Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Дискретный математический анализ в конечных метрических пространствах 5
1.1. Нечеткие сравнения 5
1.1.1. Нечеткие сравнения действительных чисел 5
1.1.2. Нечеткие сравнения точечных масс 12
1.1.3. Нечеткие сравнения взвешенных подмножеств действительных чисел 16
1.2. Меры близости в конечных метрических пространствах 20
1.2.1. Близость точек в конечном метрическом пространстве 21
1.2.2. Близость точки к подмножеству в конечном метрическом пространстве 27
1.2.3. Стационарный предел в конечном метрическом пространстве 30
1.2.4. Плотность в конечном метрическом пространстве 35
1.2.5. Непрерывность отображений конечных метрических пространств 35
1.3. Выводы 38
Глава 2. Выделение плотных областей в конечных метрических пространствах 39
2.1. Основы в конечных метрических пространствах 39
2.1.1. Локализация в конечном метрическом пространстве 39
2.1.2. Алгоритм «Выбор основ» 40
2.2 Кристаллизация в конечных метрических пространствах 41
2.2.1. Алгоритм «Глобальный Кристалл» 41
2.2.2. Алгоритм «Локальный Кристалл» 47
2.3. Кластеризация в конечных метрических пространствах 58
2.3.1. Алгоритм «Глобальный Роден» 60
2.3.2. Алгоритм «Локальный Роден» 66
2.3.3. Алгоритм «Нечеткий жесткий Роден» 72
2.3.4. Алгоритм «Нечеткий мягкий Роден» 74
2.4. Трассирование в конечных метрических пространства 84
2.5. Выводы 88
Глава 3. Дискретный математический анализ временных рядов 89
3.1. Гладкие временные ряды 89
3.1.1. Построение гладких временных рядов: алгоритм «Равновесие» 89
3.1.2. Прогнозирование гладких временных рядов: алгоритм «Прогноз» 104
3.2. Аномалии на временных рядах 114
3.2.1. Выпрямление временных рядов 114
3.2.2. Поиск аномалий на временных рядах: алгоритм DRAS 117
3.2.3. Поиск аномалий на временных рядах: алгоритм FLARS 124
3.3. Динамика временных рядов 130
3.3.1. Монотонность временных рядов 130
3.3.2. Иерархия монотонностей 133
3.3.3. Экстремумы временных рядов 142
3.3.4. Выпуклость временных рядов 144
3.4. Геометрические меры на временных рядах 145
3.4.1. Атомарные меры 145
3.4.2. Геометрия рельефа и нечеткая логика 147
3.5. Выводы 151
Глава 4. Геофизические приложения (ДМА) 152
4.1. Выделение плотных областей и кластеризация при поиске источников аномалий магнитного поля 152
4.1.1. Эйлерова деконволюция 152
4.1.2. Приложение алгоритма «Кристалл» к интерпретации магнитных аномалий в районе массива Ахаггар (Алжир) 161
4.1.3. Интерпретация магнитных аномалий залива Сен-Мало 183
4.2. Выделение высокочастотных аномалий на геоэлектрических и гравитационных временных рядах 189
4.2.1. Анализ записей естественного потенциала на вулкане Ла Фурнез 189
4.2.2. Обработка записей сверхпроводящих гравиметров 202
4.3. Выводы 211
Заключение 212
Литература
- Нечеткие сравнения взвешенных подмножеств действительных чисел
- Кристаллизация в конечных метрических пространствах
- Построение гладких временных рядов: алгоритм «Равновесие»
- Приложение алгоритма «Кристалл» к интерпретации магнитных аномалий в районе массива Ахаггар (Алжир)
Введение к работе
Актуальность работы. "Дискретный анализ - область математики, занимающаяся изучением свойств структур конечного характера. Дискретный анализ представляет собой важное направление в математике, имеющее характерные для него предмет исследования, методы и задачи, специфика которых обусловлена, в первую очередь, необходимостью отказа в дискретном анализе от основополагающих понятий классической математики -предела и непрерывности - и (в связи с этим) тем, что для многих задач дискретного анализа сильные средства классической математики оказываются, как правило, мало приемлемыми" (Мат. энциклопедия, 1979).
