группы, централизатор любого элемента нечетного порядка в которых имеет силовскую 2-под-группу порядка, не превосходящего 8. Во всех изложенных результатах централизаторное условие, а именно, требование, чтобы централизаторы подгрупп порядка 4- (соответственно 8) или только элементарных этого же порядка были 2-группами, выполняется во всей группе. Естественный интерес вызывает изучение групп, в которых это централизаторное ограничение налагается лишь на централизаторы 2-подгрупп в некоторой собственной подгруппе. В теоремах 3 и 4 в качестве такой собственной подгруппы берется централизатор некоторой инволюции. В теоремах I и 2, в отличие от ниже следующих теорем 3 и 4, централизаторное ограничение (централизаторы подгрупп порядка 8 или только элементарных подгрупп порядка 8 являются 2-группами) требуется во всей рассматриваемой группе. Теорема 2 является непосредственным обобщением первой из цитируемых во введении тео-_ рем С.А.Сыскина. Пусть Сх - конечная простая группа типа характеристики 2, в которой централизатор любой элементарной подгруппы порядка 8 является 2-группой. Предположим также, что 2-локальный 3-ранг группы Сх не превосходит I. Тогда G изоморфна одной из следующих групп: L-zi j » где Q, - простое число Ферма или Мерсенна, 1- (2 ) , 1 2, Si 2"" 1) , 7,1 }іг(Ч)9 Напомним, что группой типа характеристики 2 называется группа, в которой для любой 2-локальной подгруппы а 2-локальный 3-ранг - это максимум З-рангов 2-локальных подгрупп. Доказательство теоремы і несложно, но опирается на сильные результаты Тиммесфельда, Строта и С.Смита о группах с "большой ТІ-подгруппой". Пусть Сх - конечная простая группа, в которой централизатор любой подгруппы порядка 8 является 2-группой. Тогда Сг изоморфна одной из следующих групп: (-2.(2 )0 № 2, L-2LQ,) для некоторого нечетного О, , S-(2. к ) ) а Ъ Основную часть доказательства теоремы 2 занимает случай группы типа характеристики 2. Применением теоремы I и теоремы Ашбахера о тонких группах показывается, что в г есть 2-локальная подгруппа /ч , в которой есть элементарная подгруппа порядка 9, а ее силовские р --подгруппы по другим нечетным простым р цикличны. Анализ возможного строения Ал показывает справедливость теоремы в этом случае. Теоремы I и 2 доказываются соответственно во 2-й и 3-й главах. В теоремах 3 и 4 централизаторное ограничение требуется только для 2-подгрупп соответствующего порядка в централизаторе некоторой инволюции. ТЕОРЕМА 3. Пусть Ъ - центральная инволюция в конечной группе Gr , ее централизатор С(д) неразрешим и централизаторы подгрупп порядка 4 в С(д) являются 2-группами. Тогда G Применение теоремы Судзуки о -группах приводит к впол не определенной конфигурации. Изучение слияния инволюций и элементарных 2-подгрупп из С(т) приводит либо к изолированности %-в силовской 2-подгруппе группы Сх , либо к компонентному случаю, в котором легко доказывается, что Gr— J-j . ТЕОРЕМ 4. Пусть G- - конечная группа, % - инволюция в Gr , централизатор которой есть расширение 2-подгруппы Q с помощью группы, изоморфной L2(2 ),rt 2, . Предположим кроме того, что централизатором элемента порядка 3 из 0() в Q является циклическая нодгруппа, нормальная в С(%) . Тогда, если - центральная инволюция, то G —O(G)C0) ИЛИ G-— Xf а если Ч: - нецентральная, то t&Cr в частности группа Q непроста. Заметим, что в известных конечных простых группах довольно часто встречается неразрешимая 2-локальная подгруппа A , та кая, что - наибольшая нор мальная 2-подгруппа в г\ . Строение 02(AV и действие /ч на 02(М) в случае, когда элемент порядка 3 действует на без неподвижных точек, известно, по теореме Хигмэна. С.