Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Векторные гарантированные оценки в многошаговых играх 14
I. Векторные гарантированные оценки и их свойства 14
2. Некоторые свойства множества всех гарантированных оценок игры 28
3. Примеры 31
4. Об одной минимаксной задаче векторной оптимизации 35
ГЛАВА II. Векторные гарантированные оценки в квазили нейных дифференциальных играх 50
I. Гарантированные оценки для обусловленных игр 52
2. Гарантированные оценки для правильных игр 68
3. Некоторые способы построения множества гарантированных оценок для обусловленных игр, не являющих ся правильными 74
4. Примеры 83
ГЛАВА III. Гарантированные оценки 88
I. Определение множественнозначных гарантированных оценок и их свойства 88
2. Некоторые методы получения оптимальных по Парето гарантированных оценок 97
3. Приложение к дифференциальным играм с векторным критерием качества 102
ГЛАВА ІV. Об одном классе дифференциальных игр с неполной информацией 105
I. Приближенный метод вычисления величины оптималь ного гарантированного результата для случая скалярного критерия качества 106
2. Случай векторного критерия качества 114
Литература
- Некоторые свойства множества всех гарантированных оценок игры
- Гарантированные оценки для правильных игр
- Некоторые методы получения оптимальных по Парето гарантированных оценок
- Случай векторного критерия качества
Введение к работе
Краткая аннотация работы. В диссертации изучаются антагонистические игры с векторным критерием качества. Рассматриваются два класса игр: многошаговые игры с конечным числом ходов и дифференциальные игры с фиксированной продолжительностью и терминальной платой. За небольшим исключением содержание работы представляют новые результаты, полученные диссертантом.
Основные положения, выносимые на защиту, формулируются следующим образом.
1. Разработаны эффективные методы построения множества векторных гарантированных оценок в многошаговых и квазилинейных дифференциальных игрих двух игроков с векторным критерием качества, изучены некоторые свойства этих гарантированных оценок.
2. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности по Слейтеру в одной задаче на векторный минимакс, исследована сходимость сеточного метода решения задачи оптимизации по Слейтеру.
3. Изучены свойства множественнозначных гарантированных оценок, получены необходимые и достаточные условия их оптимальности по Парето и Слейтеру.
4. Рассмотрена линейная дифференциальная игра двух игроков с неполной информацией игрока-союзника об управлении игрока-противника. Предложены приближенные методы построения оптимального гарантированного выигрыша игрока-союзника для скалярного критерия качества и множества всех векторных гарантированных оценок игры для векторного критерия качества.
Краткий обзор результатов по теории игр с векторным критерием качества
Теория оптимизации векторного критерия качества является важным разделом современной теории принятия решений. Проблема оптимизации векторного критерия первоначально возникла в связи с необходимостью решения некоторых задач из сферы планирования и организации производства, позднее она быстро распространилась на динамические системы управления.
Первая формулировка проблемы оптимизации по многим критериям была выдвинута еще в 1898 году в книге экономиста Парето [96J , однако, в течение более, чем полувека, эта проблема существенного развития не получила. Только в 1944 году в фундаментальной книге фон Неймана и Моргенштерна [4IJ , посвященной вопросам математической экономики, были заложены основы теории принятия решений в системах с несколькими противоречивыми критериями. В 60-х годах начинается активное изучение многокритериальных задач. Появляется ряд работ в области оптимизации динамических систем с векторным критерием качества [86,95] , а также посвященных определению необходимых условий существования оптимальных решений задач многокритериальной оптимизации в конечномерных и топологических пространствах [87,88).11 роблена векторной оптимизации получила широкое развитие в 70-х - 80-х годах. Обзору полученных результатов посвящен ряд работ, например [4,9,63,73,74].
Остановимся более подробно на результатах, тесно связанных с тематикой диссертации.
