Содержание к диссертации
Введение
1 Перенос величин в космической турбулентности 17
1.1 Модели поля скорости 19
1.2 Поток с восстановлением 22
1.3 Интегральное представление решения уравнения переноса . 23
1.4 Уравнение для средней концентрации 25
1.5 Приближенные уравнения для средней концентрации . 30
1.5.1 Малое время восстановления 31
1.5.2 Поле скоростей с гауссовыми траекториями 32
1.5.3 Слабо неоднородное распределение примеси 33
1.6 Уравнение для среднего магнитного поля 34
1.7 Задача быстрого динамо 38
1.8 Обсуждение результатов главы 41
2 Распространение света во вселенной однородной лишь в среднем 43
2.1 Постановка задачи 43
2.2 Уравнение Якоби и случайная кривизна 44
2.3 Уравнение для среднего геодезического отклонения . 47
2.4 Роль временных корреляций 50
2.5 Обсуждение результатов главы 53
3 Геодезические на многообразии со случайной кривизной 56
3.1 Основные понятия 56
3.2 Количественные характеристики случайных процессов . 59
3.3 Показатель Ляпунова обновляющейся геодезической . 61
3.4 Поведение геодезического отклонения 66
3.5 Среднее расстояние между сопряженными точками . 69
3.5.1- Асимптотическое приближение 70
3.5.2 Вспомогательные процессы 74
3.5.3 Верхняя оценка среднего расстояния 77
3.6 Обсуждение результатов главы 79
Положения выносимые на защиту 83
Список литературы 84
- Интегральное представление решения уравнения переноса
- Уравнение для среднего геодезического отклонения
- Показатель Ляпунова обновляющейся геодезической
- Верхняя оценка среднего расстояния
Введение к работе
Актуальность исследований-
Перенос пассивных величин в движущийся среде - явление, часто встречающееся в природе. Пассивность переносимых величин означает, что их влияние на характеристики самого потока пренебрежимо мало. В этом смысле, хорошим примером подобного процесса является распространение ветром загрязнения, выбрасываемого в атмосферу через трубы заводов. Перенос температуры также можно рассматривать, как перенос пассивной величины, если влияние конвекции на распределение скоростей в потоке не велико. Обе рассмотренные величины скалярные, векторной величиной, часто встречающейся в движущейся среде, является магнитное поле.
Систематическое изучение процессов переноса скалярных величин началось еще в начале 20 века. В 1915 г. специалист в области гидромеханики Дж. И. Тейлор, исследуя процессы переноса в атмосфере, получил ряд результатов, сформировавших основы теории длинны перемешивания [Taylor 1915].
В 1966 г. Штенбек, Краузе и Рэдлер обнаружили альфа-эффект, позволяющий объяснить рост крупномасштабного магнитного поля в турбулентном потоке. Начиная с этой работы появляется значительное число публикаций, посвященных решению различных задач магнитной гидродинамики в терминах средних полей. При этом понятие "среднего поля" остается достаточно размытым. Так, согласно гипотезе Тейлора, в ряде случаев осреднение по пространству может быть заменено осреднением по времени.
Теория турбулентности А.Н. Колмогорова описывающая поля скоростей с высокими значениями чисел Рейнольдса оказала сильное влияние на общую теорию переноса. С одной стороны она позволила дать вероятностную трактовку понятия "среднего поля", понимая процедуру "осреднения" как интегрирование по пространству элементарных событий. С другой стороны применение вероятностных методов к задачам переноса позволяет изучить такое важное явление, как перемежаемость, практически, не различимое врамках-теориисреднихполей, см. [Zeldovich et al. 1988].
Цели и задачи работы
Основной целью настоящей работы является исследование поведения пассивных величин в случайном потоке с восстановлением. На первом этапе исследования решались следующие задачи:
Получение замкнутых уравнений переноса средних величин в 3-мерном случайном потоке с восстановлением и сравнение результатов с аналогами, полученными при рассмотрении короткокорре-лированного потока и потока с обновлением.
Рассмотрение ряда приближений и сведение общих уравнений переноса в потоке с восстановлением к более простым выражениям.
Установление роли потери временных корреляций в механизме генерации быстрого динамо.
Цель второго этапа исследования заключается в рассмотрении модельного примера, достаточно богатого для демонстрации основных эффектов теории переноса, ив тоже время достаточно простого для полного математического изучения. В качестве модельного примера была выбрана задача о распространении света во вселенной однородной лишь в среднем. На втором этапе решались следующие задачи:
1. Получение астрофизически правдоподобных результатов с помощью аппарата современной теории переноса.
Построение математической теории, в рамках которой можно достаточно полно изучить модельную задачу.
Установление ряда новых для общей теории переноса эффектов, справедливых для модельной задачи.
