Содержание к диссертации
Введение
1 Электрон-дырочные комплексы, локализованные на неоднородностях интерфейсов квантовый ям 12
1.1 Электрон-дырочные комплексы в полупроводниках (обзор) 12
1.2 Постановка задачи 18
1.3 Предельные случаи потенциала неоднородности 22
1.3.1 Гамильтониан электрон-дырочного комплекса 22
1.3.2 Предельный случай 1 ("слабый" потенциал неоднородности) 26
1.3.3 Предельный случай 2 ("сильный" потенциал неоднородности) 27
1.4 Выбор пробной функции 29
1.5 Заключение 31
2 Энергия связи экситона, Х+ и Х~-трионов, локализованных в плоскости квантовой ямы на неоднородности ее интерфейса 33
2.1 Двумерный экситон, локализованный в параболическом потенциале 33
2.1.1 Гамильтониан и пробные функции 33
2.1.2 Численные результаты 36
2.1.3 Зависимость строения экситона от параметров локализующего потенциала 39
2.1.4 Оценка точности вариационного расчета энергии связи экси тона 42
2.2 Двумерные Х+ и Х~-трионы, локализованные в параболическом по тенциале 43
2.2.1 Гамильтониан и пробные функции 44
2.2.2 Численные результаты 46
2.3 Точность вариационных расчетов в случае произвольного потенциала неоднородности 51
2.4 Заключение 52
3 Энергия связи экситона и трионов в квазиодномерных системах 54
3.1 Введение 54
3.2 Кулоновскос взаимодействие в квазиодномерных системах 55
3.3 Вариационный расчет энергии связи трионов 60
3.3.1 Пробные функции и численные результаты 60
3.3.2 Оценка точности вариационного расчета 65
3.4 Адиабатическое приближение. Возбужденные состояния Х+ - триоиа. 67
3.5 Заключение 70
4 Энергия связи экситона и трионов в квантовой проволоке с неоднородностью 72
4.1 Вариационный метод и модель неоднородности 72
4.1.1 Гамильтониан системы и предельные случаи 72
4.1.2 Пробная функция 75
4.1.3 Потенциал неоднородности 77
4.2 Энергия связи экситона, локализованного на неоднородности квантовой проволоки 79
4.3 Оценка точности вариационного расчета энергии связи экситона . 84
4.4 Энергия связи Х+ и А'~-трионов, локализованных на неоднородности квантовой проволоки 85
4.4.1 Пробные функции 85
4.4.2 Результаты численного расчета 89
4.5 Заключение 92
Заключение 94
Список литературы 99
- Предельные случаи потенциала неоднородности
- Оценка точности вариационного расчета энергии связи экси тона
- Кулоновскос взаимодействие в квазиодномерных системах
- Энергия связи экситона, локализованного на неоднородности квантовой проволоки
Введение к работе
Задача о нахождении энергии связи электрон-дырочных комплексов в неидеальной иолз проводниковой структуре в общем случае аналитического решения не имеет, поэтому применяются различные численные методы. Часто используются вариационные методы с очень большим (порядка 1000) числом подгоночных параметров (см. например, [11]) либо расчеты из первых принципов [12]. С их помощью можно с весьма высокой точностью найти не только энергию комплекса, но и его волновую функцию. Однако большинство подобных методов отличается крайней громоздкостью, а физическая интерпретация полученных с их помощью результатов бывает сильно затруднена. К тому же, эти методы обладают наибольшей эффективностью при расчете конкретных структур с фиксированными параметрами. Если же требуется проследить зависимость энергии комплекса от параметров структуры в широком диапазоне их значений и выделить качественные закономерности, то точность этих методов становится избыточной, а их реализация может быть затруднена в силу высоких требований к вычислительным средствам.
Следовательно, стоит острая необходимость в разработке универсальных методов, позволяющих вычислять энергии связи электрон-дырочных комплексов, локализованных в плоскости квантовой ямы или вдоль оси квантовой проволоки, пусть и с меньшей точностью, но зато простым и наглядным способом, применимым в самом общем случае. Подобным требованиям отвечал бы вариационный подход с применением простых пробных функций с малым числом подгоночных параметров, которые бы при этом имели ясный физический смысл.
Сказанное выше обосновывает актуальность темы диссертации.
Цель настоящего исследования заключается в разработке эффективных и физически наглядных вариационных методов, использующих пробные функции с минимально возможным числом подгоночных параметров, пригодных для нахождения энергий связи и качественного описания структуры экситона, Х+ и Х -трионов в различных полупроводниковых наноструктурах, в том числе в квантовой яме и квантовой проволоке с неоднородностью.
