Введение к работе
Актуальность темы
Одним из первых результатов, относящимся к топологическим методам в выпуклой геометрии, является теорема Брауэра1 о неподвижной точке.
Теорема Брауэра. Пусть К С Rd — выпуклый компакт. Тогда для всякого непрерывного отображения / : К —> К найдётся неподвижная точка, то есть точка х Є К, для которой х = f(x).
Первые доказательства теоремы Брауэра были основаны на геометрических идеях, или, чуть позже, на использовании комбинаторной леммы Шпернера2. Впоследствии доказательства теоремы Брауэра были переформулированы в рамках топологических препятствий, которые по сути являются относительными классами Эйлера. Осознание наличия гомологического препятствия позволило построить практически эффективные алгоритмы нахождения неподвижной точки3 4.
Был разработан метод гомотопического продолжения, который основывается на следующем утверждении, сформулированном здесь в частном случае.
Теорема о гомотопическом продолжении. Пусть расслоение V —> X имеет ненулевой класс Эйлера. Пусть также гомотония st связывает два сечения этого расслоения sq и s\. Тогда в пространстве гомотопии X х [0,1] некоторая компонента множества нулей st пересекается и с X х {0}, и с X х {1}.
В случае, если X является многообразием размерности п, слои V также имеют размерность п, и гомотопия st находится в общем положении, утверждение теоремы просто говорит о том, что некоторый нуль So связан гладкой кривой с некоторым нулём si в пространстве X X [0,1]. Это наблюдение позволяет построить эффективные
lL. Brouwer, «Uber abbildung von mannigfaltigkeiten», Mathematische Annalen, 71 (1910), 97-115.
2E. Spemer, «Neuer beweis fur die invarianz der dimensionszahl mid des gebietes», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar Universitat Hamburg, 6 (1928), 265-272.
3B. Eaves, «Homotopies for computation of fixed points», Mathematical Programming, 3 (1972), 1-22.
4R. Kellogg, T. Li, J. Yorke, «Constructive proof of the Brouwer fixed point theorem and computational results», SIAM J. Numer. Anal., 13 (1976), 473-483.
вычислительные алгоритмы для нахождения некоторых нулей произвольного сечения Si, если для некоторого фиксированного сечения So все нули известны.
Хотя рассмотрение вычислительных аспектов задач не является целью данной работы, можно сказать, что доказательство теоремы существования с помощью вычисления класса Эйлера некоторого расслоения также даёт некоторый способ эффективной вычислительной реализации теоремы существования.
Ещё один тип теорем существования в геометрии даёт теорема Хелли5 и разнообразные её следствия и обобщения.
Теорема Хелли. Пусть Т — конечное семейство выпуклых множеств в M.d. Тогда семейство Т имеет общую точку тогда и только тогда, когда всякое подсемейство G С J7 с \G\ < d+1 имеет общую точку.
Сама по себе теорема Хелли, в частности, допускает топологическое доказательство6 путём рассмотрения нерва покрытия [JF семейством J7 как симплициалыюго комплекса и рассмотрения гомологии этого комплекса. Также существует доказательство теоремы Хелли через теорему Брауэра.
В литературе «теоремой типа Хелли» называется утверждение о семействе множеств, в котором некоторое свойство семейства выводится из выполнения того же или аналогичного свойства для всех подсемейств фиксированного размера. В частности, изучаются такое свойство, как наличие плоской трансверсали, то есть плоскости заданной размерности, пересекающей все множества семейства. Для плоских трансверсалей простых обобщений теоремы Хелли не существует (даже в случае трансверсалей — прямых), однако разнообразные утверждения типа теоремы Хелли всё же возможны. Некоторые из них рассматриваются и в этой работе.
5Е. Helly, «Uber Mengen konvexer Кбгрег mit gemeinschaffiichen Punkten», Jber Deutsch. Math. Verein, 32 (1923), 175-176.
6Л. Данцер, Б. Грюнбаум, В. Клн, Теорема Хелли и ее применения, Мир, М., 1968.
Вернёмся собственно к теореме Хелли. Одним из способов доказательства теоремы Хелли является применение георемы Радона7, более общая формулировка которой доказана Твербергом\
Теорема Тверберга. Пусть конечное множество X Є Rd состоит из (d + 1)(п — 1) +1 точек. Тогда X можно разбить на п множеств Х\,...,Хп, выпуклые оболочки которых имеют обшую точку.
Позднее в работах Barany, Shlosman, Sziics9, Zivaljevic, Vrecica10 ", Воловикова12 были получены топологические доказательства теоремы Тверберга и её цветного обобщения для случая, когда речь идёт о разбиении на п частей и число п является степенью простого. Фактически, доказательства основывались на неравенстве нулю эквивариантного класса Эйлера некоторого расслоения.