Научная новизна
Впервые рассмотрены процессы переноса пассивных скалярных и векторных величин в случайной среде с восстановлением. Развитая- техника позволила исследовать процессы переноса в межзвездных средах с учетом эффектов восстановления, которые обусловлены взрывами сверхновых. Получены замкнутые уравнения для средней концентрации межзвездной пыли и для среднего значения магнитного поля. Впервые в рамках точно решаемых моделей обнаружена зависимость турбулентных коэффициентов от временных корреляционных свойств случайной среды.
Впервые в рамках, точно решаемых моделей переноса в случайных средах продемонстрирован переход между динамо в среде с конечным временем памяти (в данном случае - временем восстановления) и динамо в стационарном потоке. Показано, что даже достаточно редкие восстановления, связанные со взрывами сверхновых, могут обеспечить работу быстрого динамо на кинематической стадии развития этой неустойчивости.
Впервые методы теории переноса в случайных средах применены к решению задачи о распространении света во вселенной, однородной лишь в среднем. Применение современной математической техники позволило получить уже известные результаты в более ясной и компактной форме.
Впервые рассмотрена конструкция геодезической, кривизна вдоль которой является случайным процессом. Получен ряд математических результатов, описывающих поведение поля Якоби вдоль геодезических со случайной кривизной, которые справедливы при весьма общих условиях.
Показан экспоненциальный рост поля Якоби с вероятностью Г. Показано существование с вероятностью 1 бесконечной последовательности сопряженных точек. Найдена оценка для среднего расстояния между соседними сопряженными точками.
Продемонстрирована глубокая связь между полученными математическими результатами и рассмотренными астрофизическими задачами. В частности, показана возможность существования гравитационных линз, связанных не с конкретнымиастрономическимителами; ас эффектом кумулятивного действия многих случайно расположенных возмущений. На примере возникновения сопряженных точек показана принципиальная невозможность описания некоторых эффектов в рамках теории средних полей и необходимость исследования типичных реализаций.
Теоретическая и практическая ценность
Техника получения уравнения для средних значений пассивных величин в потоке с восстановлением может быть применена для получения аналогичных уравнений в более сложных моделях поля скорости. Так развитая в настоящей работе техника использована в работе [Elperin et al. 2001] для получения уравнения эволюции среднего значения пассивного скаляра в сжимаемом потоке с восстановлением.
Уравнение эволюции среднего магнитного поля в потоке с восстановлением может быть применено для коррекции моделей галактического динамо с учетом взрывов сверхновых. Полученное уравнение допускает как численное, так и аналитическое исследование.
Найденный переход между быстрым динамо в турбулентном потоке и отсутствием генерации магнитного поля в стационарном поле скорости может внести вклад в решение задачи о быстром динамо в стационарном потоке.
Оценка для среднего расстояния между соседними сопряженными точками может быть использована для поиска гравитационных линз, обусловленных многочисленными флуктуациями кривизны пространства.
Результаты о строении геодезических со случайной кривизной представляют геометрический интерес и могут лечь в основу стохастической римановой геометрии .
Содержание работы
В первой главе настоящей работы рассматриваются процессы переноса пыли и магнитного поля в межзвездной среде. Эти величины с высокой степенью точности можно считать пассивными. Примесь, в отличие от температуры, не вызывает конвекции; а галактическоемагнитное-поле,-хотя и теоретически может оказать влияние на распределение скоростей, обладает энергией существенно меньшей, чем кинетическая энергия межзвездной среды.
Процесс переноса примеси во многом определяются механизмом турбулентной диффузии. В простейшем случае уравнение для переноса средней концентрации оказывается по форме тем же, что и истинное уравнение переноса примеси, однако коэффициент диффузии перенормируется и становится равным коэффициенту турбулентной диффузии Dt , определяемым соотношением:
где v* - среднеквадратичная скорость потока, a Z* - его корреляционная длина. Считая, что время памяти t* определяется временем оборота турбулентного вихря l*/v*, эту формулу можно переписать в виде:
Dt = \(V)H\
Эти простые представления, восходящие к работе [Taylor 1915], принято называть теорией длины перемешивания.
Уравнение переноса средней величины может иметь более сложную форму, чем соответствующее микроскопическое уравнение. Например, в уравнении переноса среднего магнитного поля возникает новый член, связанный с т.н. а-эффектом, или средней спиральностью. Однако для
соответствующего коэффициента переноса удается предложить простые формулы в рамках представлений теории длины перемешивания (см., напр., [Краузе и Рэдлер 1984, Рузмайкин и др. 1988]).
В настоящей работе рассматривается, как на турбулентные коэффициенты переноса влияют детали временных корреляций случайного поля скорости. Численные исследования в этой области сильно затруднены потому, что трудно моделировать среду со столь большими значениями чисел Рейнольдса, как в межзвездной турбулентности: Исследования, основанные на различных гипотезах замыкания, подтверждают важную роль временных корреляций для описания турбулентной диффузии. В тоже время, эти исследования привлекают различные гипотезы о расщеплении корреляций, и результаты существенно зависят от самих гипотез. Кроме того, точно решаемые примеры для исскуственных потоков [Арнольд и др. 1981, Zeldovichet al. 1984] показывают, что, по крайней мере, для магнитного поля могут существовать тонкие эффекты, которые качественно меняют поведение примеси в случае очень длинных временных (или пространственных) корреляций. В этой связи, особую роль приобретает возможность построения моделей турбулентного потока, в которых задача о переносе пассивной примеси решается без привлечения гипотез о расщеплении корреляций.
