Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературы 8
1.1. Двух- и трехфазные течения 8
1.2. Конвективные течения 11
Глава 2. Численные методы и тестовые расчеты 16
2.1. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 16
2.2. Описание численного метода решения краевой задачи и тестовые расчеты 16
2.2.1. Решение уравнений Навье Стокса для несжимаемой жидкости 16
2.2.2. Численный метод 17
2.2.3. Пуазейлево течение в плоском канале 18
2.2.4. Вынужденная конвекция в квадратной полости 25
2.2.5. Свободная конвекция 31
2.3. Выводы 36
Глава 3. Межфазные взаимодействия при расслоенных и пузырьковых режимах течения рабочих сред 38
3.1. Введение 38
3.2. Расслоенные изотермические течения 39
3.2.1. Двухслойные течения 39
3.2.2. Трехслойные ламинарные течения 46
3.3. Пузырьковое течение в обогреваемом канале 55
3.3.1. Квазиодномерное осреднение параметров фаз по сечению канала 56
3.3.2. Осредненные уравнения механики жидкостей с пузырьками газа или пара 56
3.3.3. Оценка времен выравнивания параметров потока 58
3.3.4. Уравнения баланса на межфазных границах 62
3.3.5. Построение модели 63
3.3.6. Замкнутая система уравнений установившегося пузырькового режима течения с равновесной схемой испарения 66
3.3.7. Начальные условия и физико-химические константы. Параметры моделируемого процесса 69
3.3.8. Результаты численных расчетов и их анализ 71
3.4. Выводы 87
Глава 4. Конвекция термовязкой ньютоновской жид кости 89
4.1. Введение 89
4.2. Естественная конвекция термовязкой жидкости 89
4.2.1. Постановка задачи и математическая модель 89
4.2.2. Параметры модельной задачи. Начальные и граничные условия 92
4.2.3. Результаты численного исследования: свободная конвекция жидкости с квадратичной зависимостью вязкости от температуры с минимумом 93
4.2.4. Результаты численного моделирования: естественная конвекция.жидкостей с различными зависимостями вязкости от температуры 118
4.3. Смешанная конвекция термовязкой жидкости 122
4.3.1. Постановка задачи и основные уравнения, Модельные параметры 122
4.3.2. Численные результаты: смешанная конвекция жидкости с квадратичной зависимостью вязкости от температуры с минимумом 123
4.4. Выводы 128
Заключение 134
Литература
- Описание численного метода решения краевой задачи и тестовые расчеты
- Расслоенные изотермические течения
- Уравнения баланса на межфазных границах
- Параметры модельной задачи. Начальные и граничные условия
Введение к работе
Актуальность работы связана с тем, что конвективные течения неоднородных сред охватывают значительную часть явлений и процессов, представленных в природе и технике.
В химической технологии, нефтепереработке и нефтедобыче во множестве технологических процессов имеют место течения многофазных систем в изотермических и обогреваемых каналах. В частности, такие процессы протекают в каналах горизонтальных и наклонных скважин, используемых в промысловой геофизике, а также в технологических печах, применяемых для подогрева потоков нефтепродуктов, при первичной перегонке нефти или при термодеструктивной переработке остатков нефти. Процессы в обогреваемых каналах, естественно, связаны с необходимостью нагрева больших масс многокомпонентной жидкости, сопровождаемого фазовыми превращениями и химическими реакциями. При этом процессы тепло- и массообмена существенно зависят от реализующейся структуры потока и сами, в свою очередь, влияют на нее. Основной целью подобных процессов является получение газожидкостных систем с определенными физико-химическими параметрами. В связи с этим возникает задача оптимального подбора управляющих параметров процесса, таких как массовый расход смеси, количество подаваемого тепла, температура и давление на входе в канал и так далее.
В современных методах повышения нефтеотдачи пластов в качестве по-токоотклаияющих реагентов используются гелеобразующие вещества типа водных растворов мети л целлюлозы. Эти вещества имеют сложные зависимости вязкости от температуры. С ростом температуры до точки начала гелеобразования раствор мети л целлюлозы ведет себя как обычная жидкость вязкость ее убывает, однако за пределами критической точки вязкость резко возрастает. Возникает немонотонная зависимость вязкости от температуры. Эффективное применение веществ указанного типа требует знания особенностей теплопереноса как в области критической точки начала гелеобразования, так и в точке разрушения гелевой структуры, образующей максимум на кривой зависимости вязкости от температуры.
