Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I О ФОРМИРОВАНИИ КОМБИНАТОРИКИ В XVII ВЕКЕ 14
1.1. Источники комбинаторной теории 14
1.2. Предшественники Г.-В. Лейбница 21
1.3. Формирование комбинаторной теории в трудах Г.-В. Лейбница и ЯЛ Бернулли 27
ГЛАВА II ПУТИ РАЗВИТИЯ КОМБИНАТОРНОГО УЧЕНИЯ В XVIII ВЕКЕ 33
2.1 Развитие комбинаторной теории в исследованиях П.-Р. де Монмора 33
2.2 Дальнейшее развитие комбинаторных идей в научном наследии Л. Эйлера 63
2.3 Комбинаторные исследования Н. де Бегелена и ИЛИ Бернулли 75
ГЛАВА III РАЗВИТИЕ КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА НА РУБЕЖЕ XVIII-XIX ВЕКОВ 84
3.1. Создание комбинаторной школы 84
3.2. Попытки систематизации теоретических основ комбинаторики 88
3.3 Конструктивная часть комбинаторного учения 94
3.4 Развитие перечислительной части комбинаторного учения 120
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 141
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 145
- Источники комбинаторной теории
- Развитие комбинаторной теории в исследованиях П.-Р. де Монмора
- Создание комбинаторной школы
Введение к работе
Древнейшая и, возможно, ключевая ветвь математики — комбинаторика — долгое время оставалась на периферии математической науки. В последние десятилетия произошло стремительное включение комбинаторного анализа в русло современной математики, что связано не только с обновлением аппарата, но и резким расширением области приложений, предмета исследований рассматриваемой дисциплины. Комбинаторные методы проникли в другие науки, в частности, теорию чисел, алгебру, теорию вероятностей, геометрию, теорию графов. Они стали активно использоваться в психологии, медицине, космической технике и радиосвязи. Интерес самих математиков к комбинаторному анализу усилился в связи с изменением статуса дискретной математики при появлении во второй половине XX века информатики и компьютерной техники, используемой практически во всех сферах жизнедеятельности человека. Он обусловлен также попытками ведущих специалистов этой области превращения комбинаторного анализа в составную часть магистрального направления современной математики.
Широкое внедрение комбинаторных методов в науку и практику, производство и экономику при высокой степени разработанности теории определяет внимание к ее истории. Такие известные ученые как Н.Л. Биггс, Е. Кно-блох, К.Р. Бирман проводили подобные исследования в этом направлении [63], [86], [64]. Из отечественных трудов необходимо отметить работы К.А. Рыбникова [33], [35], Л.Е. Малых [15], [16], Дж. Кутлумуратова [10]. Элементы истории комбинаторики освещены Л.Е. Майстровым [11], [12], Б.В. Гнеденко [5]. Материал по обсуждаемой тематике имеется в [7], вышедшей под редакцией А.П. Юшкевича. Вопросы, относящиеся к дискретной математике, рассмотрены в публикациях Г.П. Матвиевской, например, в [24]. Среди литературы XIX столетия следует упомянуть исследования И. Тодхан-тера 1102], Е. Нетто [92], В.Я. Буняковского [3].
Вышеуказанные факты свидетельствуют о том, что история комбинаторного анализа постоянно находится в поле зрения ученых. Его развитие с древнейших времен до" настоящего времени, а также процесс формирования многочисленных разделов подробно освещены. Вместе с тем, при более глубоком исследовании этих вопросов обнаруживаются неизвестные ранее имена ученых, занимавшихся разработкой комбинаторной теории, отыскиваются проблемы, служившие истоками целых современных научных направлений, в частности, дискретной математики, переосмысливается вклад научных школ в развитие математики.
Сказанное выше относится и к XVIII столетию. Анализ первоисточников иозволяег сделать вывод о том, что в то время интерес к комбинаторике не угасал, более того — усиливался. Именно в рассматриваемый нами период изучались некоторые структуры блочно-схемного типа: магические и латинские квадраты, другие конструкции, изучались операции с рядами, выполнялось суммирование числовых последовательностей и другие. Тогда же стал формироваться и находить применение математический аппарат науки с присущими ему проблемами и методами: полной математической индукции, производящих функций, рекуррентных соотношений, конечных разностей, включения и исключения. Многие из перечисленных выше вопросов уже нашли освещение в трудах по истории комбинаторного анализа указанного периода: исследования по общей проблематике выполнены К.А. Рыбниковым и А.Е. Малых в указанных выше работах, ряд важных специальных направлений представлен О.В. Ивановым [6], Дж. Кутлумуратовым [9], [10], Е.ГШжиговой [28], П.П. Пермяковым [29].