Подобный подход восходит к С.А. Молчанову, чей вклад в современную теорию переноса в случайных средах сложно переоценить. Предложенный им метод исследования заключается в том, чтобы проводить осреднение не самого уравнения, а его решения. Поскольку уравнения для переноса пассивных величин являются линейными, с помощью метода функциональных интегралов можно выписать их явные решения, в которых для некоторых моделей случайных потоков корреляции расщепляются точно, а не приближенно [Zeldovich et al. 1988].
До сих пор на этом пути удавалось изучить короткокоррелирован-ную модель, в которой время памяти считается бесконечно малым [Молчанов и др. 1983], и модель с обновлением, в которой случайный
поток теряет память в заранее предписанные равноотстоящие моменты обновления [Dittrich et al. 1984, Elperin et al. 2000]. Оказывается, что результаты, полученные в рамках обоих моделей, хорошо согласуются с теорией длины перемешивания. Для первой совпадение полное, для второй, - уравнения переноса магнитного поля [Dittrich et al. 1984] и пассивного скаляра [Elperin et al. 2000] становятся интегральными по пространству, но скорость турбулентной диффузии для небольших времен корреляции та же, что и в теории длины перемешивания.
Предписанные моменты обновления нарушают однородность времени, в то время, как межзвездная среда, по всей видимости, такой однородностью обладает. Однородность по времени можно восстановить, если считать моменты потери памяти не заранее предписанными, а случайными пуассоновскими событиями. Такая модель с восстановлением является точно решаемой, однако детальные вычисления ранее не проводились. Проведенные вычисления показывают, что удается не только устранить формальные пробелы в научном знании, но и обнаружить несколько новых эффектов.
В результате перехода от моделей с обновлением к моделям с восстановлением уравнение для среднего поля еще более усложняется и становится интегральным не только по пространству, но и по времени. Однако, как мы увидим ниже, перенос сохраняет черты диффузии. Неожиданным является то, что коэффициент турбулентной диффузии вдвое отличается от предсказания теории длины перемешивания. Это различие может быть проиллюстрировано на простом примере. Рассмотрим два случайных блуждания частицы по прямой. В первом случае частица совершает скачки на расстояние Vr в моменты времени t\ = т, 2 = 2т, h = Зт...., причем с вероятностью 1/2 скачок совершается влево, и с той же вероятностью — вправо (это и есть модель теории длины перемешивания). В другой модели моменты t\, 2, являются пуассоновским потоком событий со средним временем г между событиями (А = 1/г - параметр пуассоновского процесса). Для достаточно большого вре-
мени поведение частицы в обоих случаях описывается диффузионным приближением и прямой подсчет показывает, что во втором случае коэффициент диффузии вдвое больше, чем в первом. Физическая природа этого различия связана с тем, что во втором случае встречаются сравнительно длинные промежутки времени, в которые частица движется поступательно. Несмотря на то, что вероятность этих промежутков мала, они вносят заметный вклад в коэффициент диффузии. Это обстоятельство сближает рассматриваемый эффект с явлением перемежаемости [Zeldovichet al. 1988]; можно ожидать, что для переноса высших моментов он проявляется сильнее. Подчеркнем, что отличие коэффициентов турбулентной диффузии в двух моделях не связано с тем, что tn не совпадает с пт, поскольку разница между этими величинами порядка п1!2 и не дает вклад в коэффициент турбулентной диффузии. Более того, отличие сохраняется ив том случае, если считать скорость произвольно распределенной случайной величиной с нулевым средним (см. Приложение А).
Рассмотрение процесса переноса магнитного поля в среде с восстановлением показывает, что отмеченный фактор 2, влияет также и на коэффициент средней спиральности, который отвечает за величину а-эффекта.
Переход к потоку с восстановлением позволяет ответить на один вопрос, связанный с фундаментальной проблемой теории динамо - задачей о динамо в стационарном потоке. Суть этой проблемы заключается в следующем [Zeldovich et al. 1983, Childress and Gilbert 1995]. Уравнения галактического (равно как и звездного и, в определенной степени, планетарного) динамо, получаются путем усреднения микроскопического уравнения индукции по турбулентным пульсациям поля скорости. При этом, естественно, делаются те или иные предположения о свойствах межзвездной турбулентности, которые не являются совершенно реалистическими. Традиционный опыт математической физики рекомендует подкрепить подобные построения исследованием какой-нибудь задачи, в
которой поле скорости детерминировано и упрощено настолько, что удается построить ее точное решение, причем оно воспроизводит свойства решений осредненных уравнений.
