Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Основные модели влаго- массо- и тепло- переноса в пористых средах
1.1 Классическая модель фильтрации жидкости 13
1.2 Модель насыщенно - ненасыщенной фильтрации жидкости 17
1.3 Некоторые особенности фильтрации при загрязнении почвы нефтью 22
1.4 Модель диффузии и конвективного массопереноса в почвогрунтах 27
1.5 Задачи нестационарной фильтрации жидкости и массопереноса 32
1.6 Задача о растекании бугра грунтовых вод в классической постановке 32
1.7 Задача о распространении индикатора в пористой среде 34
Глава 2 Выбор и обоснование численных методов решения нестационарных, нелинейных задач влаго- массо- и тепло-переноса в грунтах 37
2.1 Вывод расчетной схемы и редукция системы линейных алгебраических уравнений для задач фильтрации 41
2.2 Вывод расчетной схемы и редукция системы линейных алгебраических уравнений для задач массопереноса . 63
2.3 Учет граничных условий задачи теплопроводности 69
2.4 Счетная устойчивость, скорость сходимости метода конечных элементов 72
Глава 3 Исследование точностных характеристик вычислительного метода в зависимости от выбора типа конечного элемента
3.1 Исследование зависимости точности метода от выбора базисных функций 82
3.2 Исследование зависимости точности метода от шага дискретизации пространства 83
3.3 Исследование зависимости точности метода от шага дискретизации по времени 85
3.4 Исследование влияния гармонических составляющих точного решения на точность решения 86
3.5 Исследование влияния случайной ошибки данных на точность решения 92
Глава 4 Изучение влияния физических параметров среды на процессы влаго- и массо- переноса 96
4.1 Изучение влияния физических параметров среды на характер распространения жидкости 96
4.2 Изучение влияния физических параметров среды на характер распространения примеси в фильтрационном потоке 105
Глава 5 Решение некоторых экологических задач с использованием разработанных расчетных схем 110
5.1 Решение задачи проникновения жидкости в прямоугольную перемычку 112
5.2 Решение задачи распространения загрязнения при попадании жидкости с загрязняющим веществом в естественные неровности грунта 114
5.3 Задача загрязнения мало- и средневязкой нагретой нефтью почвы 120
5.4 Решение задачи распространения загрязнения в грунтах при закачивании жидкости с загрязняющим веществом в скважины 124
5.5 Решение задачи распространения загрязнения при вымыве загрязняющего вещества фазы потоком жидкости в почву
Заключение 134
Литература 137
- Некоторые особенности фильтрации при загрязнении почвы нефтью
- Вывод расчетной схемы и редукция системы линейных алгебраических уравнений для задач массопереноса
- Исследование влияния гармонических составляющих точного решения на точность решения
- Решение задачи распространения загрязнения при попадании жидкости с загрязняющим веществом в естественные неровности грунта
Введение к работе
В связи с ростом промышленного производства и увеличением вероятности техногенных катастроф, а также возникновением разнообразных свалок с биологически активными веществами особенно большое значение приобретает прогнозирование распространения загрязнения в почве и грунтовых водах. В нашей стране, как и во всем мире, с этой проблемой столкнулись относительно недавно и поэтому в настоящее время данное направление исследовано недостаточно хорошо.
Процесс фильтрации жидкости в почве длительное время изучается как отечественными учеными [79,57,33,43], так и их зарубежными коллегами [96,103,104]. Так как в настоящее время особенно важную роль играет нефтедобывающий комплекс, то интенсивно изучается процесс фильтрации нефтесо-держащей смеси и газа к скважинам. Процесс фильтрации в напорных нефтяных пластах активно изучали Пыхачев Г. Б., Ромм Е. С. и другие исследователи [63,58,6,39]. Большое внимание в этих работах уделяется вопросам взаимодействия скважин в напорном пласте [77,75] и влияния особых свойств присква-женной зоны на дебит скважины [18,76,74]. В работах Ганжа В. Л. и Коновалова А. Н. Изучается проблема фильтрации многофазной жидкости, что имеет место при фильтрации водо-нефтяной смеси при вытеснении нефти водой [11,28].
С другой стороны с появлением гидроэлектростанций остро встал вопрос расчета фильтрационного потока под гидросооружениями. Указанные задачи решались многими учеными [79,80,57,90] для различных конфигураций и видов таких сооружений. Особенно большой вклад в развитие этого направления был произведен Полубариновой-Кочиной [57,33].