Задачи, поставленные и решенные в рамках проведенного исследования:
1. Разработать универсальный метод построения простых и физически наглядных пробных функций, позволяющих вычислить с разумной точностью энергии связи электрон-дырочных комплексов с малым числом частиц, локализованных в плоскости квантовой ямы на неоднородности ее интерфейса.
2. Продемонстрировать на примерах локализованных двумерных экситона, Х+ и Х -трионов применимость разработанного метода. Проследить изменение строения и энергий связи этих комплексов при изменении параметров, характеризующих неоднородность.
3 Изучить зависимость энергий связи экситона, Х и Х_-трионов в квазиодномерных системах — полупроводниковых квантовых проволоках - от отношения эффективных масс электрона и дырки, а также от поперечного размера проволоки. Сконструировать пробные функции с небольшим числом подгоночных параметров, позволяющие вычислить энергию связи основного и первого возбужденного состояний трионов в квантовых проволоках с хорошей точностью.
4. Обобщить метод, предложенный для построения пробных функций электрон-дырочных комплексов в квантовых ямах с неоднородностью, на случай квантовых проволок с флуктуациями поперечного размера. На примере экситона, Х+ и А"_-трионов проследить зависимость энергий связи комплексов or параметров потенциала неоднородности.
Научная новизна полученных результатов:
1. Разработан новый универсальный метод построения вариационных волновых функций для двумерных электрон-дырочных комплексов, локализованных на потенциале притяжения произвольной формы. Предложены пробные функции с одним и четырьмя подгоночными параметрами, позволяющие с хорошей точностью вычислить энергию связи комплекса при произвольных значениях параметров, характеризующих локализующий потенциал.
2. Впервые получена зависимость энергий связи и качественного строения двумерных экситона. Х+ и Х -трионов, локализованных на параболическом изотропном потенциале, от его параметров в широком диапазоне изменения. Проведен анализ зависимости погрешности метода от формы латерального потенциала.
3. Предложены пробные функции всего с четырьмя подгоночными параметрами, позволяющие вычислить энергии связи основного и первого возбужденного состояний Х+ и Х -трионов в полупроводниковых квантовых проволоках при произвольном отношении эффективных масс электрона и дырки и произвольном радиусе проволоки с хорошей точностью.
4. Метод построения пробных функций для двумерных локализованных электрон-дырочных комплексов обобщен на случай квантовых проволок с неоднородностью. Предложены пробные функции для нахождения энергии связи основного состояния экситона и Х+ и Х -трионов в квантовой проволоке с неоднородностью. Впервые найдена зависимость энергии связи одномерных локализованных комплексов от параметров потенциала неоднородности.
Практическая значимость работы заключается в построении простых и физически наглядных моделей электрон-дырочных комплексов. Это позволяет получить качественное и количественное представление об эволюции основного, а в некоторых случаях и первого возбужденного состояний трионов с изменением отношения масс, радиуса квантовой проволоки, а также параметров, характеризующих неоднородность системы. Разработанный подход позволяет строить пробные функции с малым числом подгоночных параметров, и следовательно, с меньшими, нежели распространенные методы [11, 12], затратами вычислительных ресурсов получить энергию связи простейших электрон-дырочных комплексов с хорошей (порядка 10 %) точностью. Результаты, полученные в рамках представленных здесь исследований, делают возможным выполнить "экспресс" оценку энергий связи электрон-дырочных комплексов при известных значениях параметров реальной гетероструктуры (квантовой ямы или квантовой проволоки), а также могут применяться для решения обратной задачи, связанной с оценкой параметров неоднородности системы (например, характерных размеров флуктуации интерфейсов в квантовых ямах) по оптическим спектрам.
Основные положения выносимые на защиту:
1. Предложен метод построения пробных функций, позволяющих найти энергию связи основного состояния электрон-дырочных комплексов, локализованных на неоднородностях интерфейсов квантовых ям и квантовых проволок. Указанные функции могут принимать формы, соответствующие предельным случаям, допускающим разделение переменных в соответствующем уравнении Шредингера и плавно интерполируют между ними.
2. Дополнительная локализация в плоскости квантовой ямы в большей степени влияет на энергию связи Х -триона по сравнению с Х -трионом. Энергия связи Х+-триона монотонно зависит от степеней локализации носителей на неоднородностях интерфейсов квантовых ям, энергия связи А"_-триона может демонстрировать немонотонное поведение.
