Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Классификация полугрупп операторов 20
1.1. Определения и вспомогательные утверждения 20
1.2. Диаграмма полугрупп операторов по вложениям 26
1.2.1. Доказательство связей между полугруппами 28
1.2.2. Примеры, иллюстрирующие строгость вложений . 31
Глава 2. Связь между стохастическими задачами и задачами для УЧП в гильбертовых пространствах 45
2.1. Определения и вспомогательные утверждения 45
2.2. Аналог теоремы Фейнмана–Каца в случае гильбертовых пространств 48
2.2.1. Подход Ито 48
2.2.2. Полугрупповой подход 60
Глава3. Приложения 66
3.1. Моделирование броуновского движения в задачах естество знания и финансовой математики 66
3.1.1. Стохастические задачи для процессов математической физики с учетом случайных возмущений 66
3.1.2. Стохастическая задача Коши для цен акций 78
3.2. Применение теоремы Фейнмана–Каца в конечномерном и бесконечномерном случаях 82
Заключение 84
Обозначения 86
Список литературы
- Диаграмма полугрупп операторов по вложениям
- Примеры, иллюстрирующие строгость вложений
- Полугрупповой подход
- Стохастическая задача Коши для цен акций
Диаграмма полугрупп операторов по вложениям
Регуляризованные полугруппы были введены в [30], а существенное развитие получили после выхода работы Дэвиса Б. и Пэнга М. [33], где они были названы С-полугруппами. Однако, учитывая тот факт, что литера С перегружена в теории полугрупп (полугруппы классов Со, Ck) и обычно употребляется когда нужно подчеркнуть какую-либо непрерывность (от «continuous»), данный класс полугрупп, следуя Мельниковой И.В. и Филинкову А.И. (см., напр., [43]), стали называть Л-полугруппами (от «regularized»). В работах [30, 33] рассмотрены экспоненциально ограниченные Л-полугруппы. Работы Миадеры И. [46] и Танаки Н. [51] посвящены исследованию инфинитезимальных генераторов экспоненциально ограниченных Л-полугрупп. Показано, что полугруппы класса Ck и роста а можно рассматривать с точки зрения регуляризации подходящими операторами R. В [52] исследована связь между экспоненциально ограниченными Л-полугруппами и абстрактной задачей Коши. В [34] рассмотрены R-полугруппы, не являющиеся экспоненциально ограниченными, и их связь с абстрактной задачей Коши. Подробное описание связи между экспоненциально ограниченными Л-полугруппами и n-раз интегрированными полугруппами получено в работе [53].
В результате введения множества различных классов полугрупповых семейств в теории полугрупп операторов актуальной стала проблема установления взаимосвязей между введенными семействами и построения классификации различных классов полугрупп.
В настоящей диссертации классификация представлена в форме диаграммы и является продолжением работ [42, 43, 44]. В случае классиче ских полугрупп (обладающих полугрупповым свойством) диаграмма строится по вложению полугрупповых семейств. В случае регуляризованных полугрупп, для которых лишь некоторые преобразования являются полугруппами, диаграмма строится по вложению генераторов этих полугрупп. Отметим, что из вложения полугрупповых семейств следует вложение по генераторам. Особое внимание в диссертации уделено строгости доказываемых вложений.
Развитие теории полугрупп оказывает значительное влияние на развитие бесконечномерных стохастических дифференциальных уравнений. Полученные полугрупповые результаты позволяют использовать их для решения стохастических задач с генераторами различных полугрупп. В случае задачи Коши (0.0.2), вклад в поведение ее решения, наряду со слагаемым, определяемым семейством операторов решения однородной задачи {U(t), t 0} и начальными данными, вносит стохастическая составляющая, также определяемая через семейство {U{t), t 0}.