В последнее время достаточно много работ посвящено взаимосвязи поверхностных потоков и подземных вод [82,83,84,86]. Исследования в этой области связаны как с определением стационарного потока жидкости при инфильтрации жидкости из устья рек в почву, так и с определением изменения дебита рек на уровень грунтовых вод.
А с ростом площади мелиорируемых земель все более остро стоит вопрос прогнозирования водно-солевого режима сельскохозяйственных территорий. Часто требуется определить наиболее эффективный объем полива земель для исключения засоления, а также для получения наибольшей экономической прибыли от использования земель. Подобные задачи решались различными авторами в своих исследованиях [19,73,78,2].
Продолжением исследований в этой области стало прогнозирование развития различных экологических процессов [22,14,44]. Задачи такого класса отличаются высоким уровнем сложности, вследствие чего особенно большое значение имеет их решение на современных ЭВМ. Однако моделирование массо-переноса нестационарным потоком жидкости вещества применительно не к задачам засоления почвы, а к задачам, связанным с выбросом вещества в окружающую среду, разработано слабо.
Нестационарные задачи распространения жидкости и вещества рассматривались крайне редко. Во многом это определялось трудностью аналитического решения данного класса задач. Но применительно к проблемам экологии в основном представляет интерес моделирование распространения загрязнения при единовременном, аварийном выбросе. Причем для целей ограничения влияния данного выброса на экологическую обстановку в регионе представляет интерес не только окончательное распределение биологически активного вещества, но и динамику его распространения и пути локализации выброса.
Следует особенно отметить специфику распространения загрязнений нефтью. Обычно загрязнение почвы происходит вследствие аварий при транспортировке трубопроводами нефти. При этом нагретая нефть попадает в почву. Однако, процесс фильтрации может сильно зависеть от ее температуры. Для решения данных задач приходится моделировать не только процесс фильтрации жидкости, но и учитывать распространения тепла в грунте, т.е. решать задачу теплопереноса.
Целью данной работы являлась разработка математических моделей и программного комплекса, позволяющего производить расчет нестационарных
6 полей концентрации веществ в пористых средах. Рассмотрены достоинства и недостатки различных численных методов, используемых для решения указанного круга задач и выявить наиболее предпочтительные в использовании, провести исследования влияния различных вариантов используемого метода на соответствующую ошибку в решении и выработать рекомендации по применению численных методов для решения задач распространения загрязнения в почве.
Ставились задачи по изучению влияния различных физических параметров на процесс распространения жидкости и переносимого ею загрязняющего вещества в грунте. Еще одним направлением, рассмотренным в данной работе является моделирование таких процессов, протекающих при загрязнении, как распространение жидкости в почве и перенос потоком жидкости растворенного в ней вещества. Особо следует отметить проводимое в работе моделирование загрязнения почвы нефтью. Вследствие того, что часто характер течения нефти зависит от ее температуры, произведен расчет теплопереноса в грунте, наблюдающийся при моделировании фильтрации нагретой нефти.
Таким образом, объектом исследования является динамика процесса загрязнения почвы в результате техногенных аварий, а предметом исследования -поле давления жидкости в грунте, необходимые для расчета характера течения жидкости, поле концентраций распространяющегося вещества, а также поле температуры грунта.
При выполнении работы использовались физические модели, разработанные различными авторами на основе проведеных натурных экспериментов с распространением жидкости, раствора вещества в жидкости и нефти.
Диссертационная работа состоит из вступления, пяти глав, заключения, списка используемой литературы.
В диссертации в первой главе описываются основные физические модели, применяемые при моделировании фильтрационного потока жидкости, массопе-реноса потоком жидкости вещества, и также особенности фильтрации нефти.
Для моделирования потока жидкости использована насыщенно-ненасыщенная модель фильтрации. При этом поток жидкости описывается уравнениями: дв{у/) _ д dt дх ду/ дх д(у/ + z) где к(у/), в - коэффициенты фильтрации и влажность грунта. В соответствии с законом Дарси: =-*м ду/ дх где v - скорость фильтрации, у/ - давление всасывания: W ", (м. вод. ст.) где р - давление жидкости, р - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения.
В качестве зависимостей коэффициентов фильтрации и влажности в работе - при у < 0 к(у/) = ks при у/ > О при у/ < 0 и 9 = 6S при у/ > 0 , приняты: к(у/) = в(у/): \ + а\-у/)
1 + Р(-)" где 9S - влажность насыщенного грунта, 9Г - влажность, соответствующая связанной воде, 90 - остаточная влажность грунта, ks - коэффициент фильтрации при полной влагонасыщенности грунта, а,ах,р,(Зх,п - параметры, зависящие от типа грунта.
