Содержание к диссертации
Введение
1 Литературный обзор 9
1.1 Моделирование вихревых систем методом молекулярной динамики . 10
1.2 Периодический пишшнг 12
1.3 Моделирование вихревых систем методом Монте-Карло 16
1.4 Квантовые флуктуации 19
1.5 Выводы и постановка задачи 21
2 Метод расчета намагниченности 23
2.1 Классическая модель системы вихрей 23
2.2 Методы Монте-Карло 27
2.3 Метод Монте-Карло для классической вихревой системы 29
2.4 Тестовые расчеты 32
2.5 Заключение к главе 2 35
3 Хаотический пиннинг 36
3.1 Кривые намагниченности 36
3.2 Профили магнитного потока 41
3.3 Проникновение и распределение магнитного потока в сверхпроводниках 43
3.4 Заключение к главе 3 49
4 Периодический пиннинг 51
4.1 Треугольная решетка точечных дефектов 52
4.2 Квадратная решетка точечных дефектов 62
4.3 Kagome решетка точечных дефектов 73
4.4 Треугольная нсцентрированная решетка точечных дефектов 79
4.5 Квадратная решетка расширенных дефектов 84
4.6 Прямоугольная центрированная решетка с двумя точечными дефектами в ячейке 95
4.7 Инверсная кристаллизация системы вихрей 100
4.8 Заключение к главе 4 106
5 Роль квантовых флуктуации 109
5.1 Вихревая система с учетом квантовых флуктуации 109
5.2 Квантовый метод Монте-Карло 111
5.3 Тестовые расчеты 119
5.4 Плавление под воздействием квантовых флуктуации 122
5.5 Заключение к главе 5 126
Заключение 127
Список литературы 130
- Моделирование вихревых систем методом Монте-Карло
- Метод Монте-Карло для классической вихревой системы
- Проникновение и распределение магнитного потока в сверхпроводниках
- Прямоугольная центрированная решетка с двумя точечными дефектами в ячейке
Введение к работе
Открытие сверхпроводников с высокой температурой сверхпроводящего перехода стимулировало более интенсивное изучение смешанного состояния, в котором сверхпроводимость существует совместно с неоднородным магнитным полем, проникающим внутрь материала. На фазовой диаграмме магнитное поле-температура (Н — Т) область смешанного состояния сверхпроводника II рода ограничена зависимостями от температуры второго //е2(Т) и первого Hci{T) критических полей. При промежуточных значениях величины магнитного поля в сверхпроводник проникает магнитный поток в виде вихрей Абрикосова. Присутствие дефектов различной природы в материале сверхпроводника приводит к пиннингу вихревых нитей, что отражается на процессах проникновения и захвата магнитного потока в сверхпроводнике. Помимо магнитных свойств, состояние вихревой системы также определяет транспортные характеристики сверхпроводника. Высокие значения критических параметров, характерные для высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП), открывают широкие возможности для практических приложений. Таким образом, изучение поведения ВТСП в магнитных полях, анализ процессов проникновения, распределения и захвата магнитного потока в ВТСП имеет важное значение как с научной, так и практической точек зрения.
Поведение намагниченности М сверхпроводников второго рода в зависимости от внешнего магнитного поля Н представляет значительный интерес. Зная зависимость М(Н), можно определить как фундаментальные параметры сверхпроводника, например нижнее и верхнее критические поля, так и практически важные величины - значение критического тока Jc и гистерезисные потери в сверхпроводнике. Теоретическому описанию намагниченности бездефектных сверхпровод-
Введение 2
пиков посвящено достаточно большое число работ (см., например, обзоры [1, 2]). Вблизи Hci(T) сердцевины вихрей занимают лишь малую часть объема, и для нахождения М{Н) при значениях параметра Гинзбурга - Ландау к ^ 1 используется лондоновское приближение, в рамках которого при вычислении локальных полей и токов вне сердцевин вихрей модуль параметра порядка полагается равным единице. В лондоновской модели зависимость намагниченности М идеального изотропного сверхпроводника от магнитного поля Н в случае Н <С Нсъ хорошо описывается формулой Феттера [3]. В больших полях лондоповская модель не применима, так как плотность вихрей в этом случае велика. Вблизи второго критического поля Нс2(Т) справедливо выражение Абрикосова [4]. Поведение намагниченности во всем диапазоне полей от #сі(Т) до Н&{Т) описано в [5, 6] и, наконец, в [7] предложен вариационный метод, учитывающий структуру параметра порядка вблизи центра вихря, позволяющий самосогласованным образом в приближении Вигиера-Зейтца получить аналитическую зависимость намагниченности сверхпроводника второго рода от магнитного поля. Вместе с тем, подчеркнем, что все вышеперечисленные методы рассматривают бездефектные сверхпроводники и не позволяют в едином подходе рассчитать замкнутую петлю намагниченности при циклическом изменении магнитного поля для сверхпроводников с дефектами.