Одним из интенсивно развивающихся разделов теории векторной оптимизации являются дифференциальные игры с векторным критерием качества. Систематическое исследование дифференциальных игр началось в 50-х годах нашего столетия. Одним из первых трудов в этой области была монография Р.Айзекса [і] , в которой были получены интересные результаты. Дальнейшее развитие теория дифференциальных игр получила в трудах советских и зарубежных ученых [ 5,8,20-22,25,26,29-31,34,35,42-46,48-53,59-63,65,70 76,77,93,94,97,98,100,101] .
В диссертации существенно используются идеи 1-го прямого метода Л.С.Понтрягина [бо] , разработанного первоначально для решения задач преследования в линейных дифференциальных играх. На основе принципа дискриминации убегающего Л.С.Понтрягиным разработаны эффективные методы построения стратегий преследования, получены оценки времени преследования. Позднее 1-й метод Л.С.Понтрягина был распространен М.С.Никольским [42] и П.Б. Гусятниковым [і?] на нелинейный случай. М.С. Никольский применил идеи этого метода, обычно используемого в задачах преследования-убегания, к играм двух игроков с фиксированным временем и терминальной платой [43-45].
Для доказательства некоторых утверждений диссертации используются результаты теории дифференциальных игр в формализации Н.Н.Красовского [29,30J , в частности, теория стабильных мостов и теорема об альтернативе.
Заметим, что подходы Л.С.Понтрягина и Н.Н.Красовского в настоящее время успешно применяются в играх с векторным критерием качества, например [б,20-22,25,50,Т4]; обзору бескоалиционных и кооперативных дифференциальных игр посвящены работы [73,74].
Разностным аналогом дифференциальных игр являются многошаговые игры. Многошаговым играм с векторным критерием качества посвящен ряд работ. В работе [89J с помощью метода множителей Лагранжа получены необходимые условия оптимальности по Па рето стратегий игроков. Необходимым условиям оптимальности типа принципа максимума Л.С.Понтрягина посвящены работы [б4,9о] . В [91 j предложен подход для отыскания С-ядра в многошаговых процессах, в [57 приведены необходимые условия существования лексикографически оптимального решения для многошаговой игры. Многошаговые игры со скалярным критерием качества изучались в монографиях Ю.Б. Гермейера [п,12] , В.В.Федорова [75] ; В частности, в [75] получены необходимые условия оптимальности для последовательных максиминов с распадающимися переменными.
Важным вопросом в решении задач векторной оптимизации (в том числе и игр с векторным критерием качества) является определение принципов оптимальности решения. Существуют различные подходы к определению этих принципов [74] . Один из таких способов - это свертывание функции выигрыша в один критерий [54] , а затем решение задачи определения оптимальных решений, минимизируя (или максимизируя) полученный обобщенный критерий,применяя соответствующий аппарат для задач со скалярным критерием; такой подход часто используется при определении оптимальности по Парето, Слейтеру, среднеквадратичного решения и т.д. Различным способам скаляризации функции выигрыша в задачах векторной оптимизации посвящены работы [9,11,14,15,54,69]и другие.
Другой путь: с помощью характеристической функции игры найти "хороший" дележ для всех игроков, т.е. удовлетворяющий той или иной концепции оптимальности. Это могут быть элементы С-яд ра, Н-М решения, вектор Шепли и другие.
Глава I посвящена изучению векторных гарантированных оценок в многошаговых играх двух игроков с векторным критерием качества. Главу I по исследуемым в ней вопросам можно разделить на две .. части. В первой ее части (§§ 1-3) изучается многошаговая игра двух игроков с векторным критерием / качества. В § I определяются понятия векторной гарантированной оценки стратегии игрока-союзника (игрока I), а также векторной гарантированной оценки игры, являющиеся обобщением на векторный случай понятия гарантированного результата; исследованы некоторые свойства и указаны способы построения этих оценок. В § 2 изучаются вопросы, связанные с выпуклостью множества всех гарантированных оценок игры. Получены достаточные условия выпуклости и указан способ построения опорной функции этого множества. В § 3 приводятся примеры.
