Содержание к диссертации
Введение
1 Основные обозначения и предварительные сведения 16
2 Экстраполяционные пространства 23
2.1 Определение и общие свойства экстраполяционных проса ранств 23
2.2 Экстраноляционное описание пространств Марцинкевича и Орлича . 36
2.3 Экстраполяциошюе описание пространсв Лоренца . 65
2.4 Сильно экстраполяционные пространства 74
2.5 Приложения к ортогональным рядам 78
3 О дополняемости подространств, порожденных сжатиями и трансляциями 84
3.1 Тензорное произведение и пространство мультипликаторов 85
3.2 Подпространства, порожденные сжатиями и трансляциями 88
Список литературы 102
- Определение и общие свойства экстраполяционных проса ранств
- Экстраноляционное описание пространств Марцинкевича и Орлича
- Тензорное произведение и пространство мультипликаторов
- Подпространства, порожденные сжатиями и трансляциями
Введение к работе
Актуальность темы. Симметричные пространства появились в работах по интерполяции линейных операторов и гармоническому анализу в конце 60-х годов1. В настоящий момент теория симметричных пространств представляет собой одно из важных направлений функционального анализа и служит мощным методом исследования конкретных пространств. Настоящая диссертационная работа посвящена двум вопросам: теории экстраполяции и дополняемости подпространств в симметричных пространствах.
Хорошо известно, что многие важные операторы анализа, такие, например, как максимальный оператор Харди-Литтльвуда, сингулярный оператор Гильберта, оператор перехода к сопряженной функции в гармоническом анализе, ограниченно действуют в Lp-пространствах при 1 < р < оо, но не ограничены на "концах" этой шкалы — в пространствах L^ и L\ (или хотя бы в одном из них). Это обстоятельство стало одной из причин возникновения экстраполяционных утверждений, первым из которых, видимо, стала классическая теорема Яно 2.
Теорема (Яно). Пусть Т — линейный оператор, определенный на некотором подмножестве Li[0,1].
1) Если Т действует в пространствах Ьр[0} 1] при р Є (1,ро] и
\\T\\L _^L = О ((р — 1)~а) при р^1 « некотором а > 0,
то Т можно доопределить до оператора на пространстве Лоренца L(log L)a, действующего ограниченно в Ь\:
Ik^Hl! — С \\x\\L{\ogL)a і г(^е \\X\\L{\ogL)a := / I11 \e/t)x {t)dt,
x*(t) — невозрастающая перестановка функции \x{t)\.
2) Если Т действует в пространствах Ьр[0} 1] при р Є \ро,ос) и
\\T\\L _^L = 0(ра) при р —> оо и некотором а > 0, то Т действует из Ь^ в пространство Орлича ExpLl'a:
ІІТжІІЕхрі/« < C\\x\\L где \\х\\Е Li/a := sup ln~a(e/t)x*(t).
F оо F 0<
іКрейн, С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г.Крейн, Ю.И.Петунии, Е.М.Семенов. М.: Наука, 1978. 400 с.
2Yano, S. An extrapolation theorem / S.Yano // J. Math. Soc. Japan. 1951. V. 3, No. 2. P. 296-305.
В конце 80-х — начале 90-х годов прошлого века началась разработка общих подходов теории экстраполяции, связанная прежде всего с именами Яверса и Мильмана 3'4. В частности, используя введеные ими функторы пересечения А и суммы Е они получили экстраполяционное описание пространств, фигурирующих в теореме Яно:
\о<Р<оо {p-aLp) = ExpL1/" и Z1
Рассмотрим подробнее функтор пересечения А. Если {Ае}ве@ ~~ семейство банаховых пространств, непрерывно вложенных в одно и тоже банахово пространство Л7 то
Авев (Ав) = < а Є А : |Н|д = sup \\а\\А < оо L
І вев J
т.е.
где Lqo ~ пространство ограниченных функций на G. Согласно описанию Мильмана и Яверса
\х\
'Ы1
ExpL1/c
Ьоо(Р0,Оо)
откуда, с учетом простого соотношения
\х\
\х\
Ьоо(Р0,Оо)
мы сразу получаем вторую часть теоремы Яно.