В связи с трудоемкостью и сложностью получения экспериментальных данных для понимания физической сути таких сложных процессов, необходимо проведение исследований с применением математических моделей,
использующих уравнения сохранения механики сплошных сред. Целями диссертационной работы являются:
установление закономерностей пузырьковых и расслоенных режимов течения многофазных систем в обогреваемых и изотермических каналах;
исследование влияния различных видов зависимостей вязкости от температуры на теплоотдачу.
Задачами диссертационной работы являются:
разработка математических моделей расслоенных и пузырьковых течений в изотермических и обогреваемых каналах.
численное моделирование естественной и смешанной конвекции термовязких жидкостей в квадратной полости. На защиту выносятся:
метод определения потери давления на трение в ламинарных расслоенных системах;
математическая модель пузырькового режима течения парогазожид-костной смеси в обогреваемом канале;
установление немонотонной зависимости состава парогазовой фазы на выходе обогреваемого канала от массового расхода смеси;
постановка задачи о влиянии немонотонной зависимости вязкости от температуры на характер теплообмена в квадратной ячейке. Научная новизна работы состоит в следующем:
для плоских ламинарных расслоенных потоков в виде конечных соотношений получены выражения для потерь на трение в каждой фазе;
обнаружена немонотонная зависимость состава парогазовой фазы от массового расхода смеси на выходе обогреваемого канала при пузырьковом режиме течения двухкомпоиентной газопарожидкостной смеси;
изучена свободная конвекция жидкостей с немонотонной зависимостью вязкости от температуры в квадратной полости. Установлено, что минимальные критические числа Рэлея возрастают с увеличением эффективной вязкости жидкости;
показано, что автоколебательный режим теплоотдачи при естественной конвекции жидкости с немонотонной зависимостью вязкости от температуры, также как и для жидкости с постоянной вязкостью, связан с регулярным симметрично-инверсионным перезамыканием вихревых структур;
выявлены режимы теплообмена в квадратной полости при смешанной конвекции жидкости (слабый водный раствор метил целлюлозы) с квадра-
тичной зависимостью вязкости от температуры с минимумом. Практическая ценность.
Разработан эффективный метод расчета потерь давления на трение в системе двухслойных и трехслойных потоков при моделировании процессов в добывающей скважине. Разработан метод и алгоритм расчета пузырькового режима течения в обогреваемом канале. Установлено существенное влияние вида температурной зависимости вязкости на теплообменные процессы в термовязких средах.
Полученные в работе результаты могут быть использованы для повышения эффективности технологических процессов нефтепереработки и нефтедобычи. Подходы, примененные в диссертационной работе имеют универсальный характер и могут быть использованы для широкого класса практических задач.
Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обусловлена применением методов механики сплошных сред, уравнений сохранения механики многофазных систем и их физической непротиворечивостью. Обоснованность результатов обеспечивается также сходимостью и точностью численной схемы, а также хорошим совпадением тестовых расчетов с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.
Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих конференциях и научных школах:
Third International Conference on Multiphase Flows, Lyon, France, 1998 r.
IV Всероссийская школа семинар «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (САМГОП 98), Уфа, 1998 г.;
XXII школа семинар по проблемам механики сплошных сред в системах добычи, сбора, подготовки, транспорта и переработки нефти и газа (под руководством академика АН Республики Азербайджан А.Х. Мирза-джанзаде), Уфа, 1998 г.;
Международная конференция по многофазным системам, посвященная 60-летшо со дня рождения академика РАН Р.И. Нигматулииа (ICMS 2000), Уфа, 2000 г.;
VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001 г.;
XVI сессия Международной школы по моделям механики сплошной
среды, Казань, 2002 г.;
13-я Зимняя школа по механике сплошных сред и Школа молодых ученых по механике сплошных сред, Пермь, 2003 г.;
XVII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды, Казань, 2004 г.
