Содержание к диссертации
Введение 3
1 Определения. Используемые результаты 8
-
Гр>ппы Фробени)са 8
-
Сильная плоаимость 11
-
Дважды транзитивные гр)плы 15
2 Характеризация группы их I^P) 17
-
Случай R = 1 18
-
Изучение частного случая 23
2.3. Доказательство периодичности 27
3 Характеризации группы Sz(Q) 31
-
Предварительные леммы 32
-
Доказательство теоремы 3 1 39
3.3 Редукция к Z-группам 47
4 Характеризация группы R х Sz(Q) 51
4.1. Основные леммы 51
4 2 Завершение доказательства теоремы 56
Список литературы 57
Публикации автора по теме диссертации 59
Введение к работе
Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Главы делятся на параграфы. Нумерация формул, определений, лемм, предложений, теорем сквозная в пределах каждой главы и имеет вид п.т, где п — номер текущей главы. Точные формулировки всех теорем приведены в начале глав. Все обогшачения либо стандартны [5, 8], либо оговариваются
Напомним, что собственная подгруппа В группы G называется сильно вложенной в G, если В содержит инволюцию и для любого д Є G\B пересечение В П Bq не содержит инволюций. В теории конечных групп это понятие является фундаментальным и составляет один из наиболее важных инструментов теории простых групп ([5], стр. 26-27). Оно появилось в серии работ Д. Томпсона, посвященных классификации минимальных простых групп. Основополагающий результат о конечных группах с сильно вложенной подгруппой принадлежит М. Судзуки ([5], теорема 4.22). Заключительная классификация таких групп дана Г. Бендером [26]. Она тесно связана с теорией дважды транзитивных групп подстановок, в частности с группами Цассенхауза (Z-группами), т.е. дважды транзитивных групп подстановок с тривиальным стабилизатором каждых трех точек.
В теории периодических и смешанных групп с инволюциями даже фрагменты подобной классификации служили бы мощным инструментом исследования. Но пока в этом направлении сделаны лишь первые шаги. Это объяснимо. Уже в классе периодических групп неверны многие результаты теории (локально) конечных групп ([1], [2], [3], [13], [14]). Не работают и методы их доказательств.
Первые исследования периодических групп с сильно вложенной подгруппой были выполнены В. П. Шунковым и А. Н. Измайловым [6], [7] при некоторых дополнительных условиях конечности. Весьма стимулирующим оказался вопрос 10.76 В. П. Шункова из Коуровской тетради [12]. Его суть. Группы L-^Q) и Sz(Q), где Q-локально конечное поле характеристики 2, содержат сильно вложенную подгруппу Фробениуса В, совпадающую с нормализатором силовской 2-подгруппы. Рассмотрим теперь периодическую группу G с сильно вложенной подгруппой, изоморфной В. Будет ли группа G локально конечной? Если это так, то она изоморфна одной из групп L<2(Q), Sz{Q). Положительный ответ на этот вопрос получен А. И. Созутовым и Н. М. Сучковым[15], [16]. При этом вместо периодичности группы предполагалось наличие в ней конечной инволюции (инволюция г группы G называется конечной, если \iiq\ < оо для каждого д G).
В работе В. Д. Мазурова [11] изучены группы с конечной инволюцией, в которых централизатор каждой инволюции является абелевои 2-подгруппой. в частности, разобрана ситуация, когда в группе имеется сильно вложенная подгруппа Фробениуса, ядро которой абелева 2-подгруппа. Н. М. Сучковым [18] доказан периодический аналог теоремы М. Судзуки о строении конечной группы с абелевыми централизаторами инволюций. Основной анализ был связан с сильно вложимостыо.
Д. Горенстейн ([5],стр.157)отмечает, что " теория дважды транзитивных групп подстановок представляет собой одну из наиболее глубоких и красивых глав теории конечных простых групп". В свою очередь, Z-группы составляют важнейших подкласс класса дважды транзитивных групп. Конечные Z-группы полностью описаны X. Цассенхаузом, У. Фейтом, М. Судзуки и Н. Ито ([5],стр.378), что послужило, например, основой при изучении групп с абелевыми и диздральными силовскими 2- подгруппами, СЛг-групп (групп с нильпотентными централизаторами неединичных элементов).
В теории периодических и смешанных групп с инволюциями классификация Z-групп с локально конечным стабилизатором точки имела бы не меньшее значение. Но лишь в последние годы здесь произошел определенный сдвиг, благодаря работам Т. Петерфалви [31], В. Д. Мазурова [11], А. И. Созутова и Н. М. Сучкова [15], [16], [20].