На рубеже 80-х годов было осознано, что точно решаемые задачи динамо для уравнения индукции ведут себя совсем не так, как решения уравнений среднего поля в задаче галактического динамо. В этих точно решаемых задачах не удается получить такую же эффективность гене-рации^ как в задачах-динамо среднего поля. В" простейшем случае скорость нарастания магнитного поля оказывается очень медленной, безнадежно недостаточной для генерации магнитных полей галактик за время существования Вселенной. В этой связи проблема получила название проблемы быстрого динамо.
Сейчас не вызывает особых сомнений то, что причина быстрого роста галактического магнитного поля связана с эффективной потерей памяти межзвездной турбулентностью. Однако до сих пор это убеждение оставалось декларативным, поскольку не удавалось заполнить промежуток между моделями турбулентного динамо, дающими быстрый рост магнитного поля, и моделями динамо в стационарном потоке, в которых рост магнитного поля связан со всевозможными осложнениями.
В ходе рассмотрения модели с восстановлением, по-видимому, удается заполнить этот пробел. Важно, что обсуждаемая модель мотивирована не только соображениями математической физики, но и воспроизводит специфические свойства межзвездной среды в гораздо большей степени, чем стандартные модели турбулентности.
Уравнения, описывающие перенос величин в трехмерном случайном потоке достаточно сложны, и на настоящий момент удается получить достаточно полную картину поведения только для статистических моментов переносимой величины. Получающиеся выражения, весьма громоздки, а потому дальнейшее исследование осуществляется в некоторых приближениях, справедливых только в конкретных физических задачах.
Во второй главе настоящей работы теория переноса применена к ис-
следованию задачи о распространении света во Вселенной, однородной лишь в среднем. Эта задача может быть переформулирована в простых математических терминах, а потому допускает достаточно детальное изучение не только средних значений, но и типичной реализации исследуемой величины.
Важно отметить, что исследуемая задача является не только модельным примером, позволяющим проиллюстрировать основные эффекты общейтеориейпереноса, но и сама по себе представляет существенный интерес для космологии. Еще в 1964 г. Я:Б. Зельдович обратил внимание на то, что мелкомасштабные отклонения Вселенной от однородности и изотропии, связанные с существованием индивидуальных объектов, например, галактик, могут заметно влиять на угловой размер и видимую величину далеких объектов і (см. [Зельдович 1964]).
Несколькими годами позже были предложены поправки, корректирующие наблюдательные тесты для определения параметров космологических
моделей на рассматриваемый эффект, см. [Зельдович и Новиков 1967] и [Зельдович и Новиков 1975] и приведенные там ссылки. Эти поправки были основаны на наблюдениях дискретных источников, расположенных на расстояниях, сравнимых с расстоянием до горизонта. В целом смысл поправок состоит в том, что, скажем, Вселенная с критической плотностью несоответственно, плоским пространственным сечением начинает напоминать Вселенную с отрицательной кривизной и плотностью, меньшей критической (см. рис. 89 на стр. 467 в [Зельдович и Новиков 1967]).
Одновременно выяснилось, что вся группа рассматриваемых тестов сильно отягощена неопределенностями, связанными с эффектами эволюции источников, поэтому, во всяком случае, таким способом не удается достичь удовлетворительных оценок параметров моделей Вселенной [Зельдовичи Новиков 1967, Зельдович и Новиков 1975]. Поэтому, эффект Зельдовича не находился в последующие годы в центре внимания специалистов по космологии.
Сравнительный анализ работ [Зельдович 1964, Zeldovich et ali. 1988, Зельдович и др. 1991] обнаруживает глубокую формальную общность обсуждаемого эффекта Зельдовича и изучавшихся им же эффектов перемежаемого роста векторных (магнитных) полей при их переносе в случайных средах, а сличение соответствующих текстов в [Зельдович и Новиков 1967] и [Зельдович и Новиков 1975] показывает, что Зельдович, по-видимому, осознавал это сходство. В то же время работа [Зельдович 1964] представляет собой столь раннее обращение к проблематике переноса в случайных средах, что ее автор был вынужден воспользоваться элегантным, но искусственным приемом, который позволил ему получить желаемый результат, но не позволил наметить пути дальнейшего изучения вопроса.
Во второй главе эффект Зельдовича изложен на базе современной техники изучения процессов переноса в случайных средах. При этом удается сформулировать результат [Зельдович 1964] в более компактной и ясной форме.
Оказывается, что излагаемая ниже компактная форма представляет определенный интерес не только для исследования космологических моделей, но и для римановой геометрии, которая является математическим аппаратом космологии.
Геометрический интерес рассматриваемой задачи состоит в следующем. Основные результаты геометрии в целом о строении римановых многообразий относятся либо к объектам с положительной, либо к объектам с отрицательной кривизной, например, теорема о сфере, см., например, [Громол и др. 1971] или теорема Ефимова, см. [Ефимов 1966]. Между тем, хотелось бы получить какие-нибудь общие результаты о строении о бъектов со знакопеременной кривизной. Конечно, изучение внутренней геометрии конкретного многообразия знакопеременной кривизны или конкретной поверхности знакопеременной кривизны не вызывает принципиальных затруднений, однако неясно, как выделить общие свойства подобных объектов, которые и могли бы составить предмет
содержательной теории.