Наряду с решениями собственно стохастических уравнений, важное место в стохастической теории занимает определение вероятностных характеристик этих решений. Теорема Фейнмана-Каца в конечномерных пространствах устанавливает связь решений задачи Коши для стохастических дифференциальных уравнений с решениями задачи Коши для детерминированных дифференциальных уравнений в частных производных. Функция, осуществляющая связь этих объектов, обладает полугрупповым свойством и, соответственно, к ней применимы полугрупповые методы. В частности, вычисление генератора этой полугруппы позволяет получить вид дифференциального уравнения в частных производных.
Связь, которую устанавливает аналог теоремы Фейнмана-Каца в случае бесконечномерных пространств, полученный в диссертации, важна в обе стороны. В частности, устанавливаемая связь позволяет осуществить переход от стохастического дифференциального уравнения (0.0.2) к бесконечномерному детерминированному уравнению в частных производных для некоторых вероятностных характеристик. Этот переход является важным, поскольку в приложениях зачастую требуется найти не конкретные траектории решений стохастических уравнений, а их вероятностные характеристики. Необходимость связи в обратном направлении диктуется численными методами: имея детерминированное уравнение в частных производных, становится возможным перейти к некоторому стохастическому дифференциальному уравнению и решать его численными стохастическими методами.
Теорема Фейнмана-Каца в конечномерных пространствах связывает решения задачи Коши для стохастических дифференциальных уравнений с броуновским движением {/ЗД, t 0}: LX(t) = a(t,X(t))dt + b(t,X(t))dp(t), іє [0,Т], Х(0)=, (0.0.4) и решениями задачи Коши для детерминированных дифференциальных уравнений в частных производных: gt(t, х) + ait, x)gx(t, х) + b 2 (t, x)gxx(t, х) = 0, д(Т, х) = h(x), (0.0.5) определяющими вероятностные характеристики g(t,x) = №t,x[h(X(T))]. Здесь h произвольная борелевская функция, Е -х - математическое ожидание решения уравнения (0.0.4) с дополнительным условием X(t) = х, 0 t Т.
Взаимосвязь задач (0.0.4)–(0.0.5) первоначально использовалась для нужд физики. Например, процесс {X{t), t Є [0,Т]} описывает случайное движение частиц в жидкости или газе, а g(t,x) - - температуру, являющуюся вероятностной характеристикой. В последние годы важность взаи мосвязи между стохастическими и детерминированными задачами растет в связи с развитием численных методов (см., напр., [45]) и многочисленными приложениями в финансовой математике. Например, если X{t) -цена акции в момент времени t, то g(t, х) - - цена опциона, определяемая уравнением Блэка-Шоулса (см., напр., [3, 35, 50]). Наряду с приложениями стохастических дифференциальных уравнений в конечномерном случае (см., напр., [3, 15, 21, 35, 50]), существуют приложения стохастических уравнений в бесконечномерном случае в финансовой математике [36, 37].
Представленный в диссертации аналог теоремы Фейнмана-Каца в случае бесконечномерных пространств потребовал ответа на множество вопросов, связанных как с обоснованием взаимосвязи, так и с формулировкой задач.
Настоящая диссертация состоит из трех глав. Первая глава посвящена классификации полугрупп операторов решений по вложению полугрупповых семейств и их генераторов. Вторая глава посвящена аналогу на случай гильбертовых пространств теоремы Фейнмана-Каца, которая устанавливает взаимосвязь между решениями стохастических дифференциально-операторных уравнений с генераторами полугрупп в гильбертовом пространстве и решениями детерминированных уравнений в частных производных с производными типа Фреше для некоторых вероятностных характеристик. Третья глава посвящена приложениям: моделирование броуновского движения, использование теоремы Фейнмана-Каца и ее аналога в гильбертовых пространствах.
Примеры, иллюстрирующие строгость вложений
Задача (0.0.2) исследована в предположении, что оператор А является генератором полугруппы класса Со в гильбертовом пространстве Н, оператор В принадлежит пространству линейных ограниченных операторов из Ш в Я, в случае Н-значного Q-винеровского процесса W и пространству операторов Гильберта-Шмидта, в случае цилиндрического винеровского процесса. Глава состоит из двух параграфов.
