Содержание к диссертации
Введение
1 Динамика стеклоподобных систем 8
1.1. Спиновые стекла 8
1.2. /7-спиновая сферическая модель 11
1.3. Динамика спиновых стекол . 13
1.3.1. Динамика Сомполинского 13
1.3.2. Старение в дроплет картине 14
1.3.3. Слабое нарушение эргодичности и эффективная температура 15
1.4. Эффекты старения, восстановления и памяти в спиновых стеклах... 18
2 Эффекты старения и восстановления в неравновесном квантовом спиновом стекле в слабых магнитных полях 22
2.1. Модель спинового стекла 22
2.2. Динамические интегродифференциальные уравнения для автокорреляционной функции и функции линейного отклика ... 24
2.3. Флуктуационно-диссипативное соотношение 26
2.4. Общее рассмотрение и обсуждение 27
2.5. Отрицательные и положительные температурные сдвиги и эффект восстановления (омоложения) 31
2.6. Полевые Я-сдвиги и эффект восстановления 33
3 Неравновесные динамические эффекты (старение, омоложение и память) в одномерных классических спиновых цепочках 53
3.1. Модели 53
3.2. Тепловые сдвиги, циклы и эффекты восстановления (омоложения) и памяти 59
4 Нуль-температурная неравновесная динамика сферической модели спинового стекла Шеррингтона-Киркпатрика во внешнем поле 75
4.1. Среднеполеваяр-стшовая модель сферического стекла 76
4.2. Поведение спинового стекла в магнитном поле различной величины 79
Заключение 90
Благодарности 91
Литература 92
- Динамика спиновых стекол
- Слабое нарушение эргодичности и эффективная температура
- Динамические интегродифференциальные уравнения для автокорреляционной функции и функции линейного отклика
- Тепловые сдвиги, циклы и эффекты восстановления (омоложения) и памяти
Введение к работе
Актуальность исследования. В последние годы значительное
внимание уделяется изучению спиновых систем с конкурирующими
взаимодействиями;, в частности* спиновых стеколі Спиновые стекла являются
одними из; самых интересных систем? для? теоретического! и<
экспериментального исследований неравновесных динамических свойств;
Они? характеризуются медленной; динамикой; обладают широким спектром'
времен релаксаций, наличием^ эффектов старения и восстановления'.
Поведение спиновых стеколv в магнитном поле привлекает значительное:
внимание; так как оно не изучено- полностью: В> отличие от дроплетной
теории; спиновых стекол,, теория: среднего ;> поля предсказывает фазовый
переход;вімагнитном поле. ...
Удивительные эффекты- такие как старение, восстановление, память и другие, делают стеклоподобные: системы; очень привлекательными как для экспериментаторов, так и для теоретиков. Однако почти отсутствует аналитическое; исследование этих; эффектов. Изучение подобных^ эффектов позволяет более: глубоко проникнуть в природу спин-стекольной фазы, которая*не выяснена до конца. В настоящее время известно:большое число? спиновых стекол, к: ним относятся: соединения металлов (ЄиМщ AuMn, AuFe, PtMn), концентрированные и разбавленные растворы и сплавы
^(GN^Bri.^);; полупроводники; (Eu^Sri.^S), аморфные вещества
(AI2M1T3SI3O12, CoO-Al203-Si02) [1, 2]. Спиновые: стекла являются*
модельными системами для изучения более сложных стеклоподобных
материалов. .
Вычислительные методы, разработанные для исследования спиновых стекол, нашли применение при решении^ сложных задач в таких различных областях, как информатика, нейрология, биохимия и теория эволюции.
Цель настоящей диссертационной работы заключалась в теоретическом исследовании низкотемпературных неравновесных динамических свойствряда моделей спиновых стекол.
Для этого необходимо было решить следующие задачи:
Исследовать влияние температуры и- квантового параметра на низкотемпературное неравновесное динамическое поведение изинговского спинового стекла, возбуждаемого внешними магнитными полями.
Изучить влияние постоянного и переменного магнитных полей на динамическое поведение квантовой неупорядоченной > стеклоподобной системы.