Кроме того, результаты работы неоднократно докладывались автором на семинарах:
кафедры механики сплошных сред математического факультета Башкирского государственного университета (под руководством чл. корр. РАН М.А. Ильгамова и проф. И.Ш. Ахатова);
кафедры геофизики физического факультета Башкирского государственного университета (под руководством проф. Р.А. Валиуллина);
Института механики Уфимского научного центра РАН (под руководством академика РАН Р.И. Нигматулина);
кафедры прикладной математики и механики физико-математического факультета Стерлитамакской государственной педагогической академии (под руководством проф. В.Ш. Шагапова);
объединенном семинаре кафедры математического моделирования математического факультета Башкирского государственного университета и лаборатории математической химии Института нефтехимии и катализа Уфимского научного центра РАН (под руководством проф. СИ. Спивака); кафедры высшей математики естественно-научного факультета Уфимского государственного авиационного технического университета (под руководством проф. Г.Т. Булгаковой);
кафедры высокопроизводительных вычислений и систем естественнонаучного факультета Уфимского государственного авиационного технического университета (под руководством проф. Р.К. Газизова).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 143 страницы, в том числе SQ рисунков и 4 таблицы. Список литературы состоит из 107 наименований.
Автор выражает благодарность своему научному руководителю С.Ф. Урманчееву, а также В.Ш. Шагалову за полезное обсуждение некоторых вопросов и, конечно, бесконечную признательность своим коллегам.
Описание численного метода решения краевой задачи и тестовые расчеты
Установившиеся квазиодиомерные физические процессы описываются с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В следующей главе (главе 3) для описания квазиодномерных установившихся течений многофазных сред используются нормальные системы ОДУ.
Для нормальных систем ОДУ тг-го порядка доказывается (например, [53]) теорема существования и единственности непрерывного решения на некотором временном интервале, если только правые части уравнений вместе со своими частными производными по координатам определены и непрерывны в некоторой открытой области пространства переменных размерности.п +. 1.
Предполагая, что для указанных задач условия теоремы существования и единственности выполняются, будем численно интегрировать соответствующие системы уравнений. В главе 3 для численного решения нормальных систем ОДУ используется явный шестишаговый метод Рунге Кутты пятого порядка точности [77, 78, 63] с автоматическим управлением длины шага интегрирования (основанный на формулах Дормана и Принса) с точностью одного шага Ю-3 — 1СГ7.
Вопросу однозначной разрешимости уравнений Навье Стокса, начиная с 60-х годов прошлого века, посвящено большое количество работ, но теорема существования и единственности решения уравнений Навье Стокса для общего случая сжимаемой вязкой жидкости с произвольными массовыми силами до сих пор не доказана. Поскольку далее в главе 4 о конвекции термовязкой жидкости изучается несжимаемая жидкость, то по вопросам математического обоснования существования и устойчивости решения уравнений Навье Стокса несжимаемой жидкости будем опираться на работу [36].
В указанной работе доказано существование решения для нелинейных стационарных задач. Устойчивость же решения доказана только для малых чисел Рейнольдса.
Для нестационарных краевых задач доказано, что уравнения Навье Стокса однозначно разрешимы во все моменты времени, если задача является двумерной (например, осесимметричной). В трехмерном случае однозначная разрешимость доказана для потенциальных массовых сил и малости числа Рейнольдса в начальный момент времени.
Для нестационарных задач также доказана непрерывная зависимость полей скоростей от массовых сил и начальных условий в любые моменты времени в случае плоскопараллельных течений. В общем трехмерном случае непрерывная зависимость доказана лишь на конечном временном отрезке.
В последующих главах для численного интегрирования уравнений тепловой конвекции использовались метод контрольного объема и процедура «SIMPLE», основы которых были заложены Сполдингом и Патанкаром для параболических уравнений Навье Стокса в работе [98] и окончательно разработаны для численного интегрирования уравнений несжимаемой жидкости в работе [50].
Согласно алгоритму «SIMPLE» уравнение сохранения какой-либо физической величины F, записанное в дивергентном виде интегрируется по «своему» контрольному объему, то есть используется, так называемая, разнесенная (или «шахматная») сетка для расчета полей скоростей, давления и других физических величин. Расчет дискретных полей давления и скорости в различных узлах сетки обеспечивает консервативность метода контрольного объема.