Приведём формулировки цветных обобщений теоремы Тверберга. В работе13 доказана цветная теорема Тверберга на плоскости.
Двумерная цветная теорема Тверберга. Пусть на плоскости дано множество из Зп точек. Пусть эти точки раскрашены в три цвета так, что точек каждого цвета ровно п. Тогда эти точки можно разбить на п разноцветных троек так, что треугольники, соответствующие точкам, имеют общую точку.
Обобщить этот результат на (d+ 1)п точек в Rd пока не удалось, однако Zivaljevid, Vrecica в указанных выше работах удалось с помощью топологической техники доказать аналогичное утверждение, в котором точки берутся с некоторым запасом по количеству.
7J. Radon, «Mengen konvexer Korper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten», Math. Ann., 83 (1921), 113-115.
8H. Tverberg, «A generalization of Radon's theorem», J. London Math. Soc., 41 (1966), 123-128.
9I. Barany, S.B. Shlosman, A. Szucs, «On a topological generalization of a theorem of Tverberg», J. Lond. Math. Soc, 23 (1981), 158-164.
"R.T. Zivaljevid, S.T. Vrecica, «The colored Tverberg's problem and complexes of injective functions», Journal of Comb. Theory, Ser. A, 61:2 (1992), 309-318.
nR.T. Zivaljevic, S.T. Vrecica, «New cases of the colored Tverberg theorem», Jerusalem Combinatorics '93, ed. by H. Barcelo, G. Kalai, Contemporary Mathematics, Amer. Math. Soc, Providence, (1994), 325-334.
12А.Ю. Воловиков, «К топологическому обобщению теоремы Тверберга», Мат. заметки, 59:3 (1996), 454-456.
13I. Barany, D.G. Larman, «A colored version of Tverberg's theorem», J. London Math. Soc, 45:2 (1992), 314-320.
Цветная теорема Тверберга. Пусть в M.d дано множество из (d+l)t точек, где t > 2г—\,т = рк-,р —простое число. Пусть эти точки разбиты на d+1 множество (цвет) not элементов. Тогда из данных точек можно выбрать г непересекающихся наборов Х\,..., Хт с выполнением следующих условий. Для любого i = l,...,r|.Xj|=d+l и в Хі присутствуют все цвета. Кроме того
P|convXi/0.
»=1
Приведём также одну из эквивалентных формулировок теоремы Борсука-Улама14 15, которая тесно связана с теоремами Хелли и Брауэра.
Теорема Борсука-Люстерника-Шнирельмана. Если сфера S" покрыта n+1-м замкнутым множествомХ\,..., Хп+\, то по крайней мере одно изХі содержит пару диаметрально противоположных точек на сфере.
Отметим также эквивалентную формулировку теоремы Борсука-Улама, в которой вместо покрытий рассматриваются функции.
Теорема Борсука-Улама. Если на сфере S" даны п нечётных непрерывных функций /і,..., /„, го для некоторой точки х Є S"
Д(Х) = /2(1) = = /n(l) = о.
Близким к теореме Борсука-Улама утверждением является теорема Люстерника-Шнирельмана о категории проективного пространства. Ниже приведена одна из возможных формулировок.
Теорема Люстерника-Шнирельмана. Есля сфера S" покрыта п замкнутыми множествамиХ\,...,Хп, инвариантными относительно отражения х ь-> —х, то для некоторого і одна из компонент
14Л.А. Люстсрник, Л.Г. Шнирельман, Топологические методы в вариационных задачах, ГИТТЛ, М., 1930.
15К. Borsuk, «Drei Satze liber die n-dimensionale euklidische Sphare», Fund. Math., 20 (1933), 177-190.
связности Хі содержит пару диаметрально противоположных точек на сфере.
Одним из следствий теоремы Хелли является теорема Неймана-Радо16 17 о центральной точке меры.
Теорема о центральной точке. Для абсолютно непрерывной вероятностной меры р на M.d найдётся такая точка х Є Mrf, что для
всякого полупространства Н э х ц(Н) > - .
йт 1
Отметим также другой известный результат о делении мер из работ Stone, Tukey18, Steinhaus19, являющийся следствием теоремы Борсука-Улама.
Теорема «о бутерброде». Пусть на M.d заданы d абсолютно непрерывных вероятностных мер p.i,...,[Xd- Тогда найдётся полупространство Н С IRd такое, что для любого і = 1,..., d
щ(Н) = 1/2.
В работах Дольникова20 21, Zivaljevi6, Угебіса22 теорема о централь-ной точке была обобщена на случай нескольких мер. Причём данное обобщение в случае m = d — 1 даёт теорему «о бутерброде».
Теорема о центральной трансверсали. Пусть на Rd заданы m + l абсолютно непрерывная вероятностная мера ро, , f*m- Тогда
16В.Н. Neumann, «On an invariant of plane regions and mass distributions», J. London Math. Soc, 20 (1945), 226-237.