Исследовать эффекты старения и восстановления^ в квантовой, р-спиновой модели стекла, связанной с квантовым внутренним окружением и внешними магнитными полями.
Рассмотреть эффекты восстановления и памяти в одномерной классической изинговской спиновой цепочке в хаотическом поле.
Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые получены следующие результаты:
Исследовано затухание функций корреляции и отклика в неупорядоченной стеклоподобной квантовой системе, проанализирована роль температуры, квантового параметра и внешних полей (постоянного и переменного) в неравновесной динамике системы.
Обнаружен эффект восстановления в процессе температурного и полевого сдвигов, который зависит от параметров системы и прикладываемых внешних полей в квантовой /7-спиновой модели стекла, связанной с квантовым окружением.
"3! Рассмотрены эффекты восстановления и памяти для динамической восприимчивости посредством изучения температурных сдвигов и циклов в одномерной классической изинговской спиновой цепочке.
4. Исследован эффект старения и нестационарная медленная динамика
в различных магнитных полях для сферическою модели-спинового* стекла
Шёррингтона-Киркпатрика при нулевой температуре; .':.'
Научная ценность и практическая значимость связана' с изучением неравновесных динамических свойств и особенностей низкотемпературного поведения спиновых стекол. Полученные выражения для; неравновесной автокорреляционной функции и функции отклика в р-спиновой сферической моделиі спинового стекла важны! для более глубокого, понимания неравновесной медленной релаксации в спин-стекольной?фазе. Рассчитанные нами; неравновесные' динамические эффекты, (старение, восстановление и память) для различных, моделей спиновых стекол могут найти экспериментальные приложениям
Содержание работы. Работа состоит из четырех главі Вї первой главе
дан обзор моделей: спиновых стекол; а также используемых в диссертации
теорий и методов расчета: Во. второй главе рассматриваются эффекты
старения и; восстановления; температурные и полевые сдвиги в
неупорядоченной квантовой системе; находящейся в контакте с внутренним
окружением и подверженною действию^ внешних переменных полей; В;
третьей: главе изучаются такие явления, как; омоложение и память в
одномерной изинговской цепочке В: хаотическом поле.. В' четвертой главе
рассчитывается затухание неравновесной; спин-спиновой
автокорреляционной функции с использованием динамики Ланжевена для сферической моделиУ(р = 2) спинового стекла Шеррингтона-ІСиркпатрика в постоянном магнитном поле и при нулевой температуре.
Положения, выносимые на защиту.
Анализ зависимости функций корреляции, отклика и интегрального отклика от температуры, времен ожидания, квантового параметра и амплитуд переменного и постоянного магнитных полей в неупорядоченной квантовой системе в слабых магнитных полях, связанной с квантовым окружением.
Отрицательные и положительные температурные и полевые сдвиги в сферической/?-спиновой модели стекла, связанной с квантовым окружением.
Старение, восстановление (омоложение) и память в одномерной классической изинговской спиновой цепочке в хаотическом поле.
Аналитическое и численное изучение затухания неравновесной спин-спиновой автокорреляционной функции для сферической модели спинового стекла Шеррингтона-Киркпатрика в постоянном магнитном поле при нулевой температуре.
Апробация работы. Результаты работы были доложены на следующих конференциях и семинарах: Ш Международная конференция «Фундаментальные проблемы физики» (13-18 июня 2005, Казань); XVII Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики «Волга-2005» (22 июня - 3 июля 2005, Казань); VII Международный семинар «Магнитные фазовые переходы» (22 ноября 205, Махачкала); Международная зимняя школа физиков-теоретиков «Коуровка—2006» (19-25 февраля 2006, Кыштым); Юбилейная XX международная школа-семинар «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (12-16 июня 2006, Москва); VII Молодежный семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (27 ноября - 3 декабря 2006, Екатеринбург); Евразийский симпозиум по магнетизму «Магнетизм на наноразмерах» (23-26 августа 2007, Казань); ХХХП Международная зимняя школа физиков-теоретиков «Коуровка—2008» (25 февраля — 2 марта 2008, Новоуралъск).
