Содержание к диссертации
Введение
1. Основы мультифрактального анализа 9
1.1. История развития мультифрактального анализа 9
1.2. Строгий мультифрактальный формализм 15
1.2.1. Хаусдорфова, упаковочная меры и размерности 16
1.2.2. Мультифрактальный формализм 18
1.2.3. Теоремы о покрытиях 22
2. Взаимный мультифрактальный анализ 24
2.1. Взаимные хаусдорфова упаковочная мультифрактальные меры и размерности 24
2.2. Взаимные точные мультифрактальные спектры 31
2.3. Емкостные взаимные спектры 43
2.4. Взаимные спектры Лежандра и взаимные спектры Хентшель - Прокачиа 45
2.5. Взаимные емкостные размерности, определенные для разбиений . 53
2.6. Оценка точных взаимных мультифрактальных спектров 63
2.7. Частные случаи взаимного мультифрактального анализа 65
3. Численные алгоритмы и реализация алгоритмов взаимного мультифрактального анализа 69
3.1. Численные алгоритмы осуществления взаимного мультифрактального анализа 69
3.2. Свойства взаимных мультифрактальных характеристик 71
3.3. Методика проведения взаимного мультифрактального анализа применительно к параметризации минеральных структур 74
3.3.1. Предварительная подготовка изображений 74
3.3.2. Генерация сеток (разбиений), формирование мер и расчет взаимных мультифрактальных характеристик 75
3.3.3. Проверка спектров на корректность, погрешности расчетов . 78
3.3.4. Краткое описание технической реализации алгоритмов взаимного мультифрактального анализа 81
3.4. Тестирование программы MMA2D 83
3.4.1. Случай совпадения носителей мер 84
3.4.2. Случай различных носителей мер, имеющих непустое пересечение 89
4. Приложение взаимного мультифрактального анализа к исследованию изменений в структурах шунгитов под воздействием внешних факторов 98
Заключение 120
Литература 121
Приложение 1 131
- Хаусдорфова, упаковочная меры и размерности
- Взаимные спектры Лежандра и взаимные спектры Хентшель - Прокачиа
- Генерация сеток (разбиений), формирование мер и расчет взаимных мультифрактальных характеристик
- Случай различных носителей мер