Во второй части главы I (§ 4) подробно изучается одна специальная задача на векторный минимакс, являющаяся некоторым обобщением многошаговой игры (при числе шагов Л =1), изучаемой в §§ 1-3.
Для этой игры получен ряд необходимых и достаточных условий оптимальности по Слейтеру стратегии игрока-союзника. В этом же параграфе изучаются свойства стационарных по Слейтеру точек и доказывается сходимость сеточного метода для поиска этих точек.
Некоторые результаты главы I используются в главе П.
В главе П изучаются векторные гарантированные оценки для квазилинейных дифференциальных игр.
Рассматривается квазилинейная дифференциальная игра двух игроков с векторным терминальным критерием эффективности. В качестве допустимых стратегий игрока-противника (игрока П) выбран класс измеримых программных управлений; в качестве стратегий игрока-союзника (игрока I) рассматриваются два класса измеримых управлений, отвечающих различным уровням информированности игрока-союзника об управлении игрока-противника. В первом случае в каждый момент времени игроку I считается известным вся функция управления игрока П с начального момента времени вплоть до текущего (управление с сохранением информации об управлении игрока-противника); во втором случае игрок I знает управление игрока П только в текущий момент времени (управление без запоминания информации об управлении игрока-противника).
В §§ 1-3 этой главы для определенных классов квазилинейных дифференциальных игр эффективным образом строится некоторое подмножество множества всех векторных гарантированных оценок игры в виде некотором смысле аналогичном последовательному минимак-су. Доказывается, что это подмножество при определенных условиях совпадает со всем множеством векторных гарантированных оценок игры. Результаты §§ 1-3 получены в условиях применимости 1-го прямого метода Л.С.Понтрягина.
В § 4 рассматриваются примеры, иллюстрирующие материал §§ 1-3.
В главе Ш изучаются множественнозначные гарантированные оценки для антагонистической игры с векторным критерием качества, представленной в виде системы XXY У ,где X - множество допустимых стратегий игрока I, Y - множество допустимых стратегий игрока П, Ч(х,у=:(Ч ±( х)Ц))..., \(%Л))- целевая векторная функция , х л , IJS у . Как отмечалось выше (в обзоре литературы), векторные гарантированные оценки и соответствующее им отношение предпочтения на множестве допустимых стратегий игрока I имеют определенные недоста-ки. В § I главы 111 предлагается другой принцип сравнения качества стратегий игрока I, основанный на оценке их эффективности множествами. На основе этого принципа предпочтения вводятся понятия множественнозначной гарантированной оценки стратегии и игры.
Приводится способ скаляризации задачи векторной оптимизации, позволяющий описать все множество гарантированных оценок игры и построить гарантирующие стратегии. При определенных требованиях получены необходимые и достаточные условия оптимальности по Слейтеру гарантированных оценок игры. Результаты этого параграфа легко могут быть распространены на различные классы игр, в том числе и на игры, рассматриваемые в главах 1,П,1У настоящей диссертации.
В § 2 получены достаточные условия оптимальности по Парето множественнозначных гарантированных оценок игры, основанные на скаляризации задачи векторной оптимизации; приводится пример применения этих достаточных условий.
В § 3 приводятся теоремы, полученные на основе результатов § 1,2 этой главы и дающие методы построения множества множественнозначных гарантированных оценок в квазилинейных дифференциальных играх, изучаемых в главе П.
Глава ІУ посвящена изучению одной линейной дифференциальной игры двух игроков с фиксированным временем окончания, терминальной векторной функцией выигрыша и неполной информацией об управлении игрока-противника. В § I для случая скалярного кри - ІЗ терия качества построены верхняя и нижняя оценки величины X - наименьшего гарантированного выигрыша игрока-союзника - в виде последовательного минимакса, а затем получена оценка скорости сходимости этих величин к У . Приводится пример приближенного вычисления величины X с заданной точностью 0. В § 2 полученные в § I результаты обобщаются на случай векторного критерия качества.