По теме диссертации опубликовано 18 статей и тезисов в журналах, сборниках трудов и материалах конференций (см. список литературы).
Динамика спиновых стекол
Ранние теории спиновых стекол были сформулированы для состояний равновесия. Они демонстрировали, что переход в фазу спинового стекла -фазовый термодинамический переход. Обратимся к характеру данной фазы. Однако, чтобы приступить к экспериментам, спиновые стекла необходимо теоретически рассмотреть как систему, которая является существенно неравновесной. Величина, которая зависит только от одного времени, как наблюдается, быстрее стремится к равновесию, пока те, которые зависят от двух времен, продолжают заметно релаксировать по всей временной шкале. Изучение этой проблемы теоретически не легкая задача. Требуется формализм, который может описать неравновесное поведение систем с беспорядком. Такой метод существует - формализм Швингера-Келдыша. Этот метод использовался в ряде вычислений неравновесной динамики. Динамика спиновых стекол была сначала сформулирована Сомполинским [14], и далее изучалась в последующей работе [15]. Авторы [14, 15] нашли, что корреляция в модели Шеррингтона-Киркпатрика затухала как последовательность расходящихся временных шкал. Однако, в их подходе долговременной предел, / — оо, был выполнен до взятия термодинамического предела (N — оо). Это подразумевает, что динамика, которую они описали, фактически равновесная динамика, скорее чем динамика старения.
В реальных спиновых стеклах, в экспериментах равновесие недоступно, следовательно, существеннее взять термодинамический предел прежде, а не после, чем длинновременной предел. В дополнение к тому, чтобы сделать различные прогнозы о состоянии равновесия в спиновых стеклах в картине реплик, идеи относительно дроплет картины были также применены для динамики спиновых стекол [16]. Процесс релаксации подразумевается как явление, подобное огрублению в ферромагнетике, где одно эргодическое состояние (состояние намагничивания), доминирует в области конечного размера в течение долгого времени. Здесь огрубление происходит между двумя различными состояниями области. Время флиппирования блока спинов; размера L, скалируется как To exp[const хф Ь ]; ., где энергия, необходимая для- скачкообразного1 изменения спиновых масштабов, пропорциональна L . Это- может: дать характерный размер области в момент /.Корреляция в момент t пропорциональна числу связей в І масштабе L(t), которые имеют более низкую энергию; чем энергия, определенная температурой Г, которая должна изменяться ; как \IL{ty . Такими образом, ожидается следующее затухание корреляции; в течение длинного времени Зависимость корреляции от времен в моделированиях модели. Эдвардса-Андерсона в трех измерениях не согласуется с этим видом на достижимых временах и размерах [17]. Если порядок временного и термодинамического предела обратить (т.е. пределы взять в обратном порядке)? при» рассмотрении величины, тогда динамика старения; может быть; рассчитана в нескольких среднеполевых моделях. Это сначала демонстрировалось аналитически в; /7-спиновой сферической модели [18] и затем в модели Шеррингдота-Киркпатрика [19]. Явление динамики, старения в спиновых стеклах, может быть хорошо описано идеей слабого: нарушения эргодичности введенной, чтобы изучить эту динамику. Физическая идея слабого: нарушения эргодичности состоит в том, что система не может принимать различные эргодичные компоненты за конечные промежутки времени.
Релаксация имеет место там, где имеется грубый энергетический ландшафт, имеются ловушки и не существует верхнего диапазона в распределении ловушек по времени. Нарушение эргодичности «слабое» в том смысле, что на достаточно, длинной (бесконечной) шкале времени система может фактически «сбежать» из ловушек [20]. Переведенная на язык функций корреляции, идея состоит в том, что корреляторы могут быть разделены на две части. Предполагая слабое нарушение эргодичности, можно записать где обозначения ST к AG относятся к стационарной (TTI) и части старения корреляции соответственно. Для всех t больше времени ожидания tw [20, 21], поведение длинновременной корреляции записывается в виде где qEA - параметр порядка Эдвардса-Андерсона. Причем, И Кроме того, С (t, t) = 1 подразумевает С$т (0) = 1 - qEA- в то время как (1.13) приводит к тому, что CAG(t, t) = 4EA- Концепция, близко связанная со слабым нарушением эргодичности, обуславливает слабую долгосрочную память.
