Введение к работе
Актуальность темы. В заглавие диссертации вынесено название одного из основных аналитических методов глобальной дифференциальной геометрии. Этот метод является общим для доказательства vanising theorems, в которых констатируется обращение в нуль некоторых топологических или геометрических инвариантов ( таких, как числа Бетти или размерность векторного пространства Киплинга ) на замкнутом ( то есть компактном без границы ) рнмановом многообразии при определённых ограничениях на его кривизну. В основе метода лежит вывод "формул Вейценбёка" (см. [ 2, с. 77 - 83 ] ), сравнивающих лапласианы па тензорных полях. Впервые такие формулы были получены С. Бохнером ( см. [ 15 ]) для гармонических векторных полей и дифференциальных форм с целью найти условия на .кривизну замкнутого риманова многообразия, препятствующие их существованию и, как следствие этого, гарантирующих обращение в нуль чисел Бетти.
В каждом из трёх ( см. [ 18 ]; [ 24 ] и [ 33 ] ) опубликованных обзоров работ, выполненных с использованием "техники Бохнера", список литературы превышал 70 единиц. "Технике" посвящены монографин К. Яно и С. Бохнера [ 15 ], Б. Шифмана и А. Соммеса [ 31 ], К. Яно [ 35 ], а также отдельные главы и параграфы в монографиях А. Бессе [ 2 ] и [ 3 ], Ш. Кобаяси [ 5 ], Ш. Кобаяси и К. Номндзу [ 6 ], К. Морена [ 10 ], К. Яно [ 37 ] и других авторов.
Исследования с использованием "техники Бохнер~а~* ведутся постоянно и подтверждением этому могут служить столь разноплановые, но объединённые одним методом работы последних лет [ 17 ]; [ 21 ]; [ 32 ] и [ 34 ].
Подчёркивая современное значение "техники Бохнера", известный американский математик X. By в предисловии к своему обзору [ 33 ] писал: "By now this technique has achived the status of being part of the basic vocabulary of every geometer".
К сожалению, отечественная научная литература содержит буквально единицы статей, выполненных с использованием классической "техники Бохнера", и при этом вообще отсутствуют работы, направленные на её развитие.
Степень разработанности темы. Анализ опубликованных к настоящему времени работ зарубежных авторов, которые выполнены с использованием "техники Бохнера", позволяет выделить три особенности в получении результатов.
Во-первых, задача применения "техники Бохнера" всегда решалась персонифицированно: для каждого изучаемого объекта выводилась своя формула Вейценбёка, и
лишь затем повторялись предписываемые "техникой" шаги. Это очевидно ограничивало возможности её использования.
Однако при первой же попытке самого автора вывести "универсальную" формулу Вейценбёка для исследования внешних дифференциальных форм был обобщён остававшийся неизменным с 1968 года результат Т. Кашнвады ( см. [ 23 ]). Дальнейшие наши исследования глобальной геометрии дифференциальных и симметрических форм, рнмшювых структур почти произведения и отображений римаиовых многообразии привели к многочисленным новым результатам и обобщениям уже известных к этому времени фактов теории и тем самым подтвердили правильность выбранного метода.
Во-вторых, "техника Бохнера" применялась до последнего временя для исследования объектов на замкнутых и компактных с краем римановых многообразиях ( см. об этом [ 33 ] и [ 35 ] ), vi только недавно наметилась тенденция к расширению области применения "техники" за счёт переноса уже известных результатов на комплексные, полные рнмановые и лоренцевые многообразия ( см., например, [ 16 ]; ( 31 ] и [ 32 ]).
К этому ряду статей относятся работы и самого автора, в которых разрабатывается "аффинный аналог" техники Бохнера'с последующим приложением его к глобальной лоренцевой геометрии.
В-третьих, несмотря на предпринятые усилия по расширению области применения "техники Бохнера", она продолжает обслуживать внутренние потребности дифференциальной геометрии. При этом за рамками исследований остаются многочисленные задачи смежных наук.
К исключениям можно отнести классическую теорему С. Бохнера об обращении в нуль чисел Бетти на замкнутом римановом многообразии; теорему К. Яно ( см. [ 35 ]), распространяіошую результат С. Бохнера на компактные римановы многообразия с краем, и две работы [ 19 ] и [ 25 ] физического плана, в которых из полученного К. Яно ещё в 1952 году интегрального уравнения ( см. [ 15, с. 44 - 45 ]) выводятся простые следствия для гармонических и киллинговых векторных полей на замкнутых псевдорнмано-вых многообразиях.
В отличие от перечисленных в работах автора "техника Бохнера" используется в общей теория относительности для описания динамики релятивистской жидкости и геометрий ( 3 + 1 ) - расщепленного пространства-времени.