Данный метод является «полунеявным», то есть представляет собой некоторый «гибрид», занимающий положение между явными и неявными численными методами. Метод контрольного объема на основании алгоритма «SIMPLE» имеет меньшее ограничение на шаг по времени (шаг по времени в каждом отдельном случае выбирается эмпирически), чем полностью явные методы (например, метод MAC, разработанный Харлоу [82] и позже описанный в работах [4, 62, 79]) и имеет первый порядок точности. Алгоритм «SIMPLE», в основном, разработан для численного решения стационарных режимов и представляет собой один из вариантов методов установления.
В последующих параграфах произведены тестовые расчеты для трех различных задач. Программа, написанная на основе алгоритма «SIMPLE», тестировалась на решениях двумерных уравнений Навье Стокса. Рассмотрены задачи о пуазейлевом течении в плоском канале, а также о вынужденной и тепловой конвекции в квадратной полости.
Первая тестовая задача связана с ламинарным течением вязкой несжимаемой жидкости в плоском горизонтальном канале длины L и ширины h под действием заданного перепада давления Др.
Такое течение, например, реализуется в зазоре между вертикальными плоскостями большой протяженности и в примитивных эйлеровых переменных (vt р) описывается двумерными уравнениями Навье Стокса:
Расслоенные изотермические течения
Расслоенные течения несмешивающихся жидкостей представляют значительный интерес при решении задач промысловой геофизики и добычи нефти с применением горизонтальных и наклонных скважин. Теоретические и экспериментальные исследования, представленные в обзорной работе [104], посвящены описанию разнообразных математических моделей, используемых для изучения двух- и трехслойных, а также диспергированных потоков.
Большое распространение получили модели течения несмешивающихся жидкостей в одномерном приближении [72, 104].
В данной работе рассматриваются ламинарные установившееся расслоенные течение несмешивающихся жидкостей в плоском канале. Такой расслоенный поток описывается двухжидкостной моделью, состоящей из уравнений количества движения фаз и уравнений сохранения их расходов.
Критически обсуждаются недостатки общепринятых соотношений, определяющих пристенное и межфазное трение при моделировании расслоенных течений. Предлагаются новые выражения, которые суть суммарные напряжения трения, действующие на каждую жидкость.
Представлены графики, иллюстрирующие изменение межфазной границы и средних скоростей фаз по длине плоского канала, на основании которых производится сравнение двух подходов в определении напряжений на стенках и границе раздела фаз. Результаты этой части работы по расслоенным потокам представлены в работах [30, 31].
В химической технологии, нефтепереработке и нефтехимии множество технологических процессов представляют собой течение многофазных систем в обогреваемых каналах.
В частности, такие процессы имеют место в технологических печах, применяемых для подогрева потоков нефтепродуктов, при атмосферной перегонке нефти, а также при термо-деструктивной переработке остатков нефти. Эти процессы, естественно, связаны с необходимостью интенсивного нагрева больших масс многокомпонентной жидкости, сопровождаемого фазовыми превращениями и химическими реакциями. При этом процессы тепло- и массообмена существенно зависят от реализующейся структуры потока и сами, в свою очередь, влияют на нее.
Основной целью подобных процессов является получение газа или жидкости с определенными физическими параметрами. В связи с этим возникает задача оптимального подбора управляющих параметров процесса таких, как массовый расход смеси, количество подаваемого тепла, температура и давление на входе в канал и так далее.
В работе [48] был рассмотрен дисперсно-кольцевой режим течения нефтяной смеси в установке замедленного коксования и построена математическая модель данного процесса. Из расчетов авторами было установлено наличие «кризиса второго рода», который характеризуется уменьшением толщины пристенной пленки до нуля в некотором сечении. Этот факт является причиной пережега труб и последующего их «склероза» (закок-совывания). Упомянутый процесс характеризуется интенсивным подводом тепла, вследствие чего протекают химические реакции и реализуются гидродинамические режимы с большим объемным газосодержанием. Однако, процессы первичной переработки нефти сопровождаются менее интенсивным теплоподводом. Поэтому в таких процессах отсутствуют химические реакции и реализуется пузырьковый режим течения нефтяной смеси.
