Содержание к диссертации
Введение
Глава I Элементы математической кристаллографии. Квазикристаллы ... 7
1.1 Понятие о правильных точечных системах. Разбиение Вороного - Делоне 7
1.2 Геометрическое представление федоровских групп 16
1.3 Квазикристаллические симметрии 21
Глава II Информодинамическая методика анализа паркетов, мозаик 32
2.1 Древесно-графовое представление решеточных систем. Математические свойства ..32
2.2 Теория перечисления древесных графов. Вероятностные и статистические свойства ДК. Задача перколяции 35
2.3 Симплициальные декомпозиции древесных графов. Фрактальность 39
Глава III Информодинамика плоских параллелограмматических решеток 43
3.1 Информодинамика квартетных параллелограмматических решеток... 44
3.2 Информодинамика плоской симплекс решетки 57
3.3 Информодинамика сотовой структуры 68
Глава IV Симметрия, организация, фрактальность классических ДК в информодинамическом представлении 75
4.1 Сравнительный информодинамический анализ сотового и квартетного древесных графов 76
4.2 Обсуждение информодинамических результатов для плоского симплекс-ДК 84
4.4 Фрактальные информодинамические характеристики классических ДК 90
Глава V Информодинамика бигексагональной мозаики Дюно-Каца 98
5.1 Бигексагональная мозаика и ее ДК 99
5.2 Перечисляющие полиномы, их вероятностная форма для бигексагональных ДК 103
5.3 Информодинамика бигексагональной мозаики Дюно-Каца 106
5.4 Фрактальность бигексагональной мозаики Дюно-Каца 109
Заключение 115
Выводы 119
Литература 121
Приложение
- Геометрическое представление федоровских групп
- Теория перечисления древесных графов. Вероятностные и статистические свойства ДК. Задача перколяции
- Информодинамика плоской симплекс решетки
- Обсуждение информодинамических результатов для плоского симплекс-ДК
Введение к работе
В наших работах [85, 86, 89, 101, 104, 107-112] и ряде диссертаций [32, 49, 61] был развит информодинамический метод анализа древесно-графовых систем Кейли. Первичным и основным объектом в информодинамическом методе является отображение ячеистых, решеточных систем в древесные графы. Причем, эти древесные графы Кейли (ДК) являются координационными. Вершины ДК соответствуют ячейкам, а ветви ДК описывают отношения смежности между данной ячейкой и соседними. Отношения координации на ДК обладают определенным свойством эстафетности. Связи, ветви ДК, образовываются только с ячейками древесных координационных сфер, направлены вперед. Тем самым, ДК можно построить для любой ячейки, решетки, а сама древесно-графовая структура будет обладать полярной симметрией. Общность древесно-графового представления состоит как раз в том, что мы можем характеризовать не только ячейки, координатную компоненту, но и отношения смежности между ними, чего нет в обычных решеточных системах. В работах [101, 102, 104, 106, 108-110] и диссертациях [32, 49, 61] подробно излагается алгоритм построения ДК и обсуждаются топологические, алгебраические, геометрические и вероятностные свойства древесных графов. По нашему мнению, координационные древесные графы Кейли являются более общими, чем представление решеток в координатном пространстве.
Вполне естественно напрашивается сопровождение древесно-графого подхода грамматическими функциями. Причем алфавит может иметь несколько объектных и координационных уровней, то есть [mqxnp], где за q обозначаются виды ячеек, а за/? - типы контактов. В случае планарных решеток, контакты могут быть точечными и реберными. Объектный алфавит может иметь 3 уровня рассмотрения: атомарный, «молекулярный» и третий - словарный или фразеологический.
Например, для мозаики Пенроуза первый уровень - пара золотых треугольников, затем - пара золотых ромбов, и, наконец - пара десятиугольников, с внутренним заполнением только соответствующими золотыми ромбами. Для бигексагональной решетки первый уровень - это гекса-ромб, словарный уровень - гекса-звезда, а фразу образуют объединения двух гекса-звезд с минимальным пересечением по гекса-ромбу. Синтез соответствующих квазикристаллических покрытий легче осуществляется на высоких рангах алфавита, где будет действовать простая алгебра грамматики [32,101-102,110].