Эта модель имеет ряд преимуществ по сравнению с классической постановкой задачи. В частности, она позволяет моделировать поток жидкости, учитывая не только зону полного насыщения, но и область неполного насыщения грунта жидкостью. Однако в этой модели присутствует нелинейность коэффициентов в зоне неполного насыщения, что затрудняет аналитическое решение задач в такой постановке.
Процесс фильтрации нефтей имеет отличительные особенности. В частности, в силу того, что в нефтях содержатся парафинистые вещества и смолы коэффициент фильтрации оказывается зависим от температуры. При этом в работе принята следующая зависимость коэффициента фильтрации от температуры, основанная на результатах исследований М. Г. Алишаева и др., приведенных в монографии «Неизотермическая фильтрация при разработке нефтяных месторождений»: к0,т<т0 (т -т) і—-{ + к0,т0<т<т1,
К so +к0,тх<т где Т0 - температура «застывания» нефти, а Г, температура после которой нефть ведет себя как обычная жидкость.
Учитывая влияние температуры на процесс фильтрации, необходимо произвести расчет распространения тепла в грунте. Этот процесс в двумерном случае описывается уравнением: ґдгт д2Т\ (1.34) дТ дТ дТ „ с- р \-сж рж -vy \-сж рж v7 — = Я удх2 dz1 j ot ox dz где Я - теплопроводность грунта, заполненого нефтью, сж,рж - плотность и удельная теплоемкость жидкости, с,р - плотность и удельная теплоемкость грунта с нефтью, vx,vz - горизонтальная и вертикальная составляющая скорости фильтрации потока.
Процесс массопереноса описывается дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка параболического типа: dt дх дС дх v дС дС дС дх у ду dz ' где D(V) - коэффициент гидродинамической дисперсии.
В качестве зависимости коэффициента гидродинамической дисперсии от скорости фильтрационного потока в работе взята: D(V) = DM+DK\V\\ где DM - коэффициент молекулярной диффузии; DK - коэффициент конвективной дисперсии, V - скорость фильтрационного потока, а - параметр, зависящий от среды.
В первой главе приводятся решения другими авторами задач, близких к рассматриваемой тематике, которые используются в дальнейшем при анализе результатов исследования. Также проводится анализ достоинств и недостатков различных моделей фильтрационного потока применительно к задачам охраны окружающей среды.
Во второй главе обсуждаются достоинства и недостатки различных численных методов, применяемых при решении задач фильтрации, теплопереноса и мас-сопереноса, делается вывод о применении некоторых из них. Далее детально рассматривается метод конечных элементов применительно к процессу фильтрации жидкости, массопереносу вещества и теплопереносу. Вывод расчетной схемы для уравнений параболического типа, рассматриваемых в работе, производился при помощи метода Галеркина и схемы Кранка-Николсона. При редукции к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) использован метод конечных элементов. В работе используются треугольные конечные элементы, что упрощает процесс дискретизации области и аппроксимации границы. Получена следующая СЛАУ: {At 2 J l } {At 2 J ( } l } ' где {a(t + At)} - искомая физическая величина в момент времени t + At, {«(/) -извесное после решения задачи на предыдущем шаге итерационного процесса значение физической величены в момент времени ґ , [с], [аг] - матрицы, определяемые выбором конечных элементов и геометрией дискретизации области.
Матрицы, составленные для отдельно взятого конечного элемента, впоследствии объединяются в глобальную систему уравений. В работе используются треугольные конечные элементы трех типов:
1. Симплекс треугольный элемент, определяемый аппроксимирующей функцией: у/ - а{ + а2 х + аъ z и позволяющий найти значение искомой физической величины в вершинах треугольника;
2. Шестиузловой треугольный элемент, определяемый аппроксимирую щей функцией: y/r =ar\ +ari -х + агз z + ar4 -х2 +ars x-z + ar6 z2 и позволяющий найти значение искомой физической величины в вершинах и срединах сторон треугольника;
3. Трехузловой треугольный конечный элемент, определяемый аппрок симирующей функцией: у/г = ах + а2 х + аъ у + а4 х2 + а5 х у + а6 у2 + а1 хг + + а%-х2 -у + ад-х-у2 +aw уг и позволяющий найти значение искомой физической величины в вершинах треугольника и центре масс, а также частные производные в вершинах треугольника.