В тоже время, именно наличие дефектов делает реальным практические приложения сверхпроводимости. Как известно, критический ток абсолютно чистого сверхпроводника второго рода равен нулю. И только пиннинг вихрей па дефектах и неоднородностях обеспечивает бездиссипативное протекание транспортного тока. Таким образом, именно исследования вихревых систем в присутствии дефектов представляют наибольший интерес с точки зрения практических приложений.
Наиболее известной моделью, описывающей поведение сверхпроводника второго рода с дефектами, является модель Бина [8]. Однако модель Бина справедлива только в случае жесткого сверхпроводника, т.е. сверхпроводника с сильным
Введение
пиннингом. Другие известные расчеты намагниченности дефектных сверхпроводников основываются на априорных предположениях о зависимости электрического поля [9] или силы пиннипга [10] от величины магнитной индукции В либо величины транспортного тока j.
С учетом вышесказанного, чрезвычайный интерес представляют подходы, позволяющие рассчитывать намагниченность сверхпроводника второго рода с дефектами на основании исходного функционала (гамильтониана) системы вихрей, максимально подробно учитывающего различные вклады - парное взаимодействие вихрей, взаимодействие вихрей с дефектами, поверхностью сверхпроводника и др. Необходимость в дополнительных, часто заведомо искусственных предположениях при этом отпадает.
В последнее время появилось большое число экспериментальных работ, изучающих взаимодействие вихревой решетки Абрикосова с периодической искусственно созданной структурой центров пшшинга в виде как микродырок, так и субмикронных частиц из магнитного или немагнитного материала (см., например, [11]). В экспериментах наблюдаются особенности на кривых намагниченности, а также особенности на зависимостях от магнитного поля критического тока и электросопротивления, которые трактуются как режимы соответствия вихревой решетки и решетки центров пиннинга. Предполагается, что структурные переходы в системе вихрей оказывают существенное влияние на поведение намагниченности, а также других характеристик сверхпроводника. В связи со сложностью постановки подобных экспериментов, а также необходимостью объяснения наблюдаемых явлений актуальными являются теоретические исследования вихревых систем в случае периодического пиннинга.
Из вышесказанного следует, что нарушения порядка путем введения дефектов и примесей оказывает существенное влияние на поведение вихревых систем. В то же время к факторам нарушения порядка могут быть отнесены флуктуации различной природы. Основные особенности влияния термических флуктуации на поведение вихревых систем рассмотрены в работах [1, 12, 13, 14, 15, 16]..
Введение 4
Ряд исследователей (см. например (17, 18]) предполагает, что помимо термических флуктуации квантовые флуктуации играют значительную роль в вихревых системах и могут оказывать существенное влияние на основные характеристики сверхпроводника. Таким образом, изучение эффектов, связанных с нарушением порядка под воздействием, квантовых флуктуации, представляет значительный интерес.
Высокотемпературный сверхпроводник с дефектами при наличии вихревой структуры представляет собой сложную систему с большим числом степеней свободы. Это приводит к тому, что наличие значительного числа взаимодействующих друг с другом и с дефектами вихревых нитей затрудняет процесс аналитического анализа явлений, происходящих при изменении внешних и внутренних параметров сверхпроводника.
В связи с этим, для решения перечисленных проблем особое значение приобретают численные методы моделирования вихревых систем в ВТСП, позволяющие получать физические характеристики системы при полном контроле вводимых параметров, в том числе параметров дефектной структуры. Одним из наиболее мощных методов, позволяющих решить перечисленные проблемы, является метод Монте-Карло.
Целью работы является исследование процессов проникновения и распределения магнитного потока в высокотемпературных слоистых сверхпроводниках с различной дефектной структурой методом стохастического моделирования- методом Монте-Карло.
Научная новизна результатов, полученных при выполнении работы, состоит в следующем:
1. Для исследования процессов проникновения, распределения и захвата магнитного потока в высокотемпературных слоистых сверхпроводниках разработаны алгоритмы и программы, позволяющие методом Монте-Карло рассчитывать намагниченность слоистого сверхпроводника второго рода,
Введение
распределения вихревой плотности и магнитного потока в слоистом сверхпроводнике второго рода в широком диапазоне полей и температур в случае произвольного распределения дефектов различного типа.