Одним из таких процессов является течение нефтяной смеси в нагревательном змеевике трубчатой печи. В результате этого процесса.отгоняются наиболее легкие (летучие) фракции и нефть определенного состава поступает в аппараты для последующей переработки.
В данной главе детально рассмотрен процесс течения узкой нефтяной фракции в нагревательном змеевике трубчатой печи. Основные результаты этой работы представлены в [8, 60]. Обсуждение соотношений, определяющих пристенное и межфазное трение. Приведенная выше модель двухфазного слоистого течения в плоском канале имеет ряд недостатков. Прежде всего, это касается расчета пристенных напряжений и напряжений, возникающих на межфазной границе.
Во-первых, соотношения, аппроксимирующие коэффициенты трения при ламинарном течении, справедливы для однофазного потока с твердыми стенками. В случае же расслоеїпюго течения одна «стенка» (межфазная граница) является жидкой. Кроме того, подставив уравнения сохранения массы каждой из жидкостей (3.1) и (3.2) в соотношения (3.7) получим, что коэффициенты гидравлического сопротивления (З.б) являются постоянными величинами, не зависящими от средних скоростей движения фаз.
Во-вторых, напряжения на межфазной границе, определенные в предыдущей модели, меняются скачком (по модулю) в зависимости от того, какая из жидкостей имеет большую (среднюю по сечению) скорость. Реальные же напряжения должны гладко меняться по абсолютной величине.
Далее получим новые выражения для суммарного трения, действующего на каждую жидкость в двухслойном течении исходя из предположения параболического профиля скоростей в них и рассматривая равновесие элементов этих жидкостей.
На Рис. 3.2 и 3.3 сравниваются два подхода в определении напряжений трения и показаны расположение межфазной границы и скоростей нефти и воды по длине плоской горизонтальной трубы в системе нефть вода.
Вязкости нефти и воды принимались равными fi\ — 0.01 Па-с и /i2 = 0.001 Па-с и плотностями р\— 800 кг/м3, / = 1000 кг/м3, соответственно. На входе в канал граница располагалась в середине сечения т]о = h/2 = 0.073 м, а скорости фаз равнялись 0.007 м/с.
Если сравнивать значения на выходе, то относительные погрешности величин 7), V\, щ по полученным формулам равны, соответственно, примерно 14.3, 7.8, и 12.7 процентов по сравнению с общепринятыми соотношениями (3.5) (3.9) в определении напряжений на стенках и межфазной границе.
На основе полученных соотношений с использованием двухжидкостной модели проведено сравнение (Рис. 3.4), выполненное в работе [30], распределения параметров течения по длине канала с результатами расчетов, использующих соотношения для однофазного потока и сравнение с результатами прямого численного моделирования течения несмешиваю-щихся вязких жидкостей с отслеживанием границы их раздела методом VOF (Volume of Fluid) [85] с некоторыми модификациями [80, 94].
На Рис. 3.4 представлены графики изменения средней скорости воды V2 по длине горизонтального канала, для различных отношений вязкостен, при установившемся расслоенном течении в системе нефть-вода. В этих расчетах жидкости на входе занимали одинаковое сечение и имели равные скорости г ю = 20 = 0.005 м/с. Ширина канала принималась равной D = 0.15 м, а плотности нефти и воды равными р\ — 800 кг/м3 и р\ — 1000 кг/м3, соответственно.