В этой главе произведено построение расчетной схемы с учетом граничных условий, используемых в работе, вида: ср = (рх\ -J- = q, дп K^ + h(
11 В третьей главе производится анализ влияния применения различных конечных элементов на ошибку в получаемом решении.
Для проведения этого анализа задавался вид точного решения, динамика его изменения. На каждом шаге по времени решалась обратная задача конечно-разностными методами, а затем по полученным данным востанавливалось решение прямой задачи разработанным алгоритмом. При этом изучаелось значение ошибки при различных параметрах почвы и вида точного решения. В главе сделаны выводы о достоинствах и недостатках различных расчетных схем и даны практические советы по их применению.
В четвертой главе производится анализ влияния основных физических параметров почвы на процесс распространения жидкости и вещества используя рассмотренные в первой главе задачи. На примере задачи растекания бугра жидкости рассмотрено влияние основных физических параметров на получаемое численное значение. Выработаны рекомендации по выбору значений параметров грунта при отсутствии данных натурных экспериментов. Влияние параметров среды на процесс массопереноса изучался на примере задачи распространения индикатора в пористой среде. По результатам эксперимента сделаны рекомендации о неободимости учета различных физических параметров среды на процесс массопереноса.
В пятой главе решаются основные задачи распространения загрязнения в почве. В частности, моделируется распространение растворенного в жидкости вещества при попадании раствора в углубления почвы произвольной геометрической формы. На примере данной задачи исследуется влияние ошибки в решении задачи распространиения жидкости на ошибку получаемую в решаемой совместно с ней задачи массопереноса. В качестве разновидности дданной задачи производится расчет фильтрационного потока нагретой нефти имеющей зависимость вязкости от температуры. При решении этой задачи совместно решалась задача термопереноса. При этом учитывался конвективный и диффузионный перенос тепла В пятой главе также решена задача вымыва вещества потоком жидкости. Данная задача решалась с учетом конвективно-диффузионного и только конвективного переноса вещества жидкостью При этом учитывался переход вещества из твердой фазы в раствор. Также в данной главе решается задача распространения раствора жидкости из скважины, что часто встречается при утилизации отходов производства. Более сложной является задача распространения загрязнения из закачивающей в добывающую воду скважину, находящуюся в уровне грунтовах вод. Данная задача имеет большое прикладное значение, т.к. в аграрных районах часто можно видеть утилизацию жидких бытовых отходов в скважины при непосредственной близости колодцев и добывающих воду скважин. В ходе решения данной задачи промоделирован процесс смыкания поверхности закачиваемой жидкости и уровня грунтовых вод, а также достижение веществом добывающей скважины.
Некоторые особенности фильтрации при загрязнении почвы нефтью
При подходе безнапорного потока к контуру стока свободная поверхность выходит на откос в точке высачивания где жидкость из грунта поступает не в водный бассейн, а в атмосферу, и создается промежуток высачивания, на котором в силу нулевого давления выполняется условие:
Анализы основных результатов, связанных с моделированием движения влаги в зоне неполного насыщения, приведены в следующих работах [92,61,55,53,52].
Как мы видим, постановка задачи фильтрации в виде модели насыщенно - ненасыщенного потока жидкости и в классической постановке очень близки друг к другу, однако классическая модель фильтрации менее точно описывает сущность процессов, протекающих в почве. И вследствие предположения об отсутствии ЗНН в почве, классическая теория фильтрации жидкости дает несколько заниженные результаты при определении расположения свободной поверхности при фильтрации жидкости в грунте.