Рассчитаны зависимости намагниченности от внешнего магнитного поля в случае различных концентраций хаотически распределенных дефектов. Изучены процессы проникновения и распределения магнитного потока в сверхпроводниках при хаотическом пиннинге. Показано, что процесс перс-магничивания сверхпроводника сопровождается эффектом движения волны аннигиляции магнитного потока. Отмечены основные свойства волны аннигиляции магнитного потока.
Проведено исследование вихревых систем в случае различных упорядоченных конфигураций центров пиннинга. Установлена различная природа особенностей, возникающих на кривых намагниченности, в случае периодического пиннинга. Получены новые упорядоченные конфигурации системы вихрей, сопровождающиеся особенностями на кривых намагниченности.
Показано, что в случае периодического пиннинга возможно упорядочивание вихревой структуры при повышении температуры - инверсная кристаллизация системы вихрей.
Изучено влияние квантовых флуктуации на структуру вихревых систем. Показано, что под воздействием квантовых флуктуации система вихрей плавится в области низких температур, где термические флуктуации не оказывают значительного влияния.
Практическая значимость работы.
Разработанная методика расчета позволяет исследовать системы вихрей Абрикосова в широком диапазоне полей и температур в случае произвольного распределения дефектов различного типа.
Результаты расчетов кривых намагниченности, распределений магнитного потока и вихревой плотности могут быть использованы для интерпретации ре-
Введение
зультатов экспериментальных исследований и при планировании новых экспериментов.
Методика исследования.
Исследования были проведены методом стохастического математического моделирования (методом Монте-Карло). Для решения конкретных задач были развиты алгоритмы Монте-Карло с учетом особенностей вихревых систем. Алгоритмы реализованы на стандартном языке программирования Compaq Visual FORTRAN 6.5.
На защиту выносятся следующие основные положения диссертации:
Методики моделирования вихревых систем при различных внешних параметрах - внешнее магнитное поле, температура, распределение и тип дефектов.
Результаты расчетов кривых намагниченности при хаотическом и периодическом распределениях центров пишшнга.
Результаты расчетов распределений вихревой плотности и магнитного поля, соответствующие процессу перемагничивания сверхпроводника, а также структурным переходам в системе вихрей в случае периодического пиннин-га.
Вывод о том, что в случае периодического пиннинга возможна инверсная кристаллизация системы вихрей, заключающаяся в упорядочении системы вихрей при повышении температуры.
Результаты моделирования системы вихрей с учетом квантовых эффектов, которые показали, что вихревая система разупорядочивается под воздействием квантовых флуктуации в области низких температур.
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения
Введение
Первая глава посвящена литературному обзору, Проведен сравнительный анализ исследований в области моделирования вихревых систем в ВТСП. Обсуждаются современные работы, посвященные изучению влияния хаотического и периодического пиннннга па поведение вихревых систем. Особое внимание уделено способам расчета зависимостей намагниченности от внешнего магнитного поля. Рассмотрены вопросы, связанные с учетом влияния квантовых флуктуации в системах вихрей.
Во второй главе на основе метода Монте-Карло развита методика, позволяющая рассчитывать кривые намагниченности, распределения плотности вихрей и магнитного потока для сверхпроводников второго рода в широком диапазоне полей и температур при произвольном распределении любого типа дефектов. Представлены результаты тестовых расчетов, проведенных с использованием развитых методов.
Третья глава посвящена исследованию поведения системы вихрей в случае хаотически распределенного поля дефектов. Представлены результаты моделирования процесса перемагничивания ВТСП пластины в случае различных концентраций хаотически распределенных центров пиннинга и различных температур. На основе данных расчетов проанализировано влияние различных внешних факторов на форму петель намагниченности. Рассмотрены механизмы возникновения необратимости петли намагниченности. На основе рассчитанных профилей магнитной индукции сделан вывод о границах применимости модели Бина. Представлены распределения магнитного потока, визуализирующие процесс перемагничивания пластины в случае различных концентраций хаотически распределенных центров пиннинга. Показано, что процесс перемагничивания сопровождается эффектом движения „волны аннигиляции" магнитного потока. Аналогичные эффекты наблюдались в современных экспериментальных исследованиях.