А.Сыскин описал конечные простые группы, имеющие 2-локальную подгруппу та кого вида. Легко понять, что в этом случае И - максимальная 2-локальная подгруппа. Если г\ - максимальная 2-локальная под группа и централизатор элемента порядка 3 из М в 02(Му яв ляется циклической подгруппой, нормальной в М , то М авто матически централизатор инволюции. Таким образом, результат тео ремы А- является расширением указанной теоремы С.А.Сыскина. В доказательстве теоремы 4, исходя из данного централизатора инволюции строятся некоторые 2-локальные подгруппе с целью нахождения 2-локальной подгруппы, содержащей силовскую 2-подгруппу рассматриваемой группы. Применением леммы Чунихина-Томпсона доказательство теоремы завершается. Лемма 2. Если в некоторой группе И имеется самоцентрали-заторная система типа (2,2), то Н/ОгСН) c Lxl "1) для некоторого и "7 Л ., Доказательство. По 12 Н содержит такую нормальную ни-льпотентную подгруппу N , что ИI f\J C L {2, )) И 7 Л г Поскольку нормализатор силовской 2-подгруппы в L-i\2?) имеег порядок 2 (.2. —4/ , то в И найдется подгруппа X порядка 2 - л , нормализующая силовскую 2-подгруппу из (—I . Ясно, что самоцентрализаторные подгруппы (фигурирующие в определении самоцентрализаторной системы) должны здесь иметь порядки 2 — \ и 2 -М соответственно, и из определения самоцентрализаторной системы следует также холловость этих подгрупп, в частности взаимная простота их порядков с порядком (V , откуда и из того факта, что все подгруппы из г7 порядка 2- сопряжены в фактор-группе по /v , вытекает, что все подгруппы из И порядка 2. — і сопряжены в п Поэтому любая подгруп па из X действует на ТМ без неподвижных точек. По теоре ме Томпсона t ]Ttvl- нильпотентная группа, откуда 0(М/ цент ра лизует \ и, значит, О(Ы) централизует ПГ что» в свою очередь, означает, что ОС ) Z.CH) Но теперь по условию леммы . Лемма 3. Пусть некоторая группа Н является расширением 2-группы СД с помощью (-2.( , -2 ) И 7 1 } S силовская 2-подгруппа из Н . Если элемент порядка 3 из И действует без неподвижных точек на Q , то выполняются следующие утверждения: Доказательство. Из (1-І) легко следуют с 1-го по 4-ое утверждения леммы, в частности то, что rj является СТТ-груп-пой. Отсюда и из (1.7) вытекает пятое утверждение леммы. Лемма 4. Пусть некоторая группа Н является расширением 2-группы Q с помощью S ( {,), 22и+1) К"? і S силовская 2-подгруппа из И Если элемент порядка 5 из И действует на Q без неподвижных точек, то выполняются следующие утверждения: 1) (j} =- К і X - X К , где (л л - естественные 4-мер ные модули для 5 ( (,) ; 2) инволюции из Г\ j распадаются на 2 класса под действием И порядков С 2"- 1НV ) и (q Ч )(, - l) соот ветственно; 4) если У б) все инволюции из (—J, — / сопряжены в Н m Доказательство. Аналогично доказательству леммы 3, все утверждения леммы легко следуют из (1.2) и (1.7). Вернемся к доказательству теоремы. Из наших условий и из лемм и 4 ясно, что Q/ = К\/ X X К / . для некоторого t % А » где « / %у - элементарная группа порядка Q, , на которой C(%)/Q действует естественно. Лемма 5. \\ і - элементарная группа для любого С А у Доказательство. Пусть сначала лемме 3 все элементы из K\/ qr сопряжены в С( к)Kl? Далее, Ы-1 1 для любого У. ив «с- , поэтому все элементы из К\, — имеют один и тот де порядок. Если все они имеют порядок 4, то в К есть только одна инволюция, откуда V Г\ - циклическая группа или группа кватернионов, (обобщенная кватернионная отпадает, потому, что К имеют экспоненту не выше 4-). Получили противоречие с тем, что \ \,К%у- элементарная группа, порядок которой не менее 16. Пусть Ct j/Qci Sntf ) .Если \K"i - а бе лева группа, то K —Ot xXKcj И для лю 5ого элемента - нечетного порядка из С(Д)#, поэтому {\ - элементарная группа (из -не извлекается корень). Допустим, что гС - неабелева группа. Так как KilCl? - минимальная нормальная подгруппа из С(іУ/ то "ZtlCiJ S и так как К /ч элементарная абелева, то фС с) - » поэтому К"- - экстраспециальная группа порядка 2 4 . Б силу леммы 4 К содержит либо (Q -4J (%i) либо %/(% " "Ї)(Л 1) подгрупп порядка 4. С другой стороны, из 5.5 [г? J следует, что в ( с (cAfcЯ?")/ 2_ подгрупп порядка 4. Получили противоречие. Лемма доказана. Лемма 6. Если К } К ] , то ГС , (Cj - экстраспециаль ная группа. Без ограничения общности, можно считать, что Ср KfК - — я гь гк А для некоторого t О и неко торой а беле вой подгруппы А порядка огчі-2и (при ( д. Q полагаем \ zk Lk -i o \ y ). По теореме Бернсайда существует подгруппа \ , для кото рой N{ S) - \\ X В . Но по теореме Томпсона ( - нильпотентная группа, и, значит, ( централизует R , так как имеет порядок 2, что противоречит тому, что С Г/Тс) (В) -В . Лемма доказана. Везде в дальнейшем S будет обозначать некоторую силовс-кую 2-подгруппу из M CQ) » а через Н обозначим Лемма 6. о имеет ступень нильпотентнооти 2, и О элементарная группа. Доказательство. Допустим, что О - группа ступени нильпотентности 3. Тогда [_S SJ = / подгруппа, инвариантная в NLS/ . Отсюда S - силовская 2-подгруппа из Сл- » Цг - центральная инволюция. Противоречие. Допустим, что Q не элементарная. Тогда ФСО)-4 NQ Q) нормализует . Отсюда, WQ-CQ) —d[4.) что противоречит лемме 5. Лемма доказана. Лемма 7. И/О СИ) Сг L ) и QLCH)-= КХ 7Ь где їх - элементарная абелева группа порядка 5 t"7 к , причем Доказательство. Обозначим 0 (.И) через W/ . То, что H/W L C ) , следует из леммы 2. Если \Д/- Q , то из сравнения порядков следует, что что противоречиво. Значит, \A/ Q . Пусть 1 1—3 Ж L vJ . Если C-wC J " 4 » то существует четверная подгруппа V , централизуемая элементом )( , ноэто противоречит тому, что ... X из 2-подгрупп централизует в С( ) лишь подгруппу порядка 2. Значит, СцДх)— . Теперь группа Н удовлетворяет условию теоремы Диксона (теорема 2 в [2-Ъ J ). \Д/ не может быть абелевой, так как иначе W совпадала бы с U2.(C(ik J= (Q . Второе заключение теоремы Диксо на также не может иметь место, так как если оно выполняется, то . "Z-CW/J Таким образом, выполняется третье заключение теоремы Диксона, которое по содержанию совпадает с утверждением леммы. Лемма доказана. Так как %" & о и мультипликатор Шура группы L CQJ при " тривиален, то существует подгруппа /\ такая, что HIX &KXWfK , где R/K ±Lгі $j\V= CkCffJ, a X\ - элементарная а белева подгруппа индекса 2 в Vv , существование которой доказывается в лемме 7. Лемма 8. \\ слабо замкнута в О относительно & .Ее ЛИ /A/{Q//i=fG/2. . I0 % G . Доказательство. Предположим, что для некоторого элемента %&GJ(K) /C S -Если К Ц/ , то, с одной стороны, 21(\Д// должен совпадать с (СП(С и, стало быть, иметь индекс 2 в \ , а с другой стороны, (С«(т(:) I, так как L [ f () :=. \ ЬУ X С .Но порядок группы К равен J, " , где Г ; , поэтому lK-dfc(%)\ Q . Противоречие. Значит, , что означает, что в инволюция у не принадлежащая . Так есть как все элементы из r I нечетного порядка содержатся в группа, то ввиду того, что по лемме Бэра (1.10) V инверти рует некоторый элемент нечетного порядка, J С- (у) I — Я/ , Но, так как силовская 2-подгруппа в RYК" имеет порядок С , то (СЛК 2," . Принимая во внима ние , что t -у \: у/ 1 , т.е. что Х %2. » получаем противоречие. Таким образом, первое утверждение леммы доказано. Пусть теперь до конца доказательства леммы о - силовская 2-подгруппа из NQ.LQ) - будет силовской 2-подгруппой группы G- . Предположим, что К не сильно замкнута в О относительно & , то есть существует инволюция Ч- из S К% сопряженная с некоторой инволюцией из \ . Если Ц- ф И/, то по лемме Бэра (1.10) / С /с( У)\ % и /CVjKJl t V С другой стороны, так как 2И + 1 , .е. (S/CSCK)M "-+"/ ,ипо(1.8) . Учитывая, что t, "" 2. получаем противоречие. Если У- г\Л/ , то, так как U- — t- для некото РОГО KefC, /L y7/- tK,yf j= fCK,« = % -2. . Снова по ТОЙ де лемме (1.8) Zh,(/l k ) И -f т что противоречит тому, что С К . Итак, гС сильно замк- -нута в о относительно Gr . Рассмотрим отдельно случай, когда где . Предположим, что - сопряже на с некоторой инволюцией из (?— ( Г . Пусть SQ силовская 2-подгруппа из f? , содержащая - . Ясно, что [ ІС-= R і то есть 1\ - расщепляемое расширение над гС » откуда C Sof J " элементарная абелева группа порядка / , являющаяся прямым произведением С к(ч) и си ловской 2-подгруппы из L. Поскольку Y -? / , то (-%) QiC -f Jt/ » иначе существует элемент У 1 & sX4) Oz(Z(y)) и ло лемме Бэра / CSo ( yf) / . Очевидно, что Цг не сопряжена ни с одной инво люцией из гС » Т9К к к в централизаторе любой инволюции из \\ содержится сама К" , ранг которой равен 2 U- , в ю вре мя, как 2-ранг подгруппы С( -) равен 2 kn-f- \Л,-{-Л, С другой сторона, так как (\ - С Г Т"7 гРушіа, все инволю ции из сопряжены в Г? , откуда в (.)) есть элементарная абелева группа, содержащая Ч , все инволюции которой сопряжены. Получили противоречие с тем, ЧТО %г не сопряжена ни с одной инволюцией из По лемме Чунихина-Томпсона [_ ] - G- . Итак, можно считать, что С( ) нерасщепляемое расшире ние над KJI . Напомним здесь, что ОС&) = 1 . Обозначим J через . Ясно, что / НПЕ t —( Е /2 .Тог да либо НПЕ . Ц/ , либо ? .Из теоремы Гольдшмидта (1.5) сразу видно, что второй случай невозможен. Ес ли Ц(1Е 1\/ , то Е- Axtx - х Bs , где А -абелева, S /-2. J40=2m ( 2; или %0 3(І) , либо В Уі , или группе типа Ри.
в ZCS] . Пусть CLG I?— Q . Тогда (хЛ. & (__ для некото
рого элемента Л, из О . Но а =- - ~(Ос}г— ^ , поэтому
-^
Тогда С(^^ - подгруппа нечетного индекса из Н . Если
Q -Ф ^ , то по лемме 7 подгруппа Q слабо замкнута в S отно
сительно Gr .' Если GJ не сильно замкнута в S относительно
Сх , то найдется элемент -fc, из S — G? , сопряженный в
с некоторым элементом из С? Поскольку (Gjl^ Z *^ и ^
^9^СЙ) > то ."»(C>Q])>2*l. Но C^Q)=Q и
S/Q имеет ранг И- , поэтому по (1.8) ип С L4,Q])^ *t.
Получили противоречие. Значит, Q сильно замкнута в S отно
сительно Gr . Теперь из теоремы Гольдшмидта (1.5) легко следует,
что Q <1 И . Таким образом, содержит
из К^ — K"t* HZ_ централизует ~Z П k^ Заметим, что
рядка 2 (^ , следовательно, С j^ (рП Z)-РП Z^ «Таким
образом, Cq(2LJ - элементарная группа.