Принято подразделять процессы фильтрации на «равновесные» и «неравновесные». К первым условно относят процессы, при которых отсутствуют межфазные переходы вещества (компонентов) и химические превращения. Неравновесная фильтрация, сопровождающаяся фазовыми переходами и химическими реакциям, представляет более сложную картину. В данной работе рассматривается только случай равновесной фильтрации однофазного потока. Нефти различных месторождений можно условно подразделить на три группы [3]: - нефти мало- и средневязкие с небольшим содержанием парафинистых и акцизно-смолистых веществ (3-Ю % смолисто-парафинистых компонентов); - нефти со значительным содержанием парафинистых и акцизно-смолистых компонентов (от 15-20 до 50 % и более); - вязкие нефти, содержащие от небольшого (8-15 %) до значительного количества парафина, смол и асфальтенов. Нефти первой группы обычно подчиняются ньютоновским законам движения в пористой среде, нефти второй и третьей групп не подчиняются отмеченным законам и считаются аномальными жидкостями, обладающими структурно-механическими свойствами. Индикаторные линии, отражающие зависимость скорости течения нефти от градиента давления, учитывающие геологические свойства при фильтрации аномальных нефтей, могут быть двух типов. К первому типу относятся кривые, которые в координатах v - Ар отсекают на оси Ар отрезок Ар0 . В этом случае при фильтрации нефть обладает начальным градиентом давления сдвига G0. Движение нефти начинается при перепадах давления, обеспечивающих градиенты, превышающие G0. Ко второму типу относятся кривые, проходящие через нуль, но в областях малых перепадов градиентов давления значительно искривляющиеся. Такие кривые свойственны жидкостям со структурой коагуляционного типа. Участок искривления индикаторной кривой в этом случае характеризует движение нефти с неразрушенной структурой. С увеличение градиента давления и скорости фильтрации структура разрушается, при полном ее разрушении нефть начинает двигаться как ньютоновская. Аномалии вязкости обусловливают особенности течения структурированной нефти. Структурные свойства нефти зависят от состава, насыщенности ее газом, температуры и других параметров. В данной работе рассмотрим движение жидкости при выбросах ее в окружающую среду. Будем считать, что у нас произошел выброс нефти с индикаторной кривой второго типа. Запишем закон Дарси несколько в ином виде: и где кп - проницаемость пористой среды, ju - динамическая вязкость, р -давление. Для учета зависимости свойств нефти от температуры в качестве динамической вязкости примем JU = JU(T) В [3] в качестве такой зависимости температура после которой жидкость ведет себя как ньютоновская, ju0 -динамическая вязкость в зоне движения нефти как ньютоновской жидкости. Рассмотрим взаимосвязь принятого в задачах движения нефти коэффициента проницаемости и коэффициента фильтрации. Принимая во внимание (1.12, 1.13) в случае зависимости коэффициента фильтрации от температуры: где р - плотность нефти, g - ускорение свободного падения. Следовательно, предположив, что динамической вязкости ju0 соответствует коэффициент фильтрации kso, получим изменение коэффициента фильтрации в зоне течения нефти как неньютоновской жидкости: Следует отметить, что полное застывание нефти без фазового перехода встречается достаточно редко. Обычно начиная с некоторой температуры коэффициент фильтрации в дальнейшем изменяется мало. Поэтому формулу (1.29) можно представить в виде:
Вывод расчетной схемы и редукция системы линейных алгебраических уравнений для задач массопереноса
Значительно шире возможности у метода, основанного на приведении фильтрационной задачи к смешанной задаче теории функций комплексного переменного [57,59]. С его помощью легко находится решение задачи (не поддающейся исследованию методом конформных отображений) о дренировании орошаемых земель с непроницаемым основанием при равномерной инфильтрации на поверхности земли. Предполагается, что грунт дренируется неограниченной системой горизонтальных, параллельных друг другу, одинаково заглубленных дрен, и вся область фильтрации делится на одинаковые зоны влияния каждой дрены, симметричной относительно вертикали, проходящей через ось дрены. Фильтрация рассматривается в половине такой области - прямоугольнике.
Однако, несмотря на большие исследования в области применения метода конформных отображений к задачам фильтрации, круг задач, решаемых при помощи данных методов достаточно узок.
В связи с этим появилось достаточно много работ, посвященных численному решению задач фильтрации.
В [100] для расчета установившейся фильтрации через неоднородные земляные плотины на проницаемом основании применен метод граничных элементов. Указан итерационный алгоритм определения положения свободной поверхности. Проведено сравнение полученных результатов с расчетами по методу конечных элементов. Но этот метод имеет существенный недостаток. Мы не можем определить значения скоростей фильтрации внутри области насыщения, что не позволяет нам решать задачу массопереноса данным потоком вещества.