Уравнения баланса на межфазных границах
При записи уравнений притока тепла пренебрегалось продольной теплопроводностью фаз, а жидкость полагалась несжимаемой: р\ — const. Кроме полученных уравнений сохранения нужно еще учесть уравнения сохранения энергии на межфазной границе [46]: Для замыкания системы уравнений (3.83) (3.88) вместе с уравнениями состояний фаз необходимо еще привлечь допущения для корреляционных коэффициентов щ , щ , к \ щ , учитывающих неравномерность распределения параметров потока по сечению, уравнения межфазного взаимодействия для Jji, Fji, Qji, Vji, ЩІ и определить внешнее воздействие стенки канала на поток через Fy/, Qw- Для двухфазных турбулентных течений корреляционные коэффициенты неравномерности близки к единице вследствие интенсивного перемешивания фаз (согласно (3.81)). Уравнения состояния для внутренних энергий фаз далее принимаются в приближении постоянных теплоємкостей в виде линейных функций их температур [47]. Для удельных внутренних энергий веществ претерпевающих фазовые переходы естественно положить [47]:
В соответствии с полученной оценкой (3.89), движение газожидкостной смеси будем считать установившимся. А согласно оценкам (3.91) (3.94), примем, что скорости, давления и температуры парогазовой и жидкой фаз равны. Уравнения сохранения масс, импульсов и притоков тепла в такой постановке примут вид:
Обычно в рассматриваемых процессах реализуются высокоразвитые турбулентные течения с числами Рейнольдса, приближающимися к значению 105 или превышающими его, поэтому корреляционные коэффициенты dp? dp\ положены равными 1 и учтено, что V\2 = Щі =v и то, что —г- = v-r—, dt ах а также, то, что согласно (3.103) и (3.104): Складывая уравнения (3.107) и (3.108), а также учитывая, что mi = difivS = pivSt (3.111) т2 = ct2f%vS = ptvS. (3.112) ті +ЇП2 — mo, (3.113) e i + a2 = l, (3.114) где mo общий постоянный расход смеси, получим уравнение сохранения импульса для всей газожидкостной смеси: dv „dp „ ,п „„_ то— = -S-f- - Fw. (3.115) Условия (3.103) и (3.104) для удельных внутренних энергий веществ, претерпевающих фазовые переходы, с учетом однотемпературности модели и совершенности газа, примут вид: U2i =щ{Ту=ср1Т + с10, - (3.116) Щ2 = Щ{Т)=С2Т + С20, (3.117) где С2 удельная теплоемкость жидкости; Ср\ удельная теплоемкость газа при постоянном давлении, а Сю, С20 некоторые постоянные. Складывая уравнения (3.109) и (3.110), используя уравнения (3.105) и (3.106), уравнения (3.116) и (3.117), уравнение (3.111), условие (3.100) на межфазной границе, а также тот факт, что І\—І2 = %2\ - »12 — А, где Л удельная теплота парообразования, получим уравнение сохранения энергии для всей смеси: . , dT mi dp Л т ч . ч [miCpi 4- m2c2} -г- = —т- + Qw Лі А. (3.118) А из уравнений (3.111), (3.112) и (3.114) получим соотношение, справедливое для газожидкостного потока в любом сечении: 7-+ =3. (3.119)
Пусть имеется двухкомпонентная газопарожидкостная смесь с легкоки-пящим компонентом (легкий углеводород), который полностью находится в газовой фазе и не участвует в фазовых переходах (инертный газ), и тяжелым компонентом (узкая нефтяная фракция), который содержится как в газовой, так и жидкой фазах и участвует в фазовых переходах.
Пусть, далее заданы массовые концентрации кцу &(2), компонент в смеси, а также их относительные молекулярные массы Мг и Мт у
Обозначим индексом (1) внизу легкий компонент, а индексом (2) тяжелый. Тогда введем истинные плотности этих компонент рцц и Рц2), а также их массовые концентрации в газовой фазе: ад = Ф и 5(2) = фі, (з.120) Pi Р\ 9(1) +5(2) = 1- (3.121) Теперь для средней удельной теплоемкости газа при постоянном давлении можем записать: Срі - (1)5(1) + СР(2)9(2), (3.122) где Cp(i), Cp(i) соответствующие постоянные теплоемкости компонент. Газовую фазу будем считать смесью калорически совершенных газов, поэтому для давления можем записать уравнение состояния: р = RP\T = pl(l)R(i)T + p0mR{2)T, (3.123) которое с учетом (3.24) и (3.25) можно представить в виде: р = р\Т {Щх)д{1) + /2(2,(1 - д{1))) . (3.124) Газовые постоянные компонент равны (в системе СИ): Д(1) = Ш и й(2) = м R = 8,3144 Дж/(Моль-К) универсальная газовая постоянная. Кроме того, для инертного компонента газовой фазы, выполняется условие постоянства массового расхода: тоці) = aipl(l)vS = aiPig vS = mi5(i) = const (3.125) И, наконец, учитывая оценки (3.97) и (3.99), будем предполагать, что интенсивность испарения тяжелого компонента определяется по равновесной схеме:
Рассматривалась модельная задача о течении узкой нефтяной фракции (тяжелый компонент с &(2) = 0,998 ) и пропана (инертный газ с km = 0,002 и Мг(х) = 44,08 ) в горизонтальном змеевике НТП при одном из существующих режимов работы печей с входным давлением ро 17, 4 атм и температурой на входе TQ — 513 К. Мощность внешнего теплоподвода от стенки к потоку полагалась постоянной Qw — 4000 Вт/м.