3. Структура экситона, А + и А -трионов в квазиодномерных структурах определяется, в основном, кулоновскон частью эффективного потенциала взаимо действия между носителями. А значения энергий связи электрон-дырочных комплексов в реалистичных квантовых проволоках имеют тот же порядок величины, что и в квантовых ямах.
4. Экситои и трионы локализуются на флуктуациях поперечного размера квантовых проволок при их реалистичных параметрах как единое целое.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на рабочих семинарах ФТИ РАН, заседании кафедры Физики твердого тела СПбГПУ, рабочем семинаре университета г. Клермон-Феррана (Франция), на международных конференциях "Nanostructures: Physics and Technology"(Санкт-Петербург, 2005; Новосибирск, 2007, стендовые доклады), "14th International Conference on Supcrlatticcs, Nano-Structures and Nano-Devices (Стамбул, Турция, 2006, стендовый доклад), "17th International Conference on Electronic Properties of Two-Dimensional Systems (Генуя, Италия, 2007, стендовый доклад), "The 22nd General Conference of the Condeneed Matter Division of the European Physical Society" (Рим, Италия,2008, устный доклад), VII и VIII Российских конференциях но физике полупроводников (Москва, 2005; Екатеринбург, 2007, стендовые доклады), российско-швейцарском семинаре "Excitons and Exciton Condensates in Confined Semiconductor Systems 1 (Москва, 2006, стендовый доклад), международной школе "2nd International School on Nanophotonics" (Маратея, Италия, 2007, стендовый доклад), XII школе молодых ученых "Актуальные проблемы физики"(Звенигород, 2008, устный доклад).
Публикации. По результатам исследований, проведенных в диссертации опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в Заключении.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, 4-х глав, Заключения и списка литературы. Она содержит 110 страниц текста, включая 17 рисунков и 1 таблицу. Список цитируемой литературы содержит 112 наименований.
Во введении обоснована актуальность проведенных исследований, сформулированы цель и научная новизна работы, перечислены основные положения, выно симые на защиту, а также кратко изложено содержание диссертации.
В первой главе диссертации формулируется задача и приводится краткий обзор литературы но проблеме исследований. В этой главе построена качественная картина локализации электрон-дырочных комплексов на ттеоднородностях интерфейсов квантовых ям. Формулируется модель неоднородности гетероструктур. Выдепены предельные случаи "слабой" и "сильной" неоднородности, качественное строение комплекса в которых известно из физических соображений. Предложены пробные функции небольшим числом (от 1 до 4) подгоночных параметров, позволяющие с хорошей точностью вычислить энергию связи основного состояния комплекса, локализованного в плоскости квантовой ямы. Общий вид вариационных функций не зависит от конкретной формы неоднородности, они пригодны для произвольных значений характеризующих ее параметров.
Во второй главе на примере двумерных экситона, Х и Л -трионов продемонстрирована применимость метода, описанного в первой главе. Проиллюстрировано изменение качественного строения комплекса при переходе между предельными случаями. Выделены области значений параметров потенциала неоднородности, соответствующие указанным в первой главе предельным случаям. Проведен анализ зависимости погрешности вариационного расчета от формы неоднородности.
В третьей главе диссертации изучены экситонные и триоиные состояния в полупроводниковых квантовых проволоках. Рассмотрены особенности кулоновско-го взаимодействия в квазиодномерном случае. Предложены простые, физически обоснованные пробные функции, позволяющие вычислить энергию связи основного и первого возбужденного состояний трионов обоих типов в квантовых проволоках. Точность результатов, полученных вариационным методом, проконтролирована сопоставлением вариационного расчета и прямой диагонализации гамильтониана. Для малых значений отношения масс электрона и дырки энергии связи основного и возбужденных состояний Х+-триона найдены в рамках адиабатического приближения. В четвертой главе исследованы экситоны и трионы, локализованные вдоль оси квантовой проволоки на неоднородности структуры. Согласно разработанном} в главе 1 методу построена пробная функция и вычислены зависимости энергий связи экситона и Х+ и Х - трионов от параметров неоднородности. Выполнены оценки точности вариационных расчетов и установлены границы применимости использованных пробных функций.
В Заключении обобщены основные результаты работы.
Формулы и рисунки в диссертации нумеруются по главам, нумерация литературы единая для всего текста.