В работе [97] метод коллокаций с переменными направлениями применяется для моделирования двумерного потока в пористой среде с неполным насыщением. В алгоритме используется итерационная схема типа Ньютона. Решена задача о притоке к галерее в прямоугольной области. В работе [62] при моделировании нестационарного потока жидкости в зоне неполного насыщения используется аппроксимация решения со вторым порядком точности при неравномерном шаге времени по схеме Кранка-Николсона и на равномерной по оси координат сетке однородной разностной схемой. Также с применением неявной консервативной конечно-разностной схемы и метода прогонки с итерационным процессом, в [61] решена задача расчета уровня грунтовых вод в промежутке между двумя дренами при высачивании жидкости в дрены. Конечноразностные методы обладают рядом существенных недостатков. При моделировании фильтрационного потока в неоднородном грунте возникает сложность уменьшения шага сетки в отдельный участках области эксперимента, также сложно аппроксимировать границу области фильтрации, если эта граница имеет угол наклона по отношению к линиям сетки дискретизации. В [107] метод конечных элементов используется для расчета двумерного насыщенно-ненасыщенного потока в окрестностях водоема, уровень жидкости в котором изменяется благодаря фильтрационным утечкам. Метод конечных элементов для расчета влагопереноса применяется также в работе [91,99] . Авторы [105] для решения плоской задачи фильтрации через однородную плотину используют процедуру адаптивного измельчения конечноэлементной сетки. Задачи массопереноса также решались отечественными и зарубежными исследователями. В частности, в [56] для решения задач массопереноса вещества в водном потоке применялся метод пробных частиц. Однако в данной работе принимается модель поршневого проникновения вещества и рассчитывается только расположение фронта загрязнения, что не позволяет моделировать процесс вымыва и сорбции вещества в грунте. Также для решения задач применяются проекционно-разностные схемы. Так, в [42] приведена расчетная схема, учитывающая изменение физических свойств жидкости вследствие изменения концентрации переносимой примеси. Решение строится на шестигранных сетках. Для решения задач массопереноса в [94] используется двушаговый алгоритм нахождения решения. При этом используются методы конечных элементов и конечных разностей на различных шагах нахождения решения. В рассматриваемой статье принимается известным поле векторов скорости фильтрации. При помощи описанного алгоритма появляется возможность находить и эти неизвестные величины перед расчетом задач распространения загрязнения. Но в указанных работах принимается, что вещество попадает в стационарный поток, но нас интересует нестационарный поток жидкости, который образуется вместе с выбросом экологически активного вещества. В [54] приведена расчетная модель, основанная на конечно-разностной схеме, для совместного расчета насыщенно-ненасыщенного потока воды в грунте и перенос ею солей. Однако в данной работе не учитывается диффузионный перенос вещества, а это неприемлемо для экологических задач. При распространении загрязняющего вещества важно учитывать даже небольшое количество его в жидкости, а в результате диффузионного переноса происходит размыв фронта вещества и, таким образом, скорость отдельных частиц становится несколько выше средней скорости для потока. В данной работе рассматривается решение задач фильтрации и массопереноса методом конечных элементов [47,65,20,21] (МКЭ). На этот метод выбор пал вследствие ряда его преимуществ перед другими методами. К его достоинствам его можно отнести гибкость и разнообразие сеток[88,96,97], сравнительную простоту приемов построения схем высоких порядков точности для эллиптических краевых задач в произвольных областях[87,51], простоту приемов удовлетворения естественным граничным условиям, поэлементную консервативность, сближающую свойства вычислительных схем и решаемых задач.
МКЭ является вариационно-сеточным методом, заключающимся в удовлетворении интегральному тождеству для обобщенного решения задачи на множестве кусочно-полиномиальных или более общего типа распространений сеточных функций. Класс вариационно-сеточных схем, вообще говоря, достаточно широк. Для МКЭ как подкласса характерно следующее: на отдельной ячейке сетки распространение строится на области, образованной объединением ячеек сетки, обеспечивается только за счет наличия у смежных ячеек общих узлов и равенства компонент задаваемых в общих для соседних ячеек узлах компонент сеточных функций. Это позволяет считать, что на ячейки сетки определены не зависящие друг от друга объекты, именуемые конечными элементами. Качество схемы МКЭ почти полностью зависит от свойств составляющих ее конечных элементов.
Как оказалось, поэлементный способ построения распространений весьма гибок и обладает большими возможностями[15].
В работе применяются треугольные элементы различных порядков точности, так как такие элементы хорошо описывают граничные условия. Более того, при помощи треугольных элементов можно уменьшить дискретизацию в тех интересующих областях, где происходит сильное изменение параметров среды или исследуемой функции.