Если принять во внимание, что любые данные имеют дискретный характер, то актуальность дальнейшего развития анализа дискретных структур сомнений не вызывает.
Цель работы. Создание нового подхода к изучению многомерных массивов и временных рядов, основанного на моделировании предела в конечной ситуации и реализованного в серии алгоритмов под общим названием "Дискретный математический анализ".
Постановка конкретных задач. Цель работы определила постановку следующих задач:
• разработка алгоритмов поиска плотных областей в конечных метрических пространствах, в частности, кластеризации и трассирования в многомерных массивах;
• функциональный подход к временным рядам, включающий в себя:
? определение, построение и прогнозирование гладких временных рядов;
? поиск аномальных участков на произвольных временных рядах;
? определение понятий монотонности, экстремума, выпуклости и точки перегиба для временных рядов; разработка на их основе алгоритмов разбиения временного ряда на монотонные, выпуклые участки, а также поиска экстремумов и точек перегиба;
• морфологический анализ временных рядов на основе нечеткой логики;
• геофизическое приложение дискретного математического анализа (выделение плотных областей и кластеризация при поиске источников аномалий потенциальных полей, выделение аномалий на геоэлектрических и гравитационных временных рядах).
Методологическая основа исследования. Сформулируем принятую в работе концепцию дискретного математического анализа: отсутствие предела и непрерывности в конечной ситуации и более устойчивый по сравнению с математическим характер восприятия человеком дискретности и стохастичности делают необходимым то, что В.И.Кейлис-Борок называл моделированием "на глаз" (Выч. сейсм., 1968): решает не математика, а человек, и его решение нужно формально выразить. Приведем три примера.
1. Гладкая в классическом смысле функция / на отрезке [а, Ь] после даже достаточно тщательной дискретизации [а, Ь], либо под воздействием небольшого стохастического возмущения є:/- f+єпотеряет это свойство, но по прежнему останется гладкой для человека).
2. Формальную монотонность /на [а,Ь] может нарушить любое сингулярное возмущение, в то время как, человеческое понимание тренда более устойчиво к нему: лишь достаточно «большое» возмущение заставит человека изменить свое решение о монотонности /на [а,Ь].
3. В многомерном конечном массиве X любой, в частности, геофизической природы особую роль реперных точек играют наиболее «плотные» из них, сильнее всего концентрирующие X вокруг себя. Они важны для анализа X, например, при кластеризации или трассировании в нем. Нетривиальное формальное выражение плотности в X не может быть построено в рамках классической математики, потому что для нее X - дискретное пространство, все точки которого одинаково изолированы и не интересны.
Определенные в ДМА дискретная гладкость и мягкая (стохастическая) монотонность для конечных и временных рядов, а также подход к плотности в точке, как к мере дискретной предельности пространства в ней, дает содержательные ответы в описанных выше примерах.
Техническая основа исследования. Нечеткая математика и нечеткая логика обладают достаточно большими возможностями для моделирования человеческих представлений и рассуждений по сравнению с обычными множествами и булевой логикой, и потому именно они послужили технической основой дискретного математического анализа.
Пример. В булевой логике основные связки «и», «или», «не» моделируются однозначно. В нечеткой логике для этого предназначены целые параметрические семейства, так называемых, Т-норм и Т-конорм [1], [42], моделирующие связки «и» и «или». Аналогично дело обстоит и с отрицанием. Опыт практического применения нечеткой логики и нечеткой математике показал их достаточность поскольку при необходимости благодаря параметрам возможен нестандартный выбор операторов для логических связок, отражающий характерные особенности конкретного приложения. Преимущество этого подхода состоит в том, что, избегая фиксированных, конкретно независимых определений нечеткая математика и нечеткая логика достигают плюрализма, которая повышает их гибкость и выразительные возможности.