Это предполагает, что интегрированный отклик является отличным от нуля для бесконечных времен. Математически это1 выражается как где отклик имеет следующие свойства: и для всех фиксированных t lim dt R(t,t ) = 0, (1.18) тогда как Интегрированный отклик — это восприимчивость вида Слабость этого подхода состоит в том, что нет в настоящее время никакого уникального способа получить разложение на стационарную и стареющую части. Четкое разделение возможно только в пределе, где различные времена стремятся к бесконечности. Кульяндоло и Курчан [18, 19] показали, что существует обобщение флуктуационно-диссипативной теоремы к неравновесному флуктуационно-диссипативному соотношению для неравновесной динамики в средне-полевых моделях спиновых стекол. Равновесная флуктуационно-диссипативная теорема связывает корреляцию и отклик как Неравновесное флуктуационно-диссипативное соотношение охватывает только стареющую корреляцию и отклик, и принимает вид
Слабое нарушение эргодичности и эффективная температура
Зависимость корреляции от времен в моделированиях модели. Эдвардса-Андерсона в трех измерениях не согласуется с этим видом на достижимых временах и размерах [17]. Если порядок временного и термодинамического предела обратить (т.е. пределы взять в обратном порядке)? при» рассмотрении величины, тогда динамика старения; может быть; рассчитана в нескольких среднеполевых моделях. Это сначала демонстрировалось аналитически в; /7-спиновой сферической модели [18] и затем в модели Шеррингдота-Киркпатрика [19]. Явление динамики, старения в спиновых стеклах, может быть хорошо описано идеей слабого: нарушения эргодичности введенной, чтобы изучить эту динамику. Физическая идея слабого: нарушения эргодичности состоит в том, что система не может принимать различные эргодичные компоненты за конечные промежутки времени. Релаксация имеет место там, где имеется грубый энергетический ландшафт, имеются ловушки и не существует верхнего диапазона в распределении ловушек по времени. Нарушение эргодичности «слабое» в том смысле, что на достаточно, длинной (бесконечной) шкале времени система может фактически «сбежать» из ловушек [20]. Переведенная на язык функций корреляции, идея состоит в том, что корреляторы могут быть разделены на две части. Предполагая слабое нарушение эргодичности, можно записать где обозначения ST к AG относятся к стационарной (TTI) и части старения корреляции соответственно. Для всех t больше времени ожидания tw [20, 21], поведение длинновременной корреляции записывается в виде где qEA - параметр порядка Эдвардса-Андерсона. Причем, И Кроме того, С (t, t) = 1 подразумевает С$т (0) = 1 - qEA- в то время как (1.13) приводит к тому, что CAG(t, t) = 4EA- Концепция, близко связанная со слабым нарушением эргодичности, обуславливает слабую долгосрочную память. Это предполагает, что интегрированный отклик является отличным от нуля для бесконечных времен. Математически это1 выражается как где отклик имеет следующие свойства: и для всех фиксированных t lim dt R(t,t ) = 0, (1.18) тогда как
Интегрированный отклик — это восприимчивость вида Слабость этого подхода состоит в том, что нет в настоящее время никакого уникального способа получить разложение на стационарную и стареющую части. Четкое разделение возможно только в пределе, где различные времена стремятся к бесконечности. Кульяндоло и Курчан [18, 19] показали, что существует обобщение флуктуационно-диссипативной теоремы к неравновесному флуктуационно-диссипативному соотношению для неравновесной динамики в средне-полевых моделях спиновых стекол. Равновесная флуктуационно-диссипативная теорема связывает корреляцию и отклик как Неравновесное флуктуационно-диссипативное соотношение охватывает только стареющую корреляцию и отклик, и принимает вид где X[CJIQ] - функция, которая при длинных временах зависит только от стареющей корреляции. Выражение (1.22) очень похоже на равновесную флуктуационно-диссипативную теорему, за исключением того, что термодинамическая температура заменяется эффективной температурой: Teff=T/X. Стационарные части корреляции и отклика связаны с флуктуационно-диссипативной теоремой: Т от Уравнение (1.22) может быть проинтегрировано и дает где %(С) имеет важное значение в развитии идей авторов Кульяндоло и Курчан. Эти идеи-могут быть в дальнейшем развиты в двух направлениях: 1) понимание неравновесного флуктуационно-диссипативного соотношения с точки зрения инвариантности выражения при изменениях параметров времени;- 2) рассмотрение соотношения связей