Задача, рассмотренная во второй главе, показывает полезность введения вероятностных понятий в геометрию. К задаче выявления общих свойств многообразий знакопеременной кривизны можно также применить вероятностный подход. Идея заключается в рассмотрении не всех многообразий, а "почти всех". Иными словами, предлагается ввести некоторую вероятностную меру на множестве многообразий и формулировать результаты^ справедливые, например, для некоторого подмножества, имеющего меру 1.
В соответствии с описанной идеей, в третьей главе введено понятие геодезической на многообразии со случайной кривизной и доказан ряд теорем, описывающих свойства близких геодезических со случайной кривизной, принимающей как положительные, так и отрицательные значения. Показано, что близкие геодезические на таких многообразиях экспоненциально разбегаются, а поле Якоби вдоль геодезической обращается в ноль в бесконечной последовательности точек. Оба перечисленных свойства справедливы с вероятностью 1. Таким образом, многообразия со случайной кривизной обнаруживают общность свойств как с многообразиями отрицательной, так и с многообразиями положительной кривизны.
На основе построенного математического аппарата в разделе 4.5 строится асимптотически верхняя оценка для среднего расстояния между соседними сопряженными точками.
Не смотря на то, что построенная оценка сформулирована в виде математической теоремы, она имеет очевидное астрофизическое применение. В сопряженных точках геодезическое отклонение обращается в ноль, и образуются гравитационные линзы, которые находятся последнее время под пристальным вниманием специалистов в области астрофизики, см. например [Takadan др. 2000, Munshi and Jain 2001].
Отличительной особенностью гравитационных линз, получаемых в рассмотренной модели, является то, что они связаны не с единичными
массивными телами, а с несколькими, возможно, не очень тяжелыми телами, согласованно искривляющими пространство. На настоящий момент большинство наблюдаемых линз связываются именно с единичными телами большой массы. В тоже время, известно несколько гравитационных линз, которые не удается связать ни с одним из известных в той области пространства массивных тел. Не исключено, что своим существованием эти линзы обязаны как раз когерентному действию нескольких не слишком тяжелых тел.
Благодарности
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Дмитрию Дмитриевичу Соколову за постоянную заботу, внимание и помощь в работе.
Особую признательность автор выражает Валерию Николаевичу Ту-тубалину за полезные обсуждения, конструктивные замечания и постоянный интерес к работе.
Большое спасибо Карл-Хейнцу Рэдлеру (Karl-Heinz Radler) за помощь в интерпретации результатов.
Интегральное представление решения уравнения переноса
Актуальность исследований Перенос пассивных величин в движущийся среде - явление, часто встречающееся в природе. Пассивность переносимых величин означает, что их влияние на характеристики самого потока пренебрежимо мало. В этом смысле, хорошим примером подобного процесса является распространение ветром загрязнения, выбрасываемого в атмосферу через трубы заводов. Перенос температуры также можно рассматривать, как перенос пассивной величины, если влияние конвекции на распределение скоростей в потоке не велико. Обе рассмотренные величины скалярные, векторной величиной, часто встречающейся в движущейся среде, является магнитное поле. Систематическое изучение процессов переноса скалярных величин началось еще в начале 20 века. В 1915 г. специалист в области гидромеханики Дж. И. Тейлор, исследуя процессы переноса в атмосфере, получил ряд результатов, сформировавших основы теории длинны перемешивания [Taylor 1915]. В 1966 г. Штенбек, Краузе и Рэдлер обнаружили альфа-эффект, позволяющий объяснить рост крупномасштабного магнитного поля в турбулентном потоке. Начиная с этой работы появляется значительное число публикаций, посвященных решению различных задач магнитной гидродинамики в терминах средних полей. При этом понятие "среднего поля" остается достаточно размытым. Так, согласно гипотезе Тейлора, в ряде случаев осреднение по пространству может быть заменено осреднением по времени. Теория турбулентности А.Н. Колмогорова описывающая поля скоростей с высокими значениями чисел Рейнольдса оказала сильное влияние на общую теорию переноса. С одной стороны она позволила дать вероятностную трактовку понятия "среднего поля", понимая процедуру "осреднения" как интегрирование по пространству элементарных событий. С другой стороны применение вероятностных методов к задачам переноса позволяет изучить такое важное явление, как перемежаемость, практически, не различимое врамках-теориисреднихполей, см. [Zeldovich et al. 1988]. Основной целью настоящей работы является исследование поведения пассивных величин в случайном потоке с восстановлением. На первом этапе исследования решались следующие задачи: 1.