Целью диссертационной работы является выработка метода, основанного на теории представлений групп и дифференциальных операторов, позволяющего выводить формулы Вейценбёка в общем виде, пригодном к одновременному изучению "в целом" различных сечеиий наперёд заданного тензорного расслоения над компактными
многообразием с линейной связностью и ( псевдо ) римановым многообразием.
Кроме решения основной проблемы в диссертации даны приложения нового метода и полученных с его помощью формул ВеГщенбёка для описания локальной и глобальной геометрий
-
пространств сечении касательного расслоения, расслоений внешних дифференциальных и симметрических форм над многообразием с линейной связностью или ( псевдо) римановым многообразием,
-
структур почти произведения и ( псевдо ) римановых структур почти произведения,
c) отображений и, в частности, субмерсий римановых многообразий,
а также для изучения следующих объектов релятивистской физики:
-
уравнений Эйнштейна и Максвелла,
-
тензоров энергии импульса и электромагнитных колебаний в орентирован-ном во времени пространстве-времени,
-
динамики релятивистской жидкости,
-
геометрии (3+1 )-расщеплення пространства-времени.
Методика исследований опирается на теорию представлений групп, теорию дифференциальных операторов и включает в себя классическую "технику Бохнера".
Научная понизил работы. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми, обобщающими и дополняющими ставшими уже фактами теории результаты К. Яно и С. Бохлера, К. Номидзу и Ш. Исихары, Н. С. Сингокова и Е. Н. Сингоковой, Т. Кашивады, Ж. - П. Бургиньона, А. Навейры и других.
В частности, в работе
-
введено понятие фундаментального дифференциального оператора первого порядка на пространстве сечении тензорного расслоения над m-мерным многообразием М с линейной связностью V и ( псевдо ) римановым многообразием М; найдены все такие операторы на пространствах сечений касательного расслоения ТМ, расслоений внешних дифференциальных Л^М и симметрігческих SpM р-фэрм ( 1 р m );
-
дана геометрическаяинтерпретация ядра каждого из найденных фундаментальных дифференциальных операторов, что позволило
-
выработать единый подход к изучению внешних дифференциальных и симметрических форм, провести их частичную классификацию и изучить геометрию каждого класса, что существенно пополнило теорию новыми фактами,
-
провести частичную классификацию уравнений Эйнштейна, указав для боль-
шинства выделенных классов уравнении их решения, с) выделить и изучить ранее неизвестный класс уравнений Максвелла релятивистской электродинамики;
-
выведен целый ряд "универсальных" формул Веценбёка для сечений расслоений ТМ, ЛрМ и SpM над m-мерныы с линейной связностью компактным многообразием М с краем и римановым компактным многообразием М с краем, которые связывают значения выделенных фундаментальных операторов на соответствующих сечениях, тензоры Венля и Риччи, скалярную кривизну многообразия со второй фундаментальной формой края многообразия;
-
с помощью полученных формул Вейцебёка не только обобщены но и существенно дополнены результаты С. Бохнера и К. Яно (см. [ 15 ] и [ 35 ]), Т. Кашивады ( см. [23]), М. Бержеи А. Грэя (см. [2 , с. 591; 613] ) и других (см., например, [ 18 ] и [33 ]) по глобальной геометрии векторных полей, дифференциальных и симметрических форм, чего нельзя было сделать с помощью "классической техники Бохнера";
-
на основе известной задачи теории представлений полной и ( псевдо ) ортогональной групп о разложении тензорного произведения представлений на неприводимые компоненты получены поточечно неприводимые разложения
-
ковариантной производной фундаментального тензора структуры почти произведения на многообразии с линейной связностью и (псевдо ) римано-вом многообразии,
-
определенной в диссертации второй фундаментальной формы субмерсии риманова многообразия,
-
тензоров энергии импульса и электромагнитного поля и ковариантной производной единичного поля скоростей релятивистской жидкости;
6) дана геометрическая интерпретация каждой из неприводимых компонент по
лученных разложений, что позволило
-
провести частичные классификации структур почти произведения и псевдо-римановых структур почти произведения, которые включили в себя известные классификации А.П. Нордена и A.M. Навейры (см. [ 11 ] и [ 26 ]), и существенно пополнить теорию таких структур новыми фактами;
-
выработать подходы к изучению и классификации субмерсии римановых многообразий, позволившие выделить новые виды субмерсии и описать их геометрию;
-
установить, что выведенные из физических соображений представления тензора энергии импульса и ковариантной производной единичного поля ско-