Исследование влияния гармонических составляющих точного решения на точность решения
Из приведенных графиков видно, что для расчетной схемы с трехточечными конечными элементами ошибки расчетов при данных параметрах эксперимента значительно растет. Рост значения ошибки для двух других расчетных схем выражен не так сильно. Рассмотрим поведение ошибки при присутствии четвертой гармоники в точном решении (рис. 3.11, 3.12). В этом случае и для вычислительной схемы с симплекс и шеститочечным конечными элементамизначение ошибки вычислений достигает 20 - 40 %, что явно указывает на недостаточно малую величину шага дискретизации. требовательностью данной схемы к гладкости искомой функции. Действительно, наиболее быстро ошибка растет в точках наибольшего изменения аппроксимируемой функции, причем значение ошибки в данной точке может быть на несколько порядков больше, чем в большинстве других точек дискретизации пространства;
Так как, аппроксимирующие функции в симплекс и шеститочечном конечном элементах являются функциями Лагранжа, поведение схем аппроксимации на их основе достаточно близко друг к другу; 3. Вычислительная схема с шеститочечными конечными элементами дает наименьшую ошибку, но при этом требуют наибольших затрат машинного времени. Рассмотрим вопрос ошибки вычислений и сходимости метода при наличии случайной ошибки в значениях воздействующих на систему факторов на каждом шаге аппроксимации. В случае, если метод является сходящимся, то малая ошибка входных данных должна вызывать малую ошибку результата эксперимента. Итак, после определения воздействующих на систему факторов методом конечных разностей в узлах дискретизации внесем в их значение некоторую случайную ошибку. После этого найдем решение задачи и сравним данное решение с решением, полученным без наличия ошибки во входных данных. Так как мы вносим случайную ошибку, то получаемое распределение возмущения фактически будет являться белым шумом с равномерным распределением. Следовательно, предположив, что вносимая ошибка не превышает А%, можем сказать, что ошибка определения дебитов лежит в пределах от -А до +А. После несложных вычислений получаем, что математическое ожидание ошибки определения дебитов равно 0, а дисперсия Определим ошибку, вносимую возмущением в виде: где у/ - значение искомой функции давления всасывания при отсутствии ошибки во входных данных эксперимента, а у/ - давление всасывания в той же Для того, чтобы определить зависимость данной ошибки от размера ошибки входных данных стандартными способами, найдем математическое ожидание и дисперсию ошибки выходных данных,. Исследование будем производить при разбиении области решения на 32 отрезка по осям ОХ и OZ, а область Т разбьем на 100 отрезков дискретизации. На каждом шаге времени будем производить внесение случайной ошибки и рассматривать изменение при этом получаемого решения. 94 1. Вычислительная схема с симплекс конечными элементами дает наименее точные результаты. 2. Вычислительная схема с трехточечными конечными элементами наименее подвержена влиюнию случайной ошибки в значениях воздействующих факторов. 3. В случае, когда градиент изменения аппроксимируемой функции принимает достаточно большие значения схема (2.57) дает большую ошибку, чем две другие функции. 4. При решении задач, близких к поршневому вытеснению жидкости, где в большей части пространства происходит насыщенная фильтрация жидкости, схема с конечными элементами вида (2.14) дают большую ошибку, чем с конечными элементами вида (2.57). Основываясь на произведенных в данной главе исследованиях можно сделать ряд рекомендаций по применению различных вычислительных схем при решении задач влагопереноса: 1. вычислительная схема построенная на основе трехточечных конечных элементах дает высокую точность в области насыщенной фильтрации, где коэффициенты дифференциального уравнения описывающего процесс фильтрации постоянны; 2. вычислительная схема с шеститочечными конечными элементами дает лучшие результаты среди рассмотренных схем в зонах полного и неполного насыщения, однако, требует при этом наибольшего количества машинного времени; 3. вычислительная схема, основанная на симплекс треугольном конечном элементе дает достаточно малую ошибку решения, однако, она оказалась наиболее чувствительной к случаюной ошибке в начальных данных. 4. вычислительная схема, основанная на трехточечных конечных элементах требует быстрого уменьшения размеров конечных элементов при уменьшении гладкости решения задачи фильтрации. Таким образом, при малых критериях к точности решения предпочтительней использование расчетной схемы с симплекс конечными элементами. Данная схема требует малого количества машинного времени и дает приемлимую ошибку решения дифференциального уравнения. При требованиях увеличения точности решения следует использовати вычислительную схему, основанную на шеститочечных конечных элементах.