Получение замкнутых уравнений переноса средних величин в 3-мерном случайном потоке с восстановлением и сравнение результатов с аналогами, полученными при рассмотрении короткокорре-лированного потока и потока с обновлением. 2. Рассмотрение ряда приближений и сведение общих уравнений переноса в потоке с восстановлением к более простым выражениям. 3. Установление роли потери временных корреляций в механизме генерации быстрого динамо. Цель второго этапа исследования заключается в рассмотрении модельного примера, достаточно богатого для демонстрации основных эффектов теории переноса, ив тоже время достаточно простого для полного математического изучения. В качестве модельного примера была выбрана задача о распространении света во вселенной однородной лишь в среднем. На втором этапе решались следующие задачи: 1. Получение астрофизически правдоподобных результатов с помощью аппарата современной теории переноса. 2. Построение математической теории, в рамках которой можно достаточно полно изучить модельную задачу. 3. Установление ряда новых для общей теории переноса эффектов, справедливых для модельной задачи. Научная новизна Впервые рассмотрены процессы переноса пассивных скалярных и векторных величин в случайной среде с восстановлением. Развитая- техника позволила исследовать процессы переноса в межзвездных средах с учетом эффектов восстановления, которые обусловлены взрывами сверхновых. Получены замкнутые уравнения для средней концентрации межзвездной пыли и для среднего значения магнитного поля. Впервые в рамках точно решаемых моделей обнаружена зависимость турбулентных коэффициентов от временных корреляционных свойств случайной среды. Впервые в рамках, точно решаемых моделей переноса в случайных средах продемонстрирован переход между динамо в среде с конечным временем памяти (в данном случае - временем восстановления) и динамо в стационарном потоке.
Показано, что даже достаточно редкие восстановления, связанные со взрывами сверхновых, могут обеспечить работу быстрого динамо на кинематической стадии развития этой неустойчивости. Впервые методы теории переноса в случайных средах применены к решению задачи о распространении света во вселенной, однородной лишь в среднем. Применение современной математической техники позволило получить уже известные результаты в более ясной и компактной форме. Впервые рассмотрена конструкция геодезической, кривизна вдоль которой является случайным процессом. Получен ряд математических результатов, описывающих поведение поля Якоби вдоль геодезических со случайной кривизной, которые справедливы при весьма общих условиях.
Уравнение для среднего геодезического отклонения
Выведем уравнение, которому подчиняется изменение У с ростом расстояния х для случая малых времен обновления 6. Непосредственно осреднить уравнение (2.4) трудно, поскольку в нем присутствует про изведение Ку, сомножители которого зависимы по самому смыслу задачи, так что встает вопрос о расщеплении соответствующих корреляций. Оказывается, что сделать это легче не в уравнении (2.4), а в его решении, к получению которого мы и переходим. Введем вектор-строку z = {у,5у ), для того, чтобы свести уравнение второго порядка к системе линейных уравнений первого порядка. Благодоря тому, что у умножен на S, компоненты вектора z имеют одинаковую размерность. Тогда Явное решение этого уравнения можно записать в виде следующего мультипликативного интеграла, см. [Гантмахер 1967]: Напомним, что в теории поля мультипликативный интеграл известен под названием Т-произведения. Свойства мультипликативного интеграла близки к свойствам обычного (аддитивного) интеграла. В частности, при минимальных требованиях к случайному процессу к (К = К+к) мультипликативный интеграл, стоящий в (2.6), существует. Мультипликативный интеграл можно представить в виде бесконечной суммы кратных аддитивных интегралов: Если предположить, что время обновления мало, то уравнение для величины У можно получить следующим образом. С помощью решения (2.6) выписываем связь между векторами z(x + S) и z(x) с точностью до первого нетривиального члена, который оказывается пропорциональным 83. Для этого в представлении (2.7) достаточно взять первые четыре члена, считая единичную матрицу. Все члены начиная с пятого являются 0(8А) при 6 — 0. В результате получаем: Предположим теперь, что при S — 0 величина k252 стремится к конечному пределу, который мы обозначим /С. Отметим, что К, имеет размерность кривизны и может быть рассмотрена в качестве эффективной кривизны. Теперь предположим, что момент ж совпадает с одним из моментов обновления.