ростеіі релятивистской жидкости (см., например, [ 8, с. 58 J) являются следствием их поточечно неприводимого разложения; d) получить неизвестное ранее поточечно неприводимое разложение тензора электромагнитного поля заряженной релятивистской жидкости на "электрическую" и "магнитную" компонента; 7J на основании поточечно неприводимых разложений получены "универсальные" формулы Веішенбека на компактном ( псевдо ) римановом многообразии с краем, которые связывают
-
тензор кривизны многообразия и неприводимые компоненты разложений коварнантной производной фундаментального тензора римановой структуры почти произведения со скалярным произведением вектора Йордена структуры и единичного вектора нормали края многообразия;
-
тензор кривизны и неприводимые компоненты разложения второй фундаментальном формы субмерсни риманова многообразия;
c) тензор Рнччи и неприводимые компоненты разложения коварнантной про
изводной единичного поля скоростей релятлївнеткой жидкости со второй
фундаментальной формой края многообразия;
8) с помошыо полученных формул Вейцебёка не только обобщены, но и существенно дополнены результаты
-
A.M. Навепры и А.Н. Рокаморы (см. [ 27 ] и [ 29 ]), А. Ранжана (см. [ 30 ]), П. Вальчака ( см. [ 34 ]), П. Култона ( см. [ 20 ] ) и других по глобальной геометрии римановых структур почти произведения;
-
К. Яно и Ш. Исихары( см. { 36 ]), Т. Норе ( см. [ 28 J), Е. Н. Сишоковой (см. [ 13 )) и других по глобальной геометрии отображений римановых многообразий;
c) по динамике течения релятивистской жидкости и проблеме ( 3 + 1) - рмцеп-
лелия пространства - времени, выраженные в известных теоремах С. Хокин-
га (см. [ 12 , с. 164)), Г. Галовэйя (см. [22]) и других, чего нельзя было сде
лать с помощью "классической техники Бохнера".
Теоретическая и практическая значимость работы подчёркивается эффективностью разработанных методов и широким спектром их приложений, что и демонстрируется как в классической области применения "техники Бохнера" - геометрии векторных полей, симметрических и дифференциальных форм, так и в теории структур почти произведения, геометрии отображений римановых многообразий и в геометрической теории тяготения и релятивистской электродинамике.
Публикации. Основные результаты диссертации опубліжованьг в 29 статьях, одной коллективной монографии и 12 тезисах. Работы [ 35 ] - [ 42 ] выполнены в соавторстве, и их результаты принадлежат авторам в равной мере.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на IX Всесоюзной геометрической конференции ( г. Кишинёв,; 1988 г. ); Республиканской конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" ( г. Тарту, 1990 г.); III Всесоюзной школе "Понтрягиискне чтения: Оптимальное управление. Геометрия и анализ." ( г. Кемерово, 1990 г.); Международной конференции "Лобачевский и современная геометрия" ( г. Казань, 1992 г.); V Всесоюзной школе "Понтрягиискне чтения: Оптимальное управление. Геометрия и анализ" ( г. Воронеж, 1994 г. ); Всероссийской школе - коллоквиуме "Стохастические методы геометрии и анализа" ( г. Абрау - Дюр-со, 1994 г. ); Международном геометрическом семинаре "Современная геометрия и её приложения", посвященном 100 - летию со дня рождения П.А. Широкова ( г. Казань, 1995 г. ); VII Международной школе - семинаре "Современные проблемы теоретической и математической физики" ( Казань, 1995 г. ); Международной геометрической школе - семинаре памяти Н.В. Ефимова ( г. Абрау - Дюрсо, 1996 г. ); Международных геометрических семинарах имени Н. И. Лобачевского "Современная геометрия и теория физических полей" ( г. Казань, А - б февраля 1997 г.) и "Проблемы современной геомет-рии"( г. Казань, 2 - 5 декабря 1997 г. ). Тезисы доклада были представлены Международной конференции по дифференциальной геометрии ( Будапешт, 1996 г.) и опублико-зан в её трудах.
Основные результаты диссертации'неоднократно докладывались и обсуждались іа семинарах : по векторному и тензорному анализу в МГУ ( рук. акад. РАН А.Т. Фо-ленко ); по геометрии "в целом" в МГУ ( рук. проф. Э.Г. Позняк, проф. Е.В. Шнкин и іроф. И.Х. Сабитов ); кафедры геометрии КГУ ( рук. проф. Б.Н. Шапуков ); по геомет-)ии в МИСиС ( рук. проф. М.А. Акивис); кафедры геометрии ХГУ ( рук. проф. Ю.А. Vmhhob ); кафедры гео метрии МПГУ ( рук. проф. В.Т. Базылев и проф. В. Ф. Клрнчен-:о ); по дифференциальным уравнениям в ВлГПУ ( рук. проф. В.В. Жиков ).
Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, четырёх глав, писка литературы, содержащего 126 наименований, и занимает 289 страниц машино-[исного текста.