17R. Rado, «A theorem on general measure», J. London Math. Soc, 21 (1946), 291-300.
18A.H. Stone, J.W. Tukey, «Generalized 'Sandwich' Theorems», Duke Math. J., 9 (1942), 356-359.
19H. Steinhaus, «Sur la division des ensembles de I'espaces par les plans et et des ensembles plans par les cerdes», Fund. Math., 33 (1945), 245-263.
20В.Л. Дольников, «О разбиении системы мер подпространством многочленов», Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики, Доклады 8 Всесоюзного семинара «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики» (Красновидово 7-11 октября 1990), Москва, ИПМ им. Келдыша, (1991), 80-85.
21В.Л. Дольников, «Об одном обобщении теоремы о бутерброде», Мат. заметки, 52:2 (1992), 112-133.
22R.T. 2ivaljevic, S.T. Vrefica, «An extension of the ham sandwich theorem», Bull. London Math. Soc, 22 (1990), 183-186.
найдётся m-плоскость L M.d такая, что для всякого полупространства Н Э L и всякого і = 0,...,m+ 1
d — m+1
Теоремы Тверберга и гипотезу Тверберга о трансверсалях (формулировка — в главе 4) можно рассматривать как некоторые дискретные обобщения теорем о центральной точке и центральной транс-версали соответственно.
К теореме о центральной трансверсали близко следующее утверждение из цитированной выше работы Дольникова:
Теорема Дольникова о трансверсали. Пусть 0 < k < d — 1 и в Ж* даны к + 1 семейство Ті (і = 0,..., к) выпуклых компактов. Предположим, что в каждом семействе любые d + 1 — к множеств имеют общую точку. Тогда существует k-плоскость, пересекающая все множества из Ui=o -^-
Из этой теоремы при k = 0 получается обычная теорема Хелли. Следующая теорема23 24 также имеет дело с плоскими трансверсаля-ми.
Теорема Хорна-Кли. Для натуральных 1 < к < d и семейства Т выпуклых компактов в Rd, следующие три условия эквивалентны:
Каждые к множеств из Т имеют общую точку;
Каждая плоскость коразмерности к — 1 в Rd имеет' транслят, пересекающий все множества Т;
Каждая плоскость коразмерности к в Mrf принадлежит плоскости коразмерности к — 1, пересекающий все множества Т.
В главе 6 приведены некоторые новые результаты по плоским трансверсалям, близкие к теоремам Борсука-Улама, теореме Хелли и двум вышеприведённым теоремам.
23А. Horn, «Some generalization of Helly's theorem on convex sets», Bull. Amer. Math. Soc, 55 (1949), 923-929.
24V. Klee, «On certain intersection properties of convex sets*, Canad. J. Math., 3 (1951), 272-275.
Также типичными теоремами существования в геометрии являются результаты о вписывании и описывании фигур из данного класса в/вокруг выпуклого тела в E.d. Одна из первых теорем о вписывании25.
Теорема Шнирельмана. Для всякой гладкой замкнутой кривой С С Ж2 найдётся квадрат, все вершины которого лежат па кривой С.
Другая типичная теорема об описывании имеет вид26.
Теорема Какутани. Вокруг всякого выпуклого тела К с Ж3 можно описать куб.
Конечно, эти теоремы являются простейшими примерами. Множество разных утверждений о вписывании и описывании можно найти в работах Громова27, Макеева28 29 30 3l. Например, в диссертации Макеева доказан следующий аналог теоремы Шнирельмана для трёхмерного пространства.
Теорема Макеева. Во всякое гладкое выпуклое тело К С R3 можно вписать октаэдр.
Предметом данной работы является, в частности, обобщение этой теоремы на ббльшие размерности.
Близкими к задаче вписывания многогранника является серия задач о бильярдных траекториях в выпуклых телах. Типичный результат такого рода даёт теорема32 {ф{п) — функция Эйлера).
25Л.Г. Щшгрельман, «О некоторых геометрических свойствах замкнутых кривых», Успехи мат. наук, 10 (1934), 34-44.
26S.A. Kakutani, «A proof that there exists a circumscribing cube around any bounded closed convex set in R3», Ann. of Math., 43:2 (1942), 739-741.
27М.Л. Громов, «О симплексах, вписанных в гиперповерхности», Мат. заметки, 5:1 (1969), 81-89.
^В.В. Макеев, «Задача Кнастера и почти сферические сечения», Мат. сборник, 180:3 (1989), 424—431.
29В.В. Макеев, Универсально вписанные и описанные многогранники. Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный университет, 2003.