В параграфе 2.1 приведены определения и вспомогательные утверждения, необходимые для доказательства аналога теоремы Фейнмана-Каца в случае гильбертовых пространств. Дана интерпретация всех объектов уравнений стохастической (0.0.2) и детерминированной (0.0.6) задач Коши, в том числе стохастической свертки и оператора следа от оператора, действующего из гильбертова пространства И в сопряженное к нему И .
В параграфе 2.2 в обе стороны доказана взаимосвязь между решениями стохастической (0.0.2) и детерминированной (0.0.6) задач Коши: «из стохастической в детерминированную» и «из детерминированной в стохастическую». Доказательство импликации «из стохастической в детерминированную» приведено на основе двух подходов — подхода Ито и полугруппового подхода.
Раздел 2.2.1 посвящен первому из подходов. Доказательство в подходе Ито состоит из нескольких этапов. На первом этапе получено свойство Маркова для решения X задачи Коши, на втором этапе доказана мартин-гальность процесса g(t, X(t)) = g(t, x)\x=x{t), на последнем этапе обоснован вывод собственно уравнения в частных производных на базе бесконечномерной формулы Ито для g(t,X{t)). Особое внимание уделено переходу от равенства нулю математического ожидания для функции д к равенству нулю для д. В этом же разделе дано доказательство связи в обратную сторону то есть «из детерминированной в стохастическую задачу».
Раздел 2.2.2 посвящен второму подходу Доказательство в полугрупповом подходе состоит в использовании полугрупповой техники для семейства операторов {Rt, t 0}, определяемых как Rth(x) := g(t,x), затем в вычислении инфинитезимального генератора для этого полугруппового семейства и последующей постановки задачи Коши с генератором, который является замыканием инфинитезимального генератора.
В параграфе 2.2 приведено доказательство взаимосвязи для стохастической задачи с детерминированной как в случае Q-винеровского, так и цилиндрического винеровского процесса. Рассмотрены два типа вероятностных характеристик: g(t,x) = E [h(X(T))] и g(t,x) = E x[h(X(t))]. Показано, что первый из них приводит к обратной детерминированной задаче Коши (0.0.6), а второй - к прямой задаче Коши
(t,x) = / (t,x),Ax\ + Tr \B pt(t}x)BQ\ = 0, д(0,х) = h(x).
Глава 3 посвящена моделированию броуновского движения и примерам использования теоремы Фейнмана-Каца в конечномерном случае, а также ее аналога в бесконечномерном случае. Глава состоит из двух параграфов.
В параграфе 3.1 рассмотрен ряд моделей математической физики и финансовой математики с учетом случайных возмущений, приводящих к стохастическим задачам Коши. В каждом конкретном случае показана структура броуновского движения (в случае конечномерных пространств) или винеровского процесса (в случае бесконечномерных пространств). Построены последовательности приближений к стохастической составляющей и приближенных (по распределению) решений исходной задачи.
Полученные приближения позволяют использовать их в качестве приближенных решений задачи Коши для стохастических дифференциальных уравнений наряду с другими численными методами типа модификации методов Эйлера и Монте–Карло для стохастических уравнений [50]. В цели диссертационной работы не входит исследование порядка точности получаемых приближенных решений. Изложение теории численного решения стохастических задач можно найти в [11, 45].
В разделе 3.1.1 рассмотрены задачи математической физики с учетом случайных возмущений: задача малых колебаний струны с учетом случайных возмущений и задачи распределения тепла в стержне со случайными возмущениями либо на границе, либо на боковой поверхности стержня.
Раздел 3.1.2 посвящен изучению задач финансовой математики в конечномерном случае: рассмотрена задача для цены акций в непрерывном времени и доказана теорема о сходимости решений, получаемых в биномиальных моделях с учетом ненулевой процентной ставки, к геометрическому броуновскому движению, определяемому формулой Блэка–Шоулса– Мертона. Несмотря на то, что результаты о сходимости биномиальных моделей являются хорошо известными в финансовой математике (напр., в [38] данный результат называется мультипликативным вариантом центральной предельной теоремы), важным представляется тот факт, что доказательства сходимости приближений к броуновскому движению и соответствующих приближенных решений в случае ненулевой процентной ставки построены в диссертационной работе по той же схеме, что и в задачах математической физики. Результаты о сходимости для случая нулевой процентной ставки можно найти в [50].