Предельные случаи потенциала неоднородности
Для начала рассмотрим электрон-дырочную пару, локализованную в плоскости квантовой ямы. Гамильтониан системы удобно представить в безразмерных единицах, введя объемный боровский радиус а в = fi2e/fic2 в качестве единицы длины и объемный экситониый ридберг Ry = fi,e4/2s2h2 как единицу энергии. Здесь с -заряд электрона, є - статическая диэлектрическая постоянная, пе и 77 - эффективные массы электрона и дырки, fi = 7псгпіг/(іпе+ті1) - их приведенная масса. В приближении эффективной массы гамильтониан экситона имеет следующий вид: где a = тпе/ть - отношение эффективных масс носителей, ре и zejh - их координаты в плоскости квантовой ямы и вдоль ее оси роста, Ve(ze) и Vh(zh) - потенциалы квантовой ямы для электрона и дырки соответственно, Ue(pc) и Uh{ph) эффективные потенциалы неоднородности. В работе рассматриваются узкие квантовые ямы, в которых характерные величины энергий размерного квантования электрона и дырки в направлении оси роста, E_L, много больше характерной энергии кулоновского взаимодействия между частицами Ес: Это условие выполнено при L ; ав-у/(тг2 х)/( т + 1), где L — ширина квантовой ямы, а = тс/гп!, — отношение масс электрона и дырки. Для большинства полупроводниковых материалов а 0.3, поэтому условие выполнения (1Л0) можно записать в виде L -С ав- Тогда координаты, описывающие движение частиц вдоль оси роста, можно отделить, а волновую функцию системы записать как [2] где Ф( Е) и Ф;і(-г ) - волновые функции основного состояния электрона и дырки вдоль оси роста, рассчитанные без учета кулоновского взаимодействия между носителями заряда.
Приближением (1.11) мы будем пользоваться всюду в дальнейшем. Здесь и далее мы пренебрегаем сложной структурой валентной зоны. Действительно, при выполнении условия (1.10) внедиагональные слагаемые гамильтониана Латинжера малы по сравнению с расщеплением между подзонами тяжелых (проекция момента ± 3/2 на ось роста) и легких дырок (проекция момента ±1/2 на ось роста) дырок, что делает возможным рассмотрение их подзон независи кю друг от друга [2]. Пренебрежение эффектами сложной структуры валентной зоны накладывает ограничение на латеральный потенциал: характерная энергия квантования дырки в потенциале неоднородности Uh(ph) не должна превышать энергию ее размерного квантования вдоль оси роста квантовой ямы. Однако, если это условие не выполнено, становится также не применимо приближение (1.11). Мы также пренебрегаем эффектами, являющимися следствием различия величин диэлектрической проницаемости в квантовой яме и в барьере. Учет таких эффектов приводит к некоторому увеличению энергий связи электрон-дырочных комплексов, по не приводит к существенным изменениям результатов, т.к. в стандартных полупроводниковых гетероструктурах этот эффект мал [91, 92, 93]. После усреднения гамильтониана (1.9) по переменным ze, Zh получаем следующий гамильтониан для описания движения электрона и дырки в плоскости квантовой ямы: - эффективный двумерный потенциал взаимодействия между электроном и дыркой. Мы рассматриваем предел узких глубоких квантовые ям, в которых L -С ав-Тогда движение носителей заряда в можно считать полностью двумерным, а потенциал взаимодействия между носителями заряда (1.13) примет вид двумерного кулоповского: Вышесказанное можно обобщить на случай электрон-дырочного комплекса, состоящего из iVe электронов и Nh дырок (JVe, Nh = 1, 2).
