Содержание к диссертации
Введение
1 Сильно и слабо выпуклые множества . 18
1.1 Операции над множествами 22
1.2 Топологические свойства суммы и разности множеств 26
1.3 Отношение "выпукло сильнее" для множеств 35
1.4 Сохранение отношения "выпукло сильнее" при суммировании множеств 42
1.5 Сильно выпуклые множества 53
1.6 Слабо выпуклые множества 71
1.7 Слабая выпуклость и гладкость множеств 94
1.8 Исчисление констант сильной и слабой выпуклости для множеств 106
1.9 Перестановочность геометрических операций 118
1.10 Гладкость сильно и слабо выпуклых оболочек множеств. 122
1.11 Теорема об альтернативе для дифференциальных игр 128
2 Сильно и слабо выпуклые функции . 131
2.1 Операции над функциями 134
2.2 Связь операций над множествами и операций над функциями 137
2.3 Отношение "выпукла сильнее" для функций 139
2.4 Исчисление параметоров выпуклости для функций 145
2.5 Сильно и слабо выпуклые функции 156
2.6 Слабая выпуклость и гладкость функций 161
2.7 Выпуклая, слабо выпуклая и сильно выпуклая оболочки функций 166
2.8 Аппроксимации непрерывной функции гладкими функциями 172
2.9 Верхняя и нижняя производные второго порядка 176
2.10 Сильная выпуклость множества и гладкость его опорной функции 180
2.11 Некоторые свойства операций с функциями и множествами 187
2.12 Сильно выпуклые штрафные функции 190
3 Регулярность задачи на минимакс . 194
3.1 Теоремы о существовании седловой точки 195
3.2 Непрерывная зависимость седловой точки сильно выпукло-вогнутой функции от параметра 197
3.3 Условия существования седловой точки в терминах множеств уровня '. 207
4 Квадратичная сходимость алгоритмов решения линей ных дифференциальных игр . 209
4.1 Кусочно-программные стратегии 211
4.2 Дифференциальная игра с липшицевой функцией платы. 216
4.3 Дифференциальная игра с терминальным множеством. 227
4.4 Оценки погрешностей, связанных с дискретизацией по пространству. 242
4.5 Пример 252
5 Гарантированное управление в дифференциальных играх с эллипсоидальной платой . 255
5.1 Дифференциальная игра с эллипсоидальной платой 256
5.2 Стратегическая функция 259
5.3 Теорема о гарантированном управлении 261
5.4 Лемма о нижней производной 263
5.5 Доказательство теоремы о гарантированном управлении . 269
6 Дифференциальные игры с сильно выпукло-вогнутым функционалом . 277
6.1 Постановка задачи 278
6.2 Существование седловой точки в классе программных стратегий 284
6.3 Принцип минимакса 294
6.4 Непрерывность оптимальных стратегий и гладкость функции цены игры 296
6.5 Пример 306
6.6 Игры с сильно выпуклыми ограничениями 313
7 Дифференциальные игры с эллипсоидальными штрафами . 316
7.1 Теорема о седловой точке 318
7.2 Вычисление вектора сопряженных переменных методом простой итерации 331
7.3 Вычисление вектора сопряженных переменных методом Ньютона 334
7.4 Дифференциальная игра с чисто геометрическими ограничениями на управление преследователя 343
7.5 Дифференциальные игры без геометрических ограничений на управления игроков 347
7.6 Пример 349
Заключение . 352
Литература 353
Список обозначений 378
Предметный указатель 381
- Сохранение отношения "выпукло сильнее" при суммировании множеств
- Исчисление параметоров выпуклости для функций
- Некоторые свойства операций с функциями и множествами
- Доказательство теоремы о гарантированном управлении
Введение к работе
В теории экстремальных задач математический аппарат классического гладкого анализа необходим, но не достаточен. Например, максимум двух сколь угодно гладких функций является в общем случае не дифференцируемой функцией. Так естественным образом в экстремальных задачах возникают негладкие объекты, необходимость работы с которыми привела к появлению и развитию негладкого анализа [27, 29, 30, 64, 90, 91, 104, 113, 114, 199, 200, 204].
Экстремальные задачи, не сохраняя гладкость объектов, часто сохраняют их выпуклость. Например, максимум двух выпуклых функций является выпуклой функцией. Выпуклый анализ является важным инструментом исследования экстремальных задач. Методы выпуклого анализа позволяют получить результаты, которые не могут быть получены методами гладкого анализа.
Основы выпуклого анализа заложены в работах Минковского, Фенхеля, Моро, Рокафеллара и др. [94, 156, 189, 203, 204, 211, 212, 219, 220, 228, 229, 230, 231, 233]. К настоящему времени написано большое количество трудов по выпуклому анализу и его приложениям [2, 7, 18, 26, 28, 31, 32, 61, 99, 105, ПО, 115, 136, 137, 138, 145, 153, 180, 181, 198].
Основные понятия выпуклого анализа - это выпуклое множество и выпуклая функция. Многочисленные приложения часто требуют модифицировать понятие выпуклости. В одних ситуациях нужно ослабить требования выпуклости с целью расширить область применения соответствующего понятия. В других ситуациях необходимо усилить требования выпуклости для получения свойств, которые при обычной выпуклости не имеют места.
В работах [25, 165, 201, 207, 224, 240] разработан аксиоматический подход к понятию выпуклости, который состоит в следующем. В множестве С выбирается семейство подмножеств Ф, называемое базой выпуклости. Множество X С С называется Ф-выпуклым, если оно представимо в виде пересечения некоторого подсемейства множеств из данного семейства Ф. Также предлагались различные понятия выпуклости для функций, соответствующие различным понятиям выпуклости множеств - надграфиков этих функций.
В настоящей работе рассматривается отношение " выпукло сильнее" для множеств и для функций. Отношение "выпукло сильнее" является важным частным случаем понятия Ф-выпуклости. Будем говорить, что множество X в линейном пространстве С выпукло сильнее множества Y С , если множество X является Ф-выпуклым для семейства Ф, состоящего из всевозможных сдвигов У + d множества Y на векторы d Є С. Функция / называется выпуклой сильнее функции д, если надграфик функции / является множеством, выпуклым сильнее над-графика функциии д.
Множество X в нормированном пространстве называется сильно выпуклым с константой R > 0, если множество X выпукло сильнее замкнутого шара радиуса R. Сильно выпуклые множества рассматривались в работах [8, 9, 10, 41, 42, 43, 44, 47, 48, 62, 71, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 136, 215, 235, 236, 241].
В работе [33] СБ. Стечкиным и Н.В. Ефимовым в связи с исследованием чебышевских множеств было введено понятие а-выпуклого множества. Множество X в нормированном пространстве называется а-выпуклым, если оно представимо в виде пересечения дополнений к открытым шарам радиуса а. В нашей работе вместо термина "а-выпуклое множество" используется термин "множество, слабо выпуклое по Стечкину с константой а". Таким образом, множество X в нормированном пространстве С слабо выпукло по Стечкину с константой R, если оно выпукло сильнее множества {х G С : \\х\\ > R}. В работе [241] Ж.-Ф. Виаль ввел другое определение слабо выпуклого множества. В нашей работе установлена связь различных определений
слабо выпуклых множеств и получены новые свойства этих множеств.
В работах [18, 51, 54, 55, 134, 136, 138, 241] рассмотрены сильно и слабо выпуклые функции. Функция /, определенная в нормированном пространстве, называется сильно выпуклой с константой С > 0, если функция х н-> f(x) — f||z||2 выпукла. Функция / называется слабо выпуклой с константой С > 0, если функция х н-> /(ж)+^||^||2 выпукла. Функция / называется сильно (слабо) вогнутой с константой С > О, если функция — / сильно (слабо) выпукла с константой С.
Напомним, что геометрические операции суммы и разности (по Минковскому) множеств X и У в линейном пространстве определяются следующим образом:
X + Y = {x + y : хеХ, yeY}, Y ±Х = {z : г + X С У} .
Пусть на линейном пространстве С заданы функции /, д : С —) К, со значениями из расширенной числовой R = E|J{—со, +оо}. Определим эпи-сумму
(fg)(x)= inf (/(*-«) + $(«))
" \ p(u)<+oo
и эпи-разность
(/В у) ()= sup (/(* + «)-$("))
u . Г/(а?+и)>-оо \ p(u)<+oo
Операция эпи-суммы рассматривалась в работах [61, 156], где она называется инфимальной конволюцией. Мы используем названия " эпи-сумма" и "эпи-разность", которые подчеркивают тот факт, что над-графики (эпиграфы) эпи-суммы и эпи-разности функций / и д с точностью до замыкания равны соответственно геометрической сумме и геометрической разности надграфиков функций / и д.
Отношение "выпукло сильнее" для множеств можно сформулировать через геометрическую разность, а для функций - через эпи-разность. Множество X выпукло сильнее множества Y тогда и только
тогда, когда Y — X ф$ ж X = Y — (Y — X). Функция / выпукла сильнее функции д тогда и только тогда, когда / = д В (д В /). Поэтому определения сильно и слабо выпуклых множеств и функций удобно формулировать в терминах геометрических операций с множествами и эпи-операций с функциями.
В связи с развитием выпуклого анализа важно установить связь между понятиями выпуклости и гладкости. В работе [18] показана связь между сильной выпуклостью функции / и гладкостью сопряженной (по Лежандру-Юнгу-Фенхелю) функции /*.
В нашей работе установлена связь между гладкостью и слабой выпуклостью функций. Мы показали, что для функции /, заданной в гильбертовом пространстве, дифференцируемость / и условие Липшица для производной функции / с константой L эквивалентны совокупности условий слабой выпуклости и слабой вогнутости функции / с константой L (2.6). Аналогичный результат получен и для множеств (1.7). Тем самым, подобно тому, что непрерывность функции можно представить как совокупность условий полунепрерывности сверху и снизу, гладкость функции можно представить в виде совокупности условий слабой выпуклости и слабой вогнутости.
Как известно, для существования минимума функции / на компакте нужна не непрерывность, а полунепрерывность снизу функции /. Подобно этому для регулярности задачи на минимум нужна сильная выпуклость. В частности, если на гильбертовом пространстве И заданы полунепрерывные снизу функции f,g : И —) lR(J{+co}, причем функция д сильно выпукла с константой Д, а функция / дифференцируема и ее производная удовлетворяет условию Липшица с константой L < R, то при любом х Є Ті минимум min(f(x — и) + д(и)) достигается
в некоторой единственной точке ит\п(х), причем функция ит\п удовлетворяет условию Липшица с константой ^х (лемма 3.2.3).
В нашей работе построено исчисление параметров сильной и слабой выпуклости для геометрических операций с множествами (1.8) и эпи-операций с функциями (2.4). Тем самым для экстремальных задач, представимых в терминах эпи-операций, решается проблема неглад-
кости.
Первая глава диссертации посвящена изучению свойств сильно и слабо выпуклых множеств, вторая - сильно и слабо выпуклых функций.
Важным разделом теории экстремальных задач является исследование задачи на минимакс. В работе [105] доказана теорема о существовании седловои точки в минимаксной задаче для выпукло-вогнутой функции. В третьей главе нашей работы доказана липшицева зависимость от параметра седловои точки в минимаксной задаче для сильно выпукло-вогнутой функции.
Основная область приложений выпуклого анализа, рассмотренная в настоящей работе - это теория дифференциальных игр. Этим приложениям посвящены главы 4-7 нашей работы. Хотя в работе изложение начинается с выпуклого анализа, а результаты в теории дифференциальных игр можно рассматривать как приложения результатов выпуклого анализа, автор в своих исследованиях двигался в обратном направлении. Исследования дифференциальных игр и алгоритмов их решений подтолкнули автора к исследованиям в области выпуклого анализа.
Теория дифференциальных игр рассматривает задачи управления динамической системой несколькими игроками, имеющих различные цели. Мы будем рассматривать игры с двумя игроками, имеющими противоположные интересы (т.е. антагонистические игры или игры с нулевой суммой).
В рамках теории дифференциальных игр может быть исследовано оптимальное управление объектом в конфликтных ситуациях, а также в ситуациях, когда на объект воздействует помеха, играющая роль одного из игроков. Задача состоит в нахождении оптимального гарантированного управления объектом, обеспечивающего оптимальный гарантированный результат, то есть наилучший результат (значение функционала качества), который может достичь игрок при самых неблагоприятных действиях соперника.
Понятие "дифференциальная игра" было введено Р. Айзексом в
книге [5], где разобраны многочисленные примеры, но еще отсутствует четкая математическая формализация дифференциальной игры. В нашей стране труды академиков Л.С. Понтрягина [147] и Н.Н. Красов-ского [81] положили начало развития двух направлений в исследовании дифференциальных игр, различающихся математической формализацией игры и классами стратегий игроков.
Фундаментальные результаты в теории дифференциальных игр получены в работах Р. Айзекса [5], Н.Л. Григоренко [19, 20], П.Б. Гу-сятникова [21, 22, 23, 24], Ф. Кларка [65], А.Н. Красовского [72], Н.Н. Красовского [73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82], А.Б. Кур-жанского [86, 87, 88, 89, 222, 223], Ю.С.Ледяева [65], А.А. Меликя-на [101, 195], Е.Ф. Мищенко [102, 103, 148, 232], М.С. Никольского [107, 108, 109, 111, 112], Ю.С. Осипова [83, 116, 117, 118], Л.А. Пет-росяна [123, 124], Е.С. Половинкина [22, 23, 125, 128], Л.С. Понтрягина [142, 143, 144, 146, 147, 148], Б.Н. Пшеничного [149, 150, 151, 152], А.И. Субботина [65, 73, 74, 75, 167,168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175], У. Флеминга [213, 214], А. Фридмана [216], А.С. Ченцова [170, 175, 191, 192, 193, 194], Ф.Л. Черноусько [195] и др.
Будем рассматривать дифференциальную игру на фиксированном отрезке времени [to; &] Пусть динамика системы определена уравнением
x(t) = /(*,x(t),u(t), v{t)), t Є [*<,; 0], (0.0.1)
где x(t) - фазовый вектор системы, u(t),v(t) - управления игроков. Задано начальное состояние системы x(to) = xq. Управления игроков подчиняются геометрическим ограничениям
u(t) Є P(i), v(t) Є Q(t), t є [to; Я (0.0.2)
Задан функционал платы (функционал качества игры )
х)
J = -r{x(ti))+ J\p(t,x(t),u(t),v(t))dt. (0.0.3)
в Здесь 7(ж(^)) ~ терминальное слагаемое, f ip(t,x(t),u(t),v(t))dt - ин-
тегральное слагаемое функционала качества.
Цель игрока и состоит в минимизации значения функционала J, цель игрока v - в максимизации этого значения.
В другой постановке вместо функционала платы задано терминальное множество М. Цель игрока и состоит в приведении фазового вектора на множество М в конечный момент времени: x(fl) Є М; цель игрока v - противоположная: ж(?9) ^ М. Заметим, что дифференциальную игру с терминальным множеством можно рассматривать как игру с терминальным функционалом платы
При выборе своих управлений в момент времени t игроки могут использовать данные о значениях фазового вектора в моменты времени t'e[t0;t}.
Если определены функции upos(t, х), vpos(t,x) и в каждый момент времени t Є [fati] игроки строят свои управления по закону u(t) = Upos(t,x(t)), v(t) = vpos(t,x(t)), то будем говорить, что определены позиционные стратегии игроков. Стратегия, при которой игроки перед началом игры определяют свои управления как функции времени и(t), v(t), называются программной стратегией. Стратегия, при которой строится разбиение отрезка времени to < h < < tic = $ и на каждом отрезке [ijt;^+i] в зависимости от x(tk) строятся программные стратегии u(t), v(t), называется кусочно-программной стратегией.
Разумеется, при определении той или иной стратегии нужно требовать существование решения дифференциального уравнения (0.0.1) и выполнение ограничений (0.0.2).
Большинство современных алгоритмов, исследующих дифференциальные игры, используют следующий метод стабильного моста Н.Н. Красовского [81]. Сначала вычисляется функция цены игры o(to,Xo), значение которой равно оптимальному гарантированному pe-
зультату в игре с начальным условием x(to) = xq. Для дифференциальной игры с терминальным множеством вместо функции цены игры вычисляется альтернированный интеграл Л.С. Понтрягина [147]. Затем на основе вычисленной функции цены игры или альтернированного интеграла строятся оптимальные гарантированные стратегии управлений. В работах Н.Д. Боткина [12, 13, 14, 15, 16, 202], М.А. Зарха [34, 35, 36], В.М. Кейна [13, 63, 202], А.Ю. Коврижных [66, 67], Р.В. Константинова [70, 135], С.С. Кумкова [84, 85], М.Д. Локшина [95], Н.Ю. Луко-янова [96, 97, 98], B.C. Пацко [13, 35, 63, 85, 202, 234], А.П. Пономарева [139, 140, 141], Е.В. Сидоровой и Н.Н. Субботиной [160], Д.Б. Силина [161, 162], A.M. Тарасьева [122,176, 177, 178, 179], В.Е. Третьякова [80], В.Л. Туровой [63, 182, 202], А.А. Успенского [122, 178], В.И. Ухоботова [3,106, 183, 184], В.Н. Ушакова [73,176,177,178,179,185, 186, 187, 188], А.П. Хрипунова [177, 179, 187, 190], А.А. Чикрия [154, 196, 197, 206] и других предложены алгоритмы, вычисляющие цену игры или альтернированный интеграл и строящие оптимальные гарантированные стратегии.
Как показали эти работы, алгоритмы исследования даже только линейных дифференцильных игр весьма трудоемки и требуют весьма значительных вычислительных ресурсов. По этой причине указанные алгоритмы в общем случае могут быть реализованы лишь для игр размерности не более четырех - пяти. Реализация этих алгоритмов для задач большей размерности технически осуществима лишь для весьма бедного класса дифференциальных игр.
Для расширения области практического применения аппарата теории дифференциальных игр требуется найти такие математические постановки, которые охватывают широкие классы реальных задач и в то же время допускают эффективное их решение. В виду сложности и многообразия практических задач, по-видимому не существует единого алгоритма решения, подходящего сразу для всех классов дифференциальных игр. Различные авторы рассматривают разные по общности классы дифференциальных игр, предлагая для них алгоритмы различной эффективности [1, 3, 4, 17, 37, 69, 83, 92, 100, 119, 120, 121, 158,
164, 163, 182, 183, 184, 210, 221, 226, 227, 237, 238, 239, 242].
Среди достаточно широких классов дифференциальных игр первое место по эффективности алгоритмов решения занимает класс линейно-квадратичных игр, то есть игр (0.0.1)-(0.0.3), для которых динамика линейна, геометрические ограничения на управления отсутствуют, функционал платы является квадратичной формой относительно фазового вектора и управлений игроков. Известно [81, с. 159], что для линейно-квадратичной дифференциальной игры оптимальные гарантированные позиционные стратегии игроков определяются формулами
wPos(i, я) = Ki(t)x, vp0s(<, х) = K2{t)x, (0.0.4)
где матрицы K\(t), K2{t) определяются путем решения матричного дифференциального уравнения Риккати. Простота реализации алгоритма решения линейно-квадратичных дифференциальных игр позволяет довольно широко применять этот алгоритм на практике [11, 155, 205, 208, 225].
Существенным ограничением применимости линейно-квадратичной постановки является принципиальная невозможность учитывать геометрические ограничения на управления игроков, так как, согласно формулам (0.0.4), оптимальные управления неограниче-ны, если фазовый вектор неограничен.
В нашей работе предлагается серия высокоэффективных алгоритмов решения различных классов дифференциальных игр с геометр-ческими ограничениями на управления игроков. Все рассматриваемые нами классы дифференциальных игр объединяет то, что им в той или иной форме присуща сильная выпуклость. В одном случае - это сильная выпуклость множеств, задающих геометрические ограничения на управления игроков, в другом случае - это сильная выпуклость функционала платы.
Классы дифференциальных игр, обладающих свойством сильной выпуклости, занимают промежуточное положение между дифференциальными играми в общей постановке и линейно-квадратичными играми. Рассмотренные классы дифференциальных игр охватывают ши-
рокую область практических задач, в том числе задачи с геометрическими ограничениями на управления и в то же время допускают эффективное решение. Если, например, при численном решении дифференциальных уравнений эффективность алгоритмов зависит от гладкости задачи, то для оптимизационных задач и, в частности, для дифференциальных игр сильная выпуклость играет роль гладкости: наличие свойства сильной выпуклости у конкретной дифференциальной игры определяет эффективность алгоритмов ее решения.
Наряду с традиционным математическим аппаратом в нашем исследовании дифференциальных игр принципиальное значение имеет аппарат сильно и слабо выпуклого анализа, в том числе результаты, полученные в первых главах диссертации. Действительно, для линейной дифференциальной игры с терминальным функционалом платы функцию цены игры можно определить в терминах эпи-операций с функциями (см. 4.1), а для линейной игры с терминальным множеством альтернированный интеграл определяется через геометрические операции с множествами (см. 4.3). Свойства геометрических операций с множествами и эпи-операций с функциями, изученные в первых двух главах диссертации, используются в последующих главах при анализе дифференциальных игр.
В главе 4 рассматриваются известные алгоритмы построения функции цены дифференциальной игры и альтернированного интеграла, основанные на вычислении выпуклых оболочек функций. Предметом исследования являются погрешности алгоритмов, связанные с дискретизацией по времени и по пространству. В работах [139, 140, 141, 161] получены оценки, показывающие, что погрешность вычисления альтернированного интеграла, связанная с дискретизацией по времени, обратно пропорциональна числу шагов алгоритма. В главе 4 нашей работы рассмотрены дифференциальные игры, для которых множество, ограничивающее управление игрока-преследователя, сильно выпукло. Для таких игр показано, что погрешность алгоритма, связанная с дискретизацией по времени, обратно пропорциональна квадрату числа шагов. Кроме того, исследована погрешность рассматриваемых
алгоритмов, связанная с введением пространственной сетки и общая погрешность алгоритмов. Приведены результаты численного расчета альтернированных сумм.
В главе 5 рассматривается класс линейных дифференциальных игр на фиксированном отрезке времени с эллипсоидальным функционалом платы. Этот класс игр охватывает задачи, предполагающие как жесткие ограничения на управления игроков, так и требования по минимизации расходов на управления. Известные классы дифференциальных игр, такие как линейные игры с квадратичным критерием качества и линейные игры с эллипсоидами в качестве терминального множества и допустимых множеств управлений игроков, рассматриваемые в методе эллипсоидов А.Б. Куржанского, являются предельными случаями ДИ данного класса. Введено понятие ^-стратегической функции, которое выражает свойство ^-стабильности для эллипсоидальных функций. Приведен эффективный алгоритм вычисления и-стратегической функции, основанный на методе эллипсоидов А.Б. Куржанского. Основной результат главы состоит в том, что гарантированная позиционная стратегия игрока и определяется некоторой явной формулой через u-стратегическую функцию. Приведено доказательство указанного результата, основанное на теореме выживания для дифференциальных уравнений.
В главе б рассматриваются нелинейные дифференциальные игры с интегрально-терминальным функционалом качества. Основное требование состоит в том, чтобы интегрант (подынтегральная функция в интегральном слагаемом функционала качества) был сильно выпуклым по управлению игрока, минимизирующего функционал качества, и сильно вогнутым по управлению игрока-максимизирующего. Причем соответствующие константы сильной выпуклости и вогнутости должны быть не меньше некоторого выражения, зависящего от констант гладкости функций, определяющих правую часть системы дифференциальных уравнений и функционал качества игры. В работе показано, что при этих условиях существует седловая точка в классе программных стратегий, и принцип минимакса, аналогичный принципу мак-
симума Понтрягина, является необходимым и достаточным условием оптимальности. Доказана гладкость функции цены игры, а также непрерывность оптимальных позиционных и программных стратегий игроков для рассматриваемого класса дифференциальных игр. Рассмотрен пример, на основе которого проведено сопоставление исследуемого класса игр с двумя известными классами дифференциальных игр -классом линейно-квадратичных игр и классом игр с чисто геометрическими ограничениями на управления игроков.
В главе 7 рассматриваются дифференциальные с интегрально-терминальным функционалом качества, терминальное слагаемое которого является квадратичной формой, а интегрант представляет собой сумму эллипсоидальных штрафов на управления игроков. Таким образом, в главах 5 и 7 рассматриваются близкие постановки задач. Основное отличие здесь состоит в том, что в лаве 7 строятся оптимальные гарантированные управления игроков, а в главе 5 - гарантированные, но в общем случае не оптимальные управления. Класс дифференциальных игр с эллипсоидальными штрафами, рассмотренных в главе 7 является подклассом игр с сильно выпукло-вогнутым функционалом, исследованных в главе 6. Поэтому для игр с эллипсоидальными штрафами справедлива теорема о существовании седловой точки в классе программных стратегий. Эллипсоидальность штрафов позволяет получить явные выражения оптимальных программных стратегий через вектор сопряженных переменных. Приведены эффективные алгоритмы вычисления вектора сопряженных переменных и доказана сходимость этих алгоритмов. Построена регулярная приближенно оптимальная стратегия для игр с чисто геометрическими ограничениями на управления преследователя. Рассмотрен пример дифференциальной игры в четырехмерном пространстве. На этом примере проиллюстрированы некоторые качественные свойства дифференциальных игр исследуемого класса.
Работа состоит из введения, 7 глав, разделенных на 48 параграфов, заключения, списка литературы (242 наименования), списка обозначений и предметного указателя, всего - 383 страницы. В начале каждой
главы приводится краткое изложение ее основных результатов. В диссертации доказано 76 теорем и 167 лемм, приведено 62 определения и 23 предложения. Предложения здесь - это известные результаты, формулировки которых важны для изложения материала.
Основной материал диссертации опубликован в работах [41-60,135,217,218].
Результаты диссертации докладывались на ежегодной Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения" (1994, 1995, 2004гг.), Международной конференции 1998г., посвященной 90-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина, научных конференциях и семинарах Московского физико-технического института (МФТИ), научных семинарах Института математики и механики Уральского отделения РАН (рук. проф. В.Н. Ушаков), кафедры системного анализа факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (рук. академик РАН А.Б. Куржанский), кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ (рук. проф. В.М. Тихомиров) , а также использованы при чтении спецкурса " Новые результаты выпуклого анализа" для студентов и аспирантов МФТИ.
Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту доктору физико-математических наук профессору Е.С. Половинкину, кандидатам физико-математических наук доцентам М.В. Балашову и Р.В. Константинову и другим сотрудникам кафедры высшей математики МФТИ за моральную поддержку при работе над диссертацией и полезное обсуждение полученных результатов.
Сохранение отношения "выпукло сильнее" при суммировании множеств
Явления, которые могут способствовать деградации экосистемы бассейна, а также пагубно повлиять на численность и здоровье обитающих там рыб, в Каспийском море наблюдаются довольно часто. К одним из таких явлений относится появление на Каспии нового вида гребневика Mnemiopsis leidyi, который представляет серьезную угрозу биологическому разнообразию всего каспийского бассейна. В своей диссертационной работе A.M. Камакин, касаясь данного вопроса подчеркивает, что: «Изоляция Каспийского моря, его видовой состав, а также отсутствие хищников и паразитов у мнемиопсиса на Каспии — предопределили благоприятные условия для образования и развития новой популяции Mnemiopsis leidyi. Благодаря этому гребневик создал в Каспии новую популяцию за 2-3 года, а не через 5-6 лет, как в других бассейнах. Проникновение данного вида гребневика в замкнутое море-озеро должно рассматриваться с позиции экологии как образование нового тупикового звена в трофической цепи экосистемы Каспия, а также как появление нового массового вида, угрожающего существованию местным видам. Угроза исходит как из-за прямого их выедания, так и в результате пищевой конкуренции, что значительно подорвет запасы биоресурсов моря» . Как отмечает Барбара Януз (Barbara Janusz), несмотря на включение положения о чужеродных живых организмах для Каспия в раздел Тегеранской конвенции, посвященной различным источникам загрязнения морской среды, так как эти вселенцы не являются загрязнителями per se, их обитание и распространение в море может угрожать существованию других ценных биологических видов, а также неблагоприятно воздействовать на состояние экосистемы. Они могут разрушить экологическое равновесие и привести к серьезным проблемам, включая засорение водозаборов и оборудования, порча отдыха, ускорение эвтрофикации, уничтожение других, часто ценных видов, а также передачи заболеваний236. В соответствии со ст. 12 Рамочной конвенции по защите морской среды Каспийского моря «Договаривающиеся Стороны принимают все необходимые меры по предотвращению привнесения в Каспийское море инвазивных видов-вселенцев, контролю и борьбе с ними». Конвенция также раскрывает содержание термина «инвазивные виды-вселенцы», под которыми понимаются виды-вселенцы, появление и распространение которых может нанести экономический или экологический ущерб экосистеме или биологическим ресурсам
Каспийского моря. Выражая серьезную обеспокоенность по поводу сокращения числа ценных рыб Каспия, А.Г. Касымов утверждает: «На наших глазах происходит одно из величайших потрясений в рыбном населении Каспийского моря, что связано с одной стороны, с загрязнением и с другой стороны, с их уничтожением. Кроме того, для рыбного населения Каспия большую угрозу представляет появление атлантического иммигранта -мнемиопсиса, который, потребляя зоопланктон, приводит к уменьшению рыбных запасов. Уже сейчас можно предположить, что массовое развитие мнемиопсиса может привести к значительному уменьшению как малоценных, так и ценных рыб Каспия» . Мнемиопсис в Каспийском море впервые был зарегистрирован Иранской Организацией по исследованиям в области рыбного хозяйства в 1995 г. В последующие годы он был обнаружен в Азербайджанских (весна 2000 г.) и Туркменских водах (сентябрь 1999 г.). Ученые полагают, что мнемиопсис. попал в Каспий из Азово-Черноморского бассейна по Волго-Донскому каналу балластными водами судов. По их мнению, сокращение уловов кильки связывается с присутствием этого гребневика. В борьбе с мнемиопсисом ученые приняли решение о контрвселении другого, большего гребневика Beroe ovalis, который поедает мнемиопсис. Согласно утверждениям специалистов, выступивших с докладом на Первом Семинаре Региональной Консультативной Группы КЭП по мнемиопсису, проведенной 24-26 апреля 2001 года в Баку, данный вид, уже присутствующий в Чёрном море, существенно повлиял на восстановление экосистемы Черного моря238. Как сообщает Министерство экологии и природных ресурсов Азербайджана, меры, предпринятые для сокращения количества вредоносного биологического вида мнемиопсиса в Каспийском море дали первые результаты...В результате принятых за последние три года мер по борьбе с этим биологическим видом, в северной части Каспия ситуация стабилизировалась, также наблюдаются положительные процессы в средней части моря. Аналогичные результаты ожидаются и в южной части водоема239. Каспия. Однако данные проблемы особенно обострялись в результате такого геологического явления как колебание уровня моря. Г.Н.Панин, P.M. Мамедов, И.В. Митрофанов в монографии «Современное состояние Каспийского моря», отмечают, что резкие изменения уровня Каспия являются специфической особенностью этого моря-озера240. Уровень Каспийского моря за всю историю его существования многократно подвергался колебаниям, что приводило к повышению или понижению объема воды в бассейне на несколько метров. По словам специалистов, систематические наблюдения над уровнем моря были начаты с 1837 г. Во второй половине XIX в. средние годовые значения уровня Каспия имели тенденцию к снижению. Эта тенденция продолжалась до конца 70-х гг. XX в. Самой низкой отметки за период наблюдений уровень Каспия достиг в 1977 г. Подъем уровня моря начал наблюдаться с 1978 г. до 1995 г.241 Уровень воды меняется от -26 до -29 метров по сравнению с уровнем Мирового океана. Так как эти «приливы» и «отливы» иногда происходят в течение десятилетий, Г. Халилов условно выделяет 8-10-летние периоды неустойчивости и 35-40-летние периоды стабилизации уровня Каспия. Сегодня многочисленные археологические находки свидетельствуют о том, что когда-то уровень Каспия был намного ниже. Со дна моря были найдены различные предметы, использовавшиеся жителями давно затопленных поселений, и даже следы каменных дорог и караван-сараев242. Подъем уровня Каспийского моря за период с 1978-1996 гг. серьезно ухудшил экологическую ситуацию на его побережье, создав целый комплекс экологических проблем, в том числе, риски серьезных нефтяных загрязнений в связи с началом геолого-разведочных работ и освоением шельфовых месторождений Северного и Восточного Каспия243. В этот период уровень Каспия поднялся на 2,5 м, в результате чего была затоплена определенная
Исчисление параметоров выпуклости для функций
Определение. Пусть А - линейный непрерывный оператор на гильбертовом пространстве 1-і. Будем говорить, что функция /:?{— Ж. выпукла с параметром А, если функция / выпукла сильнее функции х и-»- т(х) = (х,Ах). Будем говорить, что функция / : % —V Ж вогнута с параметром А, если функция — / выпукла сильнее функции т. Лемма 2.4.1. Пусть на гильбертовом пространстве % заданы самосопряженные операторы А\,А2 и функции т\{х) = (х,А\х), т2{х) = \{х,А2х). Тогда 1) если оператор А\ + А2 положительно определен, то (mi Ш т2)(х) = \(х, Ах), где A = Ai(Ai + А2) 1А2; 2) если оператор А\ — А2 положительно определен, то (т2 В ті)(х) = 1(х, Ах), где А = Аі(Аі - А2) 1А2. Доказательство. Докажем пункт (1). Согласно определению эпи-суммы Лемма 2.4.2. Пусть на гильбертовом пространстве % заданы самосопряженные операторы Лі,Л2. Пусть оператор Л 2 обратим. Пусть функция f : Ті — R выпукла с параметром А\ и оператор А\ — Ач положительно определен. Тогда функция f выпукла с параметром A i. Доказательство. Определим функции т\{х) = \{х, А\х), гп2(х) = (ж, А2х), т = ТІ2 В mi и оператор А = Лі (Лі — Лг)-1 . Из леммы 2.4.1 следует, что т(х) = (ж, Ах). Поскольку А — Л2 = A2(Ai — Л )-1 , то оператор Л — Л2 положительно определен. Заметим, что А(А — Л2)_1Л2 = А\. Отсюда и из леммы 2.4.1 следует, что т2 Вт = т\. Поэтому mi = гп2 В (77 В mi). Следовательно, функция mi выпукла сильнее функции тп2. Отсюда и из пункта (2) леммы 2.3.1 следует, что функция / выпукла сильнее фуНКЦИИ 7712 Определение. Пусть на топологическом векторном пространстве С задана функция /:—» R. Сопряженной к функции / называется функция / : — R, определяемая формулой Предложение 2.4.1. (Фенхель, Моро [2, с.227]). Пусть на локально выпуклом пространстве С задана функция f : С - R(J{+oo}. Равенство / = / выполнено тогда и только тогда, когда функция f выпукла и полунепрерывна снизу. Заметим, что если пространство С не рефлексивно, то функция / не совпадает с функцией (/ ) , так как / определена на С, а (/ ) -на С . Предложение 2.4.2. [136, с. 103]. Пусть в топологическом векторном пространстве С задано множество X. Тогда функция, сопряженная к индикаторной функции мнооюества X, является опорной функцией мнооюества X: 5Х = sx Теорема 2.4.1. Пусть А - обратимый самосопряженный оператор на гильбертовом пространстве %. Функция f : Ті — RJ{+co} выпукла с параметром А тогда и только тогда, когда функция х н- f(x) — \{х, Ах) выпукла и полунепрерывна снизу. Доказательство. Обозначим т(х) — \{х, Ах). Заметим, что (тВ(шВ обратимости оператора А следует, что (га В (т В f))(x) = т(х) + sup inf ((ж, w) — (v, w) + f(v) — m(v)) = wen ven где g - вторая сопряженная к функции g(x) = f{x) — m{x). Функция / выпукла сильнее функции т в том и только в том случае, когда/ = гаВ(гаВ/), то есть когда g = f — m — гаВ(гаВ/) —га = д .
Согласно предложению 2.4.1 это равенство выполнено тогда и только тогда, когда функция д выпукла, полунепрерывна снизу и не обращается в —со. Замечание 2.4.1. В случае, когда оператор А неотрицательно определен, утверждение теоремы 2.4.1 получено в работе Е.С. Поло-винкина и М.В. Балашова [136, с.389]. Непосредственно из определения выпуклой функции следует Лемма 2.4.3. Пусть заданы А - самосопряженный оператор на гильбертовом пространстве % и функция f : Ті — RJ{+oo}. Функция х н- f(x) — 1 (х, Ах) выпукла тогда и только тогда, когда для любых Х\,Х2 Є %, А Є (0; 1) справедливо неравенство Лемма 2.4.4. Пусть на гильбертовом пространстве % заданы самосопряженные операторы А\, Ач и функции /і,/г : "Н — M(J{+oo}. Пусть оператор А\ + 2 положительно определен, A = Ai(A\ + 2)-1 2- Пусть функции х н- /і(ж) — (ж, А\х) и х ь- /2(2;) — (а;, А2ж) выпуклы. Тогда функция х И- (/і ЕВ /2)( ) — (я, Ас) выпукла. Доказательство. Зафиксируем произвольные Жі,ж2 Є "Н и А Є (0; 1). Обозначим = Д Ш /2, F = А (яя) + (1 - А) (ж2). Из определения эпи-суммы следует, что F = inf (А/І(ХІ - мі) + A/2(«i) + (1- A)/i(x2 -1 2) + (1- A)/2(u2)). Отсюда и из леммы 2.4.3 получаем неравенство F inf (fi{X(x! - щ) + (1- A) (2 - и2)) + /2(A«i + (1- A)u2)+ + 2 (( l- 2-Wl+«2, l( l-«2-«l+W2)) + («l-W2i-42(«l-W2) Jj. Вводя новые переменные u = Aui + (1 — A)u2, V = щ — щ, х = Хх\ + Отсюда и из пункта (1) леммы 2.4.1 следует, что то есть Xg(xi) + (1- Х)д(х2) g{Xxi + (1- Х)х2) + -Ц —-{х2 -хи А(х2 - х{)). Применяя лемму 2.4.3, получаем требуемое утверждение. Лемма 2.4.5. Пусть на локально выпуклом пространстве С задана выпуклая и полунепрерывная снизу функция /:—$ RJ{+oo}. Тогда существуют число С и вектор р Є С такие, что для любого х Є С справедливо неравенство f(x) С + (р,х). Доказательство. В силу предложения 2.4.1 для любого х С
Некоторые свойства операций с функциями и множествами
Результаты, которые будут получены в настоящем параграфе, используются, в частности, для получения оценок сходимости алгоритмов решения дифференциальных игр. Лемма 2.11.1. Пусть на топологическом векторном пространстве С заданы функции Д, /2 : С -» MU{+}- Тогда (Д ЕВ /2) = Д + /. Доказательство. Для любого р Є С справедливы равенства (Д ЕВ 2) Второй пункт леммы следует из первого. Из лемм 2.11.1, 2.11.2, теоремы 2.2.2 и предложения 2.4.2 вытекает первые два пункта следующего известного [126] результата. Предложение 2.11.1. 1) Пусть X, Y - множества в топологическом векторном пространстве С. Тогда sx+y = sx + sy. 2) Пусть X, Y - множества в рефлексивном локально выпуклом пространстве С такие, что X — Y ф 0. Тогда sx±y = co(sx — sy). 3) Пусть X, Y - выпуклые компакты в W1, пусть int [X — Y) ф 0. Тогда для любого р 6 1" справедливы следующие равенства, причем минимум достигается Лемма 2.11.3. Пусть на топологическом векторном пространстве С заданы функции f,g:-+ RJ{+oo}. Пусть функция f выпукла и полунепрерывна снизу. Пусть заданы числа а,(3 0. Тогда Доказательство. Поскольку со (/ + ад) / + ад, то Так как то в силу выпуклости и полунепрерывности снизу функции / справедливо неравенство Следовательно, Отсюда и из неравенства (2.11.1) получаем доказываемое равенство. ш Следующая лемма является аналогом леммы 2.11.3 для множеств. Лемма 2.11.4. Пусть в линейном пространстве С заданы выпуклые множества X,Y,Z. Пусть заданы числа а, (3 0. Тогда Доказательство. Из свойства 1.1.8(a) следует, что X + aY—aZ + обратное включение. Рассмотрим следующую задачу. Пусть в банаховом пространстве С задано сильно выпуклое множество X. Требуется построить сильно выпуклую функцию f : С —)-МУ{+оо} такую, что Задачу (2.12.1) можно интерпретировать как задачу построения штрафной функции, имея в виду следующий известный метод внутренних штрафных функций. Если функция / удовлетворяет условиям (2.12.1), то для любой функции д : С - RJ{+oo} и для любого числа є 0 справедливы неравенства Эти неравенства показывают, что задачу условной минимизации inf д(х) можно с точностью є приблизить задачей безусловной миними хЄХ зации inf (д(х) + ef{x)). В этом состоит метод внутренних штрафных функций. 190 В данном параграфе рассматривается следующий способ определения функции /, удовлетворяющей условиям (2.12. + ад) / + ад, то Так как то в силу выпуклости и полунепрерывности снизу функции / справедливо неравенство Следовательно, Отсюда и из неравенства (2.11.1) получаем доказываемое равенство. ш Следующая лемма является аналогом леммы 2.11.3 для множеств. Лемма 2.11.4. Пусть в линейном пространстве С заданы выпуклые множества X,Y,Z. Пусть заданы числа а, (3 0.
Тогда Доказательство. Из свойства 1.1.8(a) следует, что X + aY—aZ + обратное включение. Рассмотрим следующую задачу. Пусть в банаховом пространстве С задано сильно выпуклое множество X. Требуется построить сильно выпуклую функцию f : С —)-МУ{+оо} такую, что Задачу (2.12.1) можно интерпретировать как задачу построения штрафной функции, имея в виду следующий известный метод внутренних штрафных функций. Если функция / удовлетворяет условиям (2.12.1), то для любой функции д : С - RJ{+oo} и для любого числа є 0 справедливы неравенства Эти неравенства показывают, что задачу условной минимизации inf д(х) можно с точностью є приблизить задачей безусловной миними хЄХ зации inf (д(х) + ef{x)). В этом состоит метод внутренних штрафных функций. 190 В данном параграфе рассматривается следующий способ определения функции /, удовлетворяющей условиям (2.12.1): где их — функция Минковского множества X: Будет показано, что из сильной выпуклости множества X и условия О Є int X следует сильная выпуклость функции /, определяемой формулой (2.12.2). Хотя способ (2.12.1) - не единственный способ построения 1): где их — функция Минковского множества X: Будет показано, что из сильной выпуклости множества X и условия О Є int X следует сильная выпуклость функции /, определяемой формулой (2.12.2). Хотя способ (2.12.1) - не единственный способ построения сильно выпуклой функции, удовлетворяющей условиям (2.12.1), способ (2.12.2) представляется весьма естественным и его применение позволяет построить эффективные алгоритмы построения оптимальных стратегий в дифференциальных играх, о чем речь пойдет в 6.6 и главе 7. Лемма 2.12.1. Пусть С - линейное пространство, [i : С - [0;+со) - выпуклая функция, F : [0;+оо) - ]RJ{+oo} - выпуклая, нестрого возрастающая функция. Тогда функция f(x) = F(p,(x)) выпукла на С. Доказательство. Зафиксируем произвольные х\,х2 Є С, X Є [0; 1]. Обозначим Поскольку функция и выпукла, то ]2\ fi\. В силу возрастания функции F справедливо неравенство F(Ji\) F(fix)- Из выпуклости функции F следует неравенство XF(ni)-\-(l—X)F(p2) - (Дл)- Поэтому XF(m) + (1- X)F(fi2) F(fjLx). Следовательно, Xf(Xl) + (1- X)f(x2) f( x).
Доказательство теоремы о гарантированном управлении
Покажем, что справедливо условие (5.5.2). t Пусть z = Є М. Если t = #, то f(z) — О Є TM(Z). Рассмотрим случай t її. Обозначим д = (3(t,upos(t,x)) — 7( , ( ))- В силу леммы 5.4.5 существуют последовательности чисел 6к -» +0 и векторов к — = v(t) — up0s (,#), такие, что Заметим, что t(r) = "d — t{r) и функция f(z) удовлетворяет условию ((г) является х( (т)) Липшица. Отсюда следует, что функция z(r) = единственным решением уравнения z{r) = f(z(r)) с начальным уело . В силу теоремы выживания, существует TQ 0: if VI J z(r) Є М при r Є [0;то], т.е. для любого t\ G [f , (7)] выполнено неравенство (5.5.3), что противоречит определению t3 . Полученное противоречие показывает, что предположение ff3 д несправедливо, следовательно, if3 = $, что завершает доказательство леммы. Для завершения доказательства теоремы о гарантированном управлении достаточно показать, что лемма 5.5.1 остается верной, если требование непрерывности функции v (і) заменить на требование абсолютной интегрируемости этой функции. Пусть даны точки то, т\, 0 TQ т\ д и вектор v Є Еп. Определим где инфимум берется по абсолютно интегрируемым функциям v : [TOJTI] - п таким, что 7( ,v(t)) +оо для любого t Є [то,ті], / v(t) dt = v. J T0 Легко видеть, что функция 7(" TO TL) выпукла. Применяя теорему отделимости к ее надграфику, получим следующую лемму. Лемма 5.5.2. Пусть даны точки TQ,T\, 0 т$ т\ д и вектор щ Є Шп, такие, что у(щ,то,ті) Ч-оо. Тогда существует число фо 0 и вектор ф Є Шп, (фо,ф) Ф (0,0), такие, что для любого v Є 7( То, ті) выполнено неравенство Лемма 5.5.3. Пусть О го т\ д и на отрезке [то,ті] задана абсолютно интегрируемая функция v\{t), причем 7{t,v\[t)) +оо при t Є [то,ті]. Тогда существует непрерывная функция v2 : [то, т\\ — Rn, такая, что Доказательство. Определим Так как {t, v(t)) С +oo, то 7( то, ТІ) +00 и по лемме 5.2 существует вектор (фо,Ф) Є R х Еп\(0,0), такой, что Было показано (например, [198], с. 259), что инфимум в выражении (5.5.4) достигается. Обозначим через vo(i) абсолютно интегрируемую функцию, на которой достигается минимум в выражении (5.5.4) при ограничениях выполнено неравенство (5.5.3), что противоречит определению t3 .
Полученное противоречие показывает, что предположение ff3 д несправедливо, следовательно, if3 = $, что завершает доказательство леммы. Для завершения доказательства теоремы о гарантированном управлении достаточно показать, что лемма 5.5.1 остается верной, если требование непрерывности функции v (і) заменить на требование абсолютной интегрируемости этой функции. Пусть даны точки то, т\, 0 TQ т\ д и вектор v Є Еп. Определим где инфимум берется по абсолютно интегрируемым функциям v : [TOJTI] - п таким, что 7( ,v(t)) +оо для любого t Є [то,ті], / v(t) dt = v. J T0 Легко видеть, что функция 7(" TO TL) выпукла. Применяя теорему отделимости к ее надграфику, получим следующую лемму. Лемма 5.5.2. Пусть даны точки TQ,T\, 0 т$ т\ д и вектор щ Є Шп, такие, что у(щ,то,ті) Ч-оо. Тогда существует число фо 0 и вектор ф Є Шп, (фо,ф) Ф (0,0), такие, что для любого v Є 7( То, ті) выполнено неравенство Лемма 5.5.3. Пусть О го т\ д и на отрезке [то,ті] задана абсолютно интегрируемая функция v\{t), причем 7{t,v\[t)) +оо при t Є [то,ті]. Тогда существует непрерывная функция v2 : [то, т\\ — Rn, такая, что Доказательство. Определим Так как {t, v(t)) С +oo, то 7( то, ТІ) +00 и по лемме 5.2 существует вектор (фо,Ф) Є R х Еп\(0,0), такой, что Было показано (например, [198], с. 259), что инфимум в выражении (5.5.4) достигается. Обозначим через vo(i) абсолютно интегрируемую функцию, на которой достигается минимум в выражении (5.5.4) при ограничениях Обозначим V2{t) = д(фо,ф,ш1(і)), где функция д(фо,ф,со) определена формулой (5.4.4). Если vo(t) ф V2(t) на множестве ненулевой меры, то в силу свойства 5.4.2, на этом множестве. Тогда что противоречит Обозначим V2{t) = д(фо,ф,ш1(і)), где функция д(фо,ф,со) определена формулой (5.4.4). Если vo(t) ф V2(t) на множестве ненулевой меры, то в силу свойства 5.4.2, на этом множестве. Тогда что противоречит (5.5.7). Следовательно, г?о() = 2( ) почти всюду. Учитывая (5.5.6) и определение функции г о(), получаем соотношения (5.5.5). Лемма 5.5.4. Пусть to Є [0; і?) и задана абсолютно интегрируемая функция v : [to ti] — Rn, такая, что 7(, ()) +оо для любого t Є [о;$]- Тогда существует последовательность кусочно-непрерывных функций Vk : [о;$] — №п таких, что и решения x(t) и Xk(t) уравнений x(t) = v(t) — upos(t,x(t)), Xk(t) = v(t) — uV0S(t,Xk(t)) с начальными условиями x(to) = Xk(to) = XQ удовлетворяют соотношению Доказательство. Введем разбиение отрезка [to; ] на к равных частей точками U = о + Ї($ — to)/к. В силу леммы 5.5.3, примененной к отрезку [то,ті] = [г-,г-+і], существует непрерывная функция г & : [ , +i] — п5 Применив лемму 5.5.3 ко всем отрезкам [ ,іг-+і] (г — 0,..., к — 1), получим функцию Vk(t), определенную на [о;$] и удовлетворяющую (5.5.8). Определим константу Пусть x(t), Xk(t) - функции, определенные в условии леммы. Тогда при t Є [U, U+i] выполняются неравенства \x(t) — x(ti)\ C\t — t{\ С ($ — to)/к. В силу леммы 5.4.1 функция upos(t, х) удовлетворяет условию Липшица по а; с некоторой константой L. Следовательно,