В четвертой главе приведены результаты моделирования системы вихрей в случае периодического пиннинга. Представлены рассчитаные кривые намагниченности, распределения вихревой плотности магнитного потока для различных
Введение
решеток дефектов в широком диапазоне полей и температур. Показано, что в случае периодического пиннинга на кривых зависимости намагниченности от внешнего магнитного поля М(Н) наблюдается ряд пиков, связанных со взаимодействием вихревой решетки и решетки центров пиннинга. Проанализирована природа возникновения этих особенностей на кривых намагниченности. Кроме того, обнаружено явление упорядочения вихревой системы с периодическим пишшнгом при повышении температуры - эффект инверсной кристаллизации. Инверсная кристаллизация системы вихрей Абрикосова в случае периодического пиннинга предсказывается впервые.
В пятой главе рассмотрена система вихрей в двумерном сверхпроводнике второго рода с учетом квантовых флуктуации. Для исследования вихревых систем с учетом квантовых флукуаций развит универсальный петлевой алгоритм квантового Монте-Карло. Представлены результаты расчетов в широком диапазоне температур при различной интенсивности квантовых флуктуации. Показано, что вихревая система плавится в области низких температур под воздействием квантовых флуктуации.
Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на: 32 Всероссийском совещании по физике низких температур (3-6 октября 2000, Казань); 10th International Workshop on Critical Current (4-7 June 2001, Gottingen, Germany); XXXIII Совещании по физике низких температур (Екатеринбург, 17--20 июня 2003 г.); Первой международной конференции "Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости" (18-22 октября 2004 г., Звенигород); Научных сессиях МИФИ в 2001, 2002, 2004 годах.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, в том числе в журналах "Письма в ЖЭТФ","ЖЭТФ", "Physical Review Б","Physics Letters A", "Superconductor Science and Technology".
Моделирование вихревых систем методом Монте-Карло
Попытки провести численный расчет намагниченности двумерного сверхпроводящего слоя с дефектами при увеличении и уменьшении внешнего магнитного поля предприняты в [19] методом молекулярной динамики. Идея метода молекулярной динамики заключается в численном интегрировании уравнения движения. Авторы [19], описывая систему вихрей, выделяют силу межвихревого взаимодействия Fvv и силу взаимодействия вихрей с центрами пипниига Fvp , таким образом, общее уравнение движения имеет следующий вид: F — Fvv + Fvp = TJV, где 7] - вязкость, а V - скорость движения вихря. Очевидно, что, работая в рамках метода молекулярной динамики, необходимо изначально задаться числом рассматриваемых вихрей. В тоже время, при изменении внешнего магнитного поля число вихрей в сверхпроводнике изменяется. Этот факт поставил серьезную проблему перед авторами [19], и для моделирования проникновения магнитного потока в сверхпроводник и расчета намагниченности они использовали искусственный прием. Рассматриваемый образец был разделен на части. Середина образца содержала заданное количество центров пиннинга, а по краям находились чистые области, периодически замкнутые друг на друга. В процессе моделирования в чистую область добавлялись вихри, и путем интегрирования уравнения движения исследовалось поведение системы при заданном числе вихрей. А внешнее поле определялось из средней плотности вихрей в чистой области, которую авторы называют "источником вихрей".
Авторы [19] при Т = 0 и различной плотности дефектов рассчитали кривые намагниченности. Однако искусственность модели, отсутствие учета влияния поверхности сверхпроводника на процессы проникновения магнитного потока позволяют рассматривать полученные результаты лишь с качественной точки зрения. В частности, используемая модель не позволяет корректно воспроизвести мейсснеровское состояние. А при малой плотности дефектов, исходя из предложешюй процедуры расчета, можно сделать вывод, что значение намагниченности будет равно нулю. Это противоречит известным теоретическим моделям и экспериментальным данным,
Несмотря на описанные выше проблемы, метод молекулярной динамики применим для моделирования динамических процессов при фиксированном числе вихрей, а именно - для расчета вольт-амперных характеристик сверхпроводника (в работах, посвященных моделированию, чаще говорят о зависимостях скорости движения вихрей от величины движущей силы, что с точностью до перенормировки является вольт-амперпой характеристикой), определения устойчивых конфигураций вихревой системы, исследования плавления решетки вихрей. Для расчета вольт-амперных характеристик в уравнение движения добавляется так называемая движущая сила (driving force), представляющая собой силу Лоренца, действующую на вихри со стороны транспортного тока. Температура учитывается путем введения флуктуацнонной силы Ft , представляющей собой Ланжевеновский белый шум (Langevin white noise). Работы, посвященные расчету вольт-амперных характеристик, в современной литературе представлены чрезвычайно широко.
