Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Обзор 21
1.1 Квантовые уравнения движения 21
1.2 Волновые шредингеровские решения 24
1.3 Гауссовы волновые пакеты 29
1.4 Квантовые возвраты и автокорреляции 34
1.5 Квантовые информационные технологии 41
Глава II. Колебания пакета в одномерной яме 43
2.1 Переход к безразмерному уравнению Шредингера 43
2.2 Начальный гауссов пакет с конечной скоростью 50
2.3 Тригонометрический пакет с начальной скоростью 59
2.4 Сингулярности и распределение энергий 67
2.5 Обобщение теоремы Эренфеста, периодические граничные условия 71
Глава III. Внешние воздействия на волновой пакет электрона 78
3.1 Движение пакета в стационарных полях 78
3.2 Квантовый осциллятор с двойной ямой 87
3.3 Классический резонанс для пространственно-ограниченного осциллятора 93
3.4 Биения при воздействии одиночным импульсом 98
3.5 Осциллятор с параметрическим изменением частоты
Глава IV. Методы вычислений 105
4.1 Численное моделирование уравнения Шредингера 105
4.2 Фурье-спектры решений уравнения Шредингера 113
4.3 Анализ регулярных решений и хаоса на модели Ресслера 115
4.4 Алгоритмы вычислений 126
Заключение
- Волновые шредингеровские решения
- Начальный гауссов пакет с конечной скоростью
- Квантовый осциллятор с двойной ямой
- Фурье-спектры решений уравнения Шредингера
Введение к работе
Актуальность работы. Многие проблемы в физике атомов и молекул,
конденсированной среды, а также в нанотехнологиях и информатике
сводятся к динамике волновых пакетов электрона в квантовых ямах.
Квантовая яма с непроницаемыми стенками, гармонический и нелинейный
осцилляторы в пространственно-ограниченной системе, классические
резонансы, квантовые системы с заданным распределением потенциала на
конечном промежутке, заключенном между непроницаемыми стенками, таят
множество сюрпризов и невыясненных свойств. В последние годы
отмечается существенный рост исследований и публикаций в этих областях.
Они мотивируются логикой развития фундаментальной науки,
современными "точными" технологиями, расширяющими возможности
научного познания, а также техническими приложениями. Разработка
квантовых приборов и компьютеров стоит на повестке дня современной
науки и техники. Для решения многих проблем необходимы всесторонние
знания о динамике электрона в квантовых ямах. Простейшая квантовая яма,
рассматриваемая в квантовой механике — прямоугольная "бесконечно-
глубокая яма". В учебниках по квантовой механике традиционно
рассматриваются лишь стационарные решения уравнения Шредингера для
частицы в такой яме. Нестационарные исследования при заданных
начальных условиях стали выполняться в последние годы. Они связаны
с изучением квантовых возвратов пакета в исходное состояние,
основываются на квантовом аналоге теоремы Пуанкаре о возвратах. Другой
объект — пространственно-ограниченный гармонический осциллятор. Здесь
ветви параболы квадратичного потенциала ограничены стенками
непроницаемой ямы. Квантовые системы с двойными ямами и
туннелированием между ними могут быть реализованы на основе современных технологий в полупроводниках, они интенсивно исследуются с целью создания простейших наноустройств. Реальные квантовые системы являются ограниченными по размеру. Квантовая яма конечной глубины может быть исследована при помощи ямы с непроницаемыми стенками.
4 Такой подход рассматривался в литературе. Ограниченные в пространстве квантовые системы с распределенным потенциалом могут быть исследованы с нулевыми граничными условиями на волновую функцию. Исследования квантовых ям со сложным потенциалом требуют применения компьютерных методов. Постановка задач с начальными условиями является актуальной и совершенно необходимой для последовательного изучения квантового движения. Цели и задачи исследования
В последнее десятилетие уделялось заметное внимание волновым пакетам микрочастиц в простых системах: потенциальных ямах или квантовых бильярдах, гармоническому и нелинейному осцилляторах, хаотизации движения. Следует отметить рост числа публикаций, в которых рассматриваются нестационарные уравнения Шредингера и исследуются их решения в различных ситуациях. Однако, теория движения волновых пакетов микрочастицы, например, электрона все еще разработана недостаточно и односторонне.
