Содержание к диссертации
Введение
I. Интерполяционные свойства шкал банаховых пространств 7
1.1. Вспомогательные определения 7
1.2. Интерполяционные шкалы 21
1.3. Треугольные операторы в шкалах весовых пространств последовательностей 27
1.4. Интерполяционные теоремы 37
II. Свёртка двух интерполяционных функторов 49
2.1. Некоторые свойства интерполяционных функторов . 49
2.2. Основные свойства функтора свёртки 55
2.3. Свёртка двух функторов Лионса-Петре 61
III. Простраиства с бесконечным множеством параметров 70
3.1. Общее определение многопараметрических пространств Лоренца и Марцинкевича 70
3.2. Сравнение пространств MQ(XO,X\) И A^(XQ,XI) 74
3.3. Двумерные многопараметрические пространства Лоренца и Марцинкевича 80
3.4. Теорема двойственности для пространств с бесконечным множеством параметров 87
3.5. Пространства с бесконечным множеством функциональных параметров 89
Литература 100
- Треугольные операторы в шкалах весовых пространств последовательностей
- Некоторые свойства интерполяционных функторов
- Общее определение многопараметрических пространств Лоренца и Марцинкевича
- Двумерные многопараметрические пространства Лоренца и Марцинкевича
Введение к работе
Метод шкал банаховых пространств, основы которого были заложены в работах С.Г. Крейна [20, 21], является одним из вариантов развития интерполяционной теории. Правильные шкалы были исследованы в работе С.Г. Крейна и Ю.И. Петунина [22]. Подробно их свойства изложены в [23]. Метод шкал тесно связан с вещественным методом интерполяции [14]. Отметим также интересную теорему Вольфа [43] о четырёх пространствах, примыкающую к теореме о реитерации для пространств Лионса-Петре.
Метод вещественной интерполяции, имеющий своим истоком фундаментальную теорему Марцинкевича, введён Лионсом и Петре в [38], [39]. Этот метод описывается функтором, зависящим от двух параметров. В работах В.И. Дмитриева и В.И. Овчинникова [18], Ю.А. Брудного и Н.Я. Кругляка [35] построена общая теория пространств вещественного метода. Обобщённые пространства Лоренца и Марцинкевича впервые возникли в работе А.А. Дмитриева [16]. В дальнейшем некоторые задачи анализа привели к необходимости увеличения числа параметров. Впервые функтор многопараметрической интерполяции появился в работе Е.Д. Нурсултано-ва [26], одним из центральных результатов которой была теорема
о реитерации для многопараметрических пространств. В 1999 году В.И. Овчинников и А.С. Титенков [41] построили пространства с бесконечным множеством параметров. Для этого им пришлось модифицировать норму в классических пространствах Лионса-Петре.
Эти соображения и послужили отправной точкой для данной работы.
Работа состоит из двенадцати параграфов, которые объединены в три главы. В первой главе даются основные определения и изучаются свойства интерполяционных шкал Ха, где 0 < а < 1. Как показано в параграфе 1.2 они являются правильными шкалами. В этом же параграфе приведён пример шкалы, внутри которой не выполняется интерполяционное свойство. Следующие параграфы посвящены доказательству того, что для произвольных шкал интерполяционное свойство всё же имеет место внутри шкалы, если исходная пара как-то связана с весовыми пространствами Lp. Из этого результата в свою очередь вытекает классическая теорема Арази-Цвикеля об описании интерполяционных пространств между Lp и Lq (см. [33]), которая долгое время выглядела обособленным результатом.
Во второй главе вводится понятие свёртки двух интерполяционных функторов и показана корректность такого определения. Основными результатами этой главы являются теорема двойственности для свёртки и теорема о месте свёртки в шкале. В параграфе 2.3 как пример рассматривается свёртка двух функторов Лионса-Петре с одинаковыми вторыми индексами. При этом норму в про-
странствах Лионса-Петре снова приходится модифицировать.
В третьей главе рассматриваются пространства Лоренца и Мар-цинкевича с бесконечным множеством параметров. Параграфы 3.1 и 3.2 посвящены определениям и сравнительному анализу этих пространств. В параграфе 3.3 общее определение пространств с бесконечным множеством параметров проиллюстрировано на примере двумерного случая. Результаты первых трёх параграфов третьей главы аналогичны результатам из [41], но отличаются от них тем, что при использовании обобщённых пространств Лоренца рассматривается иная норма. Далее приводится теорема двойственности для рассматриваемых пространств. Последний параграф посвящен обобщению пространств Лионса-Петре с бесконечным множеством параметров на случай функциональных параметров.