Работа [20] посвящена исследованию неравновесной динамики вихревой системы в хаотическом потенциале, сформированном случайно распределенными точечными центрами пиннинга. На основании рассчитанных вольт-амперных характеристик авторы сделали вывод о существовании двух различных динамических фазовых режимов в зависимости от жесткости вихревой решетки: эластичный режим, который характеризуется когерентным движением вихрей, и режим пластичного течения вихревой жидкости. Обнаружено, что при переходе из эластичного режима в пластичный наблюдается увеличение критической плотности тока Jc, однако в пластичном режиме Зс уменьшается.
Авторы [21] изучали поперечный депиннинг движущейся вихревой решетки, взаимодействующей с хаотически распределенными центрами пиннинга. Было обнаружено, что при больших значениях продольной движущей силы, когда структура движущейся решетки практически идеальна, формируется поперечный барьер конечной величины. При меньших значениях движущей силы в структуре решетки появляются дефекты. Поперечный барьер в этом режиме уменьшается, но остается конечным. В сильно разупорядоченной фазе пластического течения поперечный барьер отсутствует. В целом было обнаружено, что поперечный переход депишшнга эластичный в противоположность продольному пластичному депиннингу.
Работа [22] посвящена анализу динамики вихревого движения сквозь образец с хаотическим пиннингом. Глубина центров пиннинга была распределена по Гаус-совому закону. Авторы обнаружили два различных режима пластичного течения вихрей в зависимости от силы пиннинга. При слабом пиннинге наблюдалось течение по прямым каналам, а при увеличении силы пиннинга каналы начинали переплетаться, что сопровождалось сильными флуктуациями. Было установлено, что каналы движения вихрей представляют собой фрактальные сети. Причем размерность фрактальной структуры уменьшается при увеличении силы пиннинга.
Многие практические применения сверхпроводящих материалов требуют высоких значений критических токов, и искусственно созданные периодически расположенные центры пиннинга способны решить эту задачу. Возрастание интереса к проблеме периодического пиннинга, наблюдаемое в последнее Бремя связано с определенными продвижениями в технике искусственного создания дефектов (см., например [llj). К примеру, с помощью облучения тяжелыми ионами можно получить колонообразные (columns) дефекты. Электронная литография высокого разрешения используется для создания упорядоченных массивов магнитных частиц. Искусственное создание дефектных структур позволяет изучать явление пиннинга при изменении контролируемых параметров: размера, распределения, "глубины" центров пиннинга. Наличие решетки центров пишшнга приводит к возникновению эффектов соответствия между числом вихрей и числом дефектов, которые являются причиной формирования упорядоченных конфигураций системы вихрей, существенно отличающихся от привычной треугольной решетки. В свою очередь, упорядоченность системы вихрей приводит к особенностям в намагниченности и зависимостях критического тока и электросопротивления от магнитного поля. В экспериментах, изучающих взаимодействие вихревой решетки Абрикосова с периодической искусственно созданной структурой центров пиннинга в виде как микродырок, так и субмикронных частиц из магнитного или немагнитного материала, наблюдаются особенности на кривых намагниченности, а также особенности на зависимостях критического тока и электросопротивления от магнитного поля, которые трактуются как режимы соответствия вихревой решетки и решетки центров пиннинга (см., например, [11, 23, 24, 25, 26]). Прямое наблюдение режимов подстройки вихревой системы под периодическую решетку центров пиннинга было проведено методом сканирующей Холловской магнитометрии [24].
Метод Монте-Карло для классической вихревой системы
Теоретическим исследованиям вихревых систем с учетом возможных квантовых эффектов также посвящено значительное число современных работ [49, 50, 51, 52, 53].
Авторы работы [49] исследовали влияние квантовых флуктуации в системе вихрей на величину критического тока в приближении упругой среды. Было обнаружено, что в квантовом пределе (пределе низких температур) величина критического тока слабо зависит от температуры, в то время как в классическом пределе выделяются области степенной и экспоненциальной зависимости критического тока от температуры.
В работе [50] рассмотрена двумерная вихревая система при Т = 0. Основываясь на критерии Линдемана, авторы показали, что вихревая система плавиться при Г — 0 под воздействием квантовых флуктуации.
Дуальная теория (dual theory) применена к вихревой системе для анализа влияния квантовых флуктуации автором работы [51]. Сделан вывод, что при Т — 0 квантовые флуктуации существенны для купратных сверхпроводников.