Однако, несмотря на пристальное внимание ученых к процессу формирования и развития комбинаторного учения, в том числе и в XVIII веке, выбранная тематика остается актуальной. В частности, за пределами опубликованных исследований остались вопросы:
- выяснения структуры комбинаторного анализа в рассматриваемый период;
- разработки и систематизации основ теории соединений (фундаментального раздела комбинаторного анализа);
- развития одного из его направлений - класса специфических задач с дополнительными ограничениями на позиции рассматриваемых элементов дискретных множеств;
- взаимовлияния комбинаторной теории и других математических дисциплин, внутренних связей между разделами комбинаторного анализа;
- оценки результатов деятельности первой комбинаторной школы. Отмеченные выше пробелы в истории математики частично восполнены в диссертации, что подтверждает ее новизну. В ней исследуются пути разра ботки теоретической базы комбинаторики, представленной введением основных понятий и операций над элементами дискретных множеств, доказательством их свойств, разработкой специальной символики. Изучается развитие специфического направления комбинаторной теории, представленного классом задач с занимательной фабулой. Выделяются конструктивное и перечислительное направления теории соединений. Рассматриваются вопросы применения полученных результатов к решению проблем из смежных математических дисциплин. Выполняется сравнительный анализ работ ученых гин-денбургской школы. Дается оценка ее вклада в формирование новых математических теорий и развитие комбинаторного анализа на рубеже XVIII-XIX в. Важное значение для установления причин интереса ученых указанной эпохи к комбинаторным вопросам имеет тот факт, что (согласно общематематической периодизации А.Н. Колмогорова) XVIII столетие находилось на стыке двух периодов развития математики. С одной стороны, в XV1I-XVI11 в. выдающиеся ученые Г.-В. Лейбниц, братья Бернулли, Л. Эйлер и другие предвосхищали развитие науки и закладывали теоретические основы новых математических дисциплин, которые лишь впоследствии оформились в закопченные теории с многочисленными приложениями. С другой стороны, изучение и анализ целого ряда первоисточников, опубликованных уже в XIX столетии, позволяет отнести изложенные в них результаты к идейным и содержательным достижениям XVIII века. Однако унаследованные научные ценности в области комбинаторного учения и степень математической строгости, с которой они были представлены, а поэтому и в связи с этим потребовали критического пересмотра, привели к созданию комбинаторной школы. Работы, активно проводившиеся в ее рамках под руководством К.-Ф. Гинденбурга, были востребованы и широко использовались формировавшимися в то время новыми математическими теориями (групп, алгебраических уравнений, подстановок, определителей, структур блочно-схемного типа и др.). Деятельность немецкой школы к настоящему времени так и не получила всестороннего освещения, а ее роль, как показали исследования, крайне занижена. Высказывания Ф. Клейна и X. Хенкеля о научном направлении комбинаторной школы как тупике в развитии математики, стали историческим стереотипом. Достижения и открытия современной эпохи дают основания для новой ретроспективы. Приоритеты третьего тысячелетия приводят к пе реосмыслению значимости комбинаторных исследований рассматриваемого периода, новой оценке вклада немецкой школы в развитие математики в целом и комбинаторного анализа, в частности.
Целью диссертации является исследование формирования и развития комбинаторного анализа в XVIII — первой трети XIX столетия. Для этого необходимо решить следующие задачи:
- выявить основные идеи, сформулированные учеными XVIII века, послужившие основой исследований математиков этого периода и приведших к формированию целых разделов комбинаторного анализа;
- определить пути развития комбинаторного учения в рассматриваемый период;
- представить развитие в XVIII веке учения о соединениях — фундаментального раздела комбинаторного анализа;
- рассмотреть применение его к другим разделам математики, а также к решению прикладных задач;
- выделить и исследовать особое направление развития комбинаторной теории в XVIII веке - класс специальных комбинаторных задач с дополнительными ограничениями на позиции элементов рассматриваемых множеств;
- выяснить вклад различных ученых в исследование вопросов комбинаторной теории;
- реконструировать методы, используемые при подсчете различных видов соединений с ограничениями на позиции их элементов (определенной суммы, произведения и др.);
- изучить попытки создания "единого комбинаторного учения" в немецкой школе;
- оценить ее вклад в дальнейшее развитие математики;
- выполнить анализ и раскрыть содержание первых учебников по комбинаторике.
Методы исследования, применяемые в диссертационной работе, включают источниковедческий и историко-научный анализы, которые позволяют реконструировать историю комбинаторного учения, выявить его взаимодействие с широким кругом математических вопросов, оценить научные результаты ученых XVIII века в контексте исторического развития идей и методов.
Научная новизна состоит в том, что в работе представлено состояние комбинаторной теории и ее приложений в XVIII веке, в том числе:
1) дан историко-матсматический анализ широкого круга вопросов, относящихся к области комбинаторного учения XVIII столетия и его составной части - теории соединений;
2) выявлены задачи, приводящие к формированию основных понятий и методов этой дисциплины;
3) представлено развитие различных видов соединений;
4) установлены теоретические и практические приложения комбинаторики;
5) изложены различные пути разработки ее теоретической базы и систематизации;
6) прослежены попытки усовершенствования комбинаторной символики в XVII-XVI1I веках;
7) выполнен анализ различных методик решения групп конструктивных задач, позволивших считать проблему перебора всевозможных выборок закрытой;
8) изучены подходы к отысканию числа различных видов соединений, а также к решению более общих задач;
9) оценен вклад в развитие комбинаторики исследователей, не получивших до настоящего времени должного признания;
10) пополнены сведения об исследованиях в этой области ряда знаменитых ученых, существенно продвинувших комбинаторную теорию;
11) дана новая оценка деятельности немецкой научной школы и ее вкладу в развитие комбинаторной теории на рубеже XVIII - XIX столетий.
На основе анализа многочисленных первоисточников, относящихся к периоду XVI-XIX веков, сделана попытка установить причины и стимулы развития комбинаторного учения, его предмет, структуру; изучить магистральное направление развития теории, выявить ее особенности и достигнутые результаты, оцеїшть вклад ряда ученых, а также целой научной школы в разработку комбинаторной теории. Выполненное нами исследование позволяет представить комбинаторное учение как самостоятельную часть математики XVIII века, нашедшую многочисленные теоретические и практические приложения.
На защиту выносятся следующие утверждения:
1. Тенденции в математике на стыке двух периодов нашли отражение и в общей концепции развития комбинаторного анализа. Постепенное накопление отдельных результатов в этой области завершилось несколькими попытками представления законченной теории соединений —- важного раздела комбинаторного учения (XVIII в.).
