Введение к работе
Актуальность темы. Арифметика квадратичных форм является ним из активно разрабатываемых в настоящее время разделов временной теории чисел. Между тем её история не написана.
. Кет полного и ясного освещения вклада английского матеиа-ка Х7ІІ века Дя.Валлиса в решение уравнения Пелля
. . х^У*-1 . Сі)
д кольцом целых, чисел Ж . Предложенный ем способ отыскания именьшаго.решения уравнения (I) Ж.Л.Лагратж1, Г.Цейтен2, Кантор3 сочли довольно неопределенным, громоздким, трудоем-и. Л.Диксон ограничился замечанием.о том, что П.Ферма, при-ав этот способ, впоследствии заявил, что Вадлио рассмотрел зличные частные случаи уравнения (і), общее же решение по-
1 звйхралуе.. 1А Оеінґііи.. Р ., 1867. Т. I. С. 671. Цейтен Г.Г. История математики.в древности и средние века / Пер. с франц. М.:Г0НТИ, 1938. С. 177.
jfeipaij.:TeuW, то. Ы1. Z. bd.Z. t.n?. 4 Яїсклсп- . S. Hi^tctf ofj- iJfu thevty 4 mirUvO-. W&tiwtfon., 1920. Vol. 2. С 353.
следнего основано на методе бесконечного спуска. По мнению й.Гофмана , Ферма лишь из вежливости высказался уважительно по поводу успеха Валлиса. Ближе к истине А.Бейль и Г.Эдвард признавшие эффективность предложенного Валлисом способа отнс кания наименьшего реЕчния уравнения (I) и рассмотревшие его точки зрения современной теории квадратичных форм. Но и они конечном счете не отступили от общепринятой трактовки этого способа как разложенияYcf в непрерывную дробь (Вейль.сравни вал его также с методом бесконечного спуска), не обратив вни мание на подмеченное К.Ф.Гауссоьгего сходство с выделением п риода в цепочке соседних приведенных форм. Вейль и Эдварде н придали значения, и сглаживающему различие этих двух трактово: замечанию П.Г.Лехена-Дирихле , согласно которому существует тесная связь между построением цепочек соседних приведенных, форм и разложением квадратических иррациональностей в непрерывные дроби. По их мнении, Валлис не осознавал.и необходимо ть доказательства.того, что применяемый, им способ всегда приводит к цели. Не обратили Вейль и Эдварде внимание и па то, что он располагал формулами двух *шов для получения любого целого решения уравнения № по наименьшему или двум первым. Утвердилась в корне неверная оценка подхода Валлиса к решеш: уравнения (I), основанная на противопоставлении методов его решения над полом рациональных чисел CL и над Ж. . Ссылаясь на то, что в формулировке вопроса о разрешимости уравнения (: в целыг числаг Оерма проводит "четкое различие между дисфац-товой традицией решения в рациональных: числаг и традицией, о кг'орой он теперь ассоциирует самого себя, решения в целых
5 Ноїтлпа 3.6. StuAien гиг ZaAUntheorce Termixt'J.
В., 1944. с, 5.
6 Weill Cdtukd ycufWA. tf.Y.}WQ. Vd. 3. С.Ц15.
Эдварде.Г. Последняя теорема Ферма / Пер. о англ.
М.:Мир, 1980. С. 42, 372. Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел / Пер. с лат.
М.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 242.
Дирихле Лежел П.Г. Лекции по теории чисел / Пер. с неї К.; Л.: ГОНТИ, I93S. С. 168.
слахм, Эдварде веклшает, что Валлио по недоразумению, начал решения этого уравнения над (Э. , признав якобы впоследствии кой подход на имекщЕМ "никакой ценности" для решения (I) над И.
Л.Кронекер10, П.Л.Чебышев11, Б.А.Банков12, А.О.Гельфонд13, Вейль , Г.Эдварде', касаясь работ Эйлера о квадратичном за-не взаимности, не обратили внимания ка то, что при изучении следяего он по существу пользовался понятием рода форм. Под-д Эйлера к вопросу о существовании квадрата z% 0,^^0-, предавшего, над 0- данной кы чратичиоЯ L -формой ftr,y) не рассма-авался до сих пор о точки зрения полей р -адических чисел р п локального метода. Результата Эйлера не сопоставлялись с идаментальной теоремой Хассе-Минковского о представимости ля над. . .данной квадратичной Q.-формой (связь здесь такая: е форды из. класса Q, -эквивалентности.формы ^ . представляют Д Q. одни и те де числа и среди них всегда.найдется диаго-льная форма О^Я1*^2", но й**1-»-^2'' 2і равносильно предста-мостп.нуля-над Q.. тернарной формой 0.^+-^4^-z3.)
Цель работы состоит в том, чтобы: . .- показать, что исторически методы реаения вопроса о гдетавпыости чисел бинарными квадратичными формами над "Ж зникли из методов решения этого вопроса над Q, і
- доказать, что у.древних вавилонян, Диофанта, средпеве-
еых индийских ученыхі Валлиса и Эйлера подход к решении
авнения
Хг-ЛУ1=т (2).
10 Krorec&er І. Zw Qegthjde. dju. flecif>rotltst&.-$eJeti Krcneclerl . Щгц, mi. U, І. і і-10.
11 Чебыпев П.1. Поли. собр. соч. М.; Л.: Изд-во АН СССР,
1944. Т. I. . 13 Венков Б.А.' 0 работах Л. Эйлера по теории чисел // Леонард Эйлер. Сборник статей и.материалов к 150-летию со дня смерти. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1935.