Необходимо исследовать динамические свойства при разных начальных и граничных условиях, стационарных и импульсных внешних воздействиях, основываясь как на решениях уравнения Шредингера для волновых функций, так и для полевых переменных: плотности и скорости вероятностной жидкости, квантового потенциала. Для изучения структурных свойств пакетов при их эволюции в квантовых системах необходимо исследовать пространственно-временные реализации и их Фурье-спектры, энтропию Шеннона, автокорреляционные функции. Знания о локальных значениях необходимо дополнить исследованиями усредненных по пространству динамических переменных как функций времени, провести сравнение с классическими аналогами этих величин. Только комплексный подход, включающий методы нелинейной динамики и вычислительной математики, может дать более полные представления о квантовых волновых закономерностях, а также о способах управления ими.
Хотя классическая теорема о возвратах была сформулирована А. Пуанкаре еще в 1890г., квантовый аналог ее обсуждался в научной литературе в 1957г.1, ее роль в квантовой механике стала осознаваться лишь в последние годы. Содержание ее составляют возвраты волновых пакетов к исходной форме (состоянию) через характерные квантовые масштабы времени, а также промежуточные состояния в виде коллапсов, фрагментации. Здесь следует отметить классические и квантовые временные масштабы этих динамических процессов. Они могут быть выражены через соответствующие частоты. Для изучения роли этих масштабов, необходимо исследовать их проявление в виде Фурье-спектров плотности вероятности, а также для средних значений координаты и скорости - как функций времени. Фурье-спектры для временной эволюции средних значений координаты и скорости позволят увидеть связь мелкомасштабных осцилляции с крупномасштабной модуляцией, т.е. различных типов движения.
Наряду с временными реализациями для средних, необходимо исследовать пространственные реализации для плотности вероятности в фиксированные моменты времени, их Фурье-спектры, включающие изучение пространственных характерных масштабов, фрагментацию и другие свойства.
Используя теорему Эренфеста в ее исходной формулировке и с учетом ее модификации, исследовать временную эволюцию пространственных средних для координаты и скорости, а также фазовые портреты для них.
Исследовать влияние начальной скорости пакета на временную эволюцию как при отсутствии внешнего воздействия на микрочастицу, так и с учетом различных воздействий для простой квантовой системы с непроницаемыми стенками.
Рассматривая воздействие в виде одиночного импульса в течение короткого времени на волновой пакет, исследовать генерацию и формирование квантовых состояний в потенциальной яме с непроницаемыми стенками, изучить отклик на такое воздействие для
плотности вероятности, а также для средних значений координаты и скорости и их Фурье-спектров.
Варьируя формы стационарных потенциалов, представляющих внешнее воздействие на пакет микрочастицы в яме, изучить пространственное динамическое сжатие пакетов в определенные моменты времени, и их последующую фрагментацию.
Для серии прямоугольных кратковременных импульсов, соответствующих постоянной классической силе воздействия, исследовать условия для классического резонанса в квантовой системе, представляющей пространственно-ограниченный гармонический осциллятор.
10.Для непрерывного сигнала во времени исследовать параметрические
резонансы пространственно-ограниченного осциллятора. 11. Для нелинейного осциллятора с двумя потенциальными ямами исследовать временные осцилляции для средних значений динамических переменных и установить характерные временные масштабы. Научная новизна диссертации
Проведены всесторонние и обширные количественные исследования динамики пакетов в квантовых ямах с ангармоническими потенциалами, они включают расчеты локальных динамических переменных, их пространственных средних, Фурье-спектров реализации, сингулярностей. Такой подход дает наиболее полную картину при заданных начальных условиях.
Установлены различные по величине временные масштабы (периоды), обусловленные квантовой рефокусировкой (возвратами) и классическим движением. Для иллюстрации масштабов дано аналитическое точное решение уравнения Шредингера с начальным условием в виде тригонометрического пакета с конечной скоростью, проведен спектральный Фурье-анализ решений.
Предложен нелинейный механизм сжатия волновых пакетов при ангармонических потенциальных воздействиях на электрон.