2. В силу специфики исследований комбинаторный анализ распался на две составляющие: элементарную комбинаторику (теорию соединений) и комбинаторный анализ, изучающий вопросы высшей математики, в том числе, учение о рядах. Первая из них стала одной из ведущих математических дисциплин: ей посвящались специальные учебники, трактаты или их важнейшие главы. Традиционные комбинаторные подходы к решению задач позволили заложить основы новых разделов математики.
3. Потребности «чистой» науки конца XVIII в. привели к тому, что теория соединений распалась на конструктивную и перечислительную части.
4. Комбинаторная теория была средой, в которой развивались и совершенствовались методы построения конструкций блочно-схемного типа, изучались последовательности и фигурные числа, формировались основные понятия теории вероятностей.
5. Для понимания роли и места комбинаторного учения важно учитывать его связь с другими естественно-научными дисциплинами.
6. Кардинальные изменения в подходах к обоснованию математических теорий привели к созданию комбинаторной школы под руководством К.- Ф. Гинденбурга. Состояние, уровень развития самой математики, а также увлечение другим, ставшим впоследствии ее центральным направлением — анализом бесконечно малых величин, - привели к недооценке современниками результатов деятельности этой школы.
7. Выявление полной картины становления комбинаторного анализа как науки предполагает исследование развития всех его направлений, в том числе теории соединений. Вслед за Г.- В. Лейбницем, Я. I Бернулли, Л. Эйлером, ряд мало известных к настоящему времени ученых таких, как П.- Р. де Монмор, Н. де Бегелен,. К.-Ф. Гипденбург, Дж. Вейигартнер, Л. Эттингер и другие внесли существенный вклад в ее развитие.
8. Комбинаторные задачи с занимательной фабулой, в большом количестве рассматриваемые учеными XVIII столетия и относящиеся как принято считать в наши дни, к конкретной математике, являются неотъемлемым составляющим звеном комбинаторной теории. В требованиях строгого обоснования математических дисциплин конца XVIII - начала XIX века не был рассмотрен в качестве самостоятельного этот путь развития специфического и наиболее трудного, как оказалось, раздела математики - комбинаторного анализа.
Практическая реализация. Материалы диссертации могут быть использованы: - при изучении истории математики, - для написания очерков по истории комбинаторного анализа и оценки его роли в системе математических знаний, - в дальнейших исследованиях развития теории соединений, - при чтении лекций, спецкурсов по истории комбинаторного анализа, - в разработке лекций и семинарских занятий по дискретной математике.
Апробация работы. Диссертация в целом и ее отдельные части были представлены на научных конференциях аспирантов и стажеров по истории естествознания и техники при ИИЕиТ АН СССР (1981—1988); Всесоюзном семинаре по теории графов при СГУ (Самарканд, 1983); семинаре по истории науки при ЛГПИ им. А.И. Герцена (1989—1993); семинаре по дискретной математике при МГУ им. М.В. Ломоносова (1993, 2003), межвузовском семинаре по истории математики при ПГУ им. A.M. Горького (Пермь, 1993—1994) и последующих выступлениях в Уральском центре истории науки и образования УЦИНО (1995—2003); семинаре по истории комбинаторного анализа при ПГПИ (Пермь, 1988—1992); ежегодных научных конференциях преподавателей ПГПИ (1983-1994).
Основное содержание диссертации отражено в шестнадцати статьях автора.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, изложенных на 144 страницах, а также списка использованной литературы, содержащего 108 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы, отмечен неослабевающий интерес отечественных и зарубежных ученых к истории комбинаторного анализа, поставлены проблемы, не получившие еще достаточно полного освещения в историко-научных исследованиях, определены цели диссертации, проведен обзор содержания по разделам.
В Главе I представлено состояние комбинаторного учения, сложившееся к началу XVIII века. В ней на основе изучения большого количества первоисточников и комментариев к ним собраны сведения, полученные учеными XV-XVII веков при решении вопросов элементарной комбинаторики. Выполнен анализ важнейших работ предшественников Г.-В. Лейбница: Хри-стофа Клавиуса ("Комментарии" к сфере деятельности Иоганна фон Сакробо-ско", 1585) и Марина Мерсенна ("Истинная наука", 1625). Отмечены причины появления глобальных идей, предопределивших предмет и направления многочисленных исследований ученых как XVII века, так и последующих двух столетий. Главу завершает обзор трудов Г.-В. Лейбница и ЯЛ Бернулли, в которых освещены вопросы, не рассмотренные другими авторами.
В Главе II выделены различные пути формирования комбинаторного учения в XVIII столетии и представлен каждый из них. Учитывая упомянутые выше подробные исследования вопросов развития комбинаторных методов в XVIII веке (с. 4), здесь прослежен процесс формирования учения о со-еди нениях, выполнен анализ работ, посвященных задачам с ограничениями на позиции элементов рассматриваемых дискретных множеств.
Кроме того дана оценка вклада французского математика и богослова П.Р. де Монмора, известного своими трудами в области теории азартных игр, в продвижение комбинаторики. Откликнувшись на предложение Н. Бернулли завершить исследования великого ЯЛ Бернулли, связанные с «Искусством предположений», ученый представил новый вариант «Анализа азартных игр», в котором изложил основы комбинаторного учения.