В работе [52] траекторным методом квантового Монте-Карло в дискретном мнимом времени проведено исследование двумерной вихревой системы. Расчеты показали наличие сверхтекучей компоненты в данной системе при Т — 0, что по мнению авторов, приводит к нелинейному закону вольт-амперной характеристики.
Авторы [53] аналитически в приближении упругой среды исследовали явление коллективного квантового крипа. Было показано, что при ультранизких температурах возможно туннелированис между различными метастабилыгыми состояниями, которое является предпосылкой для квантового крипа. Отметим, что аналогия между системой вихрей и системой квантовых бозонов плодотворно использовалась в большом числе [54, 55, 56, 57, 58] теоретических исследований вихревых систем. На основании анализа современных работ, посвященных исследованию вихревых систем, можно сделать следующие выводы. Известные процедуры расчета намагниченности М сверхпроводников второго рода методом молекулярной динамики нельзя признать корректными в силу того, что динамические методы предполагают работу с фиксированным числом объектов (канонический ансамбль). Однако число вихрей в сверхпроводнике не фиксировано, а определяется значением внешнего магнитного поля Я, которое играет роль химического потенциала для данной системы. Тем не менее, метод молекулярной динамики применим в случае исследования вихревых систем при заданном значении числа вихрей, а следовательно и магнитной индукции В. Примерами таких исследований являются многочисленные работы, посвященные изучению вихревых систем в токовом состоянии. Существенные продвижения в технике искусственного создания дефектов открывают широкие перспективы для экспериментальных исследований (и дальнейших практических приложений) в области влияния периодического пшшинга на поведение вихревых систем. Таким образом, возникает необходимость в проведении теоретических исследований вихревых систем с периодическим пиннингом для интерпретации существующих экспериментальных данных, а также для планирования новых экспериментов. Современные работы, посвященные моделированию систем вихрей в условиях периодического пишіинга, свидетельствуют о возникновении упорядоченных конфигураций системы вихрей, сопровождающихся особенностями на кривых намагниченности. Однако расчеты намагниченности, проведенные методом молекулярной динамики, не могут быть признаны корректными в силу причин, отмеченных выше. Следовательно, необходимы дополнительные исследования природы особенностей на кривых намагниченности при периодическом пиннинге. В последнее время появился ряд экспериментальных работ, результаты которых интерпретируются в терминах квантовых флуктуации вихревой системы. Для прояснения роли квантовых флуктуации в вихревых системах необходимы дополнительные исследования. Многочисленные успешные исследования вихревых систем, проведенные методом Монте-Карло, свидетельствуют о высокой эффективности данного подхода. Целью всех работ, выполненных с использованием метода Монте-Карло, было исследование фазовых превращений в системе вихрей. Заметим, что для решения этих задач вполне достаточно работать в рамках канонического ансамбля. Расчеты намагниченности сверхпроводников второго рода, проведенные в рамках метода Монте-Карло, нам не известны. С учетом вышесказанного сформулируем основные задачи данного исследования: На основе метода Монте-Карло разработать алгоритм, позволяющий проводить расчет намагниченности, а также моделировать процессы проникновения, распределения и захвата магнитного потока в широком диапазоне полей к температур с учетом произвольного распределения дефектов различного типа. Рассчитать кривые намагниченности в случае хаотического и периодического пиннинга. Исследовать влияние пиннинга на поведение кривых намагниченности и процессы проникновения, распределения и захвата магнитного потока в слоистых сверхпроводниках второго рода. Проанализировать причины возникновения особенностей на кривых намагниченности в случае периодического пиннинга. Визуализировать состояния системы вихрей, соответствующие различным точкам на кривых намагниченности. Проанализировать роль квантовых флуктуации в системах вихрей.
Проникновение и распределение магнитного потока в сверхпроводниках
Не смотря на многообразие существующих Монте-Карло алгоритмов, можно выделить общий подход, характерный для данного класса методов. Вначале система описывается с помощью модельного функционала либо гамильтониана и выбирается подходящий для задачи ансамбль - канонический (фиксировано число частиц) либо большой канонический (число частиц не фиксировано). Затем создается алгоритмическая схема, включающая в себя необходимое количество попарно сбалансированных процессов, позволяющая на основе последовательности случайных чисел отобрать наиболее вероятные состояния исследуемой системы. И уже па основе полученной выборки вычисляются необходимые характеристики системы.