Полугрупповой подход
В частности, устанавливаемая связь позволяет осуществить переход от стохастического дифференциального уравнения (0.0.2) к бесконечномерному детерминированному уравнению в частных производных для некоторых вероятностных характеристик. Этот переход является важным, поскольку в приложениях зачастую требуется найти не конкретные траектории решений стохастических уравнений, а их вероятностные характеристики. Необходимость связи в обратном направлении диктуется численными методами: имея детерминированное уравнение в частных производных, становится возможным перейти к некоторому стохастическому дифференциальному уравнению и решать его численными стохастическими методами.
Теорема Фейнмана-Каца в конечномерных пространствах связывает решения задачи Коши для стохастических дифференциальных уравнений с броуновским движением {/ЗД, t 0}: LX(t) = a(t,X(t))dt + b(t,X(t))dp(t), іє [0,Т], Х(0)=, (0.0.4) и решениями задачи Коши для детерминированных дифференциальных уравнений в частных производных: gt(t, х) + ait, x)gx(t, х) + b 2 (t, x)gxx(t, х) = 0, д(Т, х) = h(x), (0.0.5) определяющими вероятностные характеристики g(t,x) = №t,x[h(X(T))]. Здесь h произвольная борелевская функция, Е -х - математическое ожидание решения уравнения (0.0.4) с дополнительным условием X(t) = х, 0 t Т.
Взаимосвязь задач (0.0.4)–(0.0.5) первоначально использовалась для нужд физики. Например, процесс {X{t), t Є [0,Т]} описывает случайное движение частиц в жидкости или газе, а g(t,x) - - температуру, являющуюся вероятностной характеристикой. В последние годы важность взаи мосвязи между стохастическими и детерминированными задачами растет в связи с развитием численных методов (см., напр., [45]) и многочисленными приложениями в финансовой математике. Например, если X{t) -цена акции в момент времени t, то g(t, х) - - цена опциона, определяемая уравнением Блэка-Шоулса (см., напр., [3, 35, 50]). Наряду с приложениями стохастических дифференциальных уравнений в конечномерном случае (см., напр., [3, 15, 21, 35, 50]), существуют приложения стохастических уравнений в бесконечномерном случае в финансовой математике [36, 37].
Представленный в диссертации аналог теоремы Фейнмана-Каца в случае бесконечномерных пространств потребовал ответа на множество вопросов, связанных как с обоснованием взаимосвязи, так и с формулировкой задач.
Настоящая диссертация состоит из трех глав. Первая глава посвящена классификации полугрупп операторов решений по вложению полугрупповых семейств и их генераторов. Вторая глава посвящена аналогу на случай гильбертовых пространств теоремы Фейнмана-Каца, которая устанавливает взаимосвязь между решениями стохастических дифференциально-операторных уравнений с генераторами полугрупп в гильбертовом пространстве и решениями детерминированных уравнений в частных производных с производными типа Фреше для некоторых вероятностных характеристик. Третья глава посвящена приложениям: моделирование броуновского движения, использование теоремы Фейнмана-Каца и ее аналога в гильбертовых пространствах.
Главы разбиты на параграфы, которые делятся на разделы. Нумерация формул, теорем, предложений, следствий и замечаний тройная и сообщает номер главы, параграфа и номера объекта внутри параграфа. Общий объем работы составляет 94 страницы. Список литературы содержит 55 наименований. Приведем краткий обзор диссертации по главам, параграфам и разделам. Глава 1 посвящена построению классификации полугрупп операторов решений. Глава состоит из трех параграфов.