Некоторые свойства множества всех гарантированных оценок игры
Замечание Для несколько иного понятия гарантированной оценки игры результат, аналогичный теореме без доказательства приведен в [19] ,
Определение Вектор назовем оптимальной гарантированной оценкой игры, если X - Парето-минимальный вектор среди всех гарантированных оценок игры. Теорема 1.3. Пусть функция непрерывна на произведении компактов XLy... Klix\tx. .. Yj/ Р тогда множество всех оптшальных гарантированных оценок непусто и совпадает со множеством всех Парето-минимальных векторов относительно Г Эта теорема есть простое следствие теоремы 1.2 и леммы 1.9.
Теорема 1.4. Пусть игра одношаговая, т.е. JS =1 и функция ffoc-iHj непрерывна на произведении компактов XL Yt , тогда множество всех оптимальных гарантированных оценок игры непусто и совпадает со множеством всех Парето-минимальных векторов относительно А(Х±) ,где
Доказательство. Воспользовавшись леммой 1.5, можно получить, что откуда и следует утверждение теоремы.
Во многих случаях первым этапом решения задачи векторной оптимизации является построение множества Парето-аптимальных решений. На втором этапе из этого множества решений из определенных соображений выбирается единственное, которое принимается как оптимальное. Ниже рассматривается обобщение компромиссного решения М.Е.Салуквадзе [б8,69]на игровой случай, применительно к изучаемой многошаговой игре.
Определение 1.5. Число і і называется і -гарантированной оценкой стратегии Х Х Р если V стратегии uY справедливо неравенство
В случае непрерывной функции и ком пактных X і , Y i-i,jj , множество всех L - гаранти рованных оценок стратегии Х Х ограничено снизу. Следова тельно, в этом случае оптимальная -гарантированная оцен А ка стратегии X существует. Обозначим через pt C J оптимальную 6 - гаранти л л рованную оценку стратегии хеХ. Лемма I.10., Определение 1,7. Число / ; называется с -гаранти л Л рованной оценкой игры
Определение 1.8. Число называется оптимальной с -га-рантированной оценкой игры, если Л1 - инфимум из і -гарантированных оценок игры. Лемма І.ІІ. Пусть dI - оптимальная і - гарантированная оценка игры, тогда di- i sup...wvf SUp -Л і.-о й). Лемма І.ІІ есть переформулировка известного результата[и],стр.183. Определение 1.9. Вектор сб .Й.т-? координаты которого явля ются оптимальными і -гарантированными оценками игры,называется утопическим или идеальным вектором вектор. Определение 1.10. Вектор называется компро миссной гарантированной оценкой игры
Понятия утопического вектора и компромиссной гарантированной оценки игры, введенные выше, имеют естественные аналоги в теории векторной оптимизации [68,69] .
Теорема 1.5. Пусть функция непрерывна на произведении компактов тогда 1) существует хотя бы одна компромиссная гарантированная оценка игры; 2) любая компромиссная гарантированная оценка игры является оптимальной гарантированной оценкой игры. 3) множество всех компромиссных гарантированных оценок игры является компактом; 4) если р 1 и множество Г выпукло, то компромиссная гарантированная оценка игры единственна. Некоторые свойства множества всех гарантированных оценок игры В этом параграфе все рассматриваемые многозначные отображения будем считать непустозначными.