Важной особенностью метода Монте - Карло является то, что при построении алгоритма исходный функционал (гамильтониан) учитывается точно без каких-либо приближений. В процессе моделирования, по мере увеличения числа мопте-карловских шагов, оценки вычисляемых характеристик сходятся к точным значениям. Таким образом, Монте - Карло алгоритм позволяет вычислить необходимые характеристики исследуемой системы с любой наперед заданной точностью, ограниченной только мощностью используемой вычислительной техники.
В итоге па сегодняшний день методы Монте-Карло превратились в чрезвычайно мощный инструмент исследования в различных областях современной науки и зачастую являются единственно доступным методом исследования сложных физических систем. В том числе, одним из основных методов компьютерного моделирования, используемых при исследовании вихревых систем, является метод Монте-Карло.
Современные динамические методы также являются мощным инструментом исследования физических систем. Однако методы Монте-Карло имеют ряд существенных преимуществ. В частности, в рамках метода Монте-Карло всегда существует возможность выбора конкретного ансамбля - канонического (фиксировано число частиц) либо большого канонического (число частиц может изменяться). Б то время как метод молекулярной динамики позволяет работать только при заданном числе частиц.
Существуют задачи, для решения которых вполне достаточно использования канонического ансамбля. Например, при фиксированном числе частиц можно моделировать фазовый переход вихревая решетка - вихревая жидкость, исследовать конфигурации, возникающие в вихревой системе, рассчитывать вольт-амперные характеристики. В то же время существуют системы, для корректного исследования которых необходимо работать именно в рамках большого канонического ансамбля. Так система, описываемая выражением (2.1), требует выбора именно большого канонического ансамбля. Дело в том, что внешнее магнитное поле является для системы вихрей аналогом химического потенциала. От величины внешнего магнитного поля зависит среднее число вихрей в сверхпроводнике, т.е. число вихрей в сверхпроводнике принципиально не фиксировано, а определяется значениями внешних параметров.
Таким образом, только в рамках большого канонического ансамбля возможен корректный расчет таких характеристик сверхпроводника как намагниченность М, магнитная индукция, а также корректное моделирование процессов проникновения и распределения магнитного потока.
Для исследования классической системы вихрей нами был разработан алгоритм, существенно отличающийся от стандартного метода Монте-Карло [62]. В настоящем подходе не используется пространственная сетка, и фазовое пространство непрерывно. Элементарное изменение положения вихря не ограничивается шагом сетки, а выбирается случайным образом из допустимой области, например, площади пластины. Отбор конфигураций производится в соответствии с гибб-еовским весом. Для увеличения эффективности счета все взаимодействия вихрей в системе табулируются в зависимости от расстояния с точностью не хуже 1 ангстрем, что исключает погрешности, характерные для алгоритмов с пространственной сеткой.
Для расчета намагниченности необходимо работать в большом каноническом ансамбле, т.е. допустить рождение и уничтожение вихревых нитей. Процессы рождения и уничтожения (аннигиляции) вихрей были разрешены в приграничной полоске ширины А вдоль оси у. Таким образом, моделируется проникновение магнитного потока в пластину. Конкуренция отталкивания со стороны мейссне-ровских токов и притяжения к границе приводит к возникновению поверхностного барьера (типа Бипа-Ливингстона), который учитывается в данном подходе естественным образом.
Кроме того, для плавного описания процессов перемагничивания в рассмотрение формально введены вихри с противоположным направлением токов (антивихри). При этом для выполнения принципа детального равновесия помимо стандартного процесса уничтожения в схему добавлен процесс уничтожения пары, состоящей из вихря и анти-вихря (аннигиляция), в случае если они находятся на расстоянии порядка нескольких . Таким образом, при изменении знака внешнего магнитного поля Я автоматически происходит замена вихрей анти-вихрями, т.е. моделируется процесс перемагничивания пластины. Особенно это важно при корректном рассмотрении процессов замораживания магнитного потока на дефектах и неоднородностях.
В итоге в представленной схеме Монте-Карло рассматривается четыре типа процессов: движение вихря, рождение одиночного вихря (или антивихря), уничтожение одиночного вихря (антивихря), уничтожение пары вихрь-антивихрь. Уничтожение одиночного вихря разрешается также только в приграничной полосе А, что соответствует реальной ситуации выхода магнитного потока только через границу сверхпроводника.