В работе 5 подробно рассмотрены функторы А^ и Т,(г\ являющиеся обобщением функторов АиЕ. Авторы рассматривают совместимую пару квазибанаховых пространств (Ao,Ai) и шкалу пространств АеіГ вещественного метода интерполяции с фиксированным г. Норма в А^' определяется следующим образом:
1/г
1/1
А(гЦМ(в)Ав,
в,г
M(0)\\f\\A
3Jawerth, В. Extrapolation Spaces with applications / В.Jawerth, M.Milman // Mem. of the Amer. Math. Soc. 1991. V. 89, No. 440. 82 pp.
4Jawerth, B. New Results and Applications of Extrapolation Theory / B.Jawerth, M.Milman // Interpolation spaces and related topics, Haifa, 1990. Israel Math. Conference Proc, 5. 1992. P. 81-105.
5Karadzhov, G. Extrapolation theory: New results and applications / G.Karadzhov, M.Milman // J. Approx. Theory. 2005. V. 133, No. 1. P. 38-99.
где М{9) — положительная непрерывная функция, параметр функтора /SSr>. В частном случае г = оо получаем функтор А. В той же работе рассмотрены различные приложения описанных конструкций, в частности, позволяющие получать экстраполяционные утверждения типа теоремы Яно. Еще больше возможностей для этого возникает, если в (1) заменить Ь^ произвольным банаховым пространством F. В настоящей диссертационной работе пространства, для которых возможно аналогичное описание нормы с некоторым параметром F, называются экстраполяционными.
Экстраполяционное описание пространств имеет многочисленные приложения в теории ортогональных рядов, анализе Фурье, теории вероятностей и теории дифференциальных уравнений. В связи с приложениями особенно актуальной является экстраполяция в Lp-шкалах. В настоящей диссертационной работе исследуется возможность экстраполяционного описания симметричных пространств именно с помощью Lp-шкалы, в отличие от классических работ Мильмана и Яверса, в которых преимущественно рассматривались интерполяционные шкалы типа Ьрл с фиксированным q.
Еще один вопрос, рассмотренный в диссертации — вопрос о дополняемости подпространств симметричного пространства, порожденных дизъюнктными сжатиями и трансляциями а& = (ik{t) = a(2kt — 1) одной функции a = a{t).
В работах6'7 рассмотрен случай симметричного пространства Е = Е[0, оо) на полуоси [0, оо), где изучалась дополняемость подространства Qa: порожденного дизъюнктными сдвигами функции а Є і?[0,1). Пространство Е там названо "nice space" (Е Є ЛГ), если любое подпространство вида Qa дополняемо. В указанных работах даны необходимые и достаточные условия для принадлежности пространства классу Л/", а также выделены такие пространства среди пространств Орлича, Марцинкевича, Лоренца. Там же предложена характеризация пространств Ьр в классе всех симметричных пространств: доказано, что перестановочно инвариантное пространство Е совпадает с пространством Ьр (0 < р < оо) тогда и только тогда, когда оба пространства Е и ассоциированное к нему Е' принадлежат классу АҐ.
Аналогичные вопросы для пространства Е на отрезке [0,1] рассматрива-
6Hernandez, F.L. Subspaces generated by translations in rearrangement invariant spaces / F.L.Hernandez, E.M.Semenov // J. Func. Anal. 1999. V. 169, No. 1. P. 52-80.
7Hernandez, F.L. A characterization of Lp among rearrangement invariant function spaces / F.L.Hernandez, E.M.Semenov // Positivity. 2000. V. 4, No. . P. 253-258.
лись в работе8. Именно, для произвольного а Є Е и двоичных интервалов
(к-\ к~
П,К I С\П Т С\П
- 5 "?
к = 1,2,... ,2П, п = 0,1,2,
рассмотрим функции, полученные сжатием и трансляциями функции а :
,. Г а{24 -к + 1) , если Є Ащк,
' [ 0 , иначе.
Пространства Qa,n = span{an^}|^=1 конечномерны и, следовательно, дополняемы. В указанной работе вводится множество Щ(Е), состоящее из всех функций а Є Е, для которых подпространства Qa,n равномерно дополняемы в Е (т.е. нормы соответствующих проекторов ограничены одной и той же постоянной). Там же рассмотрены свойства пространства мультипликаторов М(Е): состоящего из всех измеримых функций х = x(t): для которых произведение x(t)y(s) принадлежит і?([0,1] х [0,1]) для всех у Є Е. Доказано, что для сепарабельного пространства имеет место равенство Щ(Е) = М(Е): приведена характеризация пространств Lp[0,1], аналогичная характеризации Lp[0,oo) в6'7.