Тогда сомножители, стоящие в правой части соотношения (2.8) статистически независимы и можно провести усреднение этого соотношения, которое дает: Анализируя вывод уравнения (2.10), можно понять, какие условия нужно наложить на S для того, чтобы считать его малой величиной. Очевидно, что должно быть много меньше радиусов кривизн, соответствующих К и 1С/6. В самом деле, если 5 оказывается порядка радиуса кривизны, то геодезическое отклонение также оказывается порядка радиуса кривизны и наши методы, основанные на разложении в ряды, перестают работать. Кроме того, 8 должно быть существенно меньшим, чем расстояние между точкой наблюдения и той точкой, в которой мы интересуемся поведением поля геодезического отклонения. Рассматривая модель, в которой кривизна теряет память в случайных точках (модель с восстановлением), достаточно осреднить уравнение (2.10) по пуассоновскому распределению 5 (о моделях с восстановлением см. [Ламбурт и др. 2000а]). В результате получаем: У" + У {К - /С/3) = 0. (2.11) Другими словами, при переходе от моделей с обновлением к моделям с восстановлением добавка к кривизне меняется вдвое. Точно такой же эффект наблюдался при переходе от потока с обновлением к потоку с восстановлением в главе 1. 2.4 Роль временных корреляций Выводы предыдущего раздела сохраняются и без предположения о том, что временные корреляции являются короткими, т.е. без предположения о малости S. В этом случае мы можем изучить поведение геодезического отклонения только в дискретные моменты времени, так что вместо диф ференциального уравнения для среднего геодезического отклонения получается разностное уравнение. Однако поведение решений этого разностного уравнения вполне аналогично поведению решений дифференциального уравнения для короткокоррелированного случая. Для конечного времени памяти S, используя (2.6), получим следующее выражение для значения вектора z в n-й момент обновления: Значение каждой из матриц Д- зависит только от значения кривизны между і — 1 и і точками обновления, следовательно, матрицы В І независимы в совокупности. Кроме того, в силу статистической однородности пространства, матрицы В{ имеют одинаковое вероятностное распределение. Эти соображения позволяют без труда осреднить уравнение (2.12): Для того, чтобы продвинуться дальше, предположим, как это и имеет место в действительности, что флуктуации кривизны малы. Тогда с точностью до квадратичных по кривизне членов получаем из (2.7): Bi = I+ A(ui)dui + ... + J...JA(ui)...A(u5)dui...du5. (2.15) «1 2 Xi Ul ... U5 X2 Осредняя равенство (2.15), получаем выражение для среднего значения матрицы B\i
Показатель Ляпунова обновляющейся геодезической
Мы будем интересоваться значениями вектора z(x) при стремлении х к бесконечности. Для этого выберем некоторую монотонно возрастающую к бесконечности последовательность. Последовательность может быть случайной, в этом случае требуется монотонное стремление этой последовательности к бесконечности с вероятностью Г. Примером такой случайной последовательности может служить последовательность обновлений. Определение 2. Показателем Ляпунова для обновляющегося геодезического луча, вычисленным по возрастающей к бесконечности последовательности {ап}, называется предел: Предел (3.5) понимается как предел с вероятностью 1 (почти наверное). Поскольку все нормы в пространстве Rn эквивалентны, показатель Ляпунова не зависит от выбора нормы в (3.5). Ниже мы покажем, что при весьма широких условиях показатель Ляпунова существует и, более того, он не случаен и положителен. При доказательстве этих утверждений используется факты из теории Фер-стенберга, краткое изложение которых содержится в приложении 3. Теорема 1. Показатель Ляпунова для обновляющегося геодезического луча, вычисленный по последовательности обновлений, не случаен и положителен. Доказательство. Поскольку геодезический луч обновляется, сомножители, стоящие в произведении (2.12), независимы и одинаково распределены. Покажем, что произведение трех сомножителей имеет плотность рас пределения на группе SL(2). Обозначим кривизны, определяющие каждую из трех матриц, &і,&2,&з. Поскольку случайные величины Кп независимы и имеют плотность распределения вероятностей, произведение трех матриц имеет вероятностную плотность в координатах к\, &2, &з Размерность группы SL(2) (как группы Ли) равна трем. Выберем какую-нибудь систему координат на этой группе: аі,а2, а$. Для того, чтобы показать существование вероятностной плотности на группе, нужно убедится в том, что якобиан преобразования (і,#2, &з) - («і, «2, аз) отличен от нуля. Далее, поскольку выражения (3.2,3.3) анали-тичны, достаточно показать отличие якобиана преобразования от нуля лишь в одной точке, скажем в точке (кі,к2,кз) = (0,0,0). Последнее утверждение проверяется непосредственным подсчетом, который облегчается тем обстоятельством, что вычисления достаточно вести лишь с точностью до членов порядка квадрата кривизны.