В общем виде уравнение Шредингера для такой системы: где гамильтониан, описывающий движение носителей к плоскости, имеет вид: Здесь Те и ЇХ - операторы кинетической энергии электронной и дырочной подсистем; Vc - оператор полного кулоновского взаимодействия между носителями; Ve и V/, - потенциалы взаимодействия электронной и дырочной подсистем с дефектом: Энергия основного состояния гамильтониана (1.16) Е будет вычисляться с помощью вариационного метода. Для построения общего, но при этом простого и наглядного, метода необходимо сконструировать пробную волновую функцию, удовлетворяющую следующим требованиям. Она должна: 1. Позволять вычислить энергию основного состояния электрон-дырочного комплекса с хорошей точностью при произвольных параметрах потенциалов Ueh{pe,h)\ 2. Обладать минимально возможным числом подгоночных параметров, кото рые должны иметь прозрачный физически смысл: 3. Не зависеть от конкретной формы одночастичиых потенциалов Ueih(pe,h) Для построения пробной функции, отвечающей перечисленным требованиям, выделим предельные случаи соотношений между параметрами, характеризующими рассматриваемую систему, в которых вид волновой функции, описывающей комплекс с хорошей точностью, известен из физических соображений. Затем необходимо построить пробную функцию, обладающую минимальным числом подгоночных параметров и плавно переходящую между формами, соответствующими выделенным предельным случаям Для того, чтобы выделить предельные случаи введем следующие величины, характеризующие электрон-дырочный комплекс: Ес - типичная величина куло
Оценка точности вариационного расчета энергии связи экси тона
Специфическим свойством параболических потенциалов (2.2) и (2.3) при выполнении условия: является возможность разделить переменные R и р в гамильтониане (2.1) [95]. При этом энергия связи экситона Еь перестает зависеть от отношения эффективных масс электрона и дырки а, и зависимости E/,(W) при различных а сливаются в одну универсальную кривую, представленную линией 1 па рис. 2.4, На рис. 2.4 также показаны зависимости Eb(W), полученные с помощью функций с одним (2.4), двумя (2.16) и четырьмя (2.5) подгоночными параметрами. На врезке к рис. 2.4 показаны относительные погрешности результатов функций (2.4) и (2.5). Заметим, что максимальная погрешность в вычислении энергии связи с применением простейшей однопараметровой пробной функции (2.4), составляет около 10%. В то время как погрешность расчета с функцией (2.5) не превышает 0.5%, и соответствующая зависимость Еь{\) практически сливается с точной. Это оправдывает использование функции (2.5), для определения точности результатов функции (2.4). Таким образом, мы показали, что волновые функции (2.4) и (2.5) позволяют с хорошей точностью вычислить энергию связи экситона, локализованного в параболическом потенциале, при произвольных значениях жесткости потенциалов для электронов и дырок. В данном разделе с помощью разработанного метода исследован частный случай Л + и Х -трионов, локализованных в плоскости квантовой ямы на неоднородіюстп параболической формы. Полученные результаты позволяют объяснить наблюдаемое в экспериментах увеличение энергии связи трионов в узких квантовых ямах по сравнению с результатами теоретических расчетов. Для определенности рассмотрим Х--трион. Согласно (1.16) безразмерный гамильтониан двумерного триона имеет следующий вид: Мы будем использовать пробную функцию с четырьмя подгоночными параметрами для нахождения энергии связи триона (обоснование такого выбора дано ниже в параграфе 2.2.2): где R = (арС1+арС2+р )/(2а+1) - радиус-вектор центра масс триона, рг — pei—Ph и р2 = рЄ2 — Рь - координаты относительного движения электронов и дырки, ал, ар, ае, ah — подгоночные параметры. Параметры ал и ар характеризуют степень коррелированности триона как целого, параметры ае и « характеризуют степень независимости его электронной и дырочной подсистем.
Рассмотрим волновые функции ФС-М-(К), Фт (р1,р2), е(Ре1,Ре2) и h{Ph), использующиеся в расчете. Функция описывает квантование движения центра масс триона. Она является точным решением соответствующего уравнения Шредингера [ср. с (2.6)]. Функция Фш (рі, рг) является решением уравнения Шредингера со следующим гамильтонианом, описывающим движение электронов относительно дырки: где Л, В, d и RQ - подгоночные параметры. Параметры А и В отвечают за орбитальное движение электронов, локализованных на дырке за счет кулоновского взаимодействия, параметр d описывает колебания электронов относительно друг друга, параметр R0 — среднее расстояние между идентичными носителями. Пробная функция (2.24) является несколько упрощенной функцией из работы [98] и обеспечивает хорошую точность описания внутреннего движения носителей в двумерных трионах обоих типов при произвольном отношении масс электрона и дырки (точность вычисления энергии связи составляет 5 — 7%). Функция Фс(рЄі, ре2) описывает движение электронной подсистемы в эффективном потенциале, равном сумме потенциалов неоднородности, кулоновского отталкивания между электронами и усредненного потенциала их кулоновского взаимодействия с дыркой. Она является решением уравнения Шредингера с гамильтонианом где эффективный кулоновский потенциал для электронов, Vc(pei, ре2), имеет вид где функция fy ph) в соответствии с общим методом определяется выражением (2.10). Фє(рс1,рЄ2) также вычисляется вариационным методом со следующей пробной функцией: где Ae, Be, de и Roe - подгоночные параметры, физический смысл которых вполне аналогичен соответствующим параметрам функции (2.24). Наконец, функция Ф 1(р ) является решением уравнения Шредингера с гамильтонианом, учитывающем взаимодействие дырки с неоднородностью структуры и электронами: где эффективный кулоновский потенциал для дырки, V (ph), имеет БИД а функция ФЗ(Ре) определяется выражением (2.12). Мы вычисляем Фк(рь) вариационным методом с пробной функцией где Ah и В]г — подгоночные параметры.