Древесно-графовый метод отображения ячеистых систем получил широкое развитие в теории перечисления графов. Если избран древесно-графовый подход к отображению ячеистой системы, то автоматически следует за ним теория перечисления графов. Посредством простых нормировок можно получить ВПП. Так как любое ДК в принципе имеет бесконечную этажность, то изучение этих графов проводится в рамках теории протекания, перколяции, например - распространение ВПП статистик в направлении «центропериферия». И, наконец, третий уровень - функциональный, он основан на построении скалярных сверток информодинамических функционалов различного вида, в которых и изучается в окончательном виде задача собственной пер-коляции на ДК.
Разработанный нами метод был применен к самым разнообразным ячеистым и решеточным системам [32,49,61, 80, 110]. Подробно рассмотрены квазикристаллические симметрии, особенно мозаика Пенроуза [32, ПО]. Причем исследование квазикристаллической мозаики Пенроуза было проведено двумя способами: один из них основан на координационных древесных графах Кейли [102, 123], а другой - на порождающих графах, в основе которых лежит принцип подобия [32, 108]. Последняя методика решает не задачу замощения покрытия, разбиения, а морфогенетического плотного роста из затравочного фрагмента.
Чрезвычайно важным обстоятельством является выяснение параллелизма между квазикристаллической симметрией и фрактальностью. Древесные графы обоих типов автоматически фрактальны, точнее подчиняются некоторому принципу стохастического подобия, и в то же самое время являются симплициальными комплексами. Фрактальность и симплициальность могут обсуждаться как родственные понятия, хотя на это раньше не обращали внимания. Таким образом, исследование фрактальных свойств в нашей методике является вполне естественным и органичным.
В настоящей диссертации ставится и решается задача о применении древесно-графового информодинамического метода к классическим кристаллографическим решеткам. Мы рассматриваем плоские параллел( грамматические решетки, которые и подлежат подробному информодинамическому анализу. Из квазикристаллических объектов, очевидно, надо взять наиболее близкую систему к гекса-симметрии, точнее к плоской симплекс-решетке. В R2 мы остановились на бигексагональной мозаике Дюно-Каца.
Содержательная часть отражена в главах III — V, где наряду с теоретико-вероятностными, информодинамическими характеристиками рассмотрены и фрактальные характеристики обсуждаемых решеток, ДК. Тем самым, главная задача диссертации - показать, что дает нового наш метод в приложении к известной математической кристаллографии. Однако имеется и принципиально новый аспект, ориентированный на квазикристаллическую симметрию, из которой мы выбрали наиболее минимальную квазикристаллическую мозаику. В этом аспекте полученный результат, Глава V, по информодинамическому анализу бигексагональной мозаики Дюно-Каца и ее фрактальности являются новыми.
Геометрическое представление федоровских групп
Прежде всего, рассмотрим, что такое решетка, которая в кристаллографии играет первостепенную роль. Решетки - это полная совокупность точек пространства (узлов) с целыми координатам, относительно какого-либо репера (его называют основным) [15]. Таким образом, всякий репер задает конкретную решетку. Но одной и той же решетке соответствуют бесконечно много реперов, ее задающих, так как основной репер в решетке можно выбирать бесконечным числом способов, что создает затруднения при сравнении решеток. Среди таких реперов наиболее удобным в подавляющем большинстве исследований оказался репер Браве, несмотря даже на то, что он не является основным репером решетки. Для однозначного задания репера используют его метрические параметры — длины его векторов и углы между ними. Две решетки относятся к одной системе, если метрические параметры их реперов Браве имеют одинаковые ограничения [3,13, 15,21,35,91]. Эта классификация имеет и чисто теоретико-групповое определение. Полную группу преобразований симметрии решетки называют группой Браве. Поскольку решетка — частный случай правильной системы, ее группа Браве является федоровской группой. Две решетки относятся к одному типу Браве, если их группы Браве абстрактно изоморфны, т. е. имеют одинаковое алгебраическое устройство. Заметим, что классификация решеток по типам Браве является также и классификацией федоровских групп по этим же типам.