Заметим, что нумерация параграфов в работе двойная, где, как обычно, сначала указывается номер главы, затем номер параграфа. Внутри каждого параграфа все определения, теоремы и т.п. нумеруются заново и получают тройную нумерацию: номер главы, номер параграфа, номер теоремы и т.п. Формулы имеют такую же тройную нумерацию.
Треугольные операторы в шкалах весовых пространств последовательностей
Пусть интерполяционный функтор Те имеет тип #, где О в 1. Это значит, что для любой банаховой пары {Хо, Х\\ пространство Хо = Те (XQ, XI) является промежуточным, то есть существуют константы Ад и Be такие, что и для любого оператора Г, действующего из пары {XQ, Х\) в пару {YQ, YI}, справедлива оценка Заметим, что предполагается независимость констант от интерполируемых пар. Если пространства в паре совпадают, то есть XQ = Х\ = X, то вообще говоря, нормы в пространствах X и (XQ, Х{) не совпадают, однако, справедливы оценки
Далее, рассмотрим пару функторов TQQ И ТВХУ определяющих отображение {Х0, Хг} {Тво (Хо, Хх), Th (Х0, Хх)} из категории банаховых пар в категорию банаховых пар. Пусть {Хо, Х\) - пара банаховых пространств с эквивалентными нормами, то есть Очевидно, что если исходные нормы были эквивалентны, то и полученные нормы будут эквивалентны. Нашей целью будет проследить как изменяются константы эквивалентности С и С" при переходе от пары {Х0, XI] к паре {Хво, Хві}. Всюду в дальнейшем без ограничения общности будем предполагать, что константы С" и С" в (2.1.3) равны, и мы будем их обозначать через С. (Константы в (2.1.3) всегда можно заменить на большие.) По тем же соображениям будем предполагать, что К$0 = Кві = К и Аво = Вво = Аві = Вві = А. Кроме того, в силу леммы 1.2.1 справедливо неравенство (1-2.1) и С#0 = CQX = М. Лемма 2.1.1. Если нормы в пространствах XQ и Х\ эквивалентны, то Доказательство. Ввиду симметричности ситуации, достаточно проверить лишь правое неравенство в (2.1.4). Рассмотрим тождественные вложения Норма первого из них не превосходит С, норма второго равна единице. Применим к этому оператору вложения Т функтор TQX . Тогда получим, ввиду (2.1.1) и (2.1.2), Аналогично поступим с пространством XQ. Рассмотрим вложения и проинтерполируем функтором TQX . Норма первого вложения равна единице, норма второго не превосходит С. Поэтому, рассуждая также, как и в случае пространства Xi, получим \\х\\Хо АКС \\х\\Тві{х Хї). Далее, используя (1.2.1), получаем Ы\ЫхМ М\\х\\] \\х\\% M -W - lkll .xo. Заметим, что показатель степени в последней формуле сторого меньше единицы. Обозначим через IХ00 1,п, Х иП \ пару, которая получается в результате п итераций перехода от {XQ, Х\} К №о № Х\)» ох (Хо, Xi)}. В случае нормально (то есть А — 1) вложенных функторов TQQ и Т&х ДЛЯ любого натурального п имеют место следующие неравенства #]у0О.в1."+увО в1 п Жу.в0,ві,п+1 у.во.ві.п+І жув0 в1. »+1ру-во.в1.п+1 — р_увО ві."п_уво.ві.п} то есть последовательность норм \\х\\хв0,ві,п хв0,в1іП оказывается монотонно возрастающей и ограниченной, а последовательность норм \\х\\хріві,ппх?іві,п монотонно убывающей и также ограниченной. Следовательно, они имеют пределы, по крайней мере, на пересечении пространств. Теорема 2.1.1. Если нормы в паре пространств {XQ, XI} эквивалентны и нормально вложенные функторы !Fe0, Тох имеют тип 9Q, в\ соответственно, то lim II lim II Доказательство. Если положить Тогда DQ = С в силу (2.1.3). Далее методом математической индукции легко показать, что при любом натуральном п Действительно, при п = 1 в силу леммы 2.1.1 i = ЕСа. Предполагаем справедливость равенства (2.1.6) при п = к и докажем его при п = к+1. Так как в силу леммы 2.1.1 D +i = ED%, то по предположению индукции получим