Из множества всех вопросов, рассматриваемых в теории соединений, нами был выделен особый класс задач с ограничениями на позиции элементов выборок. Некоторые из них в дальнейшем получили статус классических, поскольку привели к созданию новых областей математики. Их сложность и нестандартность предопределили повышенный интерес к ним со стороны
многих известных ученых. Г. де Бюффон, Г. Монж, А. Вандермонд, А. де Муавр, Дж. Совер, Л. Эйлер и другие посвящали решению комбинаторных задач с занимательной фабулой специальные трактаты. В рассматриваемой главе выполнен анализ таких исследований Л. Эйлера. Этот материал из математического наследия ученого не был подробно изучен, в то время как его внимание к головоломкам и другим задачам комбинаторного характера был постоянным и устойчивым. Среди других представлены мемуары, в которых он рассматривал задачи о встречах, ходе коня на шахматной доске, 36 офицерах, магических и латинских квадратах. Нами реконструированы разработанные Л.Эйлером общие и частные их решения, а также выявлено несколько вариантов формулировок указанных комбинаторных проблем в терминах различных математических теорий.
В этой же главе на основе анализа четырех трактатов исследованы различные решения комбинаторной задачи с ограничениями на позиции элемен- тов, входящих в дискретные множества, . являємся математической моделью наиболее популярной в XVII—XVIII веках Генуэзской лотереи. Свои выводы по этому вопросу привели Л.Эйлер, И.Бернулли, оформив большие по объему математические работы. Их подходы к решению сложной проблемы нумерного лото обобщил мало известный в наши дни Н. де Беге-лен в обширном мемуаре "О последовательностях или секвенциях в генуэзской лотерее" (1767), в котором значительно продвинуты результаты указанных выше ученых.
В заключение главы отмечено, что введение Л.Эйлером в рассмотрение с общетеоретических позиций задач о различных видах соединений с ограничениями на позиции их элементов нашло дальнейшее развитие в трудах ученых первой комбинаторной школы в Германии.
В Главе III выполнен анализ исследований ученых немецкой школы по рассматриваемой тематике. Отмечено, что потребность дальнейшего развития глобальных научных идей XVII столетия снова привела к необходимости построения универсальной теории — комбинаторного анализа.
Анализ результатов деятельности гинденбургской школы в области разработки и систематизации теоретических основ комбинаторики выполнен на основе многочисленных трудов ее сотрудников, занимавшихся построением различных математических теорий. Констатируется факт разделения ком бинаторного учения на две составляющие: комбинаторику в ее узком понимании (теорию соединений) и комбинаторный анализ; установлен предмет исследования каждого из них. Проведен сравнительный анализ трудов математиков школы. Выделены два самостоятельных раздела теории соединений: перечислительный и конструктивный. Вклад математиков гинденбургской школы в развитие конструктивной части теории соединений оценен на основании исследований Д. Вейнгартнера, К.-Ф. Гинденбурга, А. Эттинхаузена и Л.-Б. Франковера, разработавших общие приемы нахождения всевозможных комплексий. Представленная система комбинаторных и универсальных способов их построения позволила признать предложешгую методику важным вкладом в разработку комбинаторной теории. Перечислительная часть теории соединений исследована на основе анализа работ X. Эттингера, Д. Вейнгартнера, К.-Ф. Гинденбурга. Реконструированные нами доказательства формул для подсчета соединений с ограниченными повторениями элементов представили разработанную немецкими математиками методику определения числа выборок любого известного их класса.
В конце главы нами сформулированы выводы о вкладе гинденбургской школы в развитие комбинаторной теории того времени. Результатами ее деятельности явились:
- систематическое изложение теории соединений;
- проведение в жизнь идеи единообразной комбинаторной символики (нами представлено несколько ее вариантов);
- выделение двух самостоятельных разделов теории соединений: конструктивного и перечислительного;
- применение комбинаторной теории к решению вопросов смежных и вновь формирующихся дисциплин;
- проведение доказательств всех известных свойств комбинаторных операций с учетом требуемого уровня математической строгости;
- исчерпывающая разработка универсальных приемов и правил построения выборок как с ограничениями на позиции их элементов, так и без них;
- создание универсальной методики подсчета выборок любого известного класса, а также всех классов в совокупности.
Здесь же отмечены заслуги Гинденбурга по созданию специального математического журнала. Отдельная оценка дана его организаторскому таланту.
При анализе дальнейшей (после распада школы Гинденбурга) деятельности бывших ее сотрудников установлено, что комбинаторные исследования послужили основой их научных успехов. Отмечено, что результаты в области «чистой» комбинаторики оказали заметное влияние на развитие новых математических теорий, получивших бурное развитие в начале XIX столетия. Сделан вывод о важном вкладе ученых гинденбургской школы в продвижение комбинаторного анализа как науки на рубеже XVIII - XIX веков.
В заключении подведены итоги проделанной работы, в частности, указаны причины, стимулировавшие развитие комбинаторного учения в рассматриваемый период. Дано заключение о том, что комбинаторика к началу XIX века стала одним из основных разделов математики: ей посвящались специальные учебники, трактаты или их важнейшие главы, ее теоретические положения постояшю находили многочисленные применения. Отмечен факт качественных изменений внутри самого комбинаторного учения. Указаны причины сложности проведения историко-научных исследований рассматриваемого направления. Наконец, высказано убеждение, что изменение статуса дискретной математики, связанное с глобальной информатизацией жизнедеятельности человечества, дает основания считать комбинаторный анализ одним из важнейших научных разделов, а исследование вопросов его развития -наиболее перспективным направлением историко-математических изысканий.
Источники комбинаторной теории
Согласно периодизации, предложенной К.А. Рыбниковым, развитие комбинаторного анализа делится на три периода:
1) до XVI века включительно - накопление комбинаторных фактов;
2) с XVII века до середины XIX века - от оформления комбинаторики до создания комбинаторной школы;
3) с середины XIX века - развитие современного комбинаторного анализа.