Группы симметрии могут состоять как из конечного числа преобразований симметрии, так и из бесконечного их числа. Число преобразований симметрии - элементов группы — в конечной группе называется ее порядком. Всякая правильная система точек состоит из метрически одинаковых и параллельно расположенных решеток. Следовательно, каждой правильной системе однозначно сопоставляется репер Браве соответствующей решетки [9, 15]. Федоровскими группами также называют дискретные группы с конечной фундаментальной областью. Федоров показал, что во всякой дискретной группе, с конеч ной фундаментальной областью, содержится подгруппа параллельных переносов. Это Видно из теоремы Федорова - Шёнфлиса [22]. ТЕОРЕМА ФЕДОРОВА - ШЁНФЛИСА. Любая Федоровская группа движений плоскости, пространства содержит подгруппу параллельных переносов, порожденную двумя линейно независимыми переносами. С теоретико - групповой позиции рассмотрения федоровская группа есть дискретное преобразование симметрии с конечной независимой областью. Причем последней называют область преобразования группы, в которую можно «вогнать» каждую точку пространства, а в самой этой области нет ни одной пары точек, которые бы не отличались друг от друга, т.е. переводились бы друг в друга преобразованиями этой группы. Независимая область содержит в себе различные точки пространства и только по одному разу [13, 15]. Федоров показал, что присутствуют 17 плоских и 230 пространственных групп [15, 96]. Рассмотрим, что собой представляют дискретные группы. Дискретные группы движений - эти группы можно определить как такие, относительно которых орбита каждой точки пространства дискретна, т.е. должна удовлетворять г - условию. Так же должна быть дискретна орбита каждой точки этой группы. Где под орбитой точки А (любая точка пространства) относительно группы подразумевается множество всех образов точки А относительно движений из G (произвольная группа движений). Тогда система точек является правильной тогда и только тогда, когда она является орбитой относительно некоторой группы [54].
Дискретная система точек, инвариантная относительно пространственной федоровской группы называется кристаллической структурой. Из определения следует, в частности, что всякая правильная пространственная (г, і?)-система является структурой. Однако в общем случае структура как инвариантная по отношению к федоровской группе система представляет собой набор нескольких правильных систем - орбит разных точек «пространства относительно данной группы». Из дискретности структуры и конечности фундаментальной области, связанной с ней группы, вытекает, что число различных орбит, составляющих структуру, хотя и может быть сколь угодно большим, но всегда конечно. Содержащаяся в федоровской группе трехмерная подгруппа параллельных переносов определяет разложение структуры на конечное число решеток. Кристаллическую структуру, таким образом, можно определить как конечный набор решеток, которые между собой конгруэнтны и параллельны [13, 54]. Отсюда следует, что определенная как инвариантная относительно федоровской группы, кристаллическая структура является адекватным отражением атомной структуры кристалла. Федоровские группы обеспечивают абсолютную неразличимость частиц, составляющих кристаллическую структуру. Но верно и обратное утверждение: если в бесконечном множестве дискретных частиц эти частицы ничем не отличаются друг от друга (как по устройству, так и по окружению), то группой симметрии такой совокупности частиц является одна из 219 федоровских групп. Таким образом, только федоровские группы могут обеспечить абсолютную неразличимость атомов в кристаллической структуре, абсолютную неразличимость дискретных частиц, составляющих любой бесконечный объект. Одинаковость атомов - вот закон сохранения, который обусловлен федоровской симметрией. Абсолютная неразличимость атомов принципиально отличает кристаллы от квазикристаллов. Последние в настоящее время рассматриваются либо как ортогональные проекции иррациональных слоев фиксированной толщины многомерной решетки, либо как квазипериодические структуры (которые представляют как суперпозицию конечного числа периодических функций с иррациональным отношением периодов повторяемости), т. е. специфика квазикристаллов не только в симметрии с осью 5-го и выше порядков.