Гарантированные оценки для правильных игр
Введение таким образом гарантированных оценок объясняется следующими соображениями:
1. Точечные гарантированные оценки, как соответствующие принципу предпочтения по критерию (ос) , имеют два недостат ка:
а) две стратегии игрока I, одна из которых заведомо лучше другой (из интуитивного представления о рациональном выборе), могут иметь одинаковые множества гарантированных оценок, а зна чит быть эквивалентными;
б) пусть игрок I более полно указал свои предпочтения и в результате был построен связный квазипорядок, продолжающий ес тественный квазипорядок, установленный если Х І Х І 7 1=Т п ). Как указано в [55] , может оказаться, что стратегия X ,лучшая, чем X" по критерию $ (х) ,будет хуже, чем X" относительно указанного выше продолжения установленного в &м естественного ква-зипорядка.
Примеры, иллюстрирующие а) и б), имеются в [55]
2. Идеальным классом Н (в смысле отсутствия у гаран тированных оценок стратегий недостатков, указанных в пункте I) можно считать С1 . Однако практическое определение гаранти рованных оценок игры в классе (D и соответствующих им гарантирующих стратегий часто является практически необозримой задачей. С целью ее упрощения можно сузить класс или, например, взять в качестве И множество всех замкнутых шаров из &1 1 и т.д., причем, иногда удается ввести И так, что отношение предпочтения в классе И будет совпадать с отношением предпочтения в классе С .
3. Предположим, что игрок I уточнил свои предпочтения и по этому, уточнению было построено продолжение квазипорядка,порож Л даемое на множестве X классом И-С1 ,не являющееся связным квазипорядком. В этом случае иногда можно подобрать класс И уже, чем С так, что в этом классе отношение предпочтения не будет иметь недостатков, указанных в пункте I, например, пусть стало известно, что игрока І в дальнейшем будет интересовать только взвешенная сумма критериев LPC, ); =1, , причем вектор L игрок I будет уточнять в дальнейшем. В этом случае в качестве И можно взять множество всех многогранни-ков, лежащих в гиперплоскостях вида Демма 3.1. Определения 3.6 и 3.7 эквивалентны. Доказательство. I. Пусть Г - гарантированная оценка в смысле определения 3.6. Докажем, что Г -гарантированная оценка в смысле определения 3.7. Пусть нам задано произвольное число 0 , Обозначим через а через X - допустимую стратегию игрока I, удовлетворяющую (3.1). Используя замечание 3.1 из (3.1) получаем: что и доказывает утверждение.
2. Пусть Г - гарантированная оценка в смысле определения 3.7. Докажем, что Г - гарантированная оценка в смысле определения 3.6. Пусть задано произвольное t 0 . Обозначим через Xе" допустимую стратегию игрока I, удовлетворяющую (з.2) с г = єЛ что в силу замечания 3.1 означает, что где =(i,..., v)9 = % 1-±,иь. Лемма доказана. Пусть Г7 - произвольный компакт из # 1 . Обозначим М(Г) ьи{л sup m м,ах (,;(&,)-ft). Теорема 3.1. Компакт Г = Н является гарантированной оценкой тогда и только тогда, когда Теорему 3.1 легко доказать, используя определение 3.7. Определение 3.8. Гарантированная оценка Г называется оптимальной по Слейтеру (по Парето ) гарантированной оценкой, если не существует гарантированной оценки Г такой, что
Некоторые методы получения оптимальных по Парето гарантированных оценок
Краткая аннотация работы. В диссертации изучаются антагонистические игры с векторным критерием качества. Рассматриваются два класса игр: многошаговые игры с конечным числом ходов и дифференциальные игры с фиксированной продолжительностью и терминальной платой. За небольшим исключением содержание работы представляют новые результаты, полученные диссертантом.
Основные положения, выносимые на защиту, формулируются следующим образом.
1. Разработаны эффективные методы построения множества векторных гарантированных оценок в многошаговых и квазилинейных дифференциальных игрих двух игроков с векторным критерием качества, изучены некоторые свойства этих гарантированных оценок.
2. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности по Слейтеру в одной задаче на векторный минимакс, исследована сходимость сеточного метода решения задачи оптимизации по Слейтеру.
3. Изучены свойства множественнозначных гарантированных оценок, получены необходимые и достаточные условия их оптимальности по Парето и Слейтеру.
4. Рассмотрена линейная дифференциальная игра двух игроков с неполной информацией игрока-союзника об управлении игрока-противника. Предложены приближенные методы построения оптимального гарантированного выигрыша игрока-союзника для скалярного критерия качества и множества всех векторных гарантированных оценок игры для векторного критерия качества.
Краткий обзор результатов по теории игр с векторным критерием качества Теория оптимизации векторного критерия качества является важным разделом современной теории принятия решений. Проблема оптимизации векторного критерия первоначально возникла в связи с необходимостью решения некоторых задач из сферы планирования и организации производства, позднее она быстро распространилась на динамические системы управления.
Первая формулировка проблемы оптимизации по многим критериям была выдвинута еще в 1898 году в книге экономиста Парето [96J , однако, в течение более, чем полувека, эта проблема существенного развития не получила. Только в 1944 году в фундаментальной книге фон Неймана и Моргенштерна [4IJ , посвященной вопросам математической экономики, были заложены основы теории принятия решений в системах с несколькими противоречивыми критериями. В 60-х годах начинается активное изучение многокритериальных задач. Появляется ряд работ в области оптимизации динамических систем с векторным критерием качества [86,95] , а также посвященных определению необходимых условий существования оптимальных решений задач многокритериальной оптимизации в конечномерных и топологических пространствах [87,88).11 роблена векторной оптимизации получила широкое развитие в 70-х - 80-х годах. Обзору полученных результатов посвящен ряд работ, например [4,9,63,73,74].
Остановимся более подробно на результатах, тесно связанных с тематикой диссертации.
Одним из интенсивно развивающихся разделов теории векторной оптимизации являются дифференциальные игры с векторным критерием качества. Систематическое исследование дифференциальных игр началось в 50-х годах нашего столетия. Одним из первых трудов в этой области была монография Р.Айзекса [і] , в которой были получены интересные результаты. Дальнейшее развитие теория дифференциальных игр получила в трудах советских и зарубежных ученых диссертации существенно используются идеи 1-го прямого метода Л.С.Понтрягина [бо] , разработанного первоначально для решения задач преследования в линейных дифференциальных играх. На основе принципа дискриминации убегающего Л.С.Понтрягиным разработаны эффективные методы построения стратегий преследования, получены оценки времени преследования. Позднее 1-й метод Л.С.Понтрягина был распространен М.С.Никольским [42] и П.Б. Гусятниковым [і?] на нелинейный случай. М.С. Никольский применил идеи этого метода, обычно используемого в задачах преследования-убегания, к играм двух игроков с фиксированным временем и терминальной платой [43-45].
Для доказательства некоторых утверждений диссертации используются результаты теории дифференциальных игр в формализации Н.Н.Красовского [29,30J , в частности, теория стабильных мостов и теорема об альтернативе.
Случай векторного критерия качества
Разностным аналогом дифференциальных игр являются многоша говые игры. Многошаговым играм с векторным критерием качества посвящен ряд работ. В работе [89J с помощью метода множителей Лагранжа получены необходимые условия оптимальности по Па рето стратегий игроков. Необходимым условиям оптимальности типа принципа максимума Л.С.Понтрягина посвящены работы [б4,9о] . В [91 j предложен подход для отыскания С-ядра в многошаговых процессах, в [57 приведены необходимые условия существования лексикографически оптимального решения для многошаговой игры. Многошаговые игры со скалярным критерием качества изучались в монографиях Ю.Б. Гермейера [п,12] , В.В.Федорова [75] ; В частности, в [75] получены необходимые условия оптимальности для последовательных максиминов с распадающимися переменными.
Важным вопросом в решении задач векторной оптимизации (в том числе и игр с векторным критерием качества) является определение принципов оптимальности решения. Существуют различные подходы к определению этих принципов [74] . Один из таких способов - это свертывание функции выигрыша в один критерий [54] , а затем решение задачи определения оптимальных решений, минимизируя (или максимизируя) полученный обобщенный критерий,применяя соответствующий аппарат для задач со скалярным критерием; такой подход часто используется при определении оптимальности по Парето, Слейтеру, среднеквадратичного решения и т.д. Различным способам скаляризации функции выигрыша в задачах векторной оптимизации посвящены работы [9,11,14,15,54,69]и другие.
Другой путь: с помощью характеристической функции игры най ти "хороший" дележ для всех игроков, т.е. удовлетворяющий той или иной концепции оптимальности. Это могут быть элементы С-яд ра, Н-М решения, вектор Шепли и другие.
Новый подход к отысканию решений кооперативных дифференциальных игр предложен Л.А.Петросяном [50-53J . Важным требованием к принципам оптимальности при этом подходе является требование к их устойчивости. В [бо] для нетрансферабельных выигрышей введен .аналог характеристической функции, используемой в теории Неймана-Моргенштерна [41] . В соответствии с принципом оптимальности, основанном на построенных характеристических множествах, вводится понятие устойчивости в решении игр с нетрансферабельными выигрышами. В [бі] идея устойчивости распространена на кооперативные дифференциальные игры с трансфе-рабельными выигрышами.
Одним из разделов теории кооперативных игр являются антагонистические игры двух игроков с векторным критерием качества .В диссертации изучается следующая игра:
Имеется два игрока: игрок-союзник (игрок I) и игрок-против Л л ник (игрок П). Пусть X ; Y - множества допустимых стратегий игроков I и П соответственно. Качество пары стратегий х л оценивается УП -мерным векторным критерием качества 4 (х,у)- ( (,),... ,$,$)) .Задача игрока I, выбирая свою стратегию Х Х , сделать значения т{ (х?$) поменьше; игрок П, выбирая свою стратегию у є Y , препятствует ему. Игра рассматривается с точки зрения игрока I.
Важным направлением исследований в области антагонистических игр с векторным критерием качества является разработка принципов предпочтения игрока-союзника и на их основе формулировка векторных аналогов минимакса.
Во многих работах [19,44,85,92] качество стратегии игрока-союзника принято оценивать векторным критерием
Антагонистическим играм с таким отношением предпочтения и связанным с ним понятием гарантированного результата посвящен ряд работ, например, в работах [57,99] исследуются методологические аспекты применения отношения предпочтения вышеуказанного вида; в [I9J для многошаговых игр строится множество всех гарантированных выигрышей в виде, аналогичном последовательному минимаксу, в [44] исследуется один класс дифференциальных игр с векторным критерием качества, для которого в условиях применимости 1-го прямого метода Л.С.Понтрягина строятся эффективные методы получения гарантированных оценок.
Однако,как замечено В.В.Подиновским [бб] , отношение предпочтения по критерию вида F(x) имеет существенные недостатки. В этой же работе предложен способ оценки . качества стратегии хеХ игрока-союзника множеством V(x9Y) , по мнению автора, более соответствующий интуитивному представлению о рациональном выборе.
Играм с многозначными функциями выигрыша посвящены также работы [20,22] . в них предложен принцип оптимальности, основанный на оценке стратегии игрока-союзника множеством. С помощью формализации дифференциальных игр Н.Н.Красовского получены достаточные условия оптимальности и равновесности решений.
В работах [б,7] на основе идей векторного минимакса из [78] вводится понятие седловой точки по выпуклому конусу
В случае если JL - неотрицательный октант простран ства & , в [б] для одной специальной задачи доказано существование седловой точки. В [7 ] производятся некоторые обобщения понятий седловой точки по конусу JL . В [іб] получено необходимое условие равновесности для общих Л, - выпу А л кло-вогнутых игр в нормальной форме XXY\I в случае,КОГДА да X Y задаются операторными включениями.