Исследование становления фундаментального раздела комбинаторного анализа - теории соединений —- полностью подтверждает обоснованность этих временных границ трех периодов. Выполненное нами исследование охватывает второй период развития комбинаторного анализа.В рамках настоящей работы он также условно разделен нами на следующие этапы:
а) формирование теории соединений при решении общих проблем теории чисел, музыки, бинома и других;
б) становление комбинаторного учения после формулировки Г.-В.Лейбницем глобальной идеи создания всеобщей характеристики — комбинаторики;
в) различные пути развития комбинаторного анализа в период XVIII —начала XIX столетия.
Особенности общего состояния науки в XVIII веке затрудняли возможность дать объективную оценку вклада отдельных ученых и целых научных школ в продвижение комбинаторного анализа, выявить приоритеты в его развитии, выделить фундаментальные и прикладные вопросы исследований. Эти особенности состояли, например, в том, что трактаты XVII — начала XVIII века представляли не только законченные изложения математических решений, но и специальные обращения к читателю. В них формулировалась общая проблема, часто - философская, затем ставилась математическая задача, давался анализ попыток ее решения предшественниками, а также излагалась полемика с оппонентами. Ввиду отсутствия периодических изданий, еще одной характерной чертой того времени являлась обширная личная переписка ученых разных стран, в которой они обменивались идеями, формулировали новые проблемы, предлагали свои решения вопросов из самых различных областей знаний. Ряд трактатов содержал в качестве отдельных разделы, посвященные комбинаторным вопросам. Это напрямую позволяло проанализировать вклад авторов в развитие теории. В других случаях не было разделения математического материала, работы содержали результаты по различным вопросам математики, интересовавшим в то время ученых: о делимости, фигурных и простых числах, суммировании последовательностей, азартных играх, магических и латинских квадратах, музыки и так далее, в рамках решения которых формировались новые методы, в том числе - включения и исключения, рекуррентных соотношений, производящих функций.
Исследование многочисленного фактического материала позволяет сделать заключение о том, что первоначально средой формирования комбинаторной теории были другие разделы математики: теория чисел, обобщение биномиальной теоремы, теория музыки, теория вероятностей. В теории чисел семнадцатое столетие связано с именем Пьера Ферма (1601-1665) и его открытиями. Следующий этап, охватывающий XV1I1 век, представлен трудами Л. Эйлера (1707-1783) и полученными им методами решения определенных групп теоретико-числовых задач. Полное изложение этих методов дал A.M. Лежандр (1752-1833) в «Арифметических исследованиях» (1797-98). Некоторые задачи из теории чисел послужили исходными при формировании комбинаторного учения, например, при нахождении всевозможных делителей данного натурального числа и их количестви.
В 1685 году Дж. Валлис, решая в «Историческом и практическом трактате по алгебре» задачи, поставленные Ферма, в описательной форме высказал правило нахождения общего количества делителей любого целого числа, представленного в віще проюведения степеней простых множителей. Если данное число т = px-q" -rv ..., где р, q, г, ... -простые числа, то количество его
делителей равно (A +1)(// + \){у +1)..., а сумма всех делителей — рш-\ д»+1-\ г" -1
/7-1 q-\ г-\
В дальнейшем эти вопросы изучались Л. Эйлером. В 1768 году он предложил метод, основанный на представлешш этих делителей в виде квадратичной формы nvxf+ny2. В 1775 году Н. де Бегелен разработал метод отыскания простых делителей вида 4 2+1. В переписке с Бегеленом Эйлер в 1776 году предложил использовать для этих целей общую форму пх2+у2, а также сформулировал правило выбора числа л, позволившего получить ряд новых простых чисел. Сотрудничество этих математиков привело к решению одной из сложных проблем комбинаторной теории - задачи нумерного лото.
Важнейшим в теории чисел был вопрос разбиения простого числа на слагаемые, как повторяющиеся, так и нет. Пытаясь доказать теорему Ферма о том, что всякое простое число вида 4п+1 разбивается на сумму двух квадратов, Эйлер в 1749 году пришел к рассмотрению остатков от деления квадратов первых (р-1) чисел натурального ряда I2, 22, З2, ..., (р-1)2 на простое число р, а впоследствии — к теории степенных вычетов.
Занимаясь вопросами разбиения данного числа на слагаемые, Эйлер в 1748 году разработал метод, базирующийся на умножении рядов и разложении произведения (l+xaz)(\+xpz)(\+xrz)..., где а, р, у -положительные числа, в ряд \ + Pz + Qz2 + Rz +..., откуда Р-=ха +хр +хг + ..., Q = ха р л ха+г +....
Если требовалось узнать, сколькими способами можно представить число п в виде суммы т неравных членов ряда а,р,у,..., то для этого было
достаточно определить коэффициент в разложении члена УУ". Аналогично, дробь
-в = \ + Pz + Qz2 + Rz3+...
(\-xaz)(]-xpz)(]-xrz)... приводила к нахождению коэффициента при JCV , а с ним — количеству способов получения целого числа п в виде суммы т равных или неравных слагаемых ряда а, р,у,...м т.д. При различных частных значениях z Эйлер получил отдельные теоремы об аддитивном разбиении чисел и в 1750 -1769 годах опубликовал таблицы количества способов представления данного числа п в виде суммы чисел от 1 до т включительно. Наиболее важными с точки зрения формирования комбинаторной тео рии были вопросы, связанные с изучением специальных числовых конструк ций - фигурных чисел. Еще в Древней Греции пифагорейцами (VI в. до н.э.) рассматривались числа-суммы и числа-произведения. Среди первых выделя лись фигурные числа, наиболее простыми из которых были треугольные. 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, Путем присоединения специальным гео метрическим способом двух из них получали все квадратные числа, а при соединением трех равных треугольных чисел - пятиугольные числа. И так далее — для всех других многоугольных чисел. Пирамидальные числа образовывались сложением многоугольных, например, четырехгранные — из треугольных чисел 1, 1+3-4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20,... и изображались в виде пирамид с треугольными основаниями. С дальнейшим развитием математики фигурные числа потеряли значимость, кроме квадратных и кубических, дающих возможность подойти к вычислению площадей и объемов, то есть к решению геометрических задач.