Из иррациональности квазикристаллов следует, что в каждой такой кристаллической структуре имеется бесконечное число частиц с разным окружением. Поэтому квазикристаллы, соответствующие одной и той же структуре, могут оказаться, несопоставимыми по своему устройству. Квазикристалл не может однозначно восстанавливаться по конечному своему фрагменту [13, 15], хотя его структуру можно восстановить. В работе [21] изучается разбиение плоскости на фундаментальные области для двумерных федоровских групп и определяются все возможные символы смежности, задающие те движения, при помощи которых данная фундаментальная область переходит в смежные с ней. Показано, что весь вопрос является комбинаторно-топологическим, и таким образом получен новый чисто топологический вывод двумерных федоровских групп. Рассмотрим эту теорию подробнее. Е. С. Федоров называл многоугольник планигоном, если равными или равными и симметричными ему многоугольниками можно покрыть плоскость так, чтобы никакие два из них не имели общих внутренних точек, т.е. всякий из этих многоугольников был окружен всеми другими многоугольниками до бесконечности ровно так же, как всякий другой из них. Аналогичные многогранники трехмерного пространства Федоров называл стереоэдрами. Очевидно, что вопрос о планигонах и стереоэдрах тесно связан с вопросом о фундаментальных областях двух- и трехмерных федоровских групп. Автор [21] называл эту теорию - теорией «общих» планигонов и стереоэдров, причем теорию таких областей для «-мерного пространства также называют теорией общих, «-мерных стереоэдров. Рассмотрим, что же подразумевает автор [21] под определением многоугольника и сетки. Определение 1. Многоугольником называется совокупность к точек А], А 2,..., А к и циклически соединяющих их отрезков А/Аг, А2А3,..., A jAk, А/А/. Точки эти мы будем называть вершинами, а отрезки — сторонами. Определение 2. Сеткой называется такая совокупность многоугольников, что: 1. во всех многоугольниках к 3, где — число сторон многоугольника;
Теория перечисления древесных графов. Вероятностные и статистические свойства ДК. Задача перколяции
Такие объекты исследования, как сеточные системы ячеистого типа, различные обобщенно-решеточные структуры, мозаики и паркеты, встречаются в самых различных разделах естественных наук и являются результатом действия разнообразных процессов. Уже при визуальном рассмотрении перечисленных объектов в глаза бросается тот факт, что, эти системы образованы некоторыми элементарными полигонами, не обязательно правильными, эта объектная сторона рассмотрения сразу подталкивает на определенный тип представлений. Например, можно ввести понятие ансамбля элементарных единиц, дать простейшее описание этих структурных единиц, а затем уже решать типичные статистические задачи. Для любых неправильных выпуклых многоугольников можно ввести понятие диаметра, что позволяет поставить вопрос о распределении структурных единиц по диаметру. В качестве другого функционала обычно выбирается площадь полигона, и ставится вопрос о распределении полигонов по площадям. Однако при таком рассмотрении в стороне остается вопрос о межъячеечных связях, а при рассмотрении системного аспекта сеточных структур одной объектной стороны будет недостаточно. Аспект взаимоотношений может быть развит в традиционном корреляционном подходе [80, 84], когда в качестве моделей представления используется модель случайных потоков, процессов [16-18, 61, 70, 99, 101, 108, 103]. Этот метод имеет одну существенную положительную особенность: сеточные системы,, доступные подобной методике, по своей топологии не обязательно должны состоять из замкнутых ячеек, полигонов. Элементарные ячейки в сеточных структурах, в том числе и неправильные многоугольники, можно считать замкнутыми и выпуклыми. Здесь к проблеме межъячеечных связей несколько иной подход.
По мнению авторов [103], следует выбрать некоторое минимальное свойство, без которого не будет существовать никакого межъячеечного взаимодействия - соотношения соседства, смежности выделенного полигона с окружающими [102, 108, 110, 103]. Данные понятия выделяются в различных разделах прикладной математики, особенно - в теории графов. С точки зрения физических приложений эти математические аспекты можно описать в терминах координации [34, 102, 108]. Таким образом, в целом обобщенные решетки, мозаики, сеточные структуры можно задать двумя наборами, множествами [4, ПО]. Первый набор называется q координатой. Он отвечает за объектную сторону решеточных систем, т.е. за порождающие элементы (ячейки, полигоны). Отметим, что возможно существование не одной элементарной структурной единицы, а некоторого конечного множества. Обозначается как /?-координата и указывает только на сам факт прямого соседства. В общем случае может быть несколько типов координации. В частности, для планарных сеток полигонального типа разумно говорить о вершинной и реберной координации, а для сеточных структур с непрерывной выпуклой ячейкой только один тип координации. Тип вершинного контакта можно также расширить, введя некоторый индекс вершин-ности, указывающий на число полигонов, сходящихся в вершине. Для системных объектов как раз /?-координата и является важнейшей. Однако при этом не стоит пренебрегать и -координатой [102, 103, 109]. В результате такого (р, -приближения открытым остается вопрос о таком представлении, где обе компоненты будут отражены в явном виде. Наиболее «подходящим» [85, 86, 89, 102, 104, 106 - 111] является древесно-графовое представление, где -компонента отображается в виде вершин графа, а / -компонента - связей между ними. Сформулируем принцип построения по сеточным структурам, мозаикам, паркетам координационных деревьев Кейли (ДК) [49, 61]. При этом должен учитываться алфавит [тдхпр].