13 Гельфопд.А.О. Роль I.Эйлера в развитии теорпи чиоал//
Эйлер Л. К 250-летип со дня рождения. Ы.: Изд-во АН СССР, 1958.
14 WeU k. ftwhertkctyh affrotuk ttwijK кЛщ; horn, ftjrniwrapi
to Аукике,. fytfori, I9!3.
над . или над "Ж по существу один и тот же и с современной точки зрения заключается в построении соответственно рациона ных или целых автоморфизмов формы
FfX,Y)=A2-oLYf (S
причем правило построения автоморфизмов над ~ZL выводится из правила их построения над (0. ,
сравнить подход Эйлера к изучению (Й, -представимости чисел рациональными квадратичными формами с современной, трак товкой этого вопроса,
исследовать возможность интерпретации подхода Эйлера указанной проблеме в терминах полей р-адаческих чисел Lp ,
выяснить вопрос о том, пользовался ли Эйлер локальним методом,
исследовать связь предложенной Эйлером классификации примитивных целых, .бинарных квадратичных форм
данного дискриминанта D с.его подходом к изучении квадратич ного закона взаимности.
Методы исследования, использ;' .мне в диссертации, включают в себя:
историко-научный анализ работ, касающихся учения о би тарных квадратичных формах,
историко-методологический анализ развития и обобщения идей и методов теории рациональных квадратичных форм,
- современную интерпретация изучаемых методов.
Научная новизна. Совершенно по-новому исследованы работ:
Валлиоа и Эйлера, касающиеся арифметики бинарных квадратичны: форм, что позволило получить следующие новые результаты:
-вопреки распространенной трактовке развития учения о бинарных квадратичных формах, противопоставляющая методы исс, дования таких форм над Ж методам их исследования над (R. , у тановлено, что исторически первые были порождены последними, этом смысле современная теория следует историческому пути рь: вития ,
15 Каоселс Дж. Рациональные квадратичные формы / Пер. с англ. М.: Мир, 1982. С. 7.:"...теория форм над полнил логически проще и более полна, чем соответствующая теор]
- показано, что при изучении (CL-представимости чисел ра-
ональнымп квадратичными формами Эйлер по сущеотву использо-
л язык оравнений по модули степени простого р , равносиль-
8 р -адической терминологии. На этой основе выявлено, что
цход Эйлера к названной проблеме тесно связан с лекальным
годом, а полученные ем при stom результаты связаны с фунда-
ятальной теоремой Хассе-Минковского о представимости нуля
ц ЦХ данной рациональной квадратичной формой. В атом смысле Зотн Эйлера подготовили :. лву для примзнения р -адической
ЇКИ 8решиГ6,
- установлено, что все методы Валлиса для отыскания ная-
аьшего репеиия уравнения (I), а по нему - любого другого
лого решения этого уравнения, с современной точки зрения
ключаютоя в построении целых автоморфизмов целой формы
Ifx^-ax^H-^g.xy. + cy-'' () і формы (3), причем источником этих методов послужил способ зтроения рациональных автоморфизмов форьш (3),
- выяснено значение указанных методов Валляса для даль
него развития арифметика квадратичных форм, связанного о
їмоеностьи отоздествлекия автоморфизмов квадратичных форм о
даштршоа ооответотвущлх квадратичных пространств на себя и
злэдувдим применением теории линейных алгебраичеоких групп17,
над кольцами. Следовательно,... нужно изучать формы о ра-юналакыми козффзциентама а относительно рациональной эквн-ментпоотн, преядо чем исследовать формы с целыми коэффица-етами п относительно целой (целочисленной) эквявалентноо-ї."
16 Там ге. С. 7.:"...ваяноо достижение; пряиадл&кйщее
знзелэ а Хассз, состоит в применения р -адической точки
рения. Око приводит к радикальному упрощенно логачзокой
груктуры."
17 Там яе. С. 8.:"...ваетым достижением, которое огнесят-
к двадцатому веку, можно очвтать открытие того, что квадра
тна проотранства являится однородными пространствами отпо-
гельно своах ортогональных групп, так что многое пз пх тео-
j оказывается аспектом обшей теоряя линейных алгебраячеоких гпп."
- показано, что при изучении квадратичного закона взад
ности Эйлер по существу использует разбиение мнохеотва цела
примитивных бинарных квадратичных форм (4) данного двскриш
налта D на роды, причем его определение рода форм равносш;
но современному.
Практическая ценность работы. Результаты диссертации і гут быть использованы
- для дальнейших исследований в области истории арнфые
тики квадратичных форм, . ......
т при разработке учебников, монографий, учебных пособі п курсов по истории и методологии математики.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались:
на ПХ-ХХХІІ научных конференциях аспирантов н молод специалистов по истории естествознания и техники ИИЕаТ АН СССР ("1987-89 гг.),
на семинарах по истории и методологии математики и t хаиики МГУ и ИИЕиТ АН СССР.
Публикации. Основные результаты диссертации сяубликош в работах автора, перечень которых приведен в конце авторес рата.
Объем работы. Диссертация содераит 114 страниц машинописного текста..В списке литературы 79 наименований.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введена трех глав, заключения ы списка литературы.