Параметр Ah описывает локализацию дырки за счет взаимодействия с электроном, а параметр В - в параболическом потенциале дефекта. Пробные функции и уравнения дчя них в случае Х+ триона получаются путем замены индексов е - h и а —» 1/сг. Действительно, при замене а — 1/сг эффективные массы злектрона те и дырки т меняются местами, а замена е w h меняет местами координаты электрона и дырки. В итоге мы получаем следующую пробную функцию для """-триона: где R = («трк + Р/ц +Ph2)/(cr + 2) - радиус-вектор центра масс триона, рх = phl — ре и р2 — ри2 — ре - координаты относительного движения дырок и электрона. По определению, энергиями связи Х и Х+-триопов называют следующие величины [см. например [12]]: где Еег - полная энергия экситона, Ee,h энергия одиночного электрона (дырки) в потенциале неоднородности, Е . и Е. - полная энергия Х - и Х - трионов. Другими словами, энергия связи триона есть разница по энергии между положениями экситонной и трионной спектральных линий. В выражения для энергий связи трионов (2.32) и (2.33) входит разница полных энергий экситона и триона, вычисляемых вариационным методом. Поскольку при вычитании двух сравнимых величин, относительная погрешность конечного результата может возрасти, для сохранения приемлемой точности расчета необходимо повышение точности вычисления каждой из величин, входящих в формулы (2.32) и (2.33). Кроме этого, дня повышения надежности результата, пробные функции для трионов и экситонов необходимо выбрать так, чтобы они учитывали различные эффекты одинаковым образом. Поэтому были выбраны пробные функции с четырьмя подгоночными параметрами (2.5), (2.21) и (2.31). На рисунках 2.5а и 2.5Ь показаны зависимости энергии связи Х и Х+-триоиов от параметров локализующих потенциалов We и Wh, вычисленные при отношении масс а = 0.3. В отличие от энергии связи экситона, показанной на рис. 2.1, энергии связи трионов Е и Е зависят от параметров We и Wh немонотонно, причем поведение Е и Е различается. Зафиксируем, например, значение параметра We. Тогда с ростом Wh дырка в Х -трионе становится более локализованной, и ее притяжение к электронам становится более эффективным, следовательно, энергия связи Л "-триона возрастает. С другой стороны, в Х+-трионе две дырки при увеличении ІГ/, сильнее прижимаются друг к другу вследствие чего резко возрастает их отталкивание, что ведет к уменьшению энергии связи Х+-триона. Таким образом, с ростом Wh энергия связи Х_-триона монотонно возрастает, а энергия связи Х+-триона монотонно убывает. При фиксированном значении W\ зависимость Е от 1Г(, немонотонна. Это связано с тем, что с ростом We возрастает эффективность обменного взаимодействия между электронами, что ведет к росту энергии связи Х -триона. При дальнейшем увеличении We вклад кулоновского отталкивания между электронами преобладает, и энергия связи уменьшается. В случае Л"+-триона при фиксированном значении We немонотонности в зависимости Е от Wh при а — 0.3 не наблюдается. Это объясняется большей массой дырки и,
Кулоновскос взаимодействие в квазиодномерных системах
Особенность теоретического описания электрон-дырочных комплексов (в частности, экситонов и трионов) в квантовых проволоках заключается в отсутствии одномерного предела. Энергия связи комплексов с кулоновским взаимодействием 1/г, где г - расстояние между частицами, логарифмически расходится при стремлении радиуса нити к нулю. Следовательно, нельзя в качестве отправной точки для описания локализованных комплексов рассматривать квантовую проволоку нулевого радиуса по аналогии с квантовой ямой нулевой ширины, как это было сделано в главах 1 и 2. Это обстоятельство свидетельствует о необходимости исследования зависимости энергии связи экситонов и трионов от радиуса квантовой проволоки. Схожая ситуация при описании экситонов и трионов возникает в объемных полупроводниках в сильном магнитном поле, т.к. в плоскости, перпен дикулярной полю, движение носителей квантовано, а вдоль поля - свободно. По аналогии с 1 3 рассмотрим экситон в цилиндрически симметричной квантовой проволоке. Безразмерный гамильтониан системы имеет вид: Здесь pe и ph - поперечные, a ze и zt, - продольные координаты электрона и дырки соответственно, Ve(pe) и Vh(ph) — потенциалы квантовой проволоки для электрона и дырки. Пусть энергии размерного квантования электрона и дырки в направлении, перпендикулярном оси проволоки, Е±, значительно превосходят характерную энергию кулоновского взаимодействия между частицами Ес (это приближение будет использовано везде в дальнейшем): По аналогии с условием (1.10) для квантовой ямы. условие (3.2) выполнено при В -С ав\/5.6сг/(сг + 1) дз ав, где В - радиус квантовой проволоки.
