Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Хорошо известно, что одним из базисных понятий геометрии являются пространства постоянной кривизны, давшие широкое поле для исследований. В результате были обнаружены многочисленные связи пространств постоянной кривизны с другими разделами математики, например, с интегрируемыми дифференциальными уравнениями в частных производных и с интегрируемыми гамильтоновыми динамическими системами. Геодезические потоки на компактных поверхностях постоянной отрицательной кривизны (рода большего единицы) являются полигоном для эргодической теории. Гиперболическое пространство (пространство Лобачевского) Н3(К) является пространством скоростей специальной теории относительности, а также совпадает с пространственноподобными сечениями простейших моделей общей теории относительности.
В 1885 году Киллинг подробно рассмотрел задачу о движении материальной точки в ньютоноподобном потенциале на трехмерной сфере S3 и нашел для нее аналоги трех законов Кеплера. В работах Либмана 1902 и 1905 годов результаты Киллинга были распространены на пространство Лобачевского, а в его же работе 1903 года было доказано обобщение теоремы Бертрана на пространства S2 и Н2(К), т.е. существование на этих пространствах лишь двух потенциалов: Vc (ньютоно- или кулоноподобного) и V0 (осциллятоподобного), для которых все ограниченные траектории одночастинного движения замкнуты.
Квантовомеханическая одночастинная спектральная задача для потенциала Vc на сфере S3 (задача Кулона) была исследована Шредингером в 1940 году разработанным им методом факторизации операторов (ladder method) и Стивенсоном в 1941 году традиционным путем анализа решений дифференциального уравнения, а в гиперболическом пространстве Н3(К) Инфельдом и Шильдом в 1945 году.
В рамках развития симметрийных методов в последние десятилетия усилился интерес к задачам классической и квантовой механики на пространствах постоянной кривизны, о чем свидетельствует возросшее число соответствующих публикаций в научных журналах.
Так, были вычислены дополнительные интегралы для классической и квантовой одночастичнои задачи с потенциалами Vc и V0 на сфере S3 (Хигс, Курочкин, Отчик, 1979) и в пространстве Н3(К) (Богуш, Курочкин, Отчик 1980). Спектральная одночастинная задача с потенциалами Vc и V0 в пространствах Sra, п ^ 3 была решена Лимоном в 1980 г.
Связь аналогов оператора Рунге-Ленца для одночастичнои квантовомеханическои задачи Кеплера в пространстве S3 с методом факторизации Шредингера обсуждалось Барутом и Вилсоном в 1985 г. Барут, Иномата и Юнкер нашли решение спектральной одночастичнои квантовомеханическои задачи для потенциала Vc на пространствах S3 и Н3(К) с помощью функциональных интегралов (1987, 1990).
Отчик (1991, 1994) исследовал одночастинную квантовомеханическую задачу
в поле двух произвольно расположенных кулоновских центров на сфере S3. Он нашел систему координат, в которой переменные разделяются, а соответствующие обыкновенные дифференциальные уравнения сводятся к уравнениям Гойна.
Козлов и Федоров (1994) установили интегрируемость классического движения одной частицы по сфере Sra в поле, создаваемом 2(п + 1) потенциалами V0 с центрами в точках
(±1,0,...,0),(0,±1,0,...,0),...,(0,...,0,±1)
для стандартной модели сферы Sra в пространстве Кга+1, заданной уравнением
5>?=1.
г=0
Разделение переменных для одночастинного оператора Шредингера и некоторых нецентральных потенциалов в пространствах S2 и Н2(К) изучалось Кал-нинсом, Миллером, Хакобьяном и Погосяном (1996-1999). Существующие в евклидовом пространстве преобразования Леви-Чивиты, Кустанхеймо-Штифеля и Гурвица, связывающие задачи Кулона-Кеплера и осциллятора, были обобщены на сферы некоторых размерностей Калнинсом, Миллером, и Погосяном в 2000 г.
Интегрируемость одночастинного движения на сфере S2 в некоторых комбинациях ньютоновских и осцилляторных потенциалов была установлена Борисовым и Мамаевым (2005).
Двухчастичная классическая и квантовомеханическая задача двух тел на пространствах постоянной кривизны, отличных от евклидова, оставалась практически неизученной до появления в конце 1990-х годов работ автора на эту тему. Это объясняется тем, что координатный анализ этой задачи, для пространств размерности начиная с трех, трудно выполним в силу громоздкости соответствующих выкладок.
Если в евклидовом пространстве задача двух тел посредством отделения центра масс сводится к одночастичной, а существенные математические трудности начинаются при переходе к задаче трех тел, то в пространствах постоянной кривизны неизвестно ни одного нетривиального центрального потенциала, соответствующего интегрируемости двухчастичной задачи, несмотря на наличие достаточно широкой группы изометрий этих пространств, являющейся группой симметрии задачи двух тел.
Исследование задачи двух тел в пространствах постоянной кривизны (и более общо - в двухточечно однородных римановых пространствах) является актуальным, поскольку, с одной стороны, доставляет новый нетривиальный объект для современных методов симметрийного анализа, а, с другой стороны, позволяет лучше понять природу появления неинтегрируемости для "простых"систем классической и квантовой механики при переходе от плоского к неплоским пространствам.