Теперь из утверждения 1 следует, что с вероятностью 1 существует положительный и не случайный предел: По усиленному закону больших чисел с вероятностью 1 существует предел: что и требовалось доказать. Пусть ірп - направление вектора z(xn), т.е. (р„ принимает значение на окружности со склеенными точками. В силу утверждения 2 из (3.8) следует формула для показателя Ляпунова: X = S-1E\n\\lpl0B(xnixn+1)\\, (3.9) где (ріс - предел последовательности {(fn}i чья эргодичность следует из второго утверждения Ферстенберга. Теорема 2. Показатель Ляпунова для обновляющегося геодезического луча не зависит от выбора последовательности, по которой он ВЫЧИСЛЯеТСЯ; Доказательство. Пусть {ап} f оо - последовательность, по которой вычисляется показатель Ляпунова. Покажем, что его значение совпадет с показателем Ляпунова, вычисленным по последовательности обновлений. Пусть кп - номер наибольшей точки обновления, не превосходящей ап. Тогда Хкп ап Хкп+ъ Благодаря тому, что {ап} возрастает к бесконечности, последовательность {кп} также возрастает к бесконечности. Далее при доказательстве будем использовать II = II Ноо Имеем: Покажем, что второй предел, стоящий в правой части равенства, равен 1: 1 Далее, используя неравенства для норм, получаем: Каждый из двух получившихся пределов является пределом отношения п/щ где- fn независимые" одинаково распределенные случайные величины. Такой предел равен 0 с вероятностью 1, если существует Е. Первый предел равен 0, т. к. Е\Кп\ со. Второй предел также равен 0, т. к. по неравенству Коши-Буняковского
Верхняя оценка среднего расстояния
Пусть хп - последовательность сопряженных точек. Центральный результат раздела состоит в следующей теореме: Теорема 6. Пусть выполнено условие равномерной ограниченности, Ei/n = 0, Т)(ип/є) равномерно по є отделены от нуля. Пусть далее существует а О такое, что Р{ип(є) 0} а для всех є, тогда: Доказательство. Из лемм 5 и 6 имеем: В силу леммы 4 справедливы оценки ЕГ= 0(1/у/є) и Е(п—т) = 0(1/у/ё), поэтому: Полученная величина дает оценку среднего числа отрезков обновления, лежащих до первой сопряженной точки. Умножив эту величину на расстояние между соседними точками обновления 5, получаем требуемую оценку. Теорема доказана. Теорема 6 дает оценку среднего расстояния до первой сопряженной точки. Оказывается, что точно такое же выражние применимо для оценки расстояния между двумя соседними точками. Теорема 7. Пусть Xi Xj - некоторые сопряженные точки. В условиях теоремы 1 справедлива следующая асимптотическая оценка: Доказательство. Пусть сопряженная точка ж» принадлежит интервалу [n S;(n + 1)S]. Марковская переходная функция у последовательностей (рп та. рп +п одинакова, и определяется выражением (3; 17). Последовательности отличаются друг от друга лишь значениями первых членов: ро = 7г/2, а срп 7г/2. Это означает, что вторая последовательность в . среднем быстрее попадет в зону случайного блуждания, однако среднее время, проводимое этими двумя последовательностями в зоне случайного блуждания совпадает. Между тем, расстояние между соседними сопряженными точками определяется именно временем, которое процесс ipn тратит на преодоление зоны случайного блуждания. Поэтому среднее растояние между двумя сосденими сопряженными точками асимптотически равно среднему растоянию до первой сопряженной точки. Умножив оценку (3.29) на j — і, получаем искомую оценку. Благодаря введению понятия обновляющейся геодезической, удалось построить теорию, в рамках которой возможно изучение модельной задачи о распространении света во вселенной, однородной лишь в среднем, с математической полнотой и точностью. Теоремы, доказанные в настоящей главе, уточняют результаты, полученные в главе 2 с помощью методов общей теории переноса.
Так из теоремы 3 следует, что модуль геодезического отклонения растет не только в среднем, но и выборочно с вероятностью 1. Иными словами, эффект сказывается практически в любом направлении небесной сферы, и для того, чтобы его обнаружить, не требуется проводить множество наблюдений по различным направлениям с последующим осреднением результатов. Помимо воспроизведения и уточнения уже известных результатов, построенная теория позволяет обнаружить новые для общей теории переноса эффекты. Так из теоремы 5 следует, что модуль геодезического отклонения не только экспоненциально нарастает, но и время от времени обращается в ноль. Причем этот эффект также справедлив выборочно, т.е. гравитационные линзы могут существовать вдоль любого направления небесной сферы. Доказательство теоремы 6 предоставляет один из возможных путей построения оценок расстояния до гравитационных линз, вызванных когерентным действием малых возмущений кривизны. Построенная оценка может оказаться полезной при попытках обнаружения подобных линз. Полученное в предыдущей главе уравнение (2.10) линейно. Из этого уравнения следует экспоненциальный рост либо экспоненциальное убывание среднего значения геодезического отклонения. При этом среднее значение нигде, за исключением точки х = 0, не обращается в ноль. Таким образом, явление, связанное с образованием сопряженных точек, принципиально не изучаемо в рамках теории средних полей. Это обстоятельство лишний раз подтверждает необходимость исследования поведения типичных реализаций. Проводя аналогию с генерацией магнитного поля в случайном потоке, можно предположить, что компоненты магнитного поля не только экспоненциально нарастают, но и периодически обращаются в ноль. Это предположение является новым для общей теории переноса и, конечно, нуждается в доказательстве. При обсуждении результатов настоящей главы следует коснуться геометрических аспектов полученных результатов. Из доказанных теорем следует, что поведение поля Якоби на многообразии со случайной кривизной имеет общие черты как с многообразиями отрицательной, так и с многообразиями положительной кривизны. На первых близкие геодезические экспоненциально удаляются друг от друга, а на вторых имеют тенденцию образовывать сопряженные точки.