Длина канала равнялась L = 1000 м, а внутренний диаметр труб принимался равным D = 0,152 м. Коэффициент шероховатости трубы принимался равным Д = 0,001 j а «размазанный» по длине змеевика коэффициент (в соответствии с числом поворотов; длина прямолинейного участка равнялась 10 м), учитывающий потерю давления потока на П-образных поворотах (ретурбентах), принимался равным = 2,4 [29]. Жидкость считалась несжимаемой, а ее истинная плотность определялась из уравнения „О _ rt277 203 Pi — P\Y Р%77) 977 9СП где рц? ) р277 плотность воды при нормальных условиях и средняя плотность узкой нефтяной фракции при температуре 293 К относительно этой плотности воды соответственно.
В соответствии с представленной выше математической моделью двухфазной среды численно моделировалось течение двухкомпонентной парога-зожидкостной смеси в змеевике трубчатой печи в одном из режимов ее работы, параметры которого приведены в предыдущем параграфе. Брались жидкости с различными температурами кипения Тк = 473, 523,573,623 и 673 К.
Считалось, что пузырьковый режим течения реализуется при значениях объемного газосодержания ai 0.3 [47]. Из Рис. 3.8,Ь видно, что при рассматриваемых параметрах потока пузырьковый режим течения имеет место на всей длине канала. Видно также что, чем меньше температура кипения жидкости Т#. тем сильнее она испаряется (Рис. 3.8,с d) и тем меньше температура газожидкостной смеси на выходе (Рис. 3.8,а), поскольку подведенное тепло расходуется на фазовый переход. При этом, так как объемное содержание мало, то двухфазная смесь близка к однофазной и температура распределена практически линейно по длине трубы. Однако, поскольку объемное содержание парогазовой фазы растет, то давление в системе линейно падает, а общая скорость потока увеличивается (Рис. 3.9,а Ь), в свою очередь вызывая дальнейшее падение давления за счет вязкого трения (Рис. 3.9,d). Поэтому сильнее испаряется жидкость с меньшей температурой кипения, что показано на Рис. 3.8,с d. Как видно из Рис. 3.9,с плотность парогазовой фазы линейно убывает по длине канала.
На Рис. ЗЛО для этого же теплового потока и тех же входных параметров р, Т представлены численные значения некоторых параметров на выходе змеевика в зависимости от массового расхода двухфазной смеси из диапазона значений 10 то 50. На Рис. 3.10 изображены: а объемное содержание парогазовой фазы ai; b давление р; с температура Т\ d массовая концентрация д инертного (легкого) компонента в парогазовой фазе. Из Рис. 3.10,а видно, что объемное содержание парогазовой фазы на выходе увеличивается с ростом массового расхода двухфазной смеси.
Параметры модельной задачи. Начальные и граничные условия
Началу конвекции предшествует стадия теплообмена, обусловленная чистой теплопроводностью. Молекулярный теплообмен продолжается в течение некоторого времени индукции tind, а затем «скачком» начинается термоконвекция.
В результате численного моделирования термоконвекции жидкости с квадратичной зависимостью вязкости от температуры с минимумом, установлено, что устойчивость равновесия нарушается при минимальном критическом числе Рэлея, равного Ragqr 3.4Ra ngt = 8792.4. Квадратичная зависимость вязкости от температуры приводит к увеличению минимального критического числа Рэлея, по сравнению с теоретически вычисленным значением для жидкости с постоянной вязкостью.
Теплообмен в ячейке для жидкости с квадратичной зависимостью вязкости от температуры и минимального критического числа Грасгофа Gr = 75 показан на Рис. 4.4.
Результаты численного моделирования показали, что в диапазоне чисел Грасгофа 100 Gr 250 реализуются одновихревые стационарные течения с постоянным теплообменом. С ростом числа Gr средние числа Нуссельта Nu увеличиваются, а направления вихрей имеют случайный характер. С равной вероятностью реализуются течения направленные как по часовой, так и против часовой стрелки. Типичное распределение изотерм, линий тока, чисел Нуссельта и вертикальных составляющих вектора скорости в центральном сечении по х на различных расстояниях от горячей стенки для числа Грасгофа Gr = 250 показано на Рис. 4,5.
При дальнейшем увеличении числа Gr теряется устойчивость однови-хревой ячеистой структуры и происходит бифуркация к симметричному двухвихревому стационарному течению, которое существует в диапазоне чисел 300 Gr 2000. Здесь также с увеличением числа Грасгофа теплообмен в ячейке увеличивается и направления вихрей возникают случайным образом. С равной вероятностью возникают как ячейки і-типа, так и ячейки р-типа [21]. Типичная картина течения для этого режима показана на Рис. 4.6, где представлены изотермы, линии тока, числа Нуссельта и вертикальные составляющие скорости в центральном сечении по х на различных расстояниях от горячей стенки для числа Грасгофа Gr = 1000.
Двухвихревые симметричные течения сохраняются примерно до чисел Gr = 2500, после чего их устойчивость теряется и происходит бифуркация к асимметричному двухвихревому установившемуся течению. Параметры конвективного течения, соответствующие данной структуре потока, представлены на Рис. 4.7,
При дальнейшем увеличении числа Gr нарушается устойчивость асимметричного двухвихревого установившегося течения и происходит бифуркация к колебательному режиму конвекции. В интервале чисел Грасгофа 3000 Gr 8000 выявлены квазипериодические автоколебательные режимы конвекции.
Для того чтобы определить характер теплообмена при колебательном режиме конвекции более детально, рассмотрим спектр мощности чисел Нуссельта на изотермических стенках Nu()elC u, где t и а) соответственно безразмерные время и круговая частота.
Анализ фазового пространства (Рис. 4.9) и спектра мощности (Рис. 4.10) показывает, что реализуется режим двухчастот-ных квазипериодических колебаний с несоизмеримыми частотами (широкий спектр вокруг основной частоты это погрешность кода быстрого преобразования Фурье). С основной частотой появляется более высокочастотный сигнал малой амплитуды.
При возрастании числа Грасгофа до значения Gr = 8000 двухчастотнью квазипериодические колебания сохраняются (Рис. 4.11). Основная частота сдвигается в коротковолновую часть спектра, а ее амплитуда уменьшается. Отношение второй частоты к основной возрастает примерно в два раза. Соответствующие фазовое пространство и спектр мощности представлены на Рис. 4.12 и 4.13.
Анализ линий тока в различные моменты времени показывает, что колебательный характер теплообмена связан с симметрично-инверсионными (относительно центра ячейки) колебаниями векторного поля. Колебания связаны с последовательным перезамыканием вихревых структур одного направления. Фазы колебаний в различные моменты времени показаны на Рис. 4.14.
При дальнейшем увеличении числа Грасгофа амплитуда основной частоты уменьшается и возникает квазипериодическое течение с четырьмя несоизмеримыми частотами. Картина течения для Gr = 8500 показана на Рис. 4.15. Двумерная проекция фазового пространства и спектр частот для этого случая представлены на Рис. 4.16 и 4.17.
При увеличении числа Грасгофа до значения Gr — 9000 основной сигнал несколько ослабевает, а рядом появляются еще две основные частоты такой же амплитуды, как и для числа Грасгофа Gr = 8500. Вокруг этих частот возникают как низкочастотные, так и высокочастотные моды гораздо меньшей амплитуды. Таким образом, формируется многочастотное квазипериодическое конвективное течение, характер которого показаЕі на Рис. 4.18. Двумерная проекция соответствующего предельного множества (центрального многообразия) в четырехмерном фазовом пространстве показана на Рис. 4.19, а соответствующий спектр частот на Рис. 4.20.