Числа-произведения делились на три группы. «Прямолинейные», то есть простые числа, изображались точками, расположенными вдоль отрезка. «Плоскостные» числа, представляющие произведение двух множителей, образовывали квадрат или прямоугольник, а «телесные», имеющие три множителя, — параллелепипед или куб. Изучение прямолинейных чисел дало толчок к возникновению теории простых чисел.
С изучением фигурных чисел связана таблица, известная как треугольник Паскаля, или арифметический треугольник. В Европе он впервые появился у Лпиано (1527), позднее - у М. Штифеля (1486-1567), который в 1544 году представил таблицу строк чисел 1,2,1; 1,3,3,1; 1,4,6,4,1; и т.д. до 17 строки включительно с целью извлечения корней высших степеней. Исследования Штифеля продолжил Дж. Фаульгабер (1580-1635) в «Продолжении нового чудесного искусства» (1617). На основании трудов Штифеля Н. Тар-талья (около 1500-1557) составил таблицу, каждое число которой получалось сложением чисел, стоящих перед и над ним, а строки состояли из последовательностей фигурных чисел (табл. 1.1.1).
В то время арифметический треугольник стал широко известен и применялся повсеместно. Итальянец Р. Бомбелли (около 1530-1572) в трактате по алгебре (1572) и англичанин У. Оут-ред (1575-1660) в работе «Ключ математики» (1631) занимались вопросами нахождением корней более высоких степеней с его использованием. Пьер Ферма (1601-1665) и Блез Паскаль (1623-1662), разрабатывая теорию чисел, также исследовали фигурные числа. В вышедшем в 1665 году посмертном сочинении Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике» эти числа были расположены в виде таблицы, образованной путем суммирования ее элементов (табл. 1.1.2) [95].
Развитие комбинаторной теории в исследованиях П.-Р. де Монмора
В одно время с «Искусством предположений» ЯЛ Бернулли был опубликован трактат французского священника Пьера Ремона де Монмора «Анализ азартных игр». В нем автор сформулировал задачи, приводящие к изучению новых видов соединений, привел доказательства известных и вновь предлагаемых им свойств выборок, а также применил к решению комбинаторных и теоретико-вероятностных вопросов изобретенные им методы.
Пьер Ремон де Монмор (27.10.1678 - 7.10.1719) - математик, член Английской (с 1715) и Французской (с 1716) Академии наук, родился в Париже, занимался проблемами философии, религии, математики. Математические исследования Монмора создали ему авторитет среди крупнейших ученых того времени. Он вел обширную научную переписку. Среди его корреспондентов были ЯЛ Бернулли, А. де Муавр, Б.Тейлор, Г.В.Лейбниц и другие. Обладая широким кругом научных интересов, каждый из них изучал в той или иной мере вопросы, связанные со случайными событиями, возможностью их количественного измерения. Так как игры в карты и кости редставляли простые математические модели, то вслед за Паскалем, Ферма, Гюйгенсом, Лейбницем и ЯЛ Бернулли, Монмор изучал многочисленные карточные игры с математических позиций, а в 1708 году издал свой первый труд по теории вероятностей «Анализ азартных игр». Как отметил известный историк математики И. Тодхантер: «Здесь Монмор с храбростью Колумба открывает новый мир в математике» [102, п. 13 6].
Приблизительно в этот период началось сотрудничество Монмора с Н.І Бернулли, из писем которого, а также из публикации похвального слова де Фонтене и статьи академика Сорена по поводу кончины великого ЯЛ Бернулли, французский ученый узнал о предмете исследований «Искусства предположений». Кроме того, в предисловии к этому сочинению Н.І Бернулли обратился с просьбой к автору «Анализа азартных игр», а также Муавру взять на себя задачу применения теории вероятностей к гражданским, моральным и экономическим вопросам и «со временем сообщить публике свои выдающиеся открытия» [1, с. 163].
Помимо этого, вслед за публикацией трактата Монмора вышли два произведения: диссертация H.I Бернулли на степень лиценциата юридических наук [61] и мемуар «О мере случая» А. де Муавра [89]. Оба имели содержательную связь с работой Монмора. Муавр в своей работе сделал ряд резких замечаний в адрес Монмора, суть которых заключалась в том, что «автор «Анализа азартных игр» лишь немного углубил предмет, полностью забытый в течение шестидесяти лет со времен Гюйгенса» [90, с. XXX]. На эти обвинения крайне задетый Монмор ответил: «Главным образом, именно новизна заставила меня писать, и я пользуюсь случаем уточнить, что уже сделано по данному предмету, и дать возможность читателю судить об этом» [90, с. XXX]. Упомянутые обращения к нему Н.І Бернулли (1713) и Муавра (1712), усовершенствование прежних результатов и получение новых, интерес к истории вопроса об измерении случайных величин, а также сведения из переписки с видными учеными побудили Монмора вновь обратиться к «Анализу азартных игр». Второе издание этого произведения вышло в Париже в 1713 году, существенно переработанное и дополненное. В письмах автору и его брату Лейбниц высказал покровительственное и благосклонное мнение о трактате [90]. Ссылка на эту работу была сделана им и в письмах братьям Бернулли. Сочинение, состоящее из четырех частей, содержит 414 страниц, кроме того, сюда входят: предисловие, обращеіше к читателю и переписка автора с Н.І Бернулли и И.Бернулли. В предисловии Монмор отказался применять разрабатываемую им теорию к моральным, гражданским и экономическим делам: «Не будучи в состоянии удовлетворить эти требования полностью, я решил отложить работу до другого времени или передать славу ее совершения другому, более искусному лицу, чем говорить вещи общеизвестные или недостаточно точные, которые бы не отвечали ожиданиям читателя и великолепию вопроса» [90, с. XXV].