В параграфе 1.1 даны определения изучаемых объектов, формулировки вспомогательных утверждений и классификация связей между следующими классами полугрупп операторов решений:
Параграф 1.2 диссертации посвящен построению классификации полугрупповых семейств по вложению полугрупп и их генераторов. Она приведена в виде диаграммы, ее вид изображен на Рис. 1. Стрелка вида U\ — U2 на диаграмме означает, что полугруппа класса U\ является полугруппой класса U2. Стрелка вида Ui — U2 означает, что генератор полугруппы класса U\ является генератором полугруппы класса U2.
Рассматриваемые в диаграмме вложения для классических полугрупп справедливы как по генераторам, так и по полугрупповым семействам. Вложение регуляризованных полугрупп справедливо только по генераторам. В случае регуляризованных полугрупп для каждого семейства можно дополнительно рассматривать экспоненциально ограниченный и локальный аналоги.
Чтобы не загромождать итоговую диаграмму, ее часть, демонстрирующая связи между различными полугруппами, суммируемыми по Абелю, вынесена в отдельную вспомогательную диаграмму связей, изображенную на Рис. 2.
В разделе 1.2.1 приведены доказательства справедливости связей. Для классических полугрупп доказательства приведены по вложению полугрупповых семейств, для регуляризованных полугрупп --по вложению их генераторов.
Раздел 1.2.2. посвящен примерам, демонстрирующим строгость вложений между различными рассматриваемыми классами, а также выявляющими какие-либо специфические особенности полугрупп: пример серии полугрупп сколь угодно малого роста, каждая из которых не суммируема по Абелю;
Стохастическая задача Коши для цен акций
Как было указано во введении, полугрупповые методы применяются в каждой главе диссертации. В настоящей главе один из операторов рассматриваемого стохастического уравнения порождает сильно непрерывную полугруппу Кроме того устанавливается полугрупповое свойство для семейства вероятностных характеристик от решения стохастической задачи, которое связывает исследуемую стохастическую задачу Коши с детерминированной задачей в частных производных, затем вычисляется генератор этого полугруппового семейства.
Пусть оператор А является генератором полугруппы {U(t), t 0} класса С0 в гильбертовом пространстве Я. Это обеспечивает равномерную корректность задачи Коши для соответствующего однородного уравнения X (t) = АХ {t) и существование сильно непрерывного семейства операторов решения для однородной задачи, а также существование и единственность слабого решения стохастической задачи (2.1.1) с Н-значным вине-ровским процессом W (см., напр., [1, 31]):
В дальнейшем будут рассматриваться Q-винеровский или цилиндрическим винеровский процессы. Сформулируем их определения:
Определение 2.1.1. Пусть оператор Q является оператором следа из гильбертова пространства значный стохастический процесс W = {W(t), t 0} называется Q-винеровским, если выполнены следующие свойства: 1) W{0) = 0. 2) W имеет непрерывные траектории. 3) W имеет независимые приращения. 4) W(t) - W(s) имеет распределение Л/"(0, (t - s)Q) для всех 0 s t. Процесс называется цилиндрическим винеровским, если выполнены свойства 1)-3) и условие 4) с Q = I.
Стохастическая свертка WA(t) в формуле (2.1.2) с винеровским процессом (как Q-винеровским, так и цилиндрическим винеровским) определяется при следующих условиях
В случае Q-винеровского процесса оператор Q является оператором следа и для выполнения (2.1.3) достаточно, чтобы операторы U(s)B, s Є [0,Т], в частности В, были ограниченными. В случае цилиндрического винеровско-го процесса оператор Q является ограниченным с TrQ = оо (для простоты будем полагать, что Q = І); в этом случае для справедливости (2.1.3) достаточно, чтобы сами операторы U{s)B, s Є [0,Т], в частности Б, были операторами Гильберта-Шмидта. Рассмотрим детерминированное дифференциальное уравнение в частных производных (0.0.6):
Определим функцию g(t,x) := E x[h(X(T))}, где X - - решение стохастической задачи (2.1.1). Функция д переводит [0,Т] хЯві. Покажем, что д удовлетворяет бесконечномерной детерминированной задаче Коши (2.1.4), соответствующей стохастической задаче (2.1.1).