Прямоугольная центрированная решетка с двумя точечными дефектами в ячейке
Рассмотрим типичную петлю намагниченности при Т = 5К и концентрации дефектов rid = 6.7 мої-2(рис. 3.1), полученную при увеличении и уменьшении внешнего магнитного поля. Размер системы составляет 5 мкм х 3 мкм . Таким образом, концентрация п = 6.7 мкм 2 соответствует 100 дефектам в образце. При первоначальном увеличении внешнего магнитного поля вихри не рождаются и не проникают в пластину. На графике эта область соответствует прямой линии (до точки (1)). После достижения поля перегрева мейсснеровского состояния вихри начинают входить в пластину, при этом намагниченность уменьшается (участок 1-3). После достижения Н = 0.1 Тл внешнее поле уменьшается, однако, поверхностный барьер не дает вихрям выйти из пластины. Таким образом, возникает необратимость в поведении намагниченности. При уменьшении внешнего магнитного поля до нулевого значения исчезает поверхностный барьер, некоторое число вихрей выходит из пластины (участок 3-4). Но существует остаточная намагниченность, обусловленная наличием вихрей, закрепленных на центрах пиннинга. При увеличении внешнего магнитного поля противоположного направления вихри остаются закрепленными на центрах пиннинга, а поверхностный барьер мешает войти в образец анти-вихрям (участок 4-5). При дальнейшем увеличении внешнего магнитного поля анти-вихри проникают в пластину и уничтожают вихри, закрепленные на центрах пиннинга, т.е. происходит перемагничивание пластины (участок 5-6). При обратном изменении внешнего магнитного поля картина повторяется, и кривая намагниченности замыкается. Следует отметить, что наблюдается замкнутость не только полной кривой намагниченности, но и мальгх петель, получающихся при изменении направления магнитного поля (см. рис. 3.1). Таким образом, разработанный метод позволяет корректно воспроизвести реальный процесс перемагничивания сверхпроводника в едином расчете.
Изменение температуры приводит к изменению петли намагниченности. Для примера на рис. 3.2 показаны две петли намагниченности М{Н), рассчитанные при Т IK YL Т = 20 К. При увеличении температуры наблюдается: - уменьшение площади петли; - уменьшение поля, соответствующего началу вхождения вихрей в пластину (перегрев мейсснеровского состояния); - появление поля обратимости петли намагниченности. Проследим изменение петель намагниченности при увеличении числа центров пиннинга. С этой целью рассчитывались кривые намагниченности при фиксированной температуре Г = ЪК и различной концентрации дефектов. Глубина дефектов выбиралась таким образом, чтобы исключить процесс теплового депигашнга, и составляла 0.1 эВ. Центры пиннинга располагались случайным образом. При увеличении концентрации дефектов возрастает их влияние на поведение памагниченности, фактически происходит изменение механизма необратимости. Как видно из рис. 3.3, при увеличении концентрации центров пиннинга увеличивается остаточная намагниченность и площадь петли. При большой концентрации дефектов ширина петли фактически определяется остаточной намагниченностью, которая в свою очередь зависит от числа центров пиннинга. Таким образом, можно заключить, что в случае „грязного" образца необратимость намагниченности в большей степени определяется числом дефектов, нежели поверхностным барьером. Необратимость петли намагниченности за счет поверхностного барьера существенна только при малых коЕШентрациях дефектов или при полном их отсутствии (см. вставку на рис. 3.3).
Увеличение жесткости пиннинга, а именно - увеличение концентрации центров пиннинга приводит к существенному изменению формы петли намагниченности. На рис. 3.4 показана намагниченность для случаев rid — 6.7, 16.7, 33.3, 66.7 мкм 2. Размер системы составляет 5 мкм х 3 мкм , следовательно, вышеупомянутые концентрации соответствуют 100, 250, 500 и 1000 дефектам в образце. При увеличении концентрации дефектов от п = 6.7 мкм"2 до пд — 16.7 мкм-2 наблюдается уширение петли намагниченности, в то время как при очень большой концентрации дефектов пд = 33.3 мкм 2 ип = 66.7 мкм"2 петля намагниченности наоборот, сжимается. Физически такое поведение кривых М(Н) связано с тем, что при усилении пиннинга область, в которую проникает фронт потока, уменьшается, что приводит к уменьшению как величины намагниченности, так и площади петли намагниченности. Сравнивать петли намагниченности можно только в условиях, когда максимальное поле превышает поле проникновения для всех типов рассматриваемого пиннинга. Как обычно, под полем полного проникновения понимается значение внешнего приложенного поля, при котором магнитный поток полностью заполняет сверхпроводник. Очевидно, что значения поля полного проникновения зависят от дефектности сверхпроводника. Интересно отметить, что наклон начальной ветви петли намагниченности также зависит от концентрацию дефектов (см. вставку на рис. 3.4).