Некоторые свойства интерполяционных функторов
Переходим к третьему этапу. Пусть cp(t) - произвольная кусочно-линейная функция и lim /?() = 0. Это значит, что существуют конечное число N полуинтервалов вида (an_i;anj, на каждом из которых функция (p(t) линейна с угловым коэффициентом кп, где п = 1,N. Рассмотрим JV-мерную пару {/f (а), 1 } и выберем последовательность = (} так, что j - решения системы линейных алгебраических уравнений где - = - — -. Поэтому, если у двух элементов А і-функциональї совпадают, то в силу (2.3.6) совпадают и Я -функционалы, а следовательно нормы этих элементов в пространствах Лионса-Петре равны. Итак, неравенство (2.3.4) верно для всех пар и элементов, у которых -функционал представляет собой кусочно-линейную функцию, так как в силу (2.3.5) и (2.3.6) третий этап сводится ко второму. На четвертом этапе рассмотрим пару {L\, Loo}- Пусть x(t) - произвольная финитная конечнозначная функция. Очевидно, её невозрастающая перестановка x (s) (см. [4] или [24]) будет ступен чатой функцией с конечным числом "ступенек" . Как известно [4], Поэтому К\ (t, х; {Li, Loo}) является кусочно-линейной функцией и, пользуясь утверждением третьего этапа, мы получаем неравенство (2.3.4) для финитных конечнозначных функций. Тогда в силу плотности [24] множества финитных конечнозначных функций в пространстве (Li, Ь00)в1 неравенство (2.3.4) верно для пары {L\, 1/ }. На последнем этапе рассмотрим общий случай. Пусть х Є (XQ, X\)Q . Обозначим через w{t) функционал К\ (t,x; {Хо, Х\}). Тогда lim wit) = 0 и где f(t) — w (t). Здесь мы воспользовались формулой (2.3.7) и тем, что /fi-функционал является вогнутой функцией [4]. Поэтому в силу (2.3.6) Kq (і, re; {Хо, Xi}) = Kq (і, /; {L\1 Ax,}) при любом q. Отсюда следует, что \\x\\gjq = /б/,9- Таким образом, пятый этап сводится к четвертому, и мы завершаем доказательство неравенства (2.3.4). Теорема доказана. Таким образом, несмотря на отсутствие монотонности в новом семействе норм ж0)Р, мы видим, что сохраняются экстремальные свойства пространств Лионса-Петре.
Заметим, что пространства с бесконечным множеством параметров рассматривались в работе [41], но там использовалась другая норма в пространствах Лоренца. Наша нормировка пространств Лоренца позволяет найти взаимосвязь пространств с бесконечным множеством параметров с понятием свёртки, а именно: при всех О в 1 и для любой банаховой пары {XQ, Х\) имеет место равенство в,в,...,в,...{Хъ, Х\) = Тв,\ ,оо(- о» Xi), причём соответствующие нормы равны.
В предыдущем параграфе мы определили два пространства с бесконечным множеством параметров М (Хо,Хі) и A XQ,X\). Естественно стремиться доказать совпадение этих пространств для лю бой пары пространств. Это действительно удается сделать для любой пары X = {XQ,X\}, где нормы пространств XQ И Х\ эквивалентны на пересечении ХоПХ\, в частности для любой пары конечномерных пространств. Для простоты будем считать, что XQ —Х\, а нормы разные, но эквивалентные.
Общее определение многопараметрических пространств Лоренца и Марцинкевича
Доказательство. Первые два пункта доказываются аналогично доказательству соответствующих утверждений предложения 3.3.1. Шар B\j можно диагоналями разбить на несколько секторов. Однако, для любой пары секторов найдется линейный оператор, переводящий один из них в другой. Поэтому для вычисления tn достаточно рассмотреть какой-то один сектор. Обозначим через Sn сектор шара i%, лежащий в первой координатной четверти и прилегающий к оси ординат. Тогда длина одного из катетов сектора Sn равна единице, а длину другого обозначим кп.
Вершина сектора Sn с абсциссой кп делит катет сектора 5n_i в том же отношении, в котором вершина шара 5д-1 делит часть гипотенузы сектора Sn-\, лежащую вне шара д 2. Отсюда Пусть у - ордината точки пересечения гипотенузы сектора Sn и границы шара -Вд-1. Тогда Здесь мы нашли у как точку пересечения двух прямых, заданными своими уравнениями, а также воспользовались формулой (3.3.1). Предложение доказано. Следствие 3.3.1. Пределы последовательностей {ZM„}LO и {ялп} о пРи п совпадают и определяют норму в про странстве Лионса-Петре с бесконечным множеством параметров {іЮво -А,.. Это утверждение вытекает из следствия 3.2.1. С другой стороны, оно следует из предложения 3.3.2, так как Поэтому 1 tn ц . Поскольку l/2n — 0, получим tn —» 1. Следствие 3.3.2. Существует такая последовательность параметров {Onj cn что все VMU \\х\\мп совпадают на некотором невыпуклом конусе, относительная угловая мера которого как угодно близка к единице. Пусть {An}L0 - такая последовательность, что 0 Хп 1 при любом п и произведение Y[ \ сколь угодно близко к единице. Тогда последовательность {#n}Lo зададим так: 9п = log(n (tnXn - Хп + 1). Применяя формулу (3.3.1), получим п-»оо п-+оо J--1- /г,_і хх г,-— 1 хх г=1 г г=0 г г=0 что, в силу выбора последовательности {An}i0 и симметричности шаров Вщ, означает существование требуемого конуса. Теорема 3.3.1. Если в , то пространства {h,loo)e,9,...,e,... и І і неизометричиы. Доказательство. Достаточно рассмотреть двумерный случай. В силу предложений 3.3.1 и 3.3.2 точка ((2 - l)t[ l\t[ l), где h = 4 — 2е — 21_е, лежит на границе единичного шара пространства (I l, llo)e,e е,...і в т0 время как ее норма в пространстве 1\_ не равна 1-е единице. Действительно так как на интервале (0; 1) графики функций /(#) = t\ и д(В) = (2 -1)1 + 1 пересекаются только при 9 — , что противоречит условию теоремы. Рис. 2. Единичные шары пространств ( , 0)1,1,...,1,... и Z. Иллюстрацией теоремы 3.3.1 может служить следующий рисунок, на котором жирным выделен шар пространства с бесконечным множеством параметров.
Двумерные многопараметрические пространства Лоренца и Марцинкевича
Построение пространств У\.$ {Х,Х\) и Аф(Хо,Х\) по аналогии со степенным случаем можно представить в виде последовательного перехода от пары пространств {А ,..., ., {Х Х1)М \,..., п_1{Хо1Х1)} к паре пространств {Л , ,..., ( 0, 1),1 ,..., ( 0, 1)}. При этом все возникающие нормы будут эквивалентны, но наилучшие константы эквивалентности сп связаны следующим соотношением.
Если положить то, в силу леммы 3.5.1, Поэтому 1 Сп с0 . Поскольку 1/2п — 0, получим сп — 1, и, следовательно, Следствие 3.5.1. Если рп Є Ф; то для любой конечномерной пары банаховых пространств пространство М д (Хо,Хі) изометрически совпадает с пространством Аф(Хо,Хі). Следствие 3.5.1 вытекает из теоремы 3.5.1 точно так же, как следствие 3.2.1 вытекало из теоремы 3.2.1. Лемма 3.5.2. Если tpn Є Ф, то пространство A (Li,Loo) изометрически совпадает с замыканием пересечения Ь\ П L в M (Li,Loo). Следствие 3.5.2. Если ірп Є Ф, то пространство A (Zi,Zoo) изометрически совпадает с замыканием 1\ в М » {l\, Zoo) . Последняя лемма и следствие из неё вытекают из леммы 3.2.2 и следствия 3.2.1 так же, как из них следовали лемма 3.2.3 и следствие 3.2.2. Теорема 3.5.2. Для любой банаховой пары X = {Xo,Xi} и любых ірп Є Ф пространство Л (Хо,Хі) совпадает с замыканием ХоПХівШріХьХх). Доказательство. По аналогии со степенным случаем обозначим через $ последовательность {v?n}Li- Тогда Пара пространств {A XQ.XI), М (Х0,ХІ)}, как известно (см. [40]), является частичным ретрактом пары {/i,Zoo}- Поэтому так же, как и при доказательстве теоремы 3.2.2, мы утверждаем, что совпадает с замыканием Л рї Хі) BM (AW,(X0 XI),MV8(XO,XI)). Так как пересечение Х$С\Х\ плотно (см. [40]) в кщ{Х$,Х\), то пространство к$ (Хо, Х\) совпадает с замыканием этого пересечения в М (Х0, Xi). Теорема доказана.