Решение задачи распространения загрязнения при попадании жидкости с загрязняющим веществом в естественные неровности грунта
В заключении перечислим основные результаты данной диссертационной работы. В работе разработанны математические модели процессов загрязнения грунтов биологическиактивными вешествами, попадающими в виде растворов в жидкости. Задачу распространения загрязнения разделили на две подзадачи. Сначала на каждом шаге дискретизации временной области решается задача влагопереноса, а затем, оновываясь на полученных значениях скорости фильтрации жидкости решается задача массопереноса. При моделировании загрязнения почвы нефтью задача также разбивается на две подзадачи. Вследствие того, что скорость фильтрации нефти зависит от температуры, вначале решалась задача термопереноса, а затем задача фильтрации.
В работе описаны основные модели влаго- массо- и теплопереноса, которые используются при моделировании процессов загрязнения почвы и грунтовых вод. Произведен учет в используемых моделях особенностей, характерных для задач эколологии. Приведенные модели позволяют описывать большой круг экологических задач.
Во второй главе произведен вывод расчетной схемы для решения рассматриваемого круга задач на основе метода Галеркина и метода Кранка-Николсона и редукция системы линейных алгебраических уравнений, основываясь на методе конечных элементов. В данной работе при редукции СЛАУ использовались треугольные конечные элементы трех типов. В ходе вывода вычислительной схемы произведен учет всех основных граничных условий, встречающихся в задачах влаго- массо- и термо- переноса.
Основными результатами полученными лично автором можно считать следующие: Во-первых, изучено влияние основных параметров, определяющих зависимость коэффициента фильтрации и влажности грунта от давления жидкости на полученное в процессе моделирования решение. Ранее подобные исследования не проводились, однако, учитывая сложность проведения натурных экспериментов, эти результаты позволяют заострить внимание инженеров на наиболее важных параметрах, характеризующих исследуемые грунты.
Во-вторых, произведен анализ влияния вида конечного элемента на ошибку в решении в зависимости от характера фильтрации. В работе проведен анализ влияния точного решения на ошибку в получаемом методом конечных элементов решении для задач фильтрации. Данный анализ имеет важное теоретическое и прикладное значение при проектировании программных комплексов, предназначенных для моделирования фильтрационного потока жидкости в грунте и задач массопереноса. Это имеет особенно большое значение, учитывая достаточно большое количество разработанных конечных элементов и соответственно различные затраты машинного времени при их применении.
В-третьих, рассмотрена задача распространения раствора вешества в жидкости из образовавшегося резервуара. На примере данной задачи исследован вопрос влияния ошибки, получаемой в решении задачи фильтрации, на решение задачи массопереноса. Полученные результаты позволяют спланировать математический эксперимент с получением гарантированного размера ошибки вычислений. В данном эксперименте можно проследить, как наличие в грунте прослойки с меньшим коэффициентом фильтрации оказывает влияние на поток жидкости и массоперенос.
В-четвертых, в работе решена задача вымыва твердой фазы вещества фильтрационным потоком. Из результатов данного эксперимента видно, что для задач экологии недопустимо пренебрегать диффузионным переносом вещества, так как происходит размыв границы вещества, а биологически активные вещества могут представлять опасность даже в относительно небо-лших концентрациях.
В-пятых, решена задача распространения тепла в грунте и нефти, коэффициент фильтрации которой имеет достаточно сильную зависимость от температуры. Из результаты эксперимента подтверждают, что при такой постановке задачи нефть будет распространяться преимущественно в направлении наибольшего прогрева грунта. Первоначально перенос температуры производится потоком нефти. По мере остывания распространение нефти замедляется и в большой степени зависит от теплопроводности грунта.
Наконец, решена задача распространения расвора загрязняющего вещества из нагнетающей скважины, смыкания нагнетаемой жидкости с грунтовыми водами и переноса загрязнения к добывающей скважине. Данная задача имеет большое практическое значение при расчете добывающих скважин в условиях сельскохозяйственных регионов при наличии скважин, сбрасывающих отходы животноводства в глубинные слои грунта.
В качестве дальнешего развития данного направления моделирования загрязнения грунтов можно разработать трехмерную вычислительную модель распространения биологически активных веществ с учетом испарения воды с уровня грунтовых вод и транспирацию жидкости растениями. Перспективным также видится учет влияния на распространение загрязняющего вещества рек, протекающих в исследуемой местности. В частности, представляет интерес влияние русла реки не течение грунтовых вод, перемещение вещества при попадании в русло рек, а также осаждение и распространение вещества в донных отложениях рек. Для моделирования распространения биологически активных веществ попавших на поверхность почвы представляет интерес моделирование проникновения их в глубинные слои почвы при выпадении осадков, таянии снегов и паводков рек. Представляет интерес также учет химической трансформации веществ при их попадании в почву.
