Задачи интегральной геометрии вольтерровского типа и преобразование Радона Бегматов Акбар Хасанович

Постановка задачи интегральной геометрии с возмущением. Вспомогательные сведения

В слое S рассмотрим семейство параболоидов { (#)} с вершинами в точках х и обозначим: Р{х) — часть слоя S , ограниченная поверхностью параболоида V(x) и плоскостью х% = 0. . Задача 1.2. Решить операторное уравнение относительно функ- ции и: где W — заданная весовая функция. Предположим, что функция и трижды непрерывно дифференциру ема и финитна с носителем в S . Функция W имеет все непрерывные производные до второго порядка включительно и вместе со своими производными обращается в 0 на поверхности параболоида V{x). Пусть f(x) — правая часть уравнения (1.2.1) — тождественно равна 0. Тогда Здесь через /о и /і обозначены соответственно первое и второе слагаемое в левой части (1.2.1). Рассмотрим функцию где p определено выше, у Є [0; 1]. Из определения функции ф следует, что справедливы следующие соотношения: Здесь и всюду далее Введем в рассмотрение функцию Из (1.2.3) и (1.2.6) с учетом соотношения (1.2.4) следует, что функция q удовлетворяет уравнению Лемма 1.1. Функция qo(x) может быть представлена в следующем виде: где весовая функция W\ непрерывна и выражается через функцию W и ее производные. Доказательство. Проинтегрируем функцию q(x, у) по у от 0 до 1. Из формул (1.2.4)-(1.2.6) следует, что Уравнение (1.2.9) является операторным уравнением Вольтерра 2-го рода (см. [53]) относительно функции и. Его регпение имеет вид: где W$ — непрерывная функция, выражающаяся через функцию W и ее производные. Используя выражение для возмущения /і, т.е. второго слагаемого в левой части уравнения (1.2.1), получаем По нашему предположению, весовая функция W вместе со своими производными обращается в 0 на параболоидах V{x). Из определения функции qo(x) (см. (1.2.8)) и (1.2.10) вытекает, что где функция W\ зависит только от функции W и ее производных. Лемма 1.1 доказана. 1.3. Вспомогательные утверждения В этом параграфе приведем формулировки и доказательства лемм, которые будут использоваться при доказательстве основного результата главы — теоремы единственности решения задачи интегральной геометрии с возмущением в трехмерном слое. Введем следующие обозначения: В пространстве переменных (#3? 2/) рассмотрим полуполосу и условию Здесь до и 9i определяются формулами (1.3.2) и (1.3.3) соответственно.

При фиксированных (АьАг) рассмотрим для функции Q задачу Коши (1.3.4), (1.3.5). Лемма 1.2. Функция q может быть продолжена из R2 х 1 ва всю область R2 х ІЇ как решение задачи Коши (1.3.4), (1.3.5). Доказательство. Решение задачи Коши (1.3.4), (1.3.5) имеет вид где JQ и J\ — функции Бесселя нулевого и первого порядков соответственно. Действительно, непосредственной подстановкой в уравнение (1.3.4) нетрудно убедиться, что функция Q, определенная формулой (1.3.6), удовлетворяет этому уравнению. Далее, легко показать, что задача Коши (1.3.5) для эволюционного уравнения (1.3.4) равномерно корректна, и в силу этого ее решение единственно (см. [42]). Применим к обеим частям уравнения (1.2.7) преобразование Фурье по (х\,Х2). Исходя из известных свойств преобразования Фурье, заключаем, что функция q удовлетворяет уравнению дх3 "" 4 0 Таким образом, Из (1.3.7) следует справедливость утверждения леммы. Пусть параметр Ъ 0. Рассмотрим функции Доказательство. Справедливость утверждения леммы вытекает из (1.3.4) и (1.3.8). Введем следующие обозначения: Рассмотрим первое слагаемое в разложении [L#(A, х3,у; Ь)]2. Поскольку и Є CQ(S), С ПОМОЩЬЮ интегрирования по частям легко по- казать, что после несложных, хотя и довольно громоздких преобразований убеждаемся в справедливости утверждения леммы. Аналогично можно показать, что справедлива Лемма 1.5. Имеет место равенство Как следует из условий теоремы и леммы 1.2, при фиксированных А, #з и Ь функцию можно рассматривать как элемент гильбертова пространства % функций, определенных на полуоси 0 у со, со скалярным произведением: легко видеть, что сопряженный оператор определяется следующим образом: Лемма 1.6. Пусть операторы I и I определяются формулами (1.3.16) и (1.3.17) соответственно. Тогда справедливо соотношение Доказательство: Лемма 1.6 доказывается аналогично доказательству леммы 3 из [48]. Действуя по изложенной там схеме, при фиксированных Л, х$ и Ь подействуем на д сначала интегральным оператором J, а затем сопряженным к нему. Из (1.3.15)-(1.3.17) имеем

Единственность решения задачи на плоскости

Изучается задача восстановления функции в полосе по известным интегралам от нее с заданной весовой функцией вдоль кривых. Кри вые, по которым ведется интегрирование, однозначно параметризу ются координатами своих вершин. Рассматриваемая задача относит ся к вольтерровскому типу и имеет достаточно общий вид. В отли чие от указанных во введении работ [4, 23, 67], на кривые семейства и весовую функцию не накладываются ограничения типа инвариант ности относительно группы всех движений плоскости вдоль фикси рованной прямой или аналитичности (кусочной аналитичности) по каким-либо из переменных или параметров задачи. Кривые семей ства предполагаются строго выпуклыми вверх и имеют конечную «і гладкость, весовая функция положительна, отделена от нуля и также имеет конечную гладкость по всем переменным. Описана процедура приведения задачи интегральной геометрии на плоскости к каноническому виду. Доказана теорема единственности решения задачи общего вида в классе трижды непрерывно дифференцируемых функций с носителем в полосе. Далее рассматривается аналогичная постановка задачи интегральной геометрии в трехмерном слое. Здесь также получена теорема единственности ее решения. 2.1. Постановка задачи интегральной геометрии вольтерровского типа на плоскости. Канонический вид Введем обозначения: = ( ъСг)? х — {x\ix2)\ Рассмотрим семейство кривых {Г(х)} в полосе L, произвольная кривая семейства Т(х) определяется уравнением где hi = hi(x), hi = h2(x). Точка x является вершиной кривой Г(#), т.е. V 6 Г(#) \ фх выполняется условие & = Ф{ХЛ\) х2, Задача II. 1. Восстановить функцию двух переменных и(х), если известны интегралы от нее с заданной весовой функцией р(х,і) на кривых семейства {Г(я)}: Следуя идее М.М. Лаврентьева, опишем процедуру приведения задачи интегральной геометрии II. 1 к каноническому виду. Теорема 2.1. Пусть функция f{x) — правая часть уравнения (2.1.1) — известна для всех х из полосы L; функции р Є С6, ф Є С7 и удовлетворяют условиям: Тогда исходную задачу интегральной геометрии можно привести к следующему виду: и функция WQ(,X2) — непрерывна. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что произвольная кривая семейства {Г(ж)} симметрична относительно прямой, проходящей через вершину кривой х перпендикулярно оси ОХ\, весовая функция р(х,\) также удовлетворяет этому условию. Нетрудно проверить, что все приведенные ниже выкладки остаются верными и без этих ограничений. Уравнение (2.1.1) можно записать в следующем виде: Из условий, которым удовлетворяют функции , ф, вытекает, что верно следующее представление: где tpo, до — положительные функции, отделенные от 0, и имеющие такие же порядки гладкости, как и функции р, ф соответственно.

Введем функцию и применим к обеим частям уравнения (2.1.3) оператор интегрирования по х\ с бесконечными пределами и весом к{х)\ Сходимость интегралов в (2.1.7) вытекает из финитности и, гладкости функций и и д и определения функции к. Далее в подобных случаях очевидные рассуждения приводить не будем. В первом интеграле правой части (2.1.7) сделаем замену Равенство (2.1.8) определяет взаимно-однозначное соответствие между переменными жі и 1. Разрешим его относительно Х\ . Аналогично, сделав во втором интеграле замену 6 = х\ + (р(х,2)- получим: Как следует из (2.1.7), (2.1.9) и (2.1.10), функция может быть представлена в виде Как вытекает из (2.1.4)-(2.1.6) и (2.1.12), функция Gi(,X2) имеет вид: где функция GioK,x2) — гладкая, т.е. Gw(,x2) Є C6(L); Таким образом, мы получили операторное уравнение типа Воль-терра 1-го рода (см. [53]) с весовой функцией, имеющей интегрируемую особенность. Применяя оператор дробного дифференцирования порядка 1/2, рассмотрим функцию: Проделав несложные преобразования, получим: Здесь функция G2, как и функция G\, имеет вид у/х2 - 6 где функция G2Q также достаточно гладкая. Рассмотрим функции а также Как вытекает из (2.1.13)-(2.1.15), функция F4(x2) имеет вид где функция 7з(,#2) — гладкая. Проделав эту операцию еще один раз, получим: и функция Сг4о(, #2) также гладкая. Из условий, наложенных на весовую функцию р и функцию гр, описывающую структуру кривой, вытекает, что функция Gio в окрестности плоскости х2 — 2 непрерывно дифференцируема по переменной Р = Vx2 — 2 до шестого порядка включительно и, следовательно, может быть представлена в виде где Уб(,х2) — непрерывна.

Таким образом, отправляясь от исходной задачи интегральной геометрии и продолжая описанную выше процедуру, можно получить функцию и функция Wo(,x2) — непрерывна. Замечание 2.1. Как следует из приведенного доказательства, при р Є С8, ф Є С9 можно привести исходную задачу интегральной геометрии II. 1 к виду (2.1.16) с весовой функцией, выражающейся по формуле (2.1.17), где функция WQ(,X2) будет уже из класса С3. 2.2. Единственность решения задачи на плоскости В полосе L рассмотрим определенное в первом параграфе главы семейство кривых {Г(х)}. По-прежнему будем считать, что произвольная кривая семейства Г(х) определяется уравнением где h\ = hi(х), hi = h2(x). Точка х является вершиной кривой Т(х). Будем предполагать, что выполняется следующее существенное Условие А. Для любого х из L и любого угла а Є [с і,а2] (— 7г/2 «і 0 с 2 п/2) существует единственная кривая семейства Т(х), проходящая через точку х под углом а с осью OXi. Предположим также, что произвольная кривая семейства симме- трична относительно прямой, проходящей через вершину кривой пер пендикулярно оси OXi. При этих предположениях исследуем задачу II. 1, то есть задачу восстановления функции двух переменных и(х) по известным интегралы от нее с заданной весовой функцией р(#,і) на кривых семейства {Г(ж)}:

Задача интегральной геометрии вольтерровского типа на плоскости и задача Радона с ограниченным диапа зоном углов и возмущением

Применив преобразования Фурье-Лапласа к (2.3.4), аналогично предыдущему параграфу заключаем, что задача интегральной геометрии вольтерровского типа общего вида II.2 и задача интегральной геометрии 1.2 в трехмерном слое на семействе параболидов с возмущением переходят друг в друга путем интегральных преобразований с помощью аналитических функций. Отсюда следует, что весовая функция во втором слагаемом из левой части последнего уравнения достаточно гладкая и вместе со своими производными до второго порядка включительно обращается в 0 на параболоидах V(x0). Таким образом, мы попадаем в условия теоремы 1.2, откуда следует единственность решения исходной задачи интегральной геометрии Замечание 2.3. Как указано в параграфе 1.1, сильная неустойчивость задачи 1.1 вытекает из явного вида формулы обращения. Соответствующая задача интегральной геометрии с возмущением будет, вообще говоря, также сильно неустойчивой. То же самое следует из полученных результатов для задачи интегральной геометрии вольтерровского типа II.2. Тем не менее не только в полупространстве R+, но и в трехмерном слое можно, по-видимому, подобрать разрывные весовые функции специального вида таким образом, чтобы решение задачи было устойчивым в пространствах, в определении нормы которых участвует конечное число производных. Изучается задача обращения преобразования Радона на плоскости с ограниченным диапазоном углов и возмущением. Доказана теорема единственности ее репіения. Подобные операторные уравнения при других ограничениях на ядро возмущения рассматривались в работах [45, 49]. Рассматривается также плоская задача интегральной геометрии вольтерровского типа общего вида. Получены условия, при которых вопрос о единственности решения задачи интегральной геометрии "в малом" сводится к исследованию единственности решения операторного уравнения типа задачи Радона с возмущением. Иследована аналогичная постановки задачи Радона с ограниченным диапазоном углов и возмущением в трехмерном пространстве. Получена теорема единственности ее решения. При этом возникают особые многомерные сингулярные уравнения с возмущением, названные в работе по аналогии с бисингулярными интегральными уравнениями (см. [46]) полисингулярными.

Отметим, что, в отличие от плоского случая, задача решения этих уравнений может быть как сильно, так и слабо неустойчивыми. Доказаны теоремы единственности, а также существования решения подобных уравнений. 3.1. Постановка задачи Радона с ограниченным диапазоном углов и возмущением на плоскости Введем обозначения: 1{х,а) — прямая, проходящая через точку х Є L под углом а к оси ОХъ а Є Л, Л С [0; тг]. Задача ІІІ.1. В полосе L рассмотрим операторное уравнение относительно функции v Отметим, что подобные операторные уравнения рассматривались в работах М. М. Лаврентьева и А. Л. Бухгейма [45, 49]. Нами получена теорема единственности решения уравнения (3.1.1) при других ограничениях, накладываемых на весовую функцию возмущения. Легко заметить, что первое слагаемое в левой части уравнения (3.1.1) удовлетворяет диференциальному уравнению 1-го порядка 3.2. Задача интегральной геометрии вольтерровского типа на плоскости и задача Радона с ограниченным диапазоном углов и возмущением Пусть Рассмотрим семейство кривых {Г(:г)} в R/j_, кривая семейства Г(х) определяется уравнением Рассмотрим задачу восстановления функции двух переменных и(х), если известны интегралы от нее с заданной весовой функцией р{х,і) по кривым семейства {Г(а:)}, т. е. задачу решения операторного уравнения относительно функции и(х): га — единичный вектор нормали к прямой 1(х,а) в точке х, Н(х, а) — полуплоскость, ограниченная прямой /(#, а) и содержащая вектор т. Теорема 3.1. Пусть функция f(x) — правая часть уравнения (3.2.1) — известна для всех х яз полосы Lh , функции риф дважды непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условиям: Тогда: 1) Уравнение (3.2.1) может быть приведено к виду где функция В непрерывно дифференцируема по всем переменным; 2) Единственность решения уравнения (3.2.5) в классе Cg(Lft) влечет за собой единственность решения уравнения (3.2.1) в том же классе. Доказательство: Как вытекает из постановки задачи и (3.2.2)-(3.2.4), кривые семейства удовлетворяют следующим условиям: a) они однозначно параметризуются с помощью своих вершин х; b) гладко заполняют полосу L/,; c) любая кривая семейства {Г(х)} может быть продолжена в Rl = {х — (х\,х2) : Х2 0} с сохранением гладкости; d) для любой кривой семейства {Г(а:)} и любой ее точки угол, который образует касательная к кривой Г(х) в точке с положительным направлением оси 0Х\, принадлежит множеству Л — {а : -7г/2 а\ а а2 7г/2 }.

Очевидно также, что ф{х,і) х2, & фхх и найдутся гладкие функции q\ = q\(x),q2 = q2(x) такие, что ф(х, xi - qi) = ф(х, Xi + q2) = 0. Тогда уравнение (3.2.1) можно представить в виде В уравнениии (3.2.6) х\—фі(х, 2) есть обратная функция к функции Ф{хіі) по переменной і при фиксированных (хі,х2)1 если і Є [#і — qi,xi). Аналогично 1 + 2( , 2) есть обратная функция к функции ift(x,{) при фиксированных (#1,2 ), если і Є {хі,х\ + 92]- Ясно, что фі(х,х2) = ф2(х,х2) 0. Как следует из отмеченных выше условий, где А; = 1,2; (ж, ) и 0 (#,2) — гладкие функции, отделенные от нуля. Рассмотрим угол с , который касательная к кривой Т(х) в некоторой ее точке у образует с положительным направлением оси ОХ\. Как отмечено выше, Легко видеть, что При фиксированных (xi,#2) каждому значению у2 из промежутка [0; Х2) отвечают два значения аг, соответствующие левой и правой частям кривой Г(х) . Далее подробно рассмотрим только одно из этих значений, отвечающее, например, левой части кривой. Это равносильно дополнительному условию а Є (0;о2]. Для or, отвечающего правой части кривой Т(х), будут кратко отмечаться необходимые изменения в ходе доказательства.

Совместное восстановление двух поверхностей

В настоящей главе изучается задача восстановления поверхностей, опирающихся на заданную плоскость, по контурам их теней. Эта задача, как отмечено во введении, является задачей геометрической томографии [31, 92, 112, 113]. Последняя же, как отмечено в [112], имеет многочисленные связи с интегральной геометрией, в том числе с задачей Радона. Вводятся понятия оптической проекции точки поверхности, а также контуров теней, отвечающих перпендикулярным и оптическим проекциям. Приведены необходимые и достаточные условия однозначного восстановления плоской кривой по полному набору оптических и перпендикулярных проекций ее точек. Получен результат по единственности решения задачи в случае гладкой поверхности типа шапки. Доказана теорема единственности решения задачи одновременного восстановления двух непересекающихся кусочно-гладких поверхностей типа шапки по полному набору их теней. 4.1. Постановка задачи и вспомогательные утверждения. Восстановление поверхности типа шапки Пусть векторы а(а) лежат в плоскости x i = 0 и образуют угол а с положительным направлением оси ОХ і, а Є [—тг; 0]. Зададим систему ориентированных прямых {/"} следующим образом: 1) при любом г = (г\,Г2) направление прямой /" совпадает с направлением вектора а (а); 2) при любом а Є [—7г; 0] прямые {/"} заполняют все пространство 3) при а Є (—7г;0) прямая /" проходит через точку (гі,Г2,0), а при а = — 7г или а = 0 — через точку (0, п, гг). Множество {/г(/?)} С {/"} состоит из всех прямых вида / , где /З Є [—7г; 0] фиксировано, г Є Поверхностью типа шапки назовем строго выпуклую поверхность, которая пересекается с любой прямой, перпендикулярной плоскости #з = 0, не более чем в одной точке. Рассмотрим гладкую поверхность Н типа шапки, лежащую в R-+ = {х Є R3 : хз 0} и опирающуюся на плоскость х$ = 0. Подчеркнем, что всюду в работе под гладкостью будем понимать принадлежность классу С1. Обозначим: — некоторая точка поверхности Н, Т() — касательная плоскость к поверхности Н в этой точке, /() — плоскость, проходящая через точку параллельно плоскости Введем направления "+" и "-" на прямой /() = Т() П /() и обозначим через Т (Н) множество {/_;/+}.

Пусть Тогда прямую 1@ назовем (і-касательной к поверхности Я в точке . Угол (3 и индекс q 6 Q С R2 однозначно определяются заданием точки Я;(3 = f3(H,0;q = q(H,0-ОбраТНО, Существуют ОГі,ОГ2, — 7Г «і —7г/2 Qf2 R2, Q = ф(Я, /3) такие, что произвольная точка Є Я (за исключением точек, являющихся вершинами кривых вида ЯП/()) однозначно определяется заданием (3 и q: Легко видеть, что тогда /Зі = — тг, /32 = 0, точка является вершиной кривой ЯП/() и в этой точке существуют — тг-касательная и 0-касательная к поверхности Я. Наконец, пусть (3 6 (а а ). Тогда Итак, пусть прямая 1& является /3-касательной к поверхности Я в точке . Тогда точку назовем точкой касания прямой № с поверхностью Н; точку пересечения прямой № с плоскостью #з = О — оптической проекцией точки . Предположим, что при некотором фиксированном индекс q принимает все возможные значения из множества Кривую Sp{H) на поверхности Н, состоящую из точек касания прямых множества {lq(@)} с этой поверхностью, назовем {3-линией тени на поверхности Н. Очевидно, что при / — --71-,/ = 0 (3\- и (3%-линии тени на поверхности Н совпадают; при любых / ф / из (—7г; OL{\ U [с 2; 0) /Зі- и /#2- линии тени на поверхности Н имеют только две общие точки hi и 2, лежащие на плоскости х$ = 0. Теперь можно ввести определения контуров теней гладкой поверхности типа шапки. Рр(Н)-контур тени — кривая, образованная перпендикулярными проекциями точек кривой Sp{H) на плоскость х$ = 0. Lp(H)-контур тени — кривая, образованная оптическими проекциями точек кривой Sp(H). Задача IY.1. Восстановить поверхность Н по контурам теней. В плоском случае естественно говорить о восстановлении кривой по границам тени, то есть по оптическим и перпендикулярным проекциям точек этой кривой. Приведем вначале следующий пример. Пусть заданы функции Найти кривую Р, границы тени которой определяются функциями а(а) и 6(a). Покажем, что кривая Р восстанавливается единственным образом и представляет собой часть параболы х — с — х\, лежащую в полуплоскости Х2 0. Для этого рассмотрим семейство прямых где параметры а и Ь связаны соотношением Кривая Р является огибающей семейства прямых (4.1.3), (4.1.4) и совпадает с его дискриминантой (см. [34]).

Она может быть найдена как решение системы (4.1.5) которое существует и единственно. Исключая из (4.1.5) параметры а и Ь и учитывая условия на а, получаем: х2 = с х1; х\ [—у/с; \/с\. Легко проверить, что для любого а(а) и Ь(а), определенные в (4.1.1) и (4.1.2), являются соответственно перпендикулярной и оптической проекциями точки этой кривой, отвечающей углу а, то есть точки, ориентированная касательная к которой образует угол а; с положительным направлением оси ОХ\. Теперь рассмотрим более общую постановку. Кривой типа шапки на плоскости OX\X i назовем строго выпуклую кривую, которая пересекается с любой прямой, перпендикулярной оси ОХ\ , не более чем в одной точке. Обозначим через p(ct) перпендикулярную, а через ф(а) оптическую проекцию точки кривой, в которой ориентированная касательная к кривой образует угол а с положительным направлением оси ОХ і; Предложение 4.1. Пусть Г Є С1 — кривая типа шапки на плоскости, опирающаяся на ось ОХ\. Тогда для любого a Є Л выполняется следующее условие согласования Доказательство: Запишем уравнение касательной 1(a) к кривой Г, проходящей через точку (ф(а);0): Дифференцируя (4.1.7) поаи учитывая, что получившееся выражение имеет место для всех (хі;хг) Є /(»), приходим к требуемому соотношению между р(а) и ф(а). Предложение доказано.

Похожие диссертации на Задачи интегральной геометрии вольтерровского типа и преобразование Радона

Методы преобразований уравнений типа Гаусса и Штурма-ЛиувилляКормилицына, Татьяна Владимировна

Формулы обращения преобразования Киприянова-Радона и аналоги теоремы типа Планшереля и теоремы о носителеГоц Екатерина Григорьевна

Применения преобразования радона к аппроксимационным задачам многомерного комплексного анализаСекерин, Алексей Борисович

Асимптотические методы в некоторых задачах математической физики, связанных с уравнениями типа sin-Гордона и геометрией псевдосферических поверхностей Маевский Евгений Валерьевич

Преобразование Радона аналитических функцийЛомакин Денис Евгеньевич

Восстановление функций по неточно заданному преобразованию Радона и неравенства для норм некоторых операторовБаграмян, Тигран Эммануилович

Сходимость мер и преобразование Радона в бесконечномерных пространствахЛукинцова Мария Николаевна

Оптические методы спектрального анализа изображений, основанные на преобразовании РадонаАсланян, Гарик Оганезович

Преобразование Радона-Киприянова сферически симметричных функцийПопова, Ольга Игоревна

Некоторые задачи геометрии в целом для замкнутых невыпуклых поверхностей с биективным сферическим отображениемМендель, Виктор Васильевич