Древесно-графовая структура укладывается на R2 - евклидову плоскость. Стоит подчеркнуть, что не надо предполагать при этом, что ДК будут наследовать топологические, метрические свойства плоскости R2 [49,61, 103, 108]. На первом этапе выбирается любой порождающий элемент: ячейка сетки, мозаики, паркета, рис. 1.4.1 а. Затем строится первая координационная сфера, представляющая собой розетку координации, т.е. импульсную / -компоненту. Число ветвей начального.графа (координационное число) будет определяться топологией окружения. Далее, на втором этапе от каждой полученной вершины (g-компонента) строится система прямых соседств, направленных только «вперед». Связи между элементами одного уровня и связи «назад» запрещены. Заметим, что хотя на укладке в R2 /(-компоненты имеют разную длину, на самом деле их длина строго единичная. На третьем и последующих шагах процедура второго этапа повторяется итеративно. В результате такой процедуры получаются ДК, отображающие сетевые структуры, мозаики, паркеты в терминах алфавита [т хл/?],рис 1.4.1 б [49, 55,61,62,93, 103, 108, 110,111].
Информодинамика плоской симплекс решетки
В данном разделе обсуждается несколько специфическая кристаллографическая решетка, которая обладает поворотной осью шестого порядка Ьб- Специфичность данной решетки заключается в том, что она порождена элементарной ячейкой, являющейся трехточечным, двумерным симплексом, - равносторонним треугольником. Несколько слов о свойствах симплектичности. В строгом смысле его нельзя путать с симплициальностью. Под симплексом стоит понимать иерархический класс многогранников, возможно имеющих вырожденных представителей. Также симплексом могут являться максимально выпуклые, совершенные многогранники. Более точно симплекс-класс можно определить через алгоритм симплекс-построения: любой симплекс я-точечности, (п-1)- размерности, будет рекуррентно составляться только из симплексов низших размерностей. Примерами симплексов являются последовательность «точка - единичный отрезок - треугольник — тетраэдр и т.д.», рис. 3.2.1. Из этого примера легко видеть, что тетраэдр составлен из трех равносторонних треугольников, шести единичных ребер, четырех вершин. Для симплекса справедливо равенство Эйлера. Заметим, что Платоновы тела (октаэдр, икосаэдр и додекаэдр) не являются симплексами. Также к этому классу не относится и Федоровские полиэдры [54, 96]. В классе плоских параллелограмматических решеток симплекс-решетка является единственным представителем. Можно высказать предположение, что информодина-мический подход к таким решеткам будет обладать какими-либо экстремальными чертами. На рис. 3.2.2 показан фрагмент такой решетки. Здесь же построена концентрическая система гексагонов. Необходимо заметить, что вторая координационная гекса-сфера несколько нетипична - она не является правильным шестиугольником. На рис. 3.2.2 отмечено три треугольника первой коорди национной сферы, обладающих седьмой координацией на второй сфере. На более дальних гекса-сферах эта специфическая черта пропадает, и они являются правильными шестиугольниками. Наличие шестой поворотной оси симметрии позволяет ее причислить к кристаллическим системам.