В отечественной литературе по истории математики есть краткий обзор «Анализа азартных игр» [11]. Переписка Монмора и «Обращение к читателю», представляющее исторический очерк науки о случайном и выполненный им еще в 1713 году, кратко проанализирован в [12]. В этих и других трудах о Монморе говорится как о математике, продвинувшем учение о вероятности при исследовании многочисленных азартных игр. Для опенки его вклада в развитие теории соединений подробно рассмотрим первую часть «Анализа азартных игр» - «Трактат о сочетаниях» [90, с. 1-72J.
Он начинается с определения сочетаний как выборок из нескольких предметов. При этом поставлена задача «сосчитать все возможные способы выбрать их по 2, по 3, по 4 и т.д. из нескольких данных. Решая ее в общем виде, Монмор сформулировал «Предложение 1» и «Предложение 2». В первом он рассмотрел треугольник Паскаля и дал два способа его построения: горизонтальный (суммированием чисел предшествующей диагонали) и вертикальный (суммированием стоящих рядом и выше чисел левой вертикали). Автор отметил, что еще у Паскаля в ([95], с. 21) в Теореме 2 доказано: каждое число таблицы, стоящее на (и+1)-й вертикали и (т+1)-й горизонтали, есть число сочетаний из п предметов по т, а все числа (л+1)-й вертикали представляют последовательность выбора m предметов из п (0 m п). Поэтому вертикальный способ построения таблицы позволил Монмору доказать справедливость равентсва Cpq =С%_х+с. В качестве замечания он отметил: «Необходимость следствия из вертикального способа построения таблицы очевидна тогда, когда необходимо уменьшить трудность читателю в чрезмерно долгих поисках сочетаний для больших чисел, например, С,4 . Полезно изобрести формулу, которая.поможет находить всякое число сочетаний через их меньшее число. Для этого изучим Лемму» ([90],с. 9). Таким образом, ученый не удовлетворился рекуррентным соотношением и поставил задачу отыскания общего правила подсчета сочетаний из данного количества элементов.
Формулировка Леммы, ее доказательство и двенадцать свойств чисел арифметического треугольника даны в «Предложении 2». По Лемме, для нахождения числа таблицы следует умножить вышестоящее число на номер вертикали без увеличенного на единицу номера горизонтали, после чего полученное произведение следует разделить на уменьшенный на единицу номер горизонтали.
Создание комбинаторной школы
Вопрос исследования развития комбинаторного анализа в конце XVIII - начале XIX столетия все еще остается актуальным. Этому способствует тот факт, что именно рассматриваемый период находится на стыке двух этапов развития математики. Выдающиеся ученые: Г.-В. Лейбниц, братья Бернулли, Л. Эйлер и другие предвосхищали развитие науки на целые века и закладывали теоретические основы новых математических учений, которые лишь в последующих столетиях оформились в законченные теории с многочисленными приложениями. Однако, изучение и анализ целого ряда первоисточников, опубліікованньїх уже в XIX столетии, позволяет отнести изложенные в них результаты к идейным и содержательным достижениям XVIII века. В связи с последними замечаниями необходимо отметить ряд характерных особенностей в развитии математики на рубеже XVIII и XIX столетий.
1. Целостный характер математической науки сменился узкой и строгой специализацией ее направлений. Усиление последней сопровождалось делением на чистую и прикладную математику. Ученые начали работать в различных ее областях, представляя тот или иной раздел.
2. Прикладной характер математики в основном отошел на второй план. Чистая математика уже не ставила своей конечной целью приложения к другим естественно-научным дисциплинам.
3. Занятие наукой лишь небольшим кругом избранных сменилось широчайшим распространением научных знаний.
4. Научные кружки, сформировавшиеся вокруг авторитетных ученых и переросшие в дальнейшем в Академии, уступили место высшим учебным заведениям, где наряду с преподавательской деятельностью значительное место отводилось научным исследованиям. Отсутствие ограничений для профессиональных занятий наукой и заинтересованность в научных знаниях и техническом образовании привели к наплыву слушателей.
5. Оживленная переписка ученых в отсутствие научных журналов сменилась огромным потоком научной литературы, в том числе - периодической.
6. Латынь как единый язык переписки ученых и издания научных трактатов уступил место государственным.
7. Унаследованные научные ценности и степень математической строгости, с которой они были представлены, потребовали их критического пересмотра.
Именно необходимость дальнейшего развития глобальных научных идей прошлого столетия новыми средствами математической науки, постепенно оформлявшейся в «чистую математику», привела в Германии к исследованиям в области «универсальной науки» (комбинаторики), начатым еще Лейбницем. Идея разработки фундаментальных основ комбинаторного учения была выдвинута в конце XVIII — начале XIX века учеными немецкой научной школы, основанной и возглавляемой К.-Ф. Гинденбургом. Предпринятые попытки создания единого комбинаторного учения закрепили за ней название «комбинаторной». При этом «чистая математика» требовала совсем иной, отличной от существовавшей в XVIII веке, степени математической строгости.
