Введение к работе
Диссертация посвящена решению экстремальных задач теории приближений — доказательству точных неравенств Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2, на прямой К. со степенным весом и торе Т с периодическим весом Якоби.
Актуальность темы. Задача о точных константах в неравенствах Джексона между величиной наилучшего приближения и модулем непрерывности функции в пространствах Lp, 1 < р < оо, является важной и трудной экстремальной задачей теории приближений. Первое точное неравенство Джексона было доказано Н.И. Черных в 1967 году в пространстве 1/2 (Т). Он же в 1992 году доказал и первые точные неравенства Джексона в пространствах Lp(T), 1 < р < < 2. Точные неравенства Джексона в пространствах Lp, р > 2, отсутствуют.
В настоящее время точные неравенства Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2, доказаны для тора Td (Н.И. Черных, В.А. Юдин, В.И. Иванов, В.Ю. Попов), евклидова пространства M.d (И.И. Ибрагимов и Ф.Г. Насибов, В.Ю. Попов, О.Л. Виноградов, А.Г. Бабенко, А.В. Московский), евклидовой сферы Sd~1 (В.В. Арестов и В.Ю. Попов, В.Ю. Попов, А.Г. Бабенко, Д.В. Горбачев), гиперболоида Hd (В.Ю. Попов, Д.В. Горбачев и М.С. Пискорж, р = 2), проективных пространств (А.Г. Бабенко, р = 2).
В пространстве 1/2 большой цикл работ был посвящен доказательству точных неравенств Джексона с к-м и обобщенными модулями непрерывности. Отметим работы Н.И. Черных, А.Г. Бабенко, А.И. Козко и А.В. Рождественского, ОН. Васильева, B.C. Балаганского.
В пространствах Lp, 1 < р < 2, трудным является как получение оценки сверху (необходимо учесть строгую выпуклость пространств), так и доказательство ее точности (экстремальные последовательности функций принимают всего два значения ±1). Нижние оценки в пространствах Lp, 1 < р < 2, получены в работах В.И. Бердышева, В.И. Иванова, Д.В. Горбачева, А.В. Московского. Дополнительные трудности в получении нижних оценок появляются, если на многообразии нет группового сдвига.
Следующим этапом в развитии этой тематики может стать доказательство точных неравенств Джексона в пространствах Lp на многообразиях с весом. К неравенствам Джексона в пространствах Lp на полу периоде или полупрямой с весом мы уже приходим, рассматривая известные неравенства Джексона на подпространствах
зональных сферических функций. При этом получаются неравенства Джексона в пространствах Lp с весом только для четных функций. Так неравенства Джексона на евклидовом пространстве и евклидовой сфере приводят к неравенствам Джексона на прямой со степенным весом и торе с периодическим весом Якоби для четных функций (А.В. Московский, Д.В. Горбачев). Возникает необходимость распространить их на все функции, а также обосновать их точность.
Цель работы. Основной целью диссертации является доказательство точных неравенств Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2, на прямой К. со степенным весом и торе Т с периодическим весом Якоби.
Методы исследования. Применяются методы теории функций, теории приближений, функционального анализа, гармонического анализа в пространствах с весом, теории вероятностей, теории матриц.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Доказаны неравенства Джексона для наилучших приближений
целыми функциями экспоненциального типа в пространствах ЬР:\(Ж),
1 < р < 2, с весом |ж|2Л+1, Л > —1/2. Их точность установлена при
р = 2 и А > 0, ^±f <р<2.
2. Доказаны точные неравенства Джексона для наилучших
приближений тригонометрическими полиномами в пространствах
Lp,a(T), 1<р<2,с весом | smx\2a+1, а > -1/2.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и разработанные методы могут быть использованы при доказательстве точных неравенств Джексона в других пространствах с весом.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Между нар одной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2006, 2008, 2011), VIII Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» в г. Казани (2007), Международной летней математической школе СБ. Стечкина по теории функций в г. Алексине (2007), научном семинаре д.ф.-м.н., профессора В.И. Иванова в ТулГУ (2006-2009, 2011).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях [1, 3, 4, 5] в журнале, входящем в перечень ВАК РФ.
В работе [1] В.И. Иванову принадлежит общая схема доказательства нижней оценки, а автору — ее реализация.
Тезисы докладов на конференциях опубликованы в [2, 6, 7, 8, 9].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на 9 параграфов. Объем диссертации - 117 страниц. Список литературы содержит 66 наименований.