Согласно рис. 3.2.2, гекса-решетку не трудно трактовать как мозаику, паркет с алфавитом \lqx2p\. В качестве q- компоненты выступает плоский симплекс. А в качестве р - компоненты, как обычно, - два типа координации: точечная и реберная. Если исходить из этой элементарной ячейки, то нетрудно сформулировать простую а-алгебру этой мозаики, для чего достаточно трех направлений целочисленных трансляций. На рис. 3.2.3 приведено координационное ДК и его фрагмент, для удобства различения. На самом координационном ДК, рис. 3.2.3, четко просматривается гекса-симметрия. Очевидно, что для каждой вершины, рис. 3.2.2, можно построить дерево типа рис. 3.2.3. Тем самым для гекса-мозаики в древесно-графовом смысле характерно свойство пространственной однородности, несмотря на наличие центральной гекса — точки. Таким образом, для изучения всей мозаики в древесно-графовом подходе достаточно всего лишь одного ДК, рис. 3.2.3. Конечно, рассматривая рис. 3.2.3 можно заметить некоторую типовую координацию, которая повторяется с третьей иерархии. Но весьма высокая сложность, при укладке ДК на R.2, графически трудно получить какие-либо количественные характеристики. Здесь также уместно сказать, что хотя длинны связей - ребер, различны, но это все равно ребра единичной длины. Для построения количественных характеристик ДК необходимо перейти к теории перечисления графов [82]. Пока остановимся на кустовой симплициальной декомпозиции. В таб. П.3.2.1 приведены ПП для прямой и обратной перколяции на гекса - ДК.
Бросается в глаза, для прямого потока, на ПП, наличие кустов седьмой ветвистости, на второй координационной сфере, которые больше не повторяются ни на каких уровнях ДК. ПП, табл. П.3.2.1 а, б, имеют следующую структуру: В обратном потоке отсутствует шестая симметрия, а в прямом потоке (3.2.1) -четвертая. Инвариантным в прямом потоке, табл. П.3.2.1 а, является коэффициент для шестой симметрии. Причем, табл. П.3.2.1 а и табл. П.3.2.1 б: Такая лестничная симметричность одинакова для обоих направлений перколяции, различие коэффициентов равно б, то есть мы имеем дело с простой арифметической прогрессией. В табл. 3.2.2 собрана аналитика как ПП, ВПП, так и информодинамиче-ских функционалов. Она допускает и является следствием обыкновенной гекса симметрией. Тот факт, что четные степени ветвистости инвариантны при перколяции, то при переходе к ВПП, табл. П.3.2.1, в асимптотике эти ветвистости должны исчезнуть, то есть их вероятностные меры должны стремиться к нулю. Из самой табл. П.3.2.1 этого не видно, даже на 20-21 уровнях перколяции, хотя тенденция намечается. Для визуального рассмотрения удобно привести рис. П.3.2.4 и рис. П.3.2.5, где изображены ПП и ВПП, в двух проекциях для обоих потоков. Особенно характерна парциальная перколяция вероятностных мер на рис. П.3.2.5 б, г. Сразу видно, что седьмая степень ветвистости «выдыхается» уже с третьей иерархии, шестая степень ветвистости стремится к нулю, тогда как вероятностные меры для к = 5; 3 стремится к некоторой асимптотике. Сами численные ряды, табл. П.3.2.1, рис. П.3.2.4 и рис. П.3.2.5 не дают возможности оценить асимптотические значения. Но наличие аналитики табл. 3.2.2 позволяет ответить на этот вопрос. Пока в табл. 3.2.2 рассмотрим вторую строку, где в аналитической форме приведены ВПП. Из них сразу видно, что ВПП к -б; 4; 2 степенями ветвистости прямого и обратного потока перколяции стремятся к 0 - четные степени вырождаются, остаются только нечетные. Данное обстоятельство также связанно с гекса симметрией ДК.