Изучены классические резонансы волновой динамики в квантовых ямах для пространственных средних значений координаты и скорости. Для
7 параметрических эффектов исследован резонанс и обратное явление -уменьшение средних значений координат и скорости стечением времени. Рассмотрены импульсные и непрерывные сигналы внешнего воздействия.
Исследовано кратковременное импульсное воздействие на начальный волновой пакет в квантовой яме и его последующую эволюцию; проведены расчеты при разных длительностях и интенсивностях одиночного импульса.
Обсуждается необходимость корректировки теоремы Эренфеста для исключения возможных парадоксов в пространственно-ограниченных системах, дан пример.
Проведены расчеты временных масштабов для квантового осциллятора с двойной ямой при начальном условии в форме узкого тригонометрического пакета, распределенного в одной из ям. На основе Фурье-спектров и реализаций установлены характерные частоты, соответствующие разным временным масштабам.
Защищаемые положения
1. Рефокусировка и сжатие волновых пакетов в квантовой яме при внешних
воздействиях;
Классические резонансы пространственно-ограниченного квантового осциллятора;
Генерация мелкоструктурированных волновых пакетов при воздействии одиночным импульсом;
4. Временные масштабы для квантового осциллятора с двойной ямой
Практическая значимость работы. Теоретические исследования и
компьютерное моделирование волновой динамики электрона, визуализация
расчетов формируют научные представления и базу знаний, необходимую
в физике конденсированного состояния, разработках квантовых приборов и в
других целях. Разработанный программный продукт может быть использован
для последующего исследования теории движения электрона в квантовых
ямах, в физике конденсированного состояния, в теории передачи сигналов, а
также в учебном процессе.
8 Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов, положений и выводов подтверждается внутренней согласованностью всей совокупности данных качественного анализа и численных расчетов, корректным применением апробированных методов вычислительной математики, квантовой механики и физики конденсированного состояния. Апробация. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Научно-практическая конференция и школа-семинар (С.-Петербург, 2004) "Формирование технической политики инновационных наукоемких технологий"; VII, VIII, IX Всероссийские конференции "Фундаментальные исследования в технических университетах" (С.-Петербург, 2003, 2004, 2005); XII Международная научно-методическая конференция "Высокие интеллектуальные технологии и генерация знаний в образовании и науке" (С.-Петербург, 2005); на Международной конференции "Лазеры. Измерения. Информация" (С.-Петербург, 2003, 2004, 2005); на Международной конференции "Лазеры для медицины, биологии и экологии" (С.-Петербург, 2002); на VII, VIII Международных рабочих совещаниях "Неразрушающий контроль и компьютерное моделирование в науке и технике" (С.-Петербург, 2003, 2004); на семинарах кафедры "Теоретическая физика" С.-Петербургского государственного политехнического университета. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 1 бработах. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 70 наименований, содержит 136 страниц текста, иллюстрируется 85 рисунками. Личный вклад автора
Соискатель принимал участие в постановке ряда задач, проведении качественного анализа и компьютерного моделирования, им полностью самостоятельно выполнены все численные исследования и конкретные расчеты, создано программное обеспечение. Эти результаты позволили сформировать представления о закономерностях волновой динамики в простых квантовых системах при внешних воздействиях на электрон.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В главе I дан критический анализ состояния проблемы квантового
движения микрочастицы. Прежде всего, обсуждаются методы описания движения. Используя различные формы для плотности Лагранжиана и вариационный принцип, формулируются квантовые уравнения движения. Они представлены традиционным уравнением Шредингера для комплексной волновой функции, а также связанными уравнениями для вещественной и мнимой частей волновой функции; одновременно обсуждаются квантовые уравнения Гамильтона-Якоби и Маделунга. Эти уравнения, а также уравнения Эренфеста для средних дают наиболее полную картину о динамических свойствах как свободного движения, так и во внешних полях ограниченных в пространстве квантовых систем. Наборы переменных, входящих в эти уравнения, эквивалентность различных подходов позволяют лучше понять квантовую динамику микрочастицы.