между локальными корреляциями и локальными откликами. Начнем с изложения экспериментальных фактов, посвященных изучению эффекта старения в спиновых стеклах [20,22-24]. Спиновое стекло охлаждается в слабом постоянном магнитном поле h от высоких температур, выше Tg, до температуры Т (Т Tg) в этом поле в течение некоторого времени tw. После чего магнитное поле выключается, и производится измерение релаксации магнитного момента. Релаксация является медленной, нестационарной. Изменения состояния системы зависят от времени tw. Чем больше , тем медленнее релаксация. Любойшодобный эксперимент зависит от двух временных параметров: времени наблюдения t, в течение которого производились измерения, и времени ожидания tw (время после перехода в фазу спинового стекла) [5; 22]. Итак, эффект старения: состоит в? том; что; магнитный? отклик; системы на внешнее поле зависит от тепловой: истории образца; т.е: от временного интервала; в?течение которого системаї находится при постоянной температуре в фазе спинового стекла: Приведем, другой эксперимент.
Спиновое стекло охлаждаетсяі в нулевом магнитном поле: и поддерживается при постоянной температуре Т Tg в стечение времени tw. Затем включается- слабое магнитное поле и изучается- процесс релаксации магнитного момента. В итоге; для любого значения tw измеряемая .величина; намагниченности оказывается «симметричной» ее значению вг первом эксперименте: в- пределах экспериментальных ошибок их сумма не зависит от времени! и равная значению намагниченности. охлажденного в магнитном; поле: спинового стекла в первом эксперименте. Функция корреляции системы; C(t, t ) может служить мерой того, как, быстро система теряет память о своей предыстории. Дляпонимания того, как система., реагирует на: внешнее возмущение, вводится» функция отклика R(t,t ), которая связана с восприимчивостью системы; Аналогично функции корреляции, функция .отклика убывает с увеличением времени, так как влияние возмущения постепенно забывается і системой; находящейся в контакте с термостатом. Отличие между откликом и корреляцией: свойство причинности. Корреляцию двух наблюдаемых величин можно вычислить в любые моменты времени, а отклик до начала воздействия внешнего возмущения равен нулю.
Динамические интегродифференциальные уравнения для автокорреляционной функции и функции линейного отклика
Система связанных неравновесных динамических уравнений для корреляционной функции C(t, t ) и функции отклика R(t, Ґ) была выведена нами методом Швингера-Келдыша аналогично [30, 31] и имеет следующий вид Из-за свойства причинности функции отклика имеем R(t, t")R(t", t) = 0. Как и в [21, 36] собственноэнергетическая часть равна Отметим, что собственноэнергетическая часть и вершинная D получаются как функционалы корреляций и откликов, но, используя простейшие диаграммы, они становятся обычными функциями от C(t, t) и R(t, t). Итак, уравнения (2.10), (2.11) и (2.12) представляют собой полный набор уравнений, определяющих динамику системы. Здесь t = (x + tw) время наблюдения, t = tw - время ожидания. В дальнейшем можно использовать безразмерные переменные, которые определяются измерением энергии в единицах J и времени в единицах Ы J. 2 Тогда сила квантового параметра будет измеряться величиной Г = Й l(Jni) [36]. Выполним перенормировку реального времени и других параметров, входящих в квантовые динамические уравнения для корреляции и отклика. При этом t— (J/h)t, симметризованная функция корреляции не изменится, а функция отклика трансформируется как R- bR. После такой перенормировки динамические уравнения имеют такой же вид, как и до преобразования, с т, замененной на Г- . Далее исследуются только перенормированные уравнения, и рассматривается поведение автокорреляционной функции и функции отклика в фазе спинового стекла (а = 1)[21,36]. Для квантовой стеклоподобной системы в равновесии выполняется следующая флуктуационно-диссипативная теорема (ФДТ) Посредством функции %(t,t ) вводится г эффективная- температура Обычно Tef выше температуры J1 или равна ей. В парамагнитной фазе удовлетворяется, ФДТ. Для; описания старения в фазе спинового стекла используется эффективная; температура и, ФДЄ. Двухвременная восприимчивость (или функция интегрального отклика), являющаяся важнош величиной, описывающей затухание отклика, имеет следующий вид В нулевом поле одна;часть кривой; х(С) представляет прямую линию с наклоном (— VIТ); но вторая часть не имеет такого простого поведения (приблизительно это -линия с наклоном - VI Teff ).
В возбужденной; квантовой системе температурам 7gf не может, быть хорошо определена; оназависит от многих параметров: Рассмотрим; свойства автокорреляционной, функции; Є(х:+1 , t-w)yи функции, линейного?отклика;J?(x + tw, iw),;используя-для численного расчета системы уравнений (2.10)-(2:11)/ интерполяционный алгоритм с шагом 0:04. Нас интересует явление: старения в фазе спинового стекла, когда функции\Є и Ш зависят от двух времен: временной разности т.: и времени ожидания /w. В; этощфазе:выбираем следующие параметры: J = 1, а = 1, шс =-6:- ш = 0:1 [36]; и изучаем эффекты температуры, квантового параметра и внешних полей на динамическое низкотемпературное поведение рассматриваемой системы. На рис:2.1аД показана, зависимость корреляционной функции С(т + tw, tw) и функции отклика R(x + tw, tw) от т при разных температурах . (Г=0.2, 0.3 и 0.5) для tw=\0, h = 0.1, І7 = 0.5, ю = 0.1, а = 1,Г= 1 и J= 1. Видно, что для малых т имеется быстрое затухание корреляции и отклика, причем для этих времен при различных температурах кривые корреляции совпадают; то же самое можно сказать о кривых линейного отклика. На более длинных временах т корреляционные кривые для различных Т не совпадают, т.е. имеется существенная температурная зависимость. Для более высокой температуры затухание становится быстрее. Подобное поведение демонстрирует функция отклика, но не в такой ярко выраженной форме. Отметим наличие двух временных секторов, в которых поведение функций С и R различное: имеется быстрая часть функций (Ср и Rp ) и медленная часть этих функций (C Q и RAG) которая определяет неравновесное поведение и эффект старения, когда функции С и R зависят от т и от /w, т.е. от двух времен [37]. На рис. 2.1 в показано поведение интегрального отклика X,{t + tyV,tw) в зависимости от корреляционной функции C(x + tw,tw) при различных температурах Т с использованием тех же параметров, что и на рис. 2.1а,б. Г-зависимость становится заметной для значений С — 0.2 -г 0.7. На рис. 2.2 показано поведение функций С в зависимости от т для температуры Т= 0.2 и для различных значений tw. Видно, что с ростом tw динамика замедляется. При более низкой температуре tw -зависимость проявляется значительно ярче. Для функции отклика R{%) и %(С) зависимость от tw слабая. Рассмотрим теперь динамику в зависимости от постоянного магнитного поля Н. В дроплетной картине фаза спинового стекла исчезает в присутствии прикладываемого поля любой величины [27, 38]. В среднеполевой картине фаза спинового стекла «выживает» в магнитном поле при низких температурах, «формируя» критическую линию, так называемую А Т-линию фазового перехода для изинговских систем или /Т-линию для
Тепловые сдвиги, циклы и эффекты восстановления (омоложения) и памяти
Поведение старения лучше всего наблюдается посредством измерения двухвременных величин, корреляционной функции C(t, tw) или линейной восприимчивости %{&, tw). При этом временная трансляционная инвариантность Рассмотрим следующие протоколы малых температурных изменений для описания эффектов восстановления и памяти посредством температурного сдвига и температурного цикла в системе спинового стекла. Для наблюдения Г-сдвига система охлаждается (теоретически мгновенно) от высокой температуры Т, превышающей температуру фазового перехода Tg, до низкой температуры ниже фазового перехода Т\ Т„. Система стареет при 7} в фазе спинового стекла в течение периода времени tw (это время ожидания начинается с нулевого момента времени, когда температура достигает значения 7}). Далее в момент времени tw незначительно