Обсуждение информодинамических результатов для плоского симплекс-ДК
По своей вероятностной, а также алгебраической, структуре ВПП прямого потока имеет степени к1 =6,5,3, а для обратного потока - кг =5,4,3,2. Согласно (4.2.1) в прямом потоке мы имеем дело с перечисляющим трехчленом, а для обратного потока перечисляющим четырехчленном. Из их рассмотрения видно, что эти ВПП резко отличаются по алгебраической структуре, в частности Пользуясь (4.2.1) можно подсчитать асимптотический ранг, который оказался одинаковым для обоих направлений перколяции: Обращаясь к табл. П.3.2.1, как для ПП, так и для ВПП замечаем, что в прямом потоке инвариантом перколяции будут коэффициенты при хб, а в обратном потоке — коэффициенты при х4, х2. Причем во всех случаях эти коэффициенты равны 12, что явно связанно с симметрией равностороннего треугольника. Сразу понятно, что именно эти степени будут вырождаться. Это также видно из (4.2.1), где в асимптотике остаются только нечетные степени - к = 5,3. Тем самым, мы получаем универсальную асимптотику одинаковую для обоих направлений перколяции: Согласно (4.2.3) мы получаем очень сильный результат, а именно ВПП в обоих направлениях перколяции не просто равны для к = 5,3, а они обладают равновероятной структурой. В этом плане, согласно (4.2.3), асимптотика перколяции на симплекс-ДК является равновероятной, а уже из этого можно предположить, что: Этот результат указывает, что энтропийная асимптотика конечна и равна у , что соответствует именно равновероятному исходу, т.е. Таким образом, симплекс-ДК характеризуется остаточной асимптотикой энтропии, причем максимальной. 2. Структура перколяции дивергенции Бонгарда. Главный здесь вопрос найти асимптотику дивергенции Бонгарда. Она была рассчитана в 3.2 в формуле (3.2.9), благодаря аналитике табл. 3.2.2. Оказалось, что
Снова мы видим, что дивергенция Бонгарда совпадает с энтропийной асимптотикой: И даже более того, в обоих перколяционных направлениях (Н,В)аашп = у у. Эти факты (Н, В) - равенства и то, что они равны уС, по нашему мнению, является именно следствие симплектичности решетки и ДК. Соотношение (4.2.7) по максимуму экстремально, оптимально. В этом заключении содержится экстремальное условие асимптотической согласованности. (Н, В) - асимптотика наследует максимальную геометрию равностороннего треугольника. Этот тезис можно пояснить, обращаясь к работам [32, 101], где введено понятие метрической энтропии для любого конечного множества точек расположенных в соответствующем пространстве. Так, в частности, для нашего конкретного случая - плоского симплекса - можно подсчитать энтропию трехточечного симплекса. Для этого равностороннему треугольнику с единичными сторонами, рис. 4.2.1, сопоставляется положительная матрица расстояний (во внутренней геометрии решетки): Дря такой положительной матрицы можно построить марковское разложение с вероятностным вектором: и стохастической матрицей: Мы получаем дважды стохастическую матрицу. Энтропия нашего симплекса определиться: Напомним, что выражение (4.2.8) получено для Вайдовской энтропии. Сравнивая (4.2.7) и (4.2.8) мы видим, что энтропия симплекс-ДК совпадает и наследует энтропию плоского симплекса. 3. Перколяционная зависимость энтропийного функционала и меры Бонгарда в прямой и обратной перколяции. Согласно результатам (4.2.6, 4.2.7) можно прийти к следующему выводу: Из выражения (4.2.9) видно, что, вообще говоря: встречалось в предыдущих случаях, а именно: По самой величине любых из этих показателей, особенно энтропии, мы можем сказать, что имеем дело со сверхдальнодействием на симплексном плоском дереве. Сами величины у1 vyr по крайней мере в 6 - 7 раз меньше, чем для кулоновского, гравитационного спадания. Это и есть сверхдальнодействие.
В обратном перколяционном потоке на симплекс-ДК у и /? сглаживаются, тогда как в прямом потоке их отличие у1, - /З1 =0.03. Данное значение трудно оценить в смысле значимости, хотя наш вычислительный эксперимент по показателю дальнодействия «чувствует» сотые доли. Но при этом остается не похожим на предыдущий класс факт превосходства показателя дальнодействия в обратном потоке, над аналогичным показателем в прямом. Последняя ситуация с у и /? показателями дальнодействия может быть понятна, если априори считать симплекс-упорядочение наилучшим. Тогда отражение от бесконечного горизонта не может улучшить симплекс-организацию. Она может быть только ухудшена. В прямом потоке симплекс-ДК обладает большим дальнодействием, чем обратный поток. 4. Перколяция Е - функционала. Как упоминалось ранее в Главе III, Е - функционал - потенциальная информационная энергия - является самым трудным для оценки даже в асимптотике. Но в симплекс случае у нас ВПП не вырождается, а в асимптотике они превращаются в двучлен со степенями k = 5,3:
