Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Исследование специального преобразования Радона, приспособленного для работы с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя и с функциями из весовых лебеговских классов, было инициировано И.А.Киприяновым. Первое упоминание о подобном преобразовании содержала одна из его работ (совместная с В.И.Кононенко) 1969 года, где только полагалось, что в задачах с осевой сферической симметрией существует аналог преобразования Радона.
Только в 1997 г. И.А.Киприяновым и Л.Н.Ляховым в статье, опубликованной в ДАН, было дано определение специального преобразования Радона, которое называлось „специальным" и могло применяться при исследовании сингулярных дифференциальных уравнений и весовых функциональных классов. В дальнейшем этот вид преобразования Радона получил название „преобразование Радона-Киприянова". Далее, сокращая, преобразование Радона-Киприянова будем называть Ky-преобразованием. Первые формулы обращения Ky-преобразования получены Л.Н.Ляховым на основе теории В-потенциалов и В-гиперсингулярных интегралов. Им же получены формулы представления преобразования Радона радиальных и частично радиальных (т.е. по части переменных) функций в виде ^-преобразования. Оказалось, что введенное И.А.Киприяновым и Л.Н.Ляховым Ky-преобразование лишь для случая, когда число Y натуральное, представляет собой (с точностью до соответствующего нормирующего коэффициента) классическое преобразование Радона радиальных или осе- симметрических функций. В случае 0 < y < 2 Ky-преобразование радиальной функции снова оказывается преобразованием Радона-Киприянова функций одной переменной, но с другим индексом, равным n + Y — 1, где n — размерность области определения функции (Л.Н.Ляхов, 2007). Обнаружено, что индекс Ky-преобразования ведет себя как размерность евклидова пространства, где задана функция, хотя может быть числом дробным. Отметим, что по своей сути преобразование Радона (классическое) не определено для функций одного переменного, а вот Ky-преобразование одномерных функций — просто частный случай общего определения Ky-преобразования. Это вызывает интерес к исследованиям Ky-преобразования функции одного переменного, поскольку к нему сводится преобразования Радона и Радона- Киприянова (при произвольных Y > 0) радиальных и осесимметрических функций. Кроме того, известно еще из работ Ф. Джона, что преобразование Радона является очень тонким и продуктивным инструментом исследования уравнений с частными производными. И.М.Гельфанд, М.И. Граев и Н.Я.Виленкин в известной монографии (5-й выпуск „обобщенные функции" ) ввели научное направление, названное „интегральной геометрией", где впервые дали описание образов, ядер и формул обращения для интегралов по подмногообразиям (простой природы) гладких многообразий. Подходы к исследованиям проблем метематики и компьютерной томографии, использующие преобразование Радона, развивались такими известными и выдающимися математиками, как В.Я.Арсенин, Ф.А.Березин, С.Г. Гинди- кин, С.Хелгасон, А.А.Кирилов, М.А.Наймарк, Ф. Наттерер, А.Н.Тихонов, В.П.Паламодов и многие другие. Ясно, что задачи естествознания, содержащие элементы сферической симметрии сводятся к исследованию дифференциальных уравнений, содержащих сингулярные дифференциальные операторы Бесселя. А к исследованию последних и могут, и должны применятся Ky-преобразования. Поэтому исследования Ky-преобразований функций с элементами сферической симметрией является актуальной задачей.
Хорошо известно, что формулы обращения преобразования Радона лежат в основе компьютерной томографии. Но тогда формулы обращения одномерного Ky-преобразования могут оказаться востребованными при создания компьютерных программ для исследования радиальных и осесим- метрических задач естествознания и, что еще более интересно, для работы с функциями, которые, по каким-то признакам, могут считаться радиальными или осесимметрическими, заданными во фрактальных множествах с размерностью n + y, Y > 0. Следовательно, естественно ожидать, что рассматриваемое в диссертации научное направление найдет применение в задачах компьютерной томографии фрактальных сред. Это вновь показывает актуальность и перспективность темы исследования диссертации.
Цель работы. Изучить преобразование Радона-Киприянова сферически симметричных функций, установить связь с классическим преобразованием Радона радиальных и осесимметрических функций, получить формулы обращения ^-преобразования функций одной переменной для произвольного Y > 0, установить формулу Ky-преобразования и его обращения сферических средних функций, порожденных обобщенным сдвигом, исследовать Ky-преобразование в весовых функциональных классах Лебега и Соболева-Киприянова.
Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах научной школы И.А.Киприянова при исследовании задач сингулярных дифференциальных уравнений в весовых функциональных пространствах.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.
-
Получена формула связи преобразования Радона и Ky-преобразования радиальных функций с одномерным преобразованием Радона-Киприянова порядка д = n + Y — 1 и формула, представляющая Ky-преобразование в виде дробного интеграла Римана-Лиувилля. Получена таблица Ky- преобразования элементарных функций и элементарных функций от радиальной переменной в евклидовом n-мерном пространстве (при целых значениях пераметра Y эта таблица трансформируется в таблицу преобразования Радона элементарных функций от радиальной переменной). Получены формула обращения преобразования Радона-Киприянова функции одной переменной при Y > 2.
-
Исследовано сферическое среднее радиальной или частично радиальной функции и сферические средние функций, порожденные обобщенным сдвигом. Найдена формула Ky-преобразования весового сферического среднего, порожденного обобщенным сдвигом. На основе этой формулы получены соотношения типа классических соотношений Асгейрссона сферических средних.
-
Доказаны теоремы о непрерывности преобразования Радона- Киприянова функций с конечным носителем, принадлежащим полушару Q+ = {\x\ < R}, как оператора из весового лебеговского класса Ll2(Q+) в пространство функций L2(—R,R; р), со специальным сингулярным весом р = (1 — S ) 2 .
-
Введены весовые пространства функций, заданных на полуцилиндре Z = S+ х Ri, построенных по типу пространств Соболева-Наттерера- Смита. В нормах этого пространства получены оценки образов Ky- преобразования функций с финитным носителем через обычные нормы Соболева-Киприянова в образах смешанного преобразования Фурье- Бесселя этих функций. Доказана эквивалентность соответствующих норм.
Практическая значимость и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и устанавливает важные формулы связи весового интегрального преобразования сферически симметричных функций с классическими интегральными преобразованиями. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении задач томографии, обработки изображений, математической физики с центральной и осевыми симметриями, в задачах теории функций и функционального анализа.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» в г. Белгород в 2011 г., в Воронежской весенней математическое школе в 2012 г., на Международном научном семинаре «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» в г. Минск в 2012 г., на Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» в г. Воронеж в 2012 г., на четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д.Кудрявцева в г. Москва в 2013 г.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1] — [9]. Работы [1], [2], [3], [4] написаны совместно с Л.Н. Ляховым, которому принадлежит постановка задач. Доказательства всех результатов получены автором. Работы [1], [2] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка цитируемой литературы, включающего 55 наименований. Общий объем диссертации 120 стр.