В диссертации изучается вопрос о дополняемости в симметричном пространстве Е на отрезке [0,1] подпространства Qa = span{afc}^l5 порожденного функциями
( а(2Н-1) , если Є Ак = (2-к}2-к+1}}
[0 , иначе.
Цель работы.
Обобщить понятие экстраполяционного пространства.
Исследовать общие свойства экстраполяционных пространств.
Найти необходимые и достаточные условия экстраполяционности пространств Орлича, Марцинкевича и Лоренца.
Применить введенные экстраполяционные конструкции к исследованию вопроса сходимости ортогональных рядов.
Исследовать задачу о дополняемости подпростанств симметричного пространства, порожденных сжатиями и трансляциями одной функции.
Методика исследований. Используются методы теории функций
8Astashkin, S.V. Multiplicator Space and Complemented Subspaces of rearrangement invariant space / S.V.Astashkin, L.Maligranda and E.M.Semenov // Journal of Functional Analysis. 2003. V. 202. P. 247-276.
действительного переменного и функционального анализа. Применяются также методы теории симметричных пространств и теории интерполяции линейных операторов.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и приводятся с полными доказательствами. Основные результаты работы:
Введено понятие экстраполяционного симметричного пространства с произвольным параметром, изучены общие свойства таких пространств.
Найдено экстраполяционное описание пространств Орлича, Марцинкеви-ча и Лоренца, "близких" к L^.
Введено понятие сильно экстраполяционного пространства, позволяющее описать с помощью Ьр-порм широкий класс пространств, лежащих за пределами Lp-шкалы.
Доказаны теоремы о сходимости ортогональных рядов в экстраполяцион-ных пространствах.
Получены новые результаты о дополняемости подпространств симметричных пространств, рассмотрена связь с пространством мультипликаторов.
Практическая И теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований в рамках теории симметричных пространств, теории интерполяции линейных операторов, гармоническом анализе, теории вероятностей. Они могут быть использованы в процессе подготовки спецкурсов и семинаров для университетов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации прошли апробацию на семинарах по функциональному анализу и теории функций Самарского государственного университета (руководитель - проф. СВ. Асташкин, 2001-2006 г.г.), на международной Казанской летней школе-конференции (г. Казань, 2005 г.), на молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (г. Казань, 2005 г.), на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна (г. Воронеж, 2006 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7] и являются новыми. Из совместных работ [1], [2], [3], [7] в диссертацию вошли только принадлежащие автору результаты.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на 8 параграфов и списка литературы (45 наименований). Общий
объем диссертации — 107 страниц машинописного текста.
Определение и общие свойства экстраполяционных проса ранств
Всюду далее вложение одного банахова пространства в другое понимается как непрерывное, те. Xi С Х0 означает, чю из а: Є Х\ следует, х Є Х[} и \\х\\х0 — С\\х\\хі Для некоюрого С 0. Под равенством Х\ = Хц для банаховых пространств будем подразумевать их совпадение с эквивалентностью норм. Выражение вида F\ х / означает, что cF\ F2 GF\ для некоторых с 0 и С 0, причем эти константы не зависят от всех или части аргументов f\ и F%.
