Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Теория фракталов и ее место в анализе и моделировании пространственной структуры сложных природных систем 7
1.1 Природные системы и их пространственная структура 7
1.2 Фрактальный подход к исследованию пространственной структуры сложных природных систем
1.2.1 Теория фракталов и ее применение для описания пространственной структуры сложных природных систем . 12
1.2.2 Методы оценки фрактальной размерности изображений 21
1.2.3 Влияние масштаба и пространственного разрешения аэрокосмических изображений на значения фрактальных характеристик природных структур 40
1.2.4 Анализ работ отечественных и зарубежных авторов в области фрактальных методов анализа и моделирования пространственной структуры сложных природных систем. 43
Постановка цели и задач исследования 48
ГЛАВА 2. Разработка теоретических основ метода обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа изображений 50
2.1 Теоретические основы мультифрактального анализа 50
2.1.1 Основные подходы к мультифрактальному анализу. Мультифрактальный формализм 55
2.1.2 Стандартная и информационная интерпретации мультифрактального формализма 59
2.2 Современные методы мультифрактального анализа цифровых
изображений и их алгоритмическая реализация 69
2.2.1 Мультифрактальный подход к анализу цифровых изображений 69
2.2.2 Методы получения Лежандровских мультифрактальных спектров 71
2.2.3 Методы получения мультифрактальных спектров больших отклонений 99
2.2.4 Сравнительный анализ современных методов мультифрактального анализа цифровых изображений 107
2.3 Разработка метода обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа цифровых изображений 111
2.3.1 Теоретические основы метода обобщенного локально глобального мультифрактального анализа цифровых изображений 111
2.3.2 Алгоритмическая реализация разработанного метода мультифрактального анализа цифровых изображений 115
Выводы по главе 122
ГЛАВА 3. Разработка геоинформационных приложений мультифрактальных методов анализа пространственной структуры сложных природных систем 124
3.1 Анализ возможностей использования мультифрактального подхода для описания природных структур по их цифровым изображениям 124
3.2 Разработка геоинформационных приложений мультифрактальных методов анализа пространственной структуры сложных природных систем
3.2.1 Методика мультифрактального анализа изображений взволнованной морской поверхности 130,
3.2.2 Методика оценки эффективности мероприятий по тушению лесных пожаров на основе анализа результатов обработки данных спутниковых наблюдений 133
3.2.3 Методика выделения контуров природных структур на аэрокосмических снимках 141
Выводы по главе 144
ГЛАВА 4. Программная реализация и экспериментальная апробация разработанных метода мультифрактального анализа изображений и методик решения ряда геоинформационных задач посредством мультифрактальной обработки аэрокосмических изображений 146
4.1 Программная реализация и экспериментальная апробация
разработанного метода обобщенного локально-глобального
мультифрактального анализа цифровых изображений 146
4.1.1 Построение эталонных изображений 146
4.1.2 Программная реализация разработанного метода обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа цифровых изображений 154
4.1.3 Экспериментальная апробация разработанного метода обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа цифровых изображений 161
4.2 Экспериментальная апробация разработанных методик решения ряда геоинформационных задач посредством мультифрактальной
обработки аэрокосмических изображений 171
4.2.1 Экспериментальная апробация методики мультифрактального анализа изображений взволнованной морской поверхности 171
4.2.2 Экспериментальная апробация методики оценки эффективности проведенных мероприятий по тушению лесных пожаров 173
4.2.3 Экспериментальная апробация методики выделения контуров природных структур на аэрокосмических снимках 178
Выводы по главе 183
Заключение 184
Список использованной литературы
- Теория фракталов и ее применение для описания пространственной структуры сложных природных систем
- Основные подходы к мультифрактальному анализу. Мультифрактальный формализм
- Разработка геоинформационных приложений мультифрактальных методов анализа пространственной структуры сложных природных систем
- Экспериментальная апробация разработанного метода обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа цифровых изображений
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время широкий круг актуальных проблем географии, картографии, геоморфологии и других наук о Земле связан с анализом по данным дистанционного зондирования Земли пространственной структуры сложных природных систем. Используемые при этом методы, в большинстве своем, базируются на приближенном представлении структур геометрическими объектами с целыми размерностями (точками, линиями, поверхностями). Основным недостатком такого рода методов является то, что они характеризуют структуру на одном либо нескольких масштабных уровнях, не позволяя получить масштабно-инвариантного описания природных структур. Таким образом, все эти методы не учитывают одного из важнейших качеств систем – целостности, выражающейся в принципиальной несводимости свойств системы к сумме свойств составляющих ее элементов и невыводимости из последних свойств системы.
Преодолеть указанные трудности позволяет фрактальный подход, уже нашедший применение при описании пространственной структуры таких сложных природных систем, как ландшафты речных долин, лесные экосистемы, горные ландшафты. Количественное описание пространственной структуры природных систем с использованием фрактального подхода позволяет выделять иерархические уровни структурной организации природных систем, строить модели, воспроизводящие иерархическую структуру пространственной организации природных систем, а также формулировать гипотезы о возможных механизмах их генезиса.
Однако, несмотря на достигнутые успехи, связанные с использованием фрактального подхода для количественного описания природных структур, многочисленные исследования продемонстрировали явную ограниченность такого подхода. Причина этого кроется в том, что природные структуры являются сложными стохастическими образованиями, самоподобными в среднем только в определенном диапазоне масштабов. Как следствие, количественная параметризация на основе одной лишь величины фрактальной размерности не способна отразить такие свойства природных структур как неоднородность, пространственная упорядоченность, периодичность, организованность. Широкие возможности в этом отношении предоставляет мультифрактальный подход, предполагающий переход от исследования масштабно-инвариантных свойств объектов к изучению особенностей тем или иным образом сформированной по изображениям структур меры, отражающей пространственное распределение физических, геометрических, химических и других свойств объектов. Мультифрактальный подход дает возможность ставить в соответствии изучаемой структуре не одну, а целый спектр фрактальных размерностей, число которых в общем случае может быть бесконечным и, тем самым, позволяет количественно оценить трудно поддающиеся количественному описанию структурные характеристики сложных природных систем.
С учетом всего вышесказанного, весьма актуальной представляется разработка теоретических основ мультифрактальных методов анализа пространственной структуры сложных природных систем по их аэрокосмическим изображениям, а также разработка новых геоинформационных приложений теории мультифракталов, направленных на решение широкого спектра задач географии, геологии и других наук о Земле.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка теоретических основ и геоинформационных приложений мультифрактальных методов анализа пространственной структуры сложных природных систем. Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:
-
Обосновать возможность использования мультифрактального подхода для исследования пространственной структуры сложных природных систем по их аэрокосмическим изображениям.
-
Выполнить сравнительный анализ современных методов фрактального и мультифрактального анализа изображений сложных природных структур.
-
Разработать математический аппарат и теоретические основы метода обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа изображений.
-
Создать и протестировать программное обеспечение, реализующее существующие и разработанный методы мультифрактального анализа изображений.
-
Провести экспериментальную апробацию разработанного метода обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа изображений.
-
Разработать геоинформационные приложения мультифрактальных методов анализа пространственной структуры сложных природных систем.
Объект и предмет исследования. Объектом диссертационного исследования является пространственная структура сложных природных систем. Предметом диссертационных исследований являются теоретические основы и геоинформационные приложения мультифрактальных методов анализа пространственной структуры сложных природных систем.
Научная новизна работы заключается в следующем:
-
Впервые показано, что посредством мультифрактального анализа изображений могут быть получены локальные и глобальные мультифрактальные параметры, связанные преобразованием Лежандра.
-
Разработан математический аппарат и теоретические основы нового метода обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа изображений, позволяющего проводить полномасштабный мультифрактальный анализ аэрокосмических снимков, получаемых в результате дистанционного зондирования Земли, и получать информацию одновременно о локальных и глобальных мультифрактальных свойствах исследуемых природных структур.
-
Разработана методика мультифрактального анализа изображений взволнованной морской поверхности, позволяющая получать оценку функции распределения квадратов модулей уклонов морской поверхности мультифрактальными методами.
-
Разработана методика оценки эффективности мероприятий по тушению лесных пожаров на основе фрактального анализа результатов обработки данных спутниковых наблюдений.
-
Разработана методика выделения контуров природных структур на аэрокосмических снимках посредством их мультифрактального анализа.
Практическое значение. Практическая ценность результатов диссертационной работы заключается в том, что разработанные в ней методики могут быть использованы при проведении научных и практических исследований по моделированию структуры сложных природных систем, при разработке систем идентификации и обнаружения изменений природных систем со сложной структурой по их аэрокосмическим изображениям, при подготовке специалистов в области аэрокосмических технологий.
Кроме того, разработанный в диссертации метод обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа позволяет уточнить и существенно дополнить сведения о пространственной структуре различных природных систем со сложной самоподобной структурой, способствует получению новых локальных и глобальных количественных характеристик исследуемых природных структур.
Методы исследования. Проведенные в диссертационной работе теоретические исследования основаны на методах теории вероятностей и математической статистики, вычислительной математики и теории фракталов. Для реализации алгоритма обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа цифровых изображений, а также основных этапов разработанных методик, автором было создано несколько программных модулей к пакету "Фрактал-ПК" в среде Microsoft Visual Studio 2008 для Windows 98/Vista.
Достоверность результатов подтверждается:
-
Корректным применением математических методов и вычислительных средств теории вероятностей и математической статистики, вычислительной математики, цифровой обработки изображений, теории фракталов.
-
Апробацией разработанных метода и методик, а также удовлетворительным совпадением результатов с расчетами в аналитических и численных моделях, полученными другими авторами.
-
Тестированием разработанных программных модулей на модельных фрактальных агрегатах, сформированных в специальных компьютерных экспериментах.
На защиту выносятся следующие разработки и результаты:
-
-
Метод обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа изображений.
-
Методика мультифрактального анализа изображений взволнованной морской поверхности.
-
Методика оценки эффективности мероприятий по тушению лесных пожаров на основе фрактального анализа результатов обработки данных спутниковых наблюдений.
-
Методика выделения контуров природных структур на аэрокосмических снимках посредством их мультифрактального анализа.
-
Результаты экспериментальной апробации разработанного метода обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа изображений.
-
Результаты экспериментальной апробации разработанных методик анализа пространственной структуры сложных природных систем.
-
Алгоритм и программное обеспечение, реализующие разработанный метод обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа изображений, а также основные этапы разработанных методик.
Апробация работы. Основные результаты работы по теме диссертации докладывались и обсуждались на научных заседаниях кафедры Прикладной экологии и химии МИИГАиК, на 67-ой (апрель, 2007), 68-ой (апрель, 2008) и 69-ой (апрель, 2009) научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых МИИГАиК, проводившихся в Московском государственном университете геодезии и картографии, на Пятом международном аэрокосмическом конгрессе (Москва, август, 2006), на Международной научно-технической конференции «Геодезия, картография и кадастр — XXI век», посвященной 230-летию основания МИИГАиК (Москва, май, 2009).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 научных работ.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Материал работы изложен на 199 страницах машинописного текста, содержит 12 таблиц, 42 рисунков. Список литературы состоит из 140 наименований, из них 90 на иностранных языках, 6 интернет-источников.
Теория фракталов и ее применение для описания пространственной структуры сложных природных систем
Для численного определения клеточной размерности некоторого множества его нужно аппроксимировать конечным объединением шаров. При этом вместо шаров в евклидовой метрике (кругов на плоскости) можно использовать кубы (квадраты на плоскости). Вопросам численного определения клеточной размерности посвящен п. 1.2.2 данной главы.
Фундаментальный вклад в исследования природных структур фрактальными методами внесли работы Алекса Пентланда [79] и [102], в которых по существу впервые установлена связь между количественным описанием естественных объектов и их изображений.
В своей работе [102] А. Пентланд называет фрактальными поверхности, которые могут быть точно аппроксимированы какой-либо фрактальной функцией на некотором диапазоне масштабов. В основе сформулированных и доказанных им утверждений о возможности описания естественных сцен на снимках фрактальными методами лежат два определения, первое из которых справедливо для двумерных функций, таких как поверхность интенсивностей изображений, а второе — для двумерных поверхностей, вложенных в трехмерное пространство, таких, например, как поверхность гор.
Определение 1.4 Фрактальной броуновской поверхностью называется непрерывная функция 1(х), которая удовлетворяет соотношению = F{y), (1.1) где х — двумерный вектор, Дх — приращение вектора х, F(y) — кумулятивная функция распределения, Н— показатель Херста, 0 Н 1. Определение 1.5 Пространственно-изотропной фрактальной броуновской поверхностью называется поверхность, каждая из компонент нормали к которой сама является фрактальной броуновской поверхностью с тем же значением фрактальной размерности. Если #=1/2 и распределение F(y) является Гауссовским с нулевым средним и единичной дисперсией, то двумерная функция 1(х) является классической броуновской функцией.
График двумерной броуновской поверхности имеет размерность = 3-#. (1.2) , В соотношении (1.1) параметр Н принимает значения в диапазоне от О до 1 и характеризует степень изрезанности графика броуновской поверхности. При малых значениях параметра Н поверхности в соответствии с равенством (1.2) имеют большую размерность и, как следствие, выглядят более изрезанными. Соответственно, при больших значениях параметра Н поверхности выглядят менее изрезанными. Поверхности фрактального броуновского движения с параметром #=0,8, как правило, используются для моделирования горных массивов.
Фрактальные броуновские поверхности являются графическим изображением фрактального броуновского движения. Существование фрактального броуновского движения было доказано Б. Мандельбротом и Ван Несом [21]. Фрактальная размерность фрактальных поверхностей инвариантна по отношению к линейным преобразованиям и преобразованиям масштаба.
Как показано в работе [102], фрактальные функции могут использоваться для моделирования поверхностей типичных для природных объектов. Это, главным образом, объясняется тем, что: 1. Многие естественные процессы приводят к образованию фрактальных поверхностей. 2. Фрактальные поверхности подобны естественным поверхностям. 3. При использовании материалов аэро- и космической съемки фрактальные модели поверхностей изображенных на снимках природных объектов не подвержены изменениям условий съемки, и, как следствие, подходят для описания как участков изображения со слабым перепадом яркостей, так и областей изображений со значительным варьированием интенсивности пикселей.
Таким образом, фрактальные модели с малыми значениями показателя Херста подходят для моделирования более гладких областей изображения, т.е. с незначительными перепадами яркости. Напротив, фрактальные функции с высокими значениями показателя Н могут использоваться для описания шероховатых поверхностей [25].
Фрактальные модели могут применяться на практике для восстановления формы объектов по их полутоновому изображению, в алгоритмах интерполяции поверхностей, а также в алгоритмах определения формы объектов по текстуре их поверхности.
В работе А. Пентланда [102] сформулированы и доказаны следующие два утверждения, устанавливающие связь между количественным описанием естественных объектов и их изображений.
Утверждение 1. Если поверхность интенсивностей пикселей изображения — двумерная фрактальная Броуновская поверхность, то отображаемая поверхность природных объектов является пространственно-изотропной фрактальной Броуновской поверхностью.
Утверждение 2. Поверхность интенсивностей пикселей изображения пространственно-изотропной фрактальной Броуновской поверхности является фрактальной Броуновской поверхностью с размерностью, совпадающей с размерностями компонент нормалей к поверхности.
Оба сформулированных и доказанных им утверждения верны для ортотропных или Ламбертовых поверхностей (т.е. поверхностей, для которых интенсивность отраженного излучения не зависит от направления) с постоянной освещенностью и альбедо. Позднее в работе [78] было продемонстрировано, что оба положения остаются справедливыми и для неортотропных подстилающих поверхностей.
Таким образом, если поверхность интенсивностей исследуемого изображения фрактальна, то и изображаемая на нем поверхность естественных объектов также будет фрактальна. Тем самым, исследуя изображение, можно установить, является ли поверхность представленных на изображении объектов гладкой либо шероховатой, изотропной либо анизотропной. Следовательно, фрактальная размерность изображений естественных сцен может быть использована для описания структуры поверхностей, представленных на цифровом изображении природных объектов.
Вместе с тем, при фрактальном анализе изображений природных объектов необходимо учитывать, что реальные поверхности исследуемых природных объектов фрактальны только на определенном диапазоне масштабов, ограниченном снизу размером зерна изображения (пикселя), а сверху — размером анализируемой области изображения. Таким образом, крайне важным при расчете значений фрактальной размерности является определение диапазона масштабов, на котором для моделирования естественных поверхностей могут быть использованы фрактальные поверхности.
Основные подходы к мультифрактальному анализу. Мультифрактальный формализм
Да(#)) действительно определяет фрактальную размерность того подмножества, которое дает доминирующий вклад в статистическую сумму (2.4) при заданной величине показателя степени q. Сопоставляя выражение (2.22) с выражением (2.4), получим окончательную формулу связи функций Да) и т(д): v(q) = qa(q)-f(a(q)). (2.23) Продифференцировав соотношение (2.23) по q, получим, явное выражение для; а а = 1. . (Z24) dq Таким образом, спектр Да) может определяться посредством преобразования Лежандра функции x(q), т.е. .-.. f(a) = qa(q)-x(q). На: практике, функция т(#), как правило не является гладкой (щ как следствие, всюду дифференцируемой). В связи с этим! соотношение для расчета спектра Да) принимает вид f(a) = M(qa-x(q)). (2125)
Из соотношений (2.24) и (2.25) следует, что индекс сингулярности а и спектр сингулярностей Да) дают представление о структуре исследуемого множества;полностью эквивалентное представлению.через q и т(#). Переход от переменных {q, x{q)} к переменным: { а, /(а)} может: быть осуществлен с использованием преобразования Лежандра: Количественная мера однородности, Д. Среди всех величин Да), используемых в целях параметризации, наиболее важное место.занимает величина Да(д = ад)) или её оценка- fQ (где Q — некоторое: положительное, достаточно большое значение параметра q, задаваемое в конкретных расчетах), представляющая собой количественную меру однородности изучаемой пространственной структуры. При этом необходимо отметить, что в: данном случае под степенью однородности структуры понимается не традиционная качественная характеристика внешнего вида структуры, а показатель характера распределения единичных элементов рассматриваемой структуры в евклидовом пространстве, охватывающем эту структуру. Чем больше /«, = fQ, тем более однородна изучаемая пространственная структура. Информационная интерпретация мультифрактального формализма
Рассмотренная выше стандартная интерпретация мультифрактального формализма не является единственной, используемой в целях параметризации. Рассмотрим ещё одну информационную интерпретацию, благодаря которой удается ввести дополнительные характеристики изучаемой структуры.
Информационная интерпретация мультифрактального формализма базируется на основных понятиях теории информации. Информацией мультифрактального преобразования [131] называют величину Дд), определяемую как /( /) = #,-#,, (2.26) где Я, =-Уц, 1пц — энтропия Шеннона, H(q) = YV — энтропии Реньи [108]. Подставив в формулу (2.26) выражения для расчета величин Н] и Hq, получим Существует простая связь между информацией I(q) и спектром обобщенных фрактальных размерностей Dq, непосредственно вытекающая из определения размерностей Реньи Д,= ,- ? = - ljm f_ __ . (2.27) - (q -1) In є Как видно из соотношения (2.27), максимум информации достигается при #- со. Величина Ди =Dl-Dao или ее оценка Аа = Dl-DQ (где О — некоторое положительное достаточно большое значение параметра q, задаваемое в конкретных расчетах), стоящая в левой части равенства (2.27), занимает центральное место в информационной интерпретации мультифрактального формализма. Увеличение Ад для исследуемой серии изображений структуры показывает, что в структуре становится больше периодической составляющей, и что система накачивается информацией (негэнтропией) и в ней возрастает степень нарушенной симметрии. Таким образом, показатель AQ отражает степень упорядоченности и нарушения симметрии общей конфигурации изучаемой пространственной структуры. Большие значения величины Ад соответствуют большей степени нарушения симметрии [17]. Из соотношения (2.27) следует, что в совокупности характеристики Dq несут количественную информацию об условиях формирования изучаемых структур. В некоторых случаях можно сказать, что большие значения Dq (при q »1) соответствуют большим значениям энтропии. В связи с этим, величины Дд и D(f могут применяться в качестве эффективного средства при идентификации объектов со сложной структурой, часто неразличимых либо плохо различимых при традиционных способах описания.
В основе мультифрактального анализа цифровых изображений лежит следующее положение: элементы изображения (пиксели) могут быть классифицированы в соответствие со значениями показателя Липшица-Гельдера, полученного по тем или иным образом сформированной мультифрактальной мере. Обозначим поле яркости цифрового полутонового изображения как 1(х), где х — координаты центра пикселя. Тогда мера jn для каждого подмножества Asl может определяться следующим образом [122]: С учетом предположения о локальной гладкости изображения приходим к следующему выражению для вычисления плотности меры: d\i(x) = dx\Vl\(x). Мера ц, определяемая таким образом, дает полное представление о локальном распределении градиента и его неоднородности в пределах изображения.
Таким образом, для того, чтобы охарактеризовать поведение функции І(х) в окрестности некоторой точки, достаточно оценить характер изменения меры шаров малого радиуса, центрированных в данной точки. Обозначим через ВЕ(х) шар радиуса є с центром в точке х. Мера ц изображений позволяет является мультифрактальной, если каждую точку х изображения можно характеризовать локально для малых величин с с помощью Гельдеровской экспоненты а(х) как ц(В,(х)) в \ (2.28) где а(х) — значение показателя Гельдера в точке. Тем самым фактически изображение моделируется посредством меры. Такой подход к моделированию акцентировать внимание на разрешении изображений.
Разработка геоинформационных приложений мультифрактальных методов анализа пространственной структуры сложных природных систем
На практике предел в формуле (2.78) оценивается как наклон линейного участка графика зависимости Іп[і(Ве(х,у)) от Ins. При этом достаточно типичной является ситуация, когда область единичного размера, непосредственно отвечающая за все виды шумов на изображении, оказывает существенное влияние на наклон регрессионной прямой при подсчете а (рис. 2.8). В таком случае первое наблюдение может рассматриваться как выброс и, следовательно, должно быть исключено из расчета наклона регрессионной прямой.
Для автоматического обнаружения выбросов может быть использован подход, приведенный в работе [62], в соответствии с которым рассчитываться стандартизованная невязка значений величин, откладываемых в двулогарифмических осях:
График зависимости в двулогарифмических осях меры ячеек, надстраиваемых над элементами изображения от их размера (рисунок заимствован из работы [62]). Первая (слева) точка на графике соответствует выбросу. Учитывая это наблюдение, получаем, что наклон регрессионной прямой равен 6,724. Исключая первое наблюдение, получаем регрессионную прямую с наклоном 1,8337
Для большей наглядности по вычисленным значениям индексов а может быть построена карта Гельдеровских экспонент, представляющая собой полутоновое изображение, интенсивность каждого пикселя которого пропорциональна значению индекса а, вычисленному для соответствующей точки исходного изображения. Расчет значений одномерных мулътифракталъных спектров т0?) D(q) и fL(a), характеризующих глобальное поведение меры.
На третьем этапе алгоритмической реализации метода рассчитанные значения показателей а подставляются в формулу (2.66) для расчета меры ячеек. При этом при использовании равноячеечного способа покрытия размер ячеек принимается равным величине s = -, 1 (2.79) yjN(x)N(y) В свою очередь, при равномассовом покрытии изображения при использовании традиционной вероятностной меры массу ячеек можно считать равной їх = - , (2.80) где N(x) и N(y) — соответственно ширина и высота изображения, N0 — число точек изображения, для которых Гельдеровская экспонента принимает нулевые значения.
Значения спектров i(q) и q{x) могут быть вычислены по формулам (2.70) и (2.75), в которых размер ячеек и мера определяются посредством соотношений (2.79) и (2.80). Как легко заметить, величины є и \х, рассчитанные по формулам (2.79), (2.80), зависят только от размеров изображения.
Как было продемонстрировано выше, функция q{x) является обратной к функции т( эО. Таким образом, при равномассовом подходе, функция i(q) может быть получена путем обращения функции. Расчет значений локального спектра фрактальных размерностей /,Ха.(х,у)], демонстрирующего к какому из фрактальных подмножеств принадлежит каждый элемент изображения. На заключительном этапе мультифрактального анализа изображений осуществляется построение двумерного спектра фрактальных размерностей.
Для этого каждой точке изображения сопоставляется соответствующая ее индексу а значение фрактальной размерности /(а) на одномерном спектре. Получаемый в результате двумерный спектр фрактальных размерностей позволяет определить принадлежность точки к тому или иному фрактальному подмножеству, давая, тем самым, возможность правильной интерпретации взаимного положения фрактальных подмножеств на изображении.
В целом следует отметить, что процедуру получения двумерных мультифрактальных спектров можно отнести к процедурам локальной обработки изображения, поскольку значение физической характеристики каждого элемента результирующего изображения определяются характеристиками нескольких элементов, принадлежащих некоторой окрестности соответствующего пикселя исходного изображения.
В свою очередь процедуру получения одномерных спектров можно отнести к процедурам глобальной обработки изображения, так как результирующие характеристики являются функцией всех элементов исходного изображения или его существенной части.
Таким образом, разработанный метод мультифрактального анализа, соединяя в себе преимущества методов получения Лежандровских спектров и спектров больших отклонений, позволяет получить связанные преобразованием Лежандра локальные и глобальные мультифрактальные характеристики.
С учетом всего вышесказанного сам мультифрактальный метод получения одномерных и двумерных мультифрактальных спектров можно назвать обобщенным локально-глобальным методом мультифрактального анализа изображений. Предложенный в диссертационной работе метод мультифрактального анализа изображений обладает целым рядом преимуществ по отношению к рассмотренным выше методам.
Во-первых, предлагаемый метод в отличие от методов расчета Лежандровских спектров не требует реализации сложной процедуры поиска оптимального покрытия изображения, существенным образом влияющей на оценки мультифрактальных характеристик. Кроме того, в отличие от методов получения спектров больших отклонений, спектры, получаемые в данном методе, гладкие и, следовательно, могут быть использованы для восстановления мультифрактальных спектров x(q) и D(q). Существенным достоинством данного метода является и то, что он в силу специфики расчета мультифрактальных спектров исключает получение так называемых инвертированных мультифрактальных спектров.
Результаты экспериментальной апробации разработанного метода и сравнение полученных спектров со спектрами, рассчитанными другими методами будет представлено в заключительной главе диссертационной работы.
В данной главе диссертационной работы изложены теоретические основы мультифрактального подхода к анализу цифровых изображений и проведен сравнительный анализ наиболее распространенных методов мультифрактального анализа изображений с целью выявления их достоинств и недостатков. Описание теоретических положений, лежащих в основе каждого метода, сопровождается детальным изложением особенностей его практической реализации.
Среди описанных выше методов оценки мультифрактальных спектров только метод гистограмм и его модификации позволяет получать как локальные, так и глобальные мультифрактальные спектры. Однако, глобальные спектры в методе гистограмм в силу особенностей расчета, как правило, не являются гладкими и, как следствие, не могут быть использованы для восстановления остальных мультифрактальных спектров (спектров %{q) и D(q)), также широко используемых на практике для количественного описания структур.
Это существенно ограничивает использование метода гистограмм на практике. В связи с этим большой интерес представляет разработка мультифрактального метода, позволяющего получать мультифрактальные спектры x{q), D(q) Vifia) и одновременно проводить локальный и глобальный анализ изображения с целью выявления мультифрактальных свойств, как всего анализируемого изображения исследуемой структуры, так и любого его фрагмента.
В заключительном пункте данной главы изложен принципиально новый метод расчета Лежандровских мультифрактальных спектров, базирующийся на оценке значений Гельдеровских показателей в каждой точке изображения. Сущность данного метода состоит в использовании для оценки мультифрактальных спектров соотношения (2.66), демонстрирующего, что при приближении размера шаров, надстраиваемых над каждым элементом изображения, к нулю их мера убывает по степенному закону с показателем степени а.
Как продемонстрировано в заключение данной главы предложенный метод обладает целым рядом преимуществ по отношению к рассмотренным выше методам расчета Лежандровских мультифрактальных спектров и спектров больших отклонений.
Экспериментальная апробация разработанного метода обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа цифровых изображений
На этом процедура построения массива мер заканчивается и остается сопоставить каждому элементу матрицы P(i,j) пиксель изображения (рис. 4.3). Для реализации данного шага было испробовано два способа. В соответствии с первым способом значения матрицы P{i,j) должны были интерполироваться на интервал изменения интенсивностеи полутонового хранения изображений (рис. 4.4).
В результате испытаний было обнаружено, что в большинстве случаев при малом числе градаций изображения. Во втором способе в качестве значений интенсивностеи эталонных изображений брались округленные до целых значений числа, полученные в результате перемножения значений матрицы P(i,j) с коэффициентом к, подобранным таким образом, чтобы полученный диапазон изменения интенсивностей пикселей попадал в диапазон изменения интенсивностей выбранного формата полутонового изображения ( 256), ошибки, возникающие в результате интерполяции мер P(i,j), существенно искажают мультифрактальные характеристики исследуемых распределений самоподобных мер (рис. 4.5). Данное обстоятельство не позволяет использовать полученные таким образом изображения для оценки работы алгоритмов мультифрактального анализа.
Изображения самоподобной меры, полученные двумя способами по матрице мер, определенной посредством СИФ с отображениями, заданными формулами (4.3)—(4.6), с сжимающими коэффициентами s, =s2=s3=s4 =0,5 и вектором вероятностей {0,24,0,26,0,23,0,27} (размер изображений 64x64 пикселей, коэффициент =500000) и соответствующие спектры /(а), оцененные методом «подсчета клеток» (в) ( - - — первый способ (а), — второй способ (б)) (-50 ? 50, с шагом 1, є = {2,4,8,16,32,64})
Программная реализация разработанного метода обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа цифровых изображений
В соответствие с алгоритмом расчета значений локальных и глобальных мультифрактальных характеристик, описанном во второй главе диссертационной работы на первом этапе мультифрактального анализа рассчитываются значения локального показателя индекса сингулярностеи а (5с). Для реализации данного этапа в программной среде «Фрактал-ПК» на
языке С# с использованием .NET Framework был создан специальный модуль, получивший название «I. Точечные показатели Гельдера, а(х,у)»
(рис. 4.6) в котором могут быть указаны следующие параметры [32]:
Способ расчета емкости (поле «Мера и емкости»). Как было указано во второй главе работы, в общем случае для расчета значений а (х) могут быть использованы различные емкости Шоке, вычисление которых на практике оказывается менее трудоемким, а значит более быстрым по сравнению с оценкой мер. Однако в данном алгоритме, значения индекса сингулярностеи требуется вычислять с использованием емкостей p,sum или цІ50. Это ограничение объясняется тем, что значения полученных оценок а (х) должны соответствовать той мере, которая впоследствии будет использоваться при расчете т(#) и других мультифрактальных характеристик.
индекса сингулярностеи могут быть рассчитаны как для исходного изображения, так и для изображения текстурных признаков или градиентов интенсивностей пикселей, вычисленных для каждого пикселя исходного изображения.
В программе существует возможность либо отказаться от расчета значений индекса сингулярностеи в этих пикселях (значение «нет»), либо использовать метод симметричного отражения, при котором пространство за пределами изображения заполняется собственной копией, отраженной от соответствующей границы. Как показал сравнительный анализ, проведенный в работе [62], данный метод по сравнению с другими методами, такими как, «метод склейки противоположных углов» или «метод повтора», приводит к минимальным ошибкам в проблемных зонах. Количество классов — вспомогательный параметр, позволяющий указать число условных классов, на которые будет разбито строя щееся изображение по параметру а(х) (д[а(х)]). После выбора необходимых параметров необходимо нажать на кнопку «Построить изображение а(х,у)» и дождаться окончания процесса вычислений. Результатом проведенного анализа являются изображения матриц значений оценок индекса сингулярностеи и соответствующих им значений оценок коэффициентов корреляции (табл. 4.1). В программе «Фрактал-ПК» существует два способа изучения полученных значений а(х) (я[а(х)]): с помощью окна «Информация» и окна «Атрибуты». В окне
«Информация» из ниспадающего меню необходимо выбрать требуемый тип данных, хранящихся вместе с анализируемым или связанным с ним изображением (в данном случае это а(х) или #[а(х)]), и навести указатель мыши на интересующий элемент изображения. Тут же в окне «Информация» в соответствующем поле появится значение выбранного показателя, соответствующее указанному пикселю.
Данный способ удобен для анализа значений а(х), Я[а(3с)] в отдельных точках (например, для того, чтобы убедиться в степени достоверности полученных значений а(х)), однако для решения таких задач, как поиск минимального и максимального значений исследуемого параметра или получение информации о распределении пикселей по параметрам а(х) (і? [а ()]), использование описанного выше инструмента оказывается малоэффективным. Для решения подобного рода задач более предпочтительным представляется использование окна «Атрибуты», в котором указывается число пикселей, принадлежащих тому или иному классу, и диапазон изменения значений параметра ос(Зс) (і?[а(х)]) для выбранного класса. Причем минимальное значение исследуемого параметра будет соответствовать нижней границе интервала изменения параметра для первого класса изображения, а максимальное значение — сумме нижней границы интервала выбранного параметра для последнего класса изображения и длины интервала изменения параметра любого класса.
Похожие диссертации на Разработка теоретических основ и геоинформационных приложений мультифрактальных методов анализа пространственной структуры сложных природных систем
-