Целью работы было исследование классической и квантовомеханической задачи двух тел с центральным потенциалом на двухточечно однородных римановых пространствах с точки зрения ее глобальной разрешимости, интегрируемости, редукции с использованием имеющейся априорной группы симметрии к задаче с меньшим числом степеней свободы, возможности вычисления спектра квантовомеханической задачи в явном виде.
Методы исследования. В диссертации используются дифференциально-геометрические (теория Хелгасона инвариантных операторов на однородных пространствах), алгебраические (теория обертывающих алгебр для алгебр Ли, теория инвариантов, теория представлений групп и алгебр Ли) и аналитические методы (теория самосопряженных расширений дифференциальных операторов, теория фуксовых дифференциальных уравнений), а также дифференциальная теория Галуа. При анализе общих ситуаций используется бескоординатное описание рассматриваемых конструкций в терминах алгебры Ли соответствующей группы симметрии.
Научная новизна. В работах автора впервые рассмотрена классическая и квантовомеханическая задача двух тел на двухточечно однородных римановых пространствах. Представленные в диссертации результаты являются новыми.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту:
-
Получено описание некоммутативных алгебр Diffj(Qs) инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер Qs над произвольным двухточечно однородным пространством Q в терминах образующих и соотношений. Также найдены некоторые элементы центров данных алгебр.
-
Найдено описание приведенного фазового пространства для гамильтоновой системы на кокасательном расслоении однородного многообразия группы Ли через факторпространство орбиты коприсоединенного действия данной группы.
-
Получено явно инвариантное выражение для двухчастичного квантовомеха-нического гамильтониана с центральным потенциалом на двухточечно однородных пространствах через радиальный дифференциальный оператор и образующие алгебры Diffj(Qs), а также аналогичное выражение для двухчастичной гамильтоновой функции.
-
Найдены достаточные условия отсутствия столкновений для классической задачи двух тел с центральным потенциалом на двухточечно однородных пространствах.
-
Классифицированы приведенные гамильтоновы системы для классической задачи двух тел с центральным потенциалом в пространствах постоянной
кривизны. Для ряда центральных потенциалов доказана мероморфная неинтегрируемость этих систем при некоторых значениях отображения момента.
6. Показано, что двухчастичная квантовомеханическая задача на сферах Sra с кулоновским и осцилляторным потенциалами является квазиточнорешае-мой, и получены в явном виде некоторые бесконечные серии ее энергетических уровней.
Кроме основных, в диссертации получены некоторые дополнительные результаты: найдено выражение оператора Лапласа-Бельтрами на однородном римано-вом пространстве через киллинговы векторные поля и установлена некоммутативная интегрируемость задачи о движении классической частицы в центральном потенциале на двухточечно однородных римановых пространствах непостоянной кривизны.
Научная значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты позволяют понять причины неинтегрируемости задачи двух тел на неплоских двухточечно однородных пространствах с нетривиальными потенциалами общего вида. Вместе с тем, обнаружена квазиточнорешаемость квантовомеханической задачи двух тел на пространствах постоянной кривизны для кулоновского и ос-цилляторного потенциалов, что свидетельствует о ее близости к точно решаемым моделям.
Некоторые результаты, полученные автором при исследовании задачи двух тел на двухточечно однородных пространствах, могут быть применены и к другим исследованиям в области геометрического анализа, квантовой и классической механики на многообразиях. К ним относятся: выражение оператора Лапласа-Бельтрами в подвижном репере и, в частности, через киллинговы векторные поля, описание редуцированного кокасательного расслоения однородного пространства в терминах орбит коприсоединенного действия соответствующей группы Ли, описание алгебры DiSj(Qs) инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер Qs над двухточечно однородным пространством Q в терминах образующих и соотношений.
Личный вклад диссертанта. Основные результаты диссертации получены автором единолично.
Апробация работы. Основные результаты были доложены на следующих международных конференциях: 30-ом Симпозиуме по математической физике (май, 1998 г., Торунь, Польша), 31-ом Симпозиуме по математической физике (май, 1999 г., Торунь, Польша), конференции "Геометрия, интегрируемость и квантование" (сентябрь 1999 г., Варна, Болгария), конференции "Методы неевклидовой геометрии в современной физике"(октябрь 2006 г., Минск, Беларусь), а также на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и ее приложений механико-математического факультета МГУ (рук. академик РАН, проф. А.Т. Фоменко), семинаре по нелинейным дифференциальным уравнениям (рук. чл. корр. РАН,
проф. И.А. Шишмарев) кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, на семинаре по математической теории распространения волн в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. Стеклова (рук. д.ф.м.н., проф. В.М. Бабич), на семинаре по теории гравитации в Пермском государственном университете (рук. д.ф.м.н., проф. В.Ф. Панов), на семинарах кафедры математики физического факультета МГУ (рук. д.ф.м.н., проф. В.Ф. Бутузов).
Публикации. Содержание диссертации опубликовано в статьях, трудах конференций и одной монографии (всего 15 работ), причем, за исключением одной статьи, работы выполнены единолично.
Структура и объем диссертации. Диссертация имеет объем в 268 стр. и состоит из введения, восьми глав, разбитых на параграфы, четырех приложений, предметного указателя и списка литературы, содержащего 234 наименования.