Во многом об уровне развития комбинаторного учения можно судить по состояншо сложившегося символического аппарата и степени разработанности его фундаментального раздела - теории соединений. В рассматриваемый период произошел распад этого учения на две составляющие: комбинаторику в ее узком понимании, с практическими выходами в другие математические дисциплины, и комбинаторный анализ, главной целью которого в то время было упрощение оперирования с рядами. Важно отметить, что в конце XVIII века выполнялись активные исследования по обоснованию алгебры. Тогда же ставились задачи, приведшие к теории определителей. Эти и другие события в мире «чистой» науки наряду с идеей построения «универсальной характеристики» стимулировали деятельность в области комбинаторных исследований. Одним из направлений гинденбургской школы были работы в области систематизации теоретических основ комбинаторики. Введение Эйлером в общетеоретическое рассмотрение задач с ограничениями на позиции элементов также получило дальнейшее развитие в трудах ее последователей. Ученые хотели сделать комбинаторные операции равноправными наряду с обычными операциями арифметики, алгебры, анализа. Они полагали, что благодаря этому внедрению должно упроститься изложение других дисциплин и расшириться область их исследований.
На первом этапе пристальное внимание немецкой комбинаторной школы привлекала полиномиальная теорема - «важнейшая теорема математического анализа», как называл ее основоположник и руководитель школы Карл-Фридрих Гинденбург (1739 - 1808). Работая над этой теоремой, он в 1778 году обратился к комбинаторным исследованиям. До этого времени К.-Ф. Гинденбург изучал медицину, физику и математику в Лейпциге, позднее, в Гет-тингеме, присоединился к профессору А.-Г. Кестнеру, чьи труды были посвящены основаниям геометрии, теории рядов, истории математики, а также созданию учебников для университета. В 1771 году Гинденбург защитил в Лейпциге кандидатскую диссертацию, а спустя два года стал профессором физики.
Первые математические исследования ученого по теории рядов вышли небольшой книжечкой (1776), а двумя годами позже появились его комбинаторные работы [81]. В первой Гинденбург сделал попытки вывести полиномиальную теорему из биноминальной для дробных и отрицательных степеней. К тому времени было уже известно нахождение коэффициентов при разложении л-й степени полинома, однако действенность формулы (а, +а2 +... + 0" = Z i v-UJa ... /1,+.. л т п ограничивалась лишь натуральными значениями п. Гинденбург, занимаясь формой (\ + az + fib2 + ...)т, начал изложение сложного способа обозначений и, развивая его, опубликовал результаты в 1796 году в [84], где вслед за Эйлером выдвинул идею использования алфавитной последовательности букв. Например, биномиальные коэффициенты второго, третьего и т.д. члена для степени т ученый обозначил следующим образом:
В 1781 году он опубликовал сочинение «Новые системы перестановок, сочетаний и размещений» [83], в котором изложил ряд практических приложений комбинаторики к математическому анализу и привел рассуждения об операциях с рядами. Дсйстниями со степенными рядами занимались и до Гинденбурга. Особенность же подхода последнего состояла в построении общих формул, позволяющих не прибегать к рекуррентным при возведении ряда в степень или обращении его. При этом он применял комбинаторные приемы, основанные на следующих соображениях: если речь шла, например, об умножении рядов, то коэффициенты произведения — комбинаторные операции над коэффициентами рядов. В зависимости от вида ряда ими являлись сочетания различных типов: с повторениями, определенной суммой и т.д.
Задачей комбинаторики, по мнению Гинденбурга, было также усовершенствование алгебры. В своих статьях он часто ссылался на то, что Лейбниц многого ожидал от приложений комбинаторики к алгебре, вводя двойную индексацию коэффициентов уравнений, — алгоритма, приведшего в дальнейшем к теории определителей. Однако, вклад немецкой школы в развитие указанного направления оказался не столь значительным: Гинденбург, занявшись этим вопросом, только подтвердил перенос теории определителей в раздел комбинаторики, а Г. Роте в «Собрании комбинаторно-аналитических статей» (1800) использовал разложение определителей по минорам при решении системы г линейных уравнений.
После смерти Гинденбурга в 1808 году школа продолжала весьма активно работать. В двадцатые годы XIX столетия она распалась. Современники Гинденбурга уже в то время пытались оценить ее деятельность. Так, Ж.Л. Даламбер в книге «Доклад по истории развития математических наук за 1789 год», вышедшей в Париже по распоряжению Наполеона в 1810 году, писал, что комбинаторным анализом по-прежнему занимаются лишь немецкие математики. Во Франции же эта наука не нашла благосклонности, так как ее употребление ограничено и мало приемлемо в тех отраслях знаний, развитие которых необходимо французскому государству. Более критические оценки прозвучали во вступительной речи X. Хенкеля, опубликованной в 1869 году [80, с.24], из которой следовало, что комбинаторная школа, созданная Гин-денбургом в последнем десятилетии XVIII века, имела преходящее значение и представляла скорее ответвление научных тенденций прошлого, чем начало нового этапа развития науки. Лично о Гинденбурге историки математики, в частности, — М. Кантор, говорили как о великом человеке, заслужившем уважение своими результатами и достижениями в науке. Недооценка современниками Гинденбурга вклада комбинаторной школы в развитие математики, недостаточное освещение в наши дни ее деятельности привели к необходимости вернуться к анализу трудов ученых комбинаторной школы. Нами выполнен анализ результатов исследований ее активных сотрудников в области продвижения теории соединений и выработки символического аппарата. В первую очередь ими являлись К.-Ф. Гинденбург, Г. Эттингер, Дж. Вейнгарт-нер, К. Шталь, А. Эттинхаузен.