Мы будем рассматривать вещественные функции, заданные на отрезке / = [0,1], на квадрате 1x1 или на полуоси [1, со) и обычной мерой Лебега, измеримые и почти всюду конечные Мы будем также отождествлять функции, равные почти всюду
В пространстве S(U) всех измеримых вещественных почти всюду конечных функций на измеримом пространстве {S\ Е, //} можно ввести меірику где r(t) произвольная положительная суммируемая на Q функция Сходимость в этой метрике эквивалентна сходимости по море. Напомним, что функциональное пространство X называйся идеальным (идеальной структурой, решеткой), если выполнено условие а) из того, что у = y(t) X и \x(t)\ \y{t)\, следует, что х = x(t) X Основные свойства идеальных пространств изложены в [8] Функцией распределения функции x(t) называется функция Таким образом, независимо от области задания функции x(t). функция распределения определена на полуоси (0, +оо). Две функции x(t) и y(t) называются равноизмеримыми, если их функции распределения совпадают. Перестановкой функции x{t) называется неотрицательная функция x (t), определенная на [0, оо), равноизмеримая с x(t), убывающая и непрерывная слева Перестановка всегда существует, единственна и ее можно определить по формуле [11, с 83]: x (t) inf{r : пх(т) t]. В работе речь будет идти о симметричных (перестановочно инвариантных) функциональных пространствах, подробное изложение іеории коїо-рых можно найти в монографиях [И, 37]. Банахово пространсіво X измеримых функций, определенных на / или 1x1, называется еиммеїричньїм, если оно является идеальной пруктурой, т.е выполнено а), и кроме того, выполено условие б) если у = у{) еХи x {t) = y (t), чохЄХп \\х\\ - у Напомним, что два пространства Q\ и 0,2 с мерами / и \ІЧ соотвн-ственно называются изомо])фными, если после смбрасывания из них подмножеств меры нуль можно установить взаимно однозначное соответствие между оставшимися частями, сохраняющее классы измеримых множеств и меру множеств. Известно (см. 22]), что любое измеримое множество А С Ж" с мерой Лебега, цА оо, изоморфно отрезку [0,//Л с мерой Лебега. Как следствие получаем, что между / = [0,1] и / х / сущее і ву-ег изоморфизм. Этот изоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между функциями на отрезке и функциями на квадраче, сохраняющее функции распределения и, следовательно, перестановки Как следствие, взаимно однозначное соответствие можно упановить и между симметричными пространствами Важным и наиболее простым примером симметричных пространств являю і ся Lp -пространства (1 р оо) с обычной нормой: При этом при р q имеет место вложение (с конпантой 1) Lp С LT Кроме того, LOG является самым узким из всех симметричных пространств на [0,1], a L\ — самым широким (11, с, 124]
Другие примеры симметричных пространств — пространс гва Лоренца и Марцинкевича. Пусть (p[t) — к вази вогнутая санкция на [0,1] (т.е положительная непрерывная функция на (0,1], такая, что ip(t) и t/ip(t) возрастают). Кроме того, будем считать, что ір(0) = 0 и lim(_o (/?() = 0. Пространство Марцинкевича М(ф) состоит из всех измеримых на [0,1] функций x(t), для которых конечна норма
Экстраноляционное описание пространств Марцинкевича и Орлича
Пусть Е — симметричное пространство на [0,1], а Є Е. Обозначим через ttn,fc() функцию, определенную на и равноизмеримую с функцией a x- a{t) (ат — оператор рапяжения) Для каждого п = О,1,2,... рассмотрим линейную оболочку функций {ЯН Н-Р которую обозначим QajTl. В статье [27] рассмотрена связь между равномерной дополняемое і ыо пространств Qa,n и пространством мультипликаторов М{Е) (см параграф 3.1) В частности, доказано, что если а Є М{Е), то подпространства QafTl равномерно дополняемы. В сенарабельном пространстве верно и обратное утверждение. Кроме того, в [27] дается характеризация пространг JB Lv в классе всех симметричных пространств на [0,1]. В этой главе исследуеіся дополняемое і ь пространства Qa, являющеі оси замыканием линейной оболочки функций Рассматривается связь с пространством мультипликаторов. Показано, что если а Є М(Е), то пространство Qa дополняемо. Дана новая харакіе-ризация пространств Lp. В последнем параграфе сформулированы некоторые вопросы и возможные ответы на них. 3.1 Тензорное произведение и пространство мультипликаторов Для двух измеримых функций х = x{t) и у = y(t), х,у Є S[0,1], можно определить тензорное произведение eg): Пусть E — симметричное пространство на I. Определение 3.1.1. Пространством мультипликаюров М(Е) пространства Е называется множество функций х 5[0,1], для коюрых конечен функционал (норма в пространстве М[Е)): М{Е) является симметричным пространством на I. Различные евоиеіва пространства мультипликаторов (общие и для конкретных прострашів) изучались в [26]. В частности, там доказано следующее утверждение Теорема 3.1.2. [26, теорема 1.14]. Пусть Е — симметричное пространство на I, сепарабельное или со свойством Фату Тогда оператор В : Е х Е - Е(1 х /), В(х, y){s, t) = х г/, ограничен тогда и только тогда, когда существует константа С О такая, что для любых т Є N, а супремум берется по всем у 0, у Є Е, \\у\\ = 1 и всем наборам функций уг с дизъюнктными носителями, (ny(s) функция распределения функции y(t)). Далее нам понадобится следующий аналог приведенной теоремы Теорема 3.1.3. Пусть Е — произвольное симметричное пространство на I. Тогда у М(Е) тогда и только тогда, когда существует константа С 0 такая, что для произвольного набора действительных чисел a = (at) t справедливо неравенство: Доказательство. В силу симметричности пространств Е и М{Е) можно считать, чю у = у .
Тензорное произведение и пространство мультипликаторов
В параграфе 2 3 найдены необходимые и достаточные условия, при которых справедливо (3), а также приведен пример функции р, для которой не выполнено (2), но, тем не менее, имеет место (3)
Обозначим через дт пространство lr(2 n/ripf(2 n)l/r). Его функциональным аналогом будет пространство Gr — Lr{2 plTy {2 p)llr) функций, определенных на [1,оо). Основным результатом параграфа 2 3 является следующая теорема.
Заметим, что условие ір Д2 возникает как при экстраполяционном описании пространств Марципкевича, так и Лоренца (см, теоремы 2 2 9 и 2 3.1). В связи с этим в параграфе 2 4 введено понятие сильно экстраполя-циошгого пространства Для таких пространств функции имеют эквивалентные нормы. Сильно эксграполяционные просіраштва всегда экстраполяционны, причем норма в параметре эксграполяции F естественным образом определяется через норму самого пространства Кроме того, для соответствующих параметров F справедливо:В параграфе 2.4 показано, что Д2-условию удовлетворяют фундаментальные функции всех сильно экстраполяционных просіранств. Доказана теорема, устанавливающая сильную зксіраполяционность просі])ансів, которые можно получить с помощью /{"-метода интерполяции в нарах (Л(у ),М(у )) и (1ос,Л/(у?)), если р Є Д2 Теорема 2.4.6. Пусть функция tp(t) удовлетворяет А2-условию, F — произвольный параметр вещественного метода интерполяции Тогда пространства (К( р)Жч ))Кг и (L M(cp))f, сильно экстраполяционны Теорема 2 4.6 обобщает некоторые результаты работы [3], где рассматривались пространства Орлича L , построенные по функциям Орлича М вида М(и) — ехр(Ф(и)) с выпуклой Ф, и пространства (Ь , іф)р Конструкция сильно экстраполяционного пространства также обобщает результаїьї работ [30, 41], в которых эксграполяционные утверждения получаются на основе декомпозиционной техники (представление функции в виде суммы, каждое слагаемое в которой рассматривается как элемент соответствующего пространства исходной шкалы). В этих рабо і ах, в частности, показано, чш условия эквивалентны. По поводу декомпозиционной техники смотрите также (29, 31] Теория экстраполяции имеет многочисленные приложения к классическим проблемам анализа, теории вероятностей и дифференциальных уравнений [12, 18, 19, 25, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 43, 44, 45] В параірафе 2 5 рассмотрены приложения экстраполяционного описания симметричных пространств к вопросу сходимости ортогональных рядов. Доказаны следующие теоремы. Известно, что тригонометрическая система и система Уолша не являются базисами в пространствах, расположенных "слишком близко" к L . В то же время в работах [12, 38] С Ф.Лукомский доказал, что ряды но тригонометрической системе и системе Уолша, рассматриваемые в просіран-ствах Лоренца подобного типа, сходятся относительно нормы несколько более широкого пространства Там же доказаны теоремы о точности этого пространства, В диссертации изучаются аналогичные вопросы для се-парабельной части Л/(с/?) пространства Марцинкевича. Из теоремы 2 5.2 вытекает следующее утверждение. Следствие 2.5.4. Пусть р Д2, {фп}=\ ортоиормированная система и для всех х Є М(ір) и натуральных N где Спіх) — коэффициенты Фурье функции х. Если система {фп} полна о М ( / ), то для любого х 6 М(ір) ряд сходится к х в пространстве М( рі), где ip\{t) Х- т Чт Условию следствия удовлетворяют, в частности, тригонометрическая система и система Уолша, Третья глава посвящена вопросу дополняемости подпространств симметричных пространств, порожденных дизъюнктными сжатиями и трансляциями ai = a {t) = a(2kt — 1) одной функции о = a(t). В работах [32, 33) рассмотрен случай симметричного пространства Е = [0, оо) на полуоси [0, оо), где изучалась дополняемость подространства Qa, порожденного дизъюнктными сдвигами функции а Є Е\0,1) Пространство Е там названо "хорошим" (Е Є Л/"), если любое нодпространсіво вида Qa дополняемо. В указанных работах даны необходимые и досіаточ-ные условия для принадлежности прост ранства классу N, выделены классы "хороших" пространств среди пространств Орлича, Марцинкевича, Лоренца Там же предложена характсризация пространств Lp в классе всех симметричных пространств: доказано, что перестановочно инвариантов пространсіво Е совпадает с иросгрансівом Lp (О р со) тогда и только тогда, когда оба пространсгва Е и ассоциированное к нему Е принадлежат классу N.
Подпространства, порожденные сжатиями и трансляциями
Всюду далее вложение одного банахова пространства в другое понимается как непрерывное, те. Xi С Х0 означает, чю из а: Є Х\ следует, х Є Х[} и \\х\\х0 — С\\х\\хі Для некоюрого С 0. Под равенством Х\ = Хц для банаховых пространств будем подразумевать их совпадение с эквивалентностью норм. Выражение вида F\ х / означает, что cF\ F2 GF\ для некоторых с 0 и С 0, причем эти константы не зависят от всех или части аргументов f\ и F%.
Мы будем рассматривать вещественные функции, заданные на отрезке / = [0,1], на квадрате 1x1 или на полуоси [1, со) и обычной мерой Лебега, измеримые и почти всюду конечные Мы будем также отождествлять функции, равные почти всюду В пространстве S(U) всех измеримых вещественных почти всюду конечных функций на измеримом пространстве {S\ Е, //} можно ввести меірику где r(t) произвольная положительная суммируемая на Q функция Сходимость в этой метрике эквивалентна сходимости по море. Напомним, что функциональное пространство X называйся идеальным (идеальной структурой, решеткой), если выполнено условие а) из того, что у = y(t) X и \x(t)\ \y{t)\, следует, что х = x(t) X и Н У. Основные свойства идеальных пространств изложены в [8] Функцией распределения функции x(t) называется функция Таким образом, независимо от области задания функции x(t). функция распределения определена на полуоси (0, +оо). Две функции x(t) и y(t) называются равноизмеримыми, если их функции распределения совпадают. Перестановкой функции x{t) называется неотрицательная функция x (t), определенная на [0, оо), равноизмеримая с x(t), убывающая и непрерывная слева Перестановка всегда существует, единственна и ее можно определить по формуле [11, с 83]: В работе речь будет идти о симметричных (перестановочно инвариантных) функциональных пространствах, подробное изложение іеории коїо-рых можно найти в монографиях [И, 37]. Банахово пространсіво X измеримых функций, определенных на / или 1x1, называется еиммеїричньїм, если оно является идеальной пруктурой, т.е выполнено а), и кроме того, выполено условие б) если у = у{) еХи x {t) = y (t), чохЄХп \\х\\ - у Напомним, что два пространства Q\ и 0,2 с мерами / и \ІЧ соотвн-ственно называются изомо])фными, если после смбрасывания из них подмножеств меры нуль можно установить взаимно однозначное соответствие между оставшимися частями, сохраняющее классы измеримых множеств и меру множеств. Известно (см. 22]), что любое измеримое множество А С Ж" с мерой Лебега, цА оо, изоморфно отрезку [0,//Л с мерой Лебега. Как следствие получаем, что между / = [0,1] и / х / сущее і ву-ег изоморфизм. Этот изоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между функциями на отрезке и функциями на квадраче, сохраняющее функции распределения и, следовательно, перестановки Как следствие, взаимно однозначное соответствие можно упановить и между симметричными пространствами
Важным и наиболее простым примером симметричных пространств являю і ся Lp -пространства (1 р оо) с обычной нормой: При этом при р q имеет место вложение (с конпантой 1) Lp С LT Кроме того, LOG является самым узким из всех симметричных пространств на [0,1], a L\ — самым широким (11, с, 124] Другие примеры симметричных пространств — пространс гва Лоренца и Марцинкевича. Пусть (p[t) — к вази вогнутая санкция на [0,1] (т.е положительная непрерывная функция на (0,1], такая, что ip(t) и t/ip(t) возрастают). Кроме того, будем считать, что ір(0) = 0 и lim(_o (/?() = 0. Пространство Марцинкевича М(ф) состоит из всех измеримых на [0,1] функций x(t), для которых конечна норма