Затем, по данным литературы, обсуждаются начальные условия к волновому уравнению Шредингера. Одна из задач квантовой волновой динамики - дифракция во времени. В начальный момент времени пространство «перекрыто» заслонкой и делится ею на левую и правую части. В левой части распределена плоская волна, а в правой части волновой процесс отсутствует. Заслонка «мгновенно» открывается, и в правой части формируется причинно-обусловленный волновой процесс. Он представляет собой дифракцию во времени. Спустя почти полвека после этой пионерской работы, были сформулированы более сложные начальные условия и задачи, включающие туннелирование. Однако, по-прежнему, использовалась идея заслонки, но начальное условие формулировалось в виде суперпозиции двух плоских волн: прямой и обратной со сдвигом фазы. В правой части пространства волна распространялась через барьер. Выбор параметров барьера не был столь абстрактным, он соответствовал реальной технологической структуре из арсенида галлия. Решения уравнения Шредингера при указанном условии хорошо объясняли резонансный механизм туннелирования. В последующих исследованиях это условие использовалось на конечном промежутке. В этом разделе главы кратко
10 рассматриваются граничные условия, зависящие от времени. Начальные условия в форме гауссовых пакетов обсуждаются также. Квантовые волновые пакеты, их эволюция рассматриваются в третьем разделе первой главы. Наряду с работами, где рассматриваются свойства расплывания пакетов в неограниченном пространстве, отмечаются работы, где возможен обратный процесс - сжатие пакетов на определенном этапе эволюции. Основное внимание уделяется гауссовым волновым пакетам, включая важный пример движения волнового пакета в квантовой системе с параболическим потенциалом, т.е. гармонический осциллятор с минимизированным соотношением неопределенностей. Здесь же обсуждаются уравнения для квантово-механических средних, т.е. теорема Эренфеста. Эта теорема используется как метод изучения динамики. Для ограниченных и периодических систем она также может применяться, но при этом возникает необходимость в обобщении и уточнении ее. Реальные квантовые системы имеют конечные размеры. Отражения волнового пакета от границ системы могут приводить к сложной интерференционной картине в распределении плотности вероятности. Частным примером ограниченных квантовых систем является прямоугольная одномерная яма с непроницаемыми стенками.
Квантовые возвраты, классические и квантовые масштабы времени при движении частицы в одномерной прямоугольной яме стали центральной темой в исследованиях последних лет. Для волновой функции были установлены характерные квантовые масштабы времени, когда она возвращается к исходной форме или восстанавливает частично свою форму. В обзоре приведены формулы для характерных масштабов времени и сформулированы теоремы о возвратах. Кроме того, обсуждается метод автокорреляционных функций для анализа эволюции и временных масштабов волновых функций. Эти исследования составляют передний фронт науки в теории конденсированного состояния и квантовой информатики.
Волновые шредингеровские решения
Численный расчет (1.2.6) как функции времени показывает картину дифракции во времени. Она обусловлена неопределенностью: время -энергия. Ценность этой работы состоит в том, что получено точное аналитическое решение, которое соответствует физическому явлению — дифракции и удовлетворяет принципу причинности.
Почти полвека спустя была рассмотрена более сложная задача, включающая туннелирование и более сложное начальное условие23. В этой задаче прерыватель (заслонка) также размещается в плоскости лг = 0, он разделяет область -оо л: 0 от области 0 x L с потенциалом С/(х) и остальной части L x x при 17 = 0. В момент t = 0 заслонка мгновенно открывается и частица из левого полупространства попадает в правую часть его. Плотность вероятности возрастает первоначально от исчезающе малой величины и развивается со временем в области х 0. Решение для волновой функции на конце барьера L позволяет найти плотность вероятности нахождения частицы в этой точке с течением времени t. Зависящее от времени уравнение Шредингера с начальным условием в форме x(xtk,t = 0) = (1.2.9) О, х О решалось для потенциала U(x), распределенного в области 0 x L. Авторы этой статьи находят аналитическое выражение для волновой функции Ч (х, k,t), зависящей от времени t и координаты х в области х L, Это решение может быть записано в виде Ч (х, kt t) = T(k)-M(x, к, t)(-k)-M(x,-k, t) А , ч (1.2.10)