изменяем температуру до значения 7 , и система стареет при температуре 72, начиная с момента tw . В нашем случае фазовый переход отсутствует. Наша система охлаждается от очень высокой Т(Т— оо) до низкой температуры Т\, 7j «Т. В работе [28] исследовано омоложение и память в четырехмерном изинговском спиновом стекле (в случае трех измерений эти эффекты не были обнаружены). Для численного расчета восприимчивости авторы работы [28] использовали для ее реальной части следующее выражение для восприимчивости где С\ tw н—, tw\ — динамическая автокорреляционная функция; со = - фиксированная частота переменного поля. Мы используем формулу (3.12) для реальной части динамической восприимчивости. Прежде чем рассмотреть температурные сдвиги и циклы, рассмотрим динамическое-поведение динамических корреляционных функций C(t, tw) (см. формулы (3.8-3.11)) и восприимчивости (3.12). Кривые C(t, tw) как функции времени t для фиксированного значения tw представлены на рис. 3.1. Эти кривые представляют собой корреляционную функцию для трех режимов: рис. 3.1а — для 0 ос 1; рис. 3.16 - для а 1; рис. 3.1 в — для а 1. На этих рисунках температура Г =0.07, а время ожидания tw =16. Видно, что кривые представляют собой убывающие функции времени t. С увеличением t корреляционные функции затухают.
На рис. 3.2 показаны кривые C(t, tw) в зависимости от времени ожидания tw для фиксированного значения /. На рис. 3.2а, 3.26 и 3.2в представлены кривые для трех режимов, причем Г =0.07, ґ = 100. Кривые C(t, tw) являются возрастающими функциями времени ожидания. Подобное поведение найдено, например, в [49] для спиновых стекол. Эволюция C(t; tw)f: для трех режимов является; различной Нами не найдено плато на; этих кривых вотличие от классических спиновых стекол [24]. Наг рис. 3:3 дана зависимость, реальной части динамической восприимчивости х(ю; tw) от времени ожидания- tw. Нагрис. 3:3а, 3:3б?и 3:3в для- Tpext режимов» взяты Т = 0.07" и со = f = 0101. Здесь наблюдаются убывающие функции? %((0;.tw). Характер трехевосприимчивостей (рис. 3:3а, 3?.3б и: 3:3в) различен: первая функция; вогнутая аг другие: две — выпуклые. Наблюдается поведение; типа спинового стеклам со старением. Функция? %(; / ,)їсильно зависитот.температуры, от врементожиданняшотчастоты. На рис. 3.4" представлена- восприимчивость %(р; t ). для различных значений температуры: 7 = 0Ю7 ю 2-= 01:067; ;(рис.г 3:4а)ш для? нескольких значений частоты:;ео = -0ЮГ т а 2 = 0:015 (рис. 3-46) для первогоштретьего режима соответственно:.. Далее рассмотрены следующие;протоколы температурного сдвига и цикла для? нашей; системы:. Система очень быстро, охлаждается: от высокой температуры; до очень низкой- температуры Т\. Система стареет прш температуре Т\ втечение периодаitw , начиная с нулевого.момента времени, когда; система» достигает температуры; Т\,. В момент времени; tw внезапно изменяем температуру к значению? Т — Т\+ AT], иJсистема?стареет с момента времени ґщ при этой новой температуре Т%. Затем по прошествии периода, tw температура возвращается вновЬ Ю Т (цикл Т{- — Ті — Т\)і На рис..3;5 представлен малый отрицательный ( AT 0) температурный-сдвиг. для динамической восприимчивости; х(ю» w) в трех режимах (0 а Г, а 1, а 1) для фиксированного параметра со = 0:01. На/рис. 3:5а показан; Г-сдвиг в режиме. 0 а 1 при? 7 — 0:07 ,і tw =35, TJJ = 0.067. Видно;, что- в этом, режиме: появляется? слабьійі эффект омоложения. Восприимчивость %(со,, ) ВО втором режиме; (а 1) показана на рис.-3;5б: На этом рисунке также наблюдается эффект омоложения; так как релаксация восприимчивости происходит так, как если бы от момента времени» tw = 25 началась новая: релаксация, на более; ранних, временах. Омоложение здесь. немного сильнее:. Has рис..3-5в функция; %(со; /w) представлена; в третьем режиме,! ос Г. Эффект омоложенияз является- более сильным: Когда температура сдвигается; в« момент tw = 50/ КЇ температуре! -Щ,. тепловые флуктуации выходят из равновесия/ и «приспосабливаются» к новой температуре 7 = 0:067, со = 0:01. Над рис:3;6- представлены 7} —»Г2 — -7% циклы; и5 эволюция восприимчивости/ х(ю5 ;) = /( ) в трех режимах. Когда- температура- % (7 — 0Ю67 ) сдвигается вновьктемпературе Т\ (fF\ = 0;07)шр№ фиксированной), частоте: со (со = 0101 нафис. 3:6ачнаблюдается?слабый эффект памяти;, причем; tw. =35, tw = 60«. Последняя , стадия;,; которая началась с: момента ( ,. не зависит от первой стадии: при? температуре Щ-... Этот эффект иллюстрируется также нарис.ЗІба; где промежуточное время (пршТ" ) опущено: На.рис.,З.ббшредставленітемпературньїйщиклїво втором режиме а Г. Берутся У] = 0:07, 7 =0:067, со = 0:01, tw =25 .ж ; = 50.
Наблюдается более заметный эффект памяти.. Релаксации; восприимчивости- в первой и третьей; стадиях являются» продолжением друг друга, что видно на рис. 3;6б. На рис..3:6в найденаі почти полная память для? восприимчивости, пра этом-были использованы .Tj= 0:07, 7 2 = 0.067,. со-= 0:01,. tw = 50 и« tw =100. Система действительно сохраняет память о состоянии, достигнутом до tw , и «омоложенная» релаксация, при 7 не влияет на релаксацию при Т\. На рис. З.бві эффект памяти ясно виден. Данныш результат совпадает с экспериментальными данными в полимерах [50] и подобен некоторым данным в спиновых стеклах [51, 52-54]. Один из примеров1 спинового стекла показан на рис. 3.7. В приближении, моделей среднего поля, следуя работе [28], рассмотрим более детально эффекты» омоложения и памяти в терминах динамической корреляционной длины. Система при более высокой, температуре 72 термализует ее так называемые быстрые моды (т.е. t,(t, T\)«L). Когда система охлаждена до более низкой температуры, эти быстрые моды выходят из равновесия, и система при низкой температуре моложе; чем была ранее. Было упомянуто, что омоложение включает перестройку на малых длинах при Т\. Память основана на существованию двух, хорошо разделенных масштабов, в то время как омоложение основано на реорганизации системы на малых масштабах. Таким образом, свойства, обусловленные старением; могут быть рассчитаны асимптотически точно для і рассматриваемой нами модели. Нами показано, что двухвременные корреляционные функции имеют интересную зависимость от истории системы и зависят от обоих времен {t и tw). Рассмотрены три временных режима. Была использована модель, в которой энергетический ландшафт иерархический (как в модели Синая)» Фазовый переход в модели отсутствует, поведение системы «контролируется» нуль-температурной фиксированной точкой. В этой модели при Т«О температурные сдвиги не приводят к интересным эффектам; при- Т Ф О наблюдаются эффекты омоложения и памяти, которые различаются для различных временных режимов (3.8)-(3.11). Для сравнения с экспериментом требуются длинные времена tw, низкие температуры. Данные результаты можно сравнить с результатами, полученными в модели среднего поля [18]. Как в модели среднего поля, нами было найдено старение, особенно в режимах а 1 и а 1. Но существуют различия в поведении величин: в нашей работе имеются \n(tw) и \ntw; не наблюдается плато в кривых для корреляционных функций, в отличие от обычных спиновых стекол.