Таким образом нечеткая математика и нечеткая логика позволяют дать строгое математическое описание в действительности расплывчатых экспертных утверждений и преодолеть лингвистический барьер между человеком, суждения и оценки которого являются приближенными, качественными и нечеткими, и компьютером, который может выполнять только четкие инструкции.
Научная новизна.
• В дискретном математическом анализе аналоги фундаментальных математических понятий: предела, непрерывности, связности, монотонности, выпуклости представляют собой моделирование при помощи нечеткой математики и нечеткой логики человеческих представлений об этих понятиях.
• Реализованные алгоритмы поиска плотных подмножеств в конечных метрических пространствах расширяют возможности классического кластерного анализа, поскольку не требует отделимости найденных подмножеств.
• Анализ временных рядов осуществлен в работе на основе новых для них понятий гладкости, монотонности, экстремума, выпуклости, геометрических мер.
Практическая значимость
• Все алгоритмы носят универсальный характер: они способны работать с данными существенно разной природы.
• Цели и задачи, на которые ориентированы алгоритмы, общеизвестны и фундаментальны.
• Алгоритмы "Роден" и "Кристалл" совместно с деконволюцией Эйлера послужили основой интерпретации магнитных аномалий в заливе Сан-Мало (Франция) и массиве Аххагар (Алжир).
• Алгоритм DRAS используется в мониторинге вулкана Ла Фурнез (Франция).
• Алгоритм FLARS используется при обработке данных мировой сети сверхпроводящих гравиметров (GGP Network).
Построенная в работе геометрия временных рядов дает возможность по новому подойти к анализу рельефов, что имеет большое значение в геоморфологии, батиметрии и т.д.
Нечеткие сравнения взвешенных подмножеств действительных чисел
Мера близости Дх), построенная в 1.2.1, ранжирует X вокруг у и может считаться нечеткой мерой принадлежности х к у. Их совокупность {ду (х): у є X) позволит в 1.2.2.1 продолжить начатое в 1.2.1 и ответить на вопрос о близости точки и подмножества в X. Другой вариант такой близости на основе монолитности приведен в 1.2.2.2. 1.2.2.1. Нечеткая принадлежность точки мнооїсеству в метрическом пространстве. Пользуясь набором {Sy(x):yeX} таких мер, соединим нечеткость и метрику d для построения меры еА (х) нечеткой принадлежности х к произвольному подмножеству АсХ, неформально выражающей, как и в сингулярном случае, приближение х к A (s влияние (давление) А на х; свет, приходящий от (из) А в х).
Обратимся к построению еА (х). В точку х приходит свет еу (x) = Sy(x) из точки у є А. Точкой х он воспринимается с весом Ах(у)е[0,\], отражающим структуру А(х) ранжирования А вокруг х. При этом данный вес, который мы назовем косветом, носить как относительный характер, ранжируя точки А вокруг х, так и абсолютный, ранжируя вокруг х не только А, но и все X. Мера нечеткой принадлежности еА (x)=e(S,&)A(x) есть интегральная характеристика (например, среднее или нечеткое среднее) Ш-распределения {(Sy(x),Ах(у)) \ у є А}. Пример 1.12. ЦЬх{у):6(х) а (1.28) 1 А,(.