некоторого элемента J из G—CA^j . Если (у - абелева груп
па, то, поскольку G? слабо замкнута в о относительно Q* по
Лемме Y, контролирует слияние в Q . Но по лемме 8
ет в CqW подгруппу порядка 2~ 2. . Отсюда, \, ^
подгруппы из с (а) , содержащей . Тогда в
зуемая элементом J- , то,если L "t)-t^3—(Х-^ » то в ФзктР-
группе А/^а^ ^ централизует неединичную подгруппу, что
противоречит тому, что силовская 2-подгруппа централизатора эле
мента _ в C(oJ равна <^а/? Значит, С ti-t**'] - . Ес
ли же А имеет порядок 8, то А - группа диэдра в случае, если
С 4,4:^1-0^ 5 что противоречит тому, что группа автоморфизмов
группы диэдра является 2-груплой. Теперь ясно, с учетом леммы Ю
что C^(_(t) C"tj^ C"ti"fc / ^ "Z , и, значит, по лемме 9Q(]QH-\Q^:OnQHl^2. . Но в силу строения О
L$o(A) - элементарная группа порядка 2 9 ^ , то С$ О*-)
и х централизуют , следовательно, |vt|
па С— C^0(-tJ слабо замкнута в S относительно G-
Пусть d^^>S Для некоторого элемента Я из G- . Если
С не лежит ъ Q , то по лемме 12 С^ — (^ . Поэтому
предположим, что d« ^. О . По теореме Альперина
жем, что для любой инволюции имеет место
включение < *Z . Если )С & ?1—Q , то
поэтому . Если Ч - 2-элемент из
лучили противоречие . Значит, D —1. . Но D =<^?[Л>0]і
симальная элементарная подгруппа из G/ , что противоречит лем
ме 10. Следовательно, /C^fZj/- 2.4 . Q ^ . Пусть С~
С$ CZ. J * ^ак как M(S) действует транзитивно на смежных
классах из С^ (Z-)«— Z_ , a Z. - элементарная группа,
лемм 14 и 15 следует, что Q =- I? >с А , где R -
Тогда по лемме 16 Ol и \ сопряжены в /V/(^ , а по лемме 8
N(E)~Q\^k) нормализует к . Получили противоречие.
то силовская 2-подгруппа из (^ - кватернионная группа. В
этом случае по [z^l Сг^= 0{.Сг)С(^) . Так как мультипликатор
Шура полудиэдральной группы тривиален, то Є{^)/<%у не
изоморфна Mj0 . Итак, (1(} /<'І>іг С^СЧ) или
2-подгруппа S в фактор-группе С ()-G (.-)/<ок> имеет ров
но две элементарных подгруппы Aj и А^ порядка 16, причем
все инволюции в каждой из А; сопряжены в Cf^.) . Отсюда лег
ко следует, что Д^ и А 2. -единственные элементарные под
группы порядка 32 в S , S — А л &2. . Поскольку Д^
и А^ обе нормальны в S , то А^ и -А^ обе
слабо замкнуты в о относительно Q- . Если инволюция 9b
не изолирована во , то число сопряженных с ч- инволюций
из >t\ равно 16 или 31. Первый случай невозможен, так как
4- - центральная инволюция. Если чГ - инволюция из Ai~~
<^ , то I I4)(.MV ^-КІЦлОіЛ ~^ По теРеме Силова
Р <1 |М ^ Nj(Vi)/Vi і где Р - некоторая силовская 31-
подгруппа из Ы(ЛА) . Отсюда, IS/— Рх X ) У ~ А^
С другой стороны, если У - подгруппа порядка 3 из К/ (\Л| )>
то ^ДДу/нСУ) ^ ^1) ^-Уу Получили противоречие.
ция, то все инволюции из сопряжены в /\/pa^(S)JL ЭтоКонечные группы, в которых централизатор любой элементарной подгруппы порядка 8 является 2- группой
Случай группы типа характеристики 2
Компонентный случай
О централизаторах инволюций, имеющих фактор группу, изоморфную
Похожие диссертации на Централизаторы 2-подгрупп в конечных группах