Тогда координаты, описывающие поперечное движение частиц, можно отделить, а волновую функцию системы записать как Функции Фє(Ре) и h(Ph) суть волновые функции основного состояния поперечного движения электрона и дырки, рассчитанные без учета кулоновского взаимодействия между носителями заряда. После усреднения гамильтониана (3.1) по переменным ре, ph и отделения свободного движения центра масс экситона получаем следующий гамильтониан, описывающий относительное движение электрона и дырки: - эффективный одномерный потенциал взаимодействия между электроном и дыркой. Заметим, что при выполнении условия (3.2) задача о нахождении собственных уровней энергии гамильтониана (3.4) оказывается вполне аналогичной задаче об атоме водорода в сильном магнитном поле [99]. На больших, по сравнению с радиусом проволоки R, расстояниях между носителями эффективный потенциал (3.5) сводится к одномерному кулоновскому Если выполнено условие (3.2), то потенциал (3.5) отличается от асимптотики (3.G) только при \z\ R. При этом масштаб волновой функции относительного движения электрон-дырочной пары в экситоне аех много больше радиуса проволоки аех S R. Это означает, что в области \z\ R важна лишь интегральная мощность потенциала взаимодействия, а его конкретный вид не существенен. Поэтому в дальнейших расчетах мы применим широко используемое приближение для эффективного потенциала взаимодействия между электроном и дыркой (см., например, [103, 104, 105, 106, 107, 108, 109]): где параметр а играет роль эффективного радиуса квантовой нити. Отметим, что выбор эффективного потенциала взаимодействия в виде (1.13) не единственный [110, 111].
Кулоновское отталкивание между носителями одного знака описывается эффективным потенциалом, подобным (3.5). однако волновые функции размерного квантования, стоящие иод интегралом, могут отличаться от использованных в (3.5). Это приведет к тому, что получившийся эффективный радиус проволоки будет отличаться от стоящего в (3.7). Однако этим эффектом мы пренебрегаем, и в дальнейшем будем считать что отталкивание между одинаковыми носителями описывается потенциалом
Энергия связи экситона, локализованного на неоднородности квантовой проволоки
Гамильтониан электрон-дырочной пары, локализованной на неоднородности квантовой проволоки, в согласии с уравнениями (4.2), (4.3) имеет вид: Волновые функции, описывающие локализацию центра масс экситона 4 C-M,(Z), относительное движение электрона и дырки Фт (,г), а также квантование носителей по отдельности Фс( е) и Фн(гн) принимают для квазиодномерного экситона, локализованного в параболическом потенциале неоднородности, следующий вид: где Z = (сгг;е + Zh)/(l + а) - координата центра масс экситона. Функция относительного движения носителей Фш (,г) для экситона в квантовой проволоке в аналитическом виде не записывается, в отличие от соответствующей функции для двумерного экситона (2.7). Поэтому она выбирается как результат минимизации энергии соответствующего гамильтониана с пробной функцией в виде (здесь z = ze — Zh) с единственным подгоночным параметром Ар. Это позволяет получить функцию tymt(z) в аналитической форме. В главе 3 показано, что такая функция (4.20) обеспечивает приемлемую (не хуже 6%) точность в аюуальном диапазоне изменения радиусов проволоки.
Волновая функция Фе(,ге), описывающая независимое квантование электрона есть решение следующего уравнения Шредннгера: где волновая функция есть функция основного состояния одиночной дырки в потенциале неоднородности Uh{zh)- Аналогичным образом, волновая функция Ф ), описывающая квантование дырки, является решением следующего уравнения Шредингера: есть волновая функция основного состояния электрона в потенциале Ue(ze). Волновые функции Фс(ге) и Фн(г/1) вычислялись вариационным методом с пробными функциями, обладающими двумя подгоночными параметрами: где Ае ,Ве -подгоночные параметры. Параметры Ае описывают локализацию носителей за счет кулоновского взаимодействия с носителями другого типа, а параметры Be h - за счет взаимодействия с потенциалом неоднородности. Для расчета энергии связи экситона, локализованного на неоднородности квантовой проволоки, используется пробная функция с четырьмя параметрами (4.14), которая для экситона принимает следующий вид: Серия зависимостей энергии связи экситона Ex(Wh), полученных ігри фиксированных значениях параметра We путем расчета с функцией (4.27), представлена на рис. 4.1а и 4.lb для отношений масс а = 1 и и = 0.1 соответственно. Такие значения отношения масс были выбраны по следующим причинам: т = соответствует равенству масс электрона и дырки те = rrih, что облегчает проверку результатов расчета, а а = 0.1 лежит в области значений, соответствующей реальным полупроводниковым структурам, при котором также заметна разница в энергиях связи между Х+ и Х_-трионами. Это значение меньше чем а = 0.3, при котором были сделаны расчеты для двумерных локализованных комплексов в главе 2, так как в одномерном случае энергии связи трионов слабее зависят от отношения масс в актуальном диапазоне его изменения. Все вычисления производились при 7 = 1п(ов/«) = 1. Штриховой линией показана граница применимости использованного метода. При любых значениях параметров We и ТУ/, энергия связи экситона Е превышает энергию связи свободного экситона, которая при выбранном радиусе квантовой проволоки имеет значение Еех = 2.94 (это значение получено вариационным методом в главе 3). Это, так же как и в двумерном случае, объясняется увеличением эффективности кулоновского притяжения между электроном и дыркой при росте величии ТУе и Wh- Поэтому, для наглядности, в качестве точки отсчета энергии на графиках выбрана энергия связи свободного одномерного экситона.
В предельном случае "слабого" потенциала неоднородности увеличение энергии связи экситона за счет локализации можно представить как Здесь потенциал неоднородности не меняет волновую функцию относительного движения электрона и дырки, и увеличение энергии связи экситона происходит за счет более эффективной, по сравнению с локализацией отдельных носителей, локализации центра масс экситона. Область применимости асимптотики (4.28) обозначена на рисунке 4.1 римской цифрой I, а ее граница показана пунктирной кривой. Римской цифрой II обозначена область реализации предельного случая "сильного" потенциала неоднородности. В пределе Wejt 1 в рамках применяемой модели так как электрон и дырка оказываются настолько сильно локализованными, что их координаты вдоль оси квантовой проволоки практически совпадают. В пределах Wh 2 1, We — 0 и Wc 1, Wh — 0, в отличие от двумерного случая, рассмотренного в разделе 2.1.2, аналитические выражения для соответствующих асимптотик крайне громоздки и здесь не приводятся. Тем не менее они дают хорошее совпадение с результатом вариационного расчета. Необходимо обратить внимание на то, что область реализации предельного случая 2 (предел "сильного" потенциала неоднородности) не входит в область применимости эффективного потенциала (4.1), поэтому нахождение асимптотик важно лишь для контроля правильности выполненного расчета. Точный расчет энергии связи в пределе Weth 3 1 (диагонализация гамильтониана электрон-дырочной пары в цилиндрически симметричном квантовом диске нулевой высоты) дает что отличается от значения (4.29) на 23%.
Такие отличие объясняется тем, что эффективный потенциал (4.1) в области \z\ С а имеет меньшие значения нежели потенциал (3.5), являющийся результатом усреднения трехмерного кулоновско-го потенциала с волновыми функциями размерного квантования изолированных электрона и дырки в поперечном сечении квантовой проволоки. Достаточно высокая точность предложенного метода в области значения параметров, выходящей за границы его применимости, свидетельствует об оптимальном выборе эффективного потенциала (4.L). Сравним результаты вариационного расчета энергии связи экситона в квантовой проволоки с неоднородностью с результатами раздела 2.1.2 для локализованного двумерного экситона. Из сопоставления выражения (4.28) и аналогичного ему выражения для двумерного случая (2.15) можно увидеть, что рост энергии связи экситона вследствие его дополнительной локализации на неоднородности интерфейса в двумерном случае быстрее чем в одномерном при выполнении условия Еех 8 [это соответствует 7 2.48]. При выполнении противоположного условия, Е т 8, быстрее растет энергия связи экситона в квантовой проволоке. Это объясняется тем, что прирост энергии связи экситона за счет дополнительной локализации пропорционален энергии связи экситона в отсутствие неоднородности. Именно при ") а 2.48 энергия связи экситона в квантовой проволоке Еет сравнивается с энергией связи идеально двумерного экситона E2D = 4, при 7 2.48 Еех 4, следовательно энергия связи одномерного экситона растет быстрее. Необходимо отметить, что из рисунка 4.1 видно, что значительная часть актуальной области значений параметров Wc и Wh может быть аналитически описана