Настоящая диссертация посвящена дальнейшему изучению бесконечных групп с заданной сильно вложенной подгруппой и групп Цассен-хауза. Получены следующие основные результаты:
1). Изучены группы G с сильно вложенной подгруппой В = RxT, где R — периодическая абелепа группа , Т — группа Фробениуса с абелевым ядром, содержащим конечную в группе G инволюцию.
2). Получено описание групп с конечной инволюцией и сильно вложенной подгруппой В = ЯхФ, где R — периодическая абелева группа, Ф — группа Фробениуса, ядро которой изоморфно силопской 2-подгруппе локально конечной простой группы Судзуки.
3). В терминах групп подстановок дана новая характеризация локально конечной простой группы Судзуки.
Теперь подробно о содержании диссертации. В главе 1 приведены известные результаты, используемые в дальнейшем.
Основным результатом второй главы является
Теорема 2.2. Пусть G — группа с конечной инволюцией, В = RxT — ее сильно вложенная подгруппа, где R — абелева периодическая группа, Т — группа Фробениуса с абелевым ядром U, содержащим инволюцию. Тогда G = R х ^(Q); где Q - локально конечное поле характеристики 2.
Если R = {1}, a [/ — элементарная абелева 2-подгруппа, то это докапано Созутовым А.И. [15]. Тем самым был получен положительный ответ на первую часть вопроса 10.76 В. П. Шункова та Коуропской тетради. Случай, когда R = {1}, U — абелева 2-подгруппа, разобран В.Д. Мазуровым [11]. Для периодических групп данная теорема вытекает из описания Н.М. Сучковым периодических групп с абелепыми централизаторами инволюций [18].
В первых двух параграфах главы 3 изучен один класс групп Цас-сенхауза. Пусть В^ = U\ Н — группа Фробениуса с ядром U и дополнительным множителем Я, где подгруппа U имеет период 4, ее центр Z = {z\z G U,z2 = 1}, а Я — периодическая локально циклическая группа. Так как V = U/Z — элементарная абелева 2-группа, то будем на нее смотреть как на векторное пространство над полем GF(2). Тогда Я — группа линейных преобразований пространства V. Предполагается, что каждая конечная подгруппа Т из Я действует эквивалентно на всех минимальных Т-допустимых подпространствах из V.
Теорема 3.1. Пусть Z-группа G содержит конечную инволюцию, а ее стабилизатор точки Gn ~ Я». То?да G ~ Sz(Q) над подходящим локально конечным полем Q характеристики 2.
Этот результат является базисным при доказательстве в параграфе 3 3. следующего утверждения.
Теорема 3.2. Пусть группа G содержит конечную инволюцию и сильно вложенную подгруппу В ~ Во. Тогда G ~ Sz(Q) над подходящим локально конечным полем Q характеристики 2.
Заметим, что А. И. Созутовым и Н. М. Сучковым в [16] установлен частный случай этой теоремы. Предполагалось, что Я транзитивно переставляет инволюции из V. Этим было завершено решение вопроса 10.76 из Коуровской тетради.
Для формулировки основного результата главы 4 введем понятие группы Sq. Это группа периода 4 с центром Z = [b\b Sq, b2 = 1} и для любого элемента t Sq\Z справедливо равенство tZ = {х\х Є S^x2 = t2}. В качестве бо может быть взята силовская 2-подгруппа локально конечной простой группы Судзуки. Доказана
Теорема 4.1. Пусть группа G содержит конечную инволюцию и сильно вложенную подгруппу В = Я х Ф, где R — периодическая абелева подгруппа, Ф — группа Фробетуса с ядром S ~ 6"о. Тогда G = RxSz(Q), где Q — подходящее локально конечное поле характеристики 2.
При R = {1} данная теорема доказана А. И. Созутовьш и Н. М. Сучковым [16].
Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы при написании монографий, в учебном процессе при чтении спецкурсов и в научных исследованиях по теории групп.
Основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [34] — [38] и докладывались на Международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения профессора А. И. Коко-рина, проходившей в г. Иркутске, Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шеврина, проходившей в г. Екатеринбурге; Международной алгебраической конференции '"Мальцепские чтения'" (г. Новосибирск). Они неоднократно обсуждались на семинарах при КрасГУ, КрасГАУ и КрасГАСА.
Теорема 3.1. доказана в нераздельном и равном соавторстве с Н. М. Сучковым. Ему автор благодарен за постановку задач и внимание к работе.