У) ел ( ) = v А , ч ел ( ) = SUP « V єЛ ZyeA 5у(Х) Пример 1.13 (косвета) Д,0 ) = 1 иаХ = еА(х) = \А\ Ax(y) = Sx(y) - мера близости к х на X, возможно, совпадающая с 5х(у) = Итак, мера нечеткой принадлежности єА (х) точки х к подмножеству А строится на основе пары (свет 8, косвет А). Первая компонента 5 всегда является мерой близости к X и потому носит необходимо глобальный характер. Природа косвета Д разнообразна: вообще-то говоря, им может быть любая нечеткая структура на X, определение которой требует либо все X (глобальный характер), либо только А (локальный, относительный характер). Если в качестве основы выбрать набор {Sy(x):yeA}, то получается мера принадлежности множества А точке х, в частности, конструкции аналогичные (1.29) лоо i),y,wwi (130) Ml Ъ„Л8АУ) Аналогично для произвольных подмножеств А и В в X є B = Ll!iW ii є J = „А єв (х)х є, і? 1.2.2.2. Близость на основе монолитности. Для определения монолитности х в А нам потребуется квантование полупрямой Определение 1.14. Пусть h-квант и M.+h = {kh,к = 0,1,...}. Назовем квантованием соответствие t - Л (0: R+ - Ж\ f/, если/= я/г h(t) = \ [(п + \)h, если t є (и/г, (л + 1)/г) Применяя h{t) к группе нормирования Г (х) = (О г, = гх (х, А) ... dcf г„СхА}(х,А) = г (л:,Л)}, получим простое квантованное нормирование ThA(x) ГА А(х) = {nh, если 3ze A:nh = h(d(x,z))}. На отрезке [О.Л . єЕ точки из Гм(х) отметим крестиками, остальные ноликами. За монолитность А в х примем монолитностьнуля в Гм(х) в контексте этого отрезка. Особое положение нуля требует монотонного отношения к квантам nh в [0,Л(гП1ах(х, А))]: чем они больше, тем меньше они имеют значения. Это достигается весом и/: ur(nh) = 1 и h{r {x,A)) + h mon,(x) = monr (0) = = . (1-32) Г" ZvW-.nheiOMr ixM))] Монолитность можно считать одним из способов дискретного выражения непрерывности А в х, мерой предельности А в х (= неизолированности х от А). При этом принадлежность х к А не имеет решающего значения: большие монолитности шоп (л:г) могут достигаться для хА и наоборот,, если хеА, то монолитность mon (x г) может быть достаточно маленькой. Пример 1.15:
Кристаллизация в конечных метрических пространствах
Соединение А и 5(-1Д) в любой точке ієі приводит к взвешенному числовому примыканию S(x\ A) = uS(x\Ai),ai) \"). В нем содержится вся информация о стремлении А к х: S(x\Aj) - результат сравнения А с х на стадии 4 (аналог количественной є составляющей классического предела); at - вес, который имеет такое сравнение (аналог динамической 5 -составляющей классического предела). Для того, чтобы ею воспользоваться, необходимо от примыкания S(x\ А) перейти к какой-либо его интегральной характеристике , что позволит численно выразить меру jues(A -»х) стремления А к х, которая в свою очередь формализует понятие стационарного предела в КМП. Определение 1.18. В введенных выше обозначениях мы можем говорить о стремлении А к любому х є X и потому 1. стационарный предел А в X - нечеткая структура на X /ies(A - х) = fies{A - х S, Е): X - К+ (1.35) мера стремления А к л: на основе S и . 2. Чем /jes(A - х) больше для плотности S = Р (для отклонения S = А), тем д: ближе к А (дальше от А). Элементы из X, особенно близкие в этом смысле к А , также назовем стационарными пределами для А в X: я = arg max fies{A - х \ Р, Z) х = slim A =slim5j- А, если ф (1.36) х =argmin/jes(A- x\P, E) :, 14)4 2м 1 Пример 1.20. = % - нечеткое среднее Сугено [42] //es(A - JC S,X) = JS( 14)a, = Пример 1.19. Z = Ег г 0 - среднее по Колмогорову [2] fies(A -»х.! ,Ег) = л s\ipS(x\Ai) sup /?л 1=1 /?[0,1] Е : (л:Д.) /?5ир;=1 14) 2м «і Если {OOI"} - последовательность в X, то для определения ее стационарного предела при і- п+ї необходимо придать элементам х(. неубывающие по / неотрицательные веса at (например, at = 1 или at = у, но, возможно, и др.). Тогда A- Uxncct)\"A и наиболее естественная версия стационарного предела в этом случае Z"_ d(x ,х)а ассоциирована с мерой fies(A -»х) = ,=1 — і-, поэтому предел х (1.36) для Хм «і конечной последовательности {ООП, вообще говоря, зависит от весов {(or,.)!"}: х = (0О1")- Заметим, что "бесконечное" расширение стационарного предела до классической ситуации бесконечной последовательности совпадет с обычным ее пределом и не будет зависеть от весов аг Это - следствие теоремы Штольца о совпадении для любой сходящейся числовой последовательности ее предела с пределом ее средних [38]. Утверждение 1.21. Если limy. =а в метрическом пространстве (Y,p), 0 а( ам и А = {О ог,) "}, то для любого у е Y Mes(A - у) = ЦщЕГ-.МЦ.З ! = р{а,у), так что a = arg min fies{A -» у)
Мягкие грани числового множества. Пусть А = (л:,.) If - конечное множество квантованной прямой Rh, а = min А, Ь = тахА. В одних случаях а и Ъ совпадают с нашими представлениями о гранях А, в других нет: точки а и Ъ имеют на это больше оснований, чем а и Ъ (рис. 14). i /г . . рч Т 1 Т /рч v а Б
Рис. 14 Для определенности рассмотрим нижнюю грань. Логика мягкой нижней грани: нижняя грань для А - это минимальная точка z на отрезке [тіпЛ.тахЛ], в которой А неплотно слева и плотно справа. Реализуем эту логику на основе монотонности. Плотность А справа в точке z = mes(Ar(z)-»z,mon), где Ar(z) = {AC\[z,y],r(z,y)}\ [г+1 ]} r(z,y) = У. Таким l+b-z образом, примыкание правое Т.КЛГЇ1.,] РДО ,Л l + y2ltlz,y] pr(t) l + y-z / N tnr, \ iv \ Иг топA(z\y)r(z,y) rmonA(z) = mes(0 (z) - z X,mon) = : у є [z + \,b]. Lr(z,y) По определению правая монолитность в точке Ъ равна нулю: rmon 6 = 0. Аналогично определяется левая монолитность А точке z: і /ч mf/4 1V \ T.lmonA(z \y)l(z,y) I mon (z) = mes(Dr (z) - z , mon) = : у є [a, z -1], где Ll(z,y) . y-a + l ,. t-y + l , , . ч n[y,2] /(0 Ф,у) = -, p,(t) = —= —, lmonA(z\y) = . z-a + 1 z- + 1 2. ,,1 ,(0 Неплотность слева и плотность справа соединяются в качестве 3SA{z) точки z при помощи нечеткого отрицания [ [1,42]: 3BA{z) = T(]lтопА z,rmon z), в частности, ЗЄА (z) = min(l -1 mon z, r mon z). Обозначим через Ж(Л) числовую совокупность {35A(z),z є [а,6]}. Любое нечеткое сравнение "л" на числах дает возможность определить нижнюю мягкую грань для А іпі"лЛ = минимальное ze[a,b], для которого качество 3SA{z) не является слабо минимальным в ЗЄ{А) (1.16). Заметим, что іпі"л А не обязана принадлежать А. В качестве сЄ(А) можно также рассмотреть К -распределение \seA{z), \, [ \+Ь-а) отдавая при анализе качества предпочтение точкам, лежащим левее на [a,b]. 1.2.4. Плотность в конечных метрических пространствах, как мера стационарной предельности Пусть на (X, d) задана мера близости к точке х. Это позволяет дать оценку от, шарам Dx(r,), rt єГВД: по определению or, = 8х(Ох{г()) - любой интегральный числовой показатель, в частности, то или иное среднее совокупности {8х{х): х є Dx(r,)}. Пример 1.22. Обычное среднее 2 х(х):хеД,(г,) \Dx(n)\ Пример 1.23. если п - нечеткое сравнение, то at=n(rltdX(x)) d(x y)):yeX-X. Kt КЛ \X\-\ Взвешенную систему X-подмножеств lDx=UDx(r)i,ai)\"i-x)) естественно считать дискретным аналогом фильтрации в X вокруг х, а определенную выше (1.35) меру ies(1)x - х ,) нужно понимать, как меру предельности в КМП X в своей точке х на основании примыкания S и его интегрального показателя .
При определении плотности X в х под S будем понимать одну из построенных выше конструкций близости к множеству: S(x А) = Р(х \ А) = {еА (х),топ (х)}. При этом заметим, что меры близости 8 и Р независимы друг от друга: близость 8, вообще говоря, не обязана принимать участие в конструкции Р. Наша позиция в отношении плотности дается следующим определением: Определение 1.24. Плотность .РДл:) точки х в КМП (X,d) есть какая-либо из мер предельности 1)х к х на основе Р: Px{x) fiesi x x\PX) (1.37) Исследования показали, что такие плотности достаточно совершенны и могут служить основанием для выделения плотных подмножеств в КМП, в частности, для кластеризации и трассирования в них. Об этом будет подробно рассказано в следующей главе.
Построение гладких временных рядов: алгоритм «Равновесие»
Таким образом, гравитационная мера предельности (1.35) имеет вид gr ies(Ai- z\S,L) = — (3.5) Ео ая Ее минимум достигается в точке z, которую мы считаем гравитационным пределом х при стремлении t к /, (1.36): gr lim (0 = 1ітад А, = ІТ " (3-6)
Гравитационный предел есть суперпозиция двух усреднений: локального gr(Alm;S-m)) по окрестностям Uim свесом Sjm\») и глобального - по таким Uim свесом ат. Следовательно, ряд х тем гравитационно непрерывнее в узле t{, чем значение х{ в нем ближе к пределу grlimx(0, поэтому функционал CGr(x)(tl) = xt-gr\imx(t) естественно считать невязкой гравитационной непрерывности ряда х в узле t{, а их сумму CGr(x) = Z"{ x,-grlimx(0 (3.7) естественно считать невязкой гравитационной непрерывности ряда х на отрезке [а, Ь]. Она является важной частью алгоритма построения гладких временных рядов "Равновесие", к изложению которого мы переходим. 3.1.1.2. Алгоритм «Равновесие». Задача ставиться так: для временного ряда у на [а, Ь] построить "гладкий скелет" х = Sm(y), являющийся сглаживанием у и формализующий "гладкое динамическое равновесие" в нем. В работе была принята следующая логика его построения: (х - "гладкий" скелет для у) = {х - "гладкий") л(х -приближение у). Идея гладкости формализуется функционалом невязки гравитационной гладкости CGr(x). Идея приближения формализуется функционалом сканирования Sc(y). Определение 3.1. 1. Невязка гравитационной гладкости: нулевой уровень - невязка непрерывности CGr(x). 2. Невязка гравитационной гладкости: 5-ый уровень. Пусть Ds - оператор дифференцирования s -ого порядка: D : R" - R" s, xs = D x -5-ая производная функции х: х eBP[a,bs =b-sh]. х (0 = Ъ--о(-1) С Х +1, е[а,Ь ] п Функционалом CGr (x) 5-ой гравитационной гладкости ряда х будем считать невязку гравитационной непрерывности его s -ой производной Xs CGr\x) = CGr\xs) (3.8) 3. невязка гравитационной гладкости: итоговый уровень CGr(x) = rs:losCGrs(x), (3.9) где cos - неотрицательные веса (параметры сглаживания). Функционал сканирования естественно определить как квадратичную форму Sc(x\y)=\\y-x\\22 (.3.10) Итоговый функционал сглаживания Sm(x у) для ряда у есть одно из линейных Л -соединений определенных выше функционалов Smx(x) = Л CGr(x) + (1- A)Sc(x \ у), Л є [0,1] (3.11) Функционал Smx{x\y) является неотрицательным и квадратичным на W. А потому достигает своего минимума х в единственной точке, которая и будет искомым Л -сглаживанием для у: х =Smxy [8]. Таким образом, поиск "гладких скелетов" Smxy сводится к решению линейной системы п -ого порядка Л: = Smxу о Grad Smx (х у) = 0 (3.12) Алгоритм "Равновесие" связывает с рядом у серию его сглаживаний Smxy, гомотетично изменяющиеся от константы при Л = 1 до самого у при Л = 0. Чем Л больше, тем скелет визуально "глаже" (рис. 4): Рис.4 3. J. 1.3. Анализ сглаживаний. Обозначим через S"s(j) определенные выше меры близости для отрезка [a,bs] (3.2-4), так что 5?fi{j) = S?(j). С каждой близостью S?4J) связана матрица Д"" 5 - «?) размера (n-s)x(n-s): srU) (3.13) f =
Матрицы Am s соединяются в матрицу А5 с помощью весов аа,...,ам, определенных в 3.1.1.1.: м Л = О "т Тм а Гравитационная навязка CGrs(x) (3.8) связана с А следующим образом: CGr (x) = ((A3 -})xs, (А -\)х) = {{A -X)D x, (A -\)D x) = г (3.14) = (((As -\)DS) (As -\)Dsx,x) = (D (As -\) (AS - \)D x,x) = (Gsx,x) Таким образом, итоговая невязка CGr(x) определяется неотрицательным оператором G 0: CGr(x) = (Gx,x), (3.15) G=I;: ,G\ Утверждение 3.2. 1. KerG = KerCGr = KerDI + = V.[a,b], где s - номер первого нетривиального веса cos в невязке CGr (3.9). 2. BP[a.b] = KerGImG, dimImG = «-/-l, dimKerG = /+1. Доказательство. 1. Пусть s = 0. Если функция я: нетривиальна на [а,Ь], то невязка CGr(x)(ti.) 0 (3.7) в ее абсолютном максимуме t.t., так что KerCGr0 состоит из констант (полиномов нулевой степени). Для s 0 это означает одномерность ядра Ker (Л1 -1) в R"- =BP[a,bs]. Из (3.14) следует, что Ker CGr5 = Кег((Л -1) J). Теорема о размерности [29] дает равенство Ker (As -\)DS =KerDJ + Кег(Л5 -l)fbriZ)J. В силу сюръективности дифференцирования D1: R" - R""5 ядро Ker Ds =VS_X, образ \mDs =W S и потому dim Ker ((A5 -l)D ) = s + l. В это ядро входит пространство многочленов V, и потому с ним совпадает из соображений размерности, так что Ker CGrs = Vs и Ker CGrs с Ker CGr"1. Равенство CGr( ) = 1 ,CGr5 (x) (3.9) влечет соотношение для ядер: Ker CGr = П$ Ker CGrs :cos 0 = Ker CGS , где s - номер первого нетривиального веса co-s. Равенство Ker G = Ker CGr есть частный случай общего факта [31]: если оператор А 0 и {Ах, х) = 0, то необходимо Ах = 0, так что Ker A = Ker (Ах, х). 2. Оператор G 0. в частности он самосопряжен, следовательно, ВР[а, b] = Ker GImG, где означает прямую ортогональную сумму, a ImG -подпространство, порожденное собственными векторами оператора G, dimlmG-n-s —l, dim Ker G = s +1. Доказательство окончено.
Приложение алгоритма «Кристалл» к интерпретации магнитных аномалий в районе массива Ахаггар (Алжир)
Постановка задачи. В геофизике для интерпретации магнитных аномалий, измеренных с помощью аэромагнитной съемки, часто применяют метод деконволюции Эйлера (МДЭ) [70, 92, 86, 74, 50, 105, 58, 40, 79, 10, 78, 95, 91, 35]. Данный метод позволяет получить оценки положения источников (эйлеровых решений) для аномалий потенциальных полей, заданных в скользящем окне. На простых теоретических примерах эти точки соответствуют положению изолированных аномалеобразующих тел, а также дают оценку их глубины. Таким образом, в простых случаях метод позволяет получать положение и глубины залегания тел, вызывающих те или иные магнитные аномалии.
Метод весьма чувствителен к целому ряду факторов: уровню помех, точности вычисления производных аномального поля, интерференции сигналов от близко расположенных источников и т.д. В таких случаях эйлеровы точки образуют размытые облака, что затрудняет определение положения тел. В то же время, расчеты на теоретических примерах показывают, что даже если эйлеровы точки не образуют плотных скоплений вблизи аномалеобразующих тел, в окрестности последних плотность распределения решений оказывается большей. Поэтому применение в таких задачах методов поиска сгущений представляется естественным и перспективным.
МДЭ предоставляет информацию о расположении, форме и глубине залегания аномалеобразующих тел. Метод особенно эффективен для изолированных тел, имеющих вертикальные боковые границы. В этом случае эйлеровы решения сгущаются около тел в горизонтальной плоскости, а также дают некоторые оценки их глубины. В тех случаях, когда аномальное потенциальное поле является суперпозицией эффектов различных источников, МДЭ не всегда дает легко интерпретируемые результаты: эйлеровы решения образуют скорее обширные облака, чем плотные сгущения, что затрудняет идентификацию источников аномалии. Часто результаты деконволюции удается улучшить, отбрасывая "плохие" решения. Для этого предложены различные критерии, использующие сингулярные числа, дисперсию оценок глубины. Могут быть отброшены точки, расположенные слишком близко к поверхности или слишком глубоко. Для изолированных аномалий эти критерии достаточно эффективны. Однако в сложных аномальных полях их эффективность существенно снижается в силу воздействия близких к поверхности источников, соседних аномалеобразующих тел и случайных помех.
Конечно, реальное объемное распределение источников нельзя адекватно описать при помощи совокупности локализованных точечных объектов. Но существуют области поля, в которых доминирует влияние одного локального объекта или влияние одной особой точки аномального поля. Под особыми точками понимают такие точки в пространстве, в которых аномальное поле не является гармонической функцией. Поскольку аномальные магнитное и гравитационное поля являются гармоническими функциями всюду вне источников, ясно, что положение особых точек поля связано с положением источников [33]. Для объектов простой геометрической формы известно, что особые точки связаны либо с положением центра масс (объекты шарообразной формы), либо с угловыми точками (многогранники) [32]. В таких областях результат локальной инверсии будет иметь физический смысл (соответственно определять положение центра масс локального объекта или координаты особой точки). В областях, где нет преобладающего влияния одного локального объекта, результат инверсии будет в общем непредсказуем (случаен).
Встает задача отбраковки результатов инверсии. В работе [92] было предложено решать эту задачу, исключая те решения, погрешность определения которых превосходит задаваемый предел.
Другой подход выделения физически осмысленных решений основан на поиске их плотных скоплений (рис. 1). Благодаря небольшому размеру палетки и перемещению палетки с перекрытием, один и тот же объект будет оказывать доминирующее влияние в поле при нескольких положениях палетки. То есть к нему будут относиться несколько решений инверсии. Эти решения должны быть близки и должны образовывать плотные скопления. Физически неоправданные решения случайны, а следовательно не могут образовывать плотных скоплений.
Итак, имеющие физический смысл решения, полученные по методу деконволюции Эйлера, должны образовывать плотные скопления вблизи действительного положения возмущающих объектов или их особых точек. В работе [92], например, стремление решений к плотному группированию рассматривается как основной признак правильности выбора значения структурного индекса. Однако в этом исследовании изучаются только 2D ситуации, где скопления точек легко выделяются визуально. Можно также ожидать, что усредненные характеристики (координаты и вещественные свойства) скоплений будут давать достаточно устойчивую количественную информацию. Таким образом, для практического применения метода необходимо уметь выделять эти плотные скопления в трехмерном пространстве.
4.1.1.2. Описание метода. МДЭ часто применяется для определения особенностей формы аномалеобразующих тел по аномалиям потенциальных полей. Он основан на аппроксимации измеренного аномального гравитационного или магнитного поля в скользящем окне полем некоторого элементарного источника однородной плотности или намагничения, аномалия от которого является функцией Эйлера. Напомним, что вещественпозначная функция f(x,y,z) в трехмерном координатном пространстве является однородной функцией (функцией Эйлера) степени п, если для любого положительного / выполняется равенство