Здесь величины Т(к) Т( к) называют коэффициентами передачи (10), величины Тп определяются на основе набора резонансных состояний іип (х)} и комплексных полюсов {кп), которые описаны в статьях24,25. Функции М[xt ±k,t) и М(х, kni t) определяются при помощи
M(x,q3t) = -eUl -еу" -еф{уц\ (1.2.11) ( т\г f hq\ х 1 Уа=Є 2ht) \ т J а величина Тп равна Тп - 2ikun(0) un(L) exp(-/„L)-{к2 -к]). Детальное описание этих коэффициентов и формализма приведено в цитированных статьях. Эта модель корректно переходит в известный результат предыдущей работы с заслонкой, когда движение в правой области свободное. Фундаментальным результатом этой статьи является изучение резонансного во времени режима туннелирования. Для расчета временной эволюции плотности вероятности \ц/(ху к, /) как функции времени t в точке х = L рассматривались параметры полупроводника: высота барьера f7Q = 0.3 ev, = 5,0 aw, энергии падающего электрона E = 0.01 ev, w = 0.067me, we - электронная масса. Выбор параметров гарантирует, что наибольшие компоненты начального импульса туннелируют через потенциал. Через некоторое время плотность вероятности достигает максимума, а затем спадает. Это область временного резонанса. Здесь нет возможности останавливаться на других интересных результатах этой статьи. Отметим лишь еще один вариант распространения волны, когда начальное условие сформировано в ограниченной области в виде 0, х -а y/Ax,k,t = 0) = еікх-е-,кх, -а х 0, (1.2.12) 0, х а а потенциал U(x) распределен в области 0 х L и равен нулю вне этой области. Ширина начальной функции а была равна 213.35 нм, а величина L = 5 им, то есть ширина начальной функции в 42.67 раза больше ширины барьера. Расчет волновой функции и плотности вероятности был выполнен для x = L то есть в конце барьера. Временной резонанс проявляется очевидным образом. Таким образом, для двух видов начальных условий имеем сходное поведение в форме резонансов.
Временная зависимость шредингеровских волн, создаваемых точечным источником исследовалась в статье . В качестве граничного условия использовалась функция = 0,0 = -0(0, (1.2.13) где 0(0 - единичная ступенчатая функция, о 0 - частота. Решения для y(x,t) были изучены для х 0 и t 0. Рассматриваемый источник авторы26 относят к категории «резких», они так же рассмотрели другие формы «нерезкого» источника, которые имеют диапазон частот Аа. В этом разделе следует также отметить проблему электронных волноводных волн для связанных квантовых ям27. Однако здесь решения рассматривались в рамках стационарных уравнений Шредингера. Проблема квантовых волн остается открытой, необходимы широкие исследования их, так как база знаний о свойствах волновых решений совершенно недостаточна и необходима в разработках нанотехнологиий, передачи информации и для других приложений. В основных работах в научной литературе по проблеме волн, перечисленных в этом разделе, рассматриваются различные начальные и граничные условия и универсальные свойства, следует отметить необходимость перехода к подробному изучению плотности вероятности, плотности шока вероятности и других динамических переменных. Ниже кратко рассматриваются волновые пакеты в ограниченных системах.
Локализованные квантовые волновые пакеты могут быть произведены во множестве физических систем и являются объектом современных исследований в атомной и молекулярной физике, физике конденсированного состояния, радиоэлектронике и теории передачи информации. Эволюция пакетов во времени, коллапсы и возвраты к исходной форме, внешние воздействия на них - темы этого раздела.
Гауссовские волновые пакеты анализировались во многих работах. Они представляют решения уравнения Шредингера для свободного движения частицы.
Начальный гауссов пакет с конечной скоростью
Кроме того, полезно ввести безразмерную частоту Пп =mnlas = 7г2пгу которая связана с Ёп равенством С1п-Ёп. Если в качестве базисной длины выбрать Дх0 = &ха/л, то безразмерные величины Еп и ПЛ не будут иметь множитель л1, а координата будет заключена в промежутке [-тг; к\; время At0 надо заменить на At0\ определяемое, как и раньше, при помощи соотношения AtQ = —. Рассмотрим начальное условие в форме следующего выражения:
Отметим, что при изучении движения электрона в полупроводниковых ямах необходимо учитывать эффективную массу т , которая может существенно отличаться от величины т, например, в GaAs, Для кремния эффективная масса электрона при Т —1.26 К равна 0.92т. В этом случае величина U0 лишь немного будет отличаться от оценки для свободного движения электрона в вакууме, она будет равна 2.717meV. Эта величина много меньше энергии оптического фонона в Si, которая равна 63meV.
Учитывая изложенное, можно придти к заключению о том, что физические и количественные результаты могут быть идентичными при разных базисных единицах измерения, если при этом предполагается соответствующий выбор начальных условий. Другими словами, при разных базисных единицах измерения, когда безразмерные уравнения движения одинаковы и начальные волновые пакеты совпадают, мы можем транслировать результаты численных расчетов на разные квантовые системы. В качестве базисной единицы длины также можно избрать Дх0" =Ах0/жпс, где пс - некоторое квантовое число возбужденного состояния, назовем его центральным. Естественно, в качестве масштаба длины можно выбрать параметры решетки. В наших задачах можно перейти к изучению ионов в электромагнитных ловушках. Для этого в представленных формулах надо заменить массу электрона на массу иона mi, оставив все соотношения неизменными.
Начальный гауссов пакет с конечной скоростью Излагаются результаты аналитического и численного решения нестационарной задачи о движении и рефокусировке начального гауссового пакета. Постановка задачи и формальное аналитическое решение. Волновая функция электрона подчиняется уравнению Шредингера где U = U() - внешний потенциал - в рассматриваемом здесь случае является стационарным. При этом упрощающем ограничении уравнение (2.2.1) допускает разделение переменных56. Пусть Ч(т,С;) = Т(туг(). (2.2.2) Подставляя выражение для волновой функции в уравнение (2.2.1), имеем ч-Г(г)-г(с) = -т{т)-г(с) и{с)-т(т)-г(0 (2.2.3) откуда, деля почленно на произведение 71(r)-Z( ), получим Т(т) 2 Z{) KhJ где (-) - постоянная разделения. Решением уравнения для Г (г) с точностью до постоянного множителя, будет функция Т = е"Ег; (2.2.5) для Z( ) получается уравнение второго порядка Z + 2.[/()]-Z = 0. (2.2.6)
Для получения двух его линейно независимых решений необходимо знать конкретный вид потенциала ( )- Предположим, что функции Z, ( ), Z2 ( ) - два таких решения. В этом случае Z- A-Zx (") + В Z2 (").
Квантовый осциллятор с двойной ямой
Два почти вертикальных участка описывают скачкообразное изменение скорости при ударе. О высокой степени пространственной локализации пакета можно судить по рис. 3.7. Высокие пики отвечают моментам прохождения сосредоточенным пакетом центра ямы. Средни пик значительно ниже двух крайних и более размыт - он соответствует движению отраженного вертикальной стенкой пакета "в гору". При этом на других участках плотность вероятности практически обнуляется, т.е. в эти моменты частица достоверно не может находиться в центре ямы. Обращает на себя внимание тот факт, что, хотя максимальная по пространству высота пакета сильно колеблется во времени, тем не менее пакет остается в значительной мере сосредоточенным. На рис. 3.8 белым цветом выделены области, в которых плотность вероятности превосходит некоторую фиксированную величину N0. Даже втом случае, когда заданный порог N0 = 10"3, что меньше 1% от исходной высоты пакета, находятся обширные "темные" области, где N NQ. В то же время и при сравнительно больших временах г 1 имеются выраженные полосы значений JV 1, т.е. пакет движется на соответствующих участках как единое целое, оставаясь сжатым. Потенциал, пропорциональный четвертой степени координаты. Была исследована детальная картина движения во внешнем потенциале U = a-\ (3.1.9)
Этот потенциал является предельным случаем двойной потенциальной ямы, рассматриваемой ниже. Здесь также наблюдается как явление первичного сжатия (более сильного, чем в предыдущем случае кубического потенциала), так и последующая фрагментация пакета, вызванная интерференционными явлениями. Максимальное время интегрирования гтах = 2к. На рис. 3.9 мы видим начальное распределение плотности и ее распределение по истечении небольшого промежутка времени. Центр тяжести пакета успевает переместиться менее чем на 1, однако максимальное значение N вырастает в 2 раза. В дальнейшем нарастают интерференционные эффекты; пакет N 2 Слева: плотность вероятности в потенциале U = ОС-С, . Справа: профиль N в начале движения и через небольшой промежуток времени. Сэ/сатие пакета на первом этапе движения примерно двукратное.
Средняя координата и средняя скорость. Приближение траектории к точке (0;0) соответствует "перекачиванию " энергии поступательного движения пакета как единого целого в энергию квантовых колебаний распадается на множество мелких фрагментов, а средняя координата (рис. 3.10), сильно колебавшаяся вначале, почти останавливается вблизи нуля. В плоскости С, , V изображающая точка приближается к началу координат (рис. 3.11).
Квантовый осциллятор с двойной ямой В предыдущем разделе рассматривался биквадратичный потенциал и роль нелинейной возвращающей силы в сжатии пакета. Классический потенциал, состоящий из двух слагаемых: квадратичного и биквадратичного определяет осциллятор с двойной ямой. Этот потенциал в безразмерной форме имеет вид U = a ( ж1 \ \ i J -7T +7V (3.2.1) где заменено U - U/UQ, U0- размерная базисная единица энергии.
В задаче, рассмотренной ниже, на краях ямы ставились нулевые граничные условия на волновую функцию. Параметр а варьировался от 0.1 до 1. Для малых вблизи центра ямы V — а Q , графиком потенциала является парабола, обращенная выпуклостью вверх, при больших " величина U — а 4. Функция U имеет минимумы в точках " = +—, локальный максимум при =0 и проходит через нуль при При [ -= она круто v2 V2 возрастает (примерно как в четвертой степени). В точках минимумов глубина ямы одна и та же и равна Umin =-оя4/1б, в точке локального максимума U = 0. В классической механике рассматривают два типа колебаний. Если энергия частицы заключена между Umin и нулем, то колебания происходят в одной из ям относительно равновесных точек % = ±—. При больших энергиях (положительных) она колеблется между ветвями внешней параболы. В квантовой механике возможно туннелирование из правой ямы в левую, и наоборот, а также надбарьерное отражение. В аналитической статье5 вводят два масштаба времни: один связан с колебаниями в малой яме, а другой с туннелированием. В статье не проводилось численное моделирование, и необходимо развитие модели движения. В указанной статье отмечается возможность динамического хаоса при начальном волновом пакете в форме кота Шредингера. В рамках модельного потенциала было предпринято численное моделирование указанной задачи при начальном условии, отвечающем исходному расположению пакета водной из ям. Начальная волновая функция имела вид О, 0; Ч = 1, FT , (3-2-2)
Максимум плотности веротности для стартового пакета приходится на точку % = л—. Вычисления проведены для различных параметров потенциального профиля. Смысл этих различий заключается в изменении вероятности проникновения частицы через потенциальный барьер, разделяющий ямы . Граничные условия на волновую функцию (3.2.2) Ч (г,- ) (3.2.3)
Здесь описаны результаты расчетов для значений а = 0.2 и а = 0.4". Выразительными являются карты плотности вероятности при их сравнительном рассмотрении (рис. 3.12; здесь картина слева отвечает а = 0.2, справа а = 0.4.) Яркие светлые области, примерно соответствующие 4 = і—, попеременно возникают то слева, то справа. Такое распределение
Фурье-спектры решений уравнения Шредингера
Использование Фурье-спектров важнейших параметров, полученных на основе реализаций, помогает глубже разобраться в поведении наблюдаемых, выявить регулярный или хаотический характер движения, оценить распределение энергий.
Быстрое преобразование Фурье. Если имеется временной ряд значений какой-либо переменной, выявить скрытую периодичность данных можно с помощью обычного преобразования Фурье. Такой подход подразумевает вычисление некоторого количества (порядка 102 —103) определенных интегралов, через которые выражаются Фурье-коэффициенты. Данная вычислительная задача тривиально разрешима, однако требует достаточно большого количества арифметических действий. Альтернативой указанному подходу является быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT — Fast Fourier Transform). Процедура FFT вектора x = (xl,x2y.... xN) осуществляется по формуле (к-\)-{п-\)Л —2тгі ± — -, k = l..N, (4.2.1) и=1 N J где (л:п) - ряд значений входной переменной, содержащий N точек. FFT реализовано во многих системах компьютерной математики и выполняется, по крайней мере для N 220, довольно быстро, в связи с чем при выполнении настоящей работы не возникло необходимости составлять соответствующие программные модули. Однако данное преобразование имеет некоторые особенности, которые вынуждают относится с осторожностью к результатам спектрального анализа, выполненного на основе FFT.
Количество точек N следует брать равным целой степени 2, например, 1024. В противном случае точность метода резко падает. FFT имеет пределы чувствительности по обнаруживаемой частоте как 2л-сверху, так и снизу. Минимальная частота, выделяемая FFT, равна со = —, где Т - длина реализации. Максимальная частота определяется In дискретностью реализации и для шага А Г имеем со — . В большинстве AT расчетов, выполнявшихся в основной части работы, величины Т и AT выбирались таким образом, чтобы определяемые FFT частоты являлись целыми числами или дробями с небольшими знаменателями. Этого очень легко добиться, если брать Т и AT рационально соизмеримыми числу п (чаще всего — просто кратные и делители). Например, при численном моделировании уравнения Шредингера и последующем изучении движения электрона весьма важным является вопрос о колебательном спектре плотности вероятности, средних по пространству координате и импульсе и т.д. Исходя из сказанного выше, модельное время выбиралось равным 8тг 71 Ж Т (или 16л-) с шагом — ( ). Количество точек в реализации = 512 = 29. 64 V12S F ДГ Минимальная детектируемая частота со = — = —, максимальная 8л- 115 2л 0)t = = 128. Таким образом, мы не можем выявить слишком медленные лг/64 (со 0Л) или, напротив, слишком быстрые (бУ 100) колебания. Для определения очень низких частот придется увеличить временную длину реализации, для определения высоких частот требуется уменьшение временного шага. Эти меры в любом случае предъявляют повышенные требования к вычислительным средствам и ведут к увеличению физического времени решения задачи. Метод сечений Пуанкаре. Данный метод весьма удобен в исследовании непрерывных потоков. Его подробное описание имеется, например, в книгах . В данной работе этот метод применялся, в частности, при исследовании потока Ресслера (4.3). Фиксируя в R3 некоторую плоскость у: Ax + By + Cz + D = Q, (4.2.2) отмечаем на ней последовательные точки пересечения с траекторией. Обычно бывает удобно различать противоположные направления прохождения траектории через у. Карта Пуанкаре представляет собой плоскость у с нанесенными на нее последовательными точками вхождения траектории Р Р2, Р3,...
По виду карты Пуанкаре можно с определенной степенью уверенности судить о регулярном либо хаотическом характере строения фазового потока. Например, для чисто периодического движения точки вхождения траекторий образуют конечное, обычно небольшое, множество. Анализ регулярных решений и хаоса на модели Ресслера
Первое уравнение модели Ресслера было дополнено членом, который явно зависит от времени. Амплитуда косинуса определяет внешнее воздействие на эту динамическую систему, и при некоторой величине амплитуды возможен динамический хаос. Свойства неавтономных дифференциальных уравнений были исследованы с применением стандартных методов нелинейной динамики, включая быстрое преобразование Фурье, сечения Пуанкаре (описания методов имеются в п. 4.2), изучение фазовых портретов. Были обнаружены бифуркационные каскады при варьировании амплитуды воздействия. Этот механизм возбуждения последовательных бифуркаций, принципиально отличный от оригинального механизма Ресслера, получен впервые ; представленная динамическая модель может рассматриваться как обобщение простейшей модели Ресслера.
Классическая модель Ресслера. Эта модель хорошо изучена65,66. Она описывается тремя дифференциальными уравнениями, нелинейность представлена квадратичным членом в виде произведения двух переменных: x = -(y + z), y = x + jy, (4.3.1) z — + Z(X-/J).
Данная простая модель описывает переход к хаотическому режиму, управляемый параметром // и сопровождаемый генерацией субгармоник.
Здесь имеет место сценарий Фейгенбаума, возникают бифуркации удвоения периода; такой механизм является универсальным67.