Как отмечалось ранее, в случае цилиндрического винеровского процесса W оператор Q считаем равным / и задача (2.1.4) переписывается следующим образом: mМ) + (%{t xlAx) + \Тг \в Ш х)в\ = д{т х) = h{x) (2.1.5) В этом случае условие на оператор Я быть оператором Гильберта-Шмидта гарантирует, что оператор под знаком следа, B Q (t,x)B, действительно является оператором следа. требует специального внимания. Выражение Тг обычно понимается как след оператора, действующего в одном и том же гильбертовом пространстве. Оператор под знаком следа в уравнении (2.1.4) отображает гильбертово пространство Ш в сопряженное к нему И . Используя традиционное определение следа для некоторого оператора и теорему Рисса об изоморфизме Н и Г, то есть отождествляя Є с И, можно в определении (2.1.6) придать смысл знаку следа для оператора, действующего из Ш в В . Заметим, что изоморфизм позволяет нам рассматривать операторы BQ, Я и как отображения из Є в Я, из Я в И и из Я в Я, соответственно. Тогда оператор B QBQ =: R отображает гильбертово пространство Ш в Ш и след этого оператора можно рассматривать в обычном смысле: в случае Q-винеровского процесса мы имеем
Сначала докажем некоторые вспомогательные свойства процесса X, который является решением задачи (2.1.1), и функции g{t,x), которая определяет взаимосвязь между решениями задач (2.1.1) и (2.1.4). Данные свойства получим для более общего класса процессов, чем будем использовать впоследствии при доказательстве аналога теоремы Фейнмана-Каца, для диффузионных процессов. Решение уравнения (2.1.1) является частным случаем диффузионного процесса.
Определение 2.2.2. Н-значный процесс Ито {X{t), t 0} называется диффузионным, если он может быть записан в форме dX(t) = a(X(t))dt + b(X(t))dW(t), (2.2.7) где а иЪ - некоторые измеримые функции, W(t) - винеровский процесс. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (2.2.7) dX{t) = a{X{t))dt + b{X{t))dW{t), te [0,Т], Х{0) = . (2.2.8)
В данной работе рассматриваются только такие диффузионные процессы, для которых существование и единственность решения стохастической задачи Коши (2.2.8) имеет место2. Как уже отмечалось ранее, это единственное решение может быть записано в виде суммы слагаемого, зависящего от начальных данных, и стохастической свертки.
Для того, чтобы доказать бесконечномерный аналог теоремы Фейнмана-Каца, важно установить справедливость свойства Маркова для решения задачи Коши (2.2.8). Следующее утверждение является обобщением конечномерного результата (см. теорему 7.1.2, [15]) на случай гильбертовых пространств.
Предложение 2.2.1. Пусть процесс X = X{t), t Є [0,Т] - единственное решение задачи (2.2.8). Тогда X обладает свойством Маркова относительно фильтра #г, г 0, определенного винеровским процессом W:
Это может быть обеспечено различными способами. Например, это может быть обеспечено при помощи оценки на коэффициенты а и Ъ: \\a(Zl) - a(z2)\\ + \\b(Zl) - b(z2)\\ фі - z2\\, zu z2 Є Я, с Є R (см. теорему 2.1, [5], ч. VII). Мы не рассматриваем конкретную форму условий, а лишь предполагаем, что существование и единственность решения задачи Коши имеет место. для любой измеримой борелевской функции h: Я - К
Доказательство. Пусть Хт ж, т Є [0,Т], ж Є Я - - решение задачи Коши для уравнения (2.2.7) с начальным условием Х(г) = х. В этих обозначениях процесс X, который является решением задачи Коши (2.2.8), может быть записан как Х0 . Нетрудно видеть, что сужение X{t) на отрезок t Є [т,Т] также является решением задачи Коши для уравнения (2.2.7) с начальным условием х = Х(т): в силу единственности решения задачи Коши (2.2.8), имеем X{t) = XT x \t), t г, почти наверное и