30В.В. Макеев, «Вписанные и описанные многогранники для выпуклого тела и задача о непрерывных функциях па сфере в евклидовом пространстве», Алгебра и анализ, 18 (2006), 187-204.
31В.В. Макеев, «Некоторые экстремальные задачи для векторных расслоений», Алгебра и анализ, 19:2 (2007), 131-155.
32G. Birkhoff, Dynamical systems, Amer. Math. Soc. Coll. Publ., 9,1927.
Теорема Биркгофа. Для всякого гладкого выпуклого компакта, К С К2 найдётся не менее ф(п) различных замкнутых бильярдных траекторий в К сп ударениями о край.
Некоторые результаты по многомерному обобщению данной теоремы были доказаны в работах Бабенко33, Фарбера и Табачникова34 35. В этой работе доказано аналогичное утверждение в случае простой длины (количества звеньев) траектории и произвольной размерности d>3.
Все результаты работы являются новыми. Основные результаты работы следующие.
Доказан аналог теоремы Брауэра для общих неподвижных точек нескольких послойных отображений пространства векторного расслоения. Изучены некоторые близкие вопросы топологии многообразий Грассмана и канонических расслоений над ними.
Доказаны новые случаи в гипотезе Тверберга о трансверса-лях, получены обобщения теоремы Тверберга о трансверсалях в духе цветной теоремы Тверберга.
Доказаны «двойственные» аналоги теорем о центральной точке и Тверберга для конечных наборов гиперплоскостей. Приведены обобщения этих теорем в духе гипотезы Тверберга о трансверсалях.
Доказано обобщение теоремы Кнастера-Куратовского-Мазур-кевича для покрытий произведения симплексов. Исследованы некоторые следствия этого обобщения.
33И.К. Бабенко, «Периодические траектории трехмерных бильярдов Биркгофа», Мат. сборник, 181:9 (1990), 1155-1169.
34М. Farber, S. Tabachnikov, «Topology of cyclic configuration spaces and periodic trajectories of multi-dimensional billiards», Topology, 41:3 (2002), 553-589.
35M. Farber, «Topology of billiard problems, II», Duke Mathematica Journal, 115 (2002), 587-621.
Получены новые теоремы о разбиении мер гиперплоскостями, критерии существования плоской трансверсали, и теоремы типа Хелли для плоских трансверсалей.
Получена новая оценка снизу на количество замкнутых траекторий с данным количеством отражений для бильярда в гладком выпуклом компакте.
Доказаны теоремы о вписывании кроссполигопов (многомерных октаэдров) в гладкие выпуклые тела и гиперповерхности с некоторыми ограничениями на симметричность кроссполи-топа. Доказан результат о делении меры с системой конусов с общей вершиной.
Доказано утверждение о категории в смысле Люстерника-Шни-рельмана прообраза точки при непрерывном отображении.
Основные методы исследования
В работе, в основном, используются методы алгебраической топологии, в том числе: когомологии и характеристические классы векторных расслоений, эквивариантные когомологии пространств с действием конечной группы. Также используются стандартные методы комбинаторной и выпуклой геометрии.
Цель работы
Систематизация некоторых топологических методов в комбинаторной и выпуклой геометрии на основе использования относительного (эквивариантного) класса Эйлера векторного расслоения.
Исследование аналогов и обобщений теоремы Тверберга.
Исследование критериев существования плоских трансверсалей, утверждений о деления мер.
(4) Исследование выпуклых тел с точки зрения вписывания в тело выпуклых фигур из данного класса и бильярдных траекторий в выпуклых телах.
Теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут применяться в дальнейших исследованиях в области комбинаторной и выпуклой геометрии. Доказательства основных результатов работ также могут быть использованы для эффективной вычислительной реализации доказанных теорем существования, в силу использования класса Эйлера и возможности гомотопического продолжения.
Апробация работы Результаты работы докладывались на конференциях:
Third Russian-German Geometry Meeting dedicated to 95th birthday of A.D. Alexandrov : Abstracts, St.-Petersburg, Russia, June 18-23, 2007.
International conference on Differential Equations and Topology, dedicated to the Centennial of L.S. Pontryagin, Moscow. 17-22 June, 2008.
Workshop "Transversal and Helly-type theorems in Geometry, Combinatorics and Topology" in Banff, Alberta, Canada, 20-25 September 2009.
Conference Analysis, Topology and Applications 2010, Vrnjacka Banja, Serbia, 20-25 June 2010.
Результаты работы докладывались на научных семинарах в Московском физико-техническом институте, в Московском государственном университете (кафедра высшей геометрии и топологии, кафедра теории чисел), в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В.А. Стеклова.
Публикации
По теме диссертации автором опубликовано 12 работ, перечень которых приведён в конце автореферата.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из 9 глав (включая введение) и списка литературы. Объём работы 158 страниц текста. Библиография состоит из 102 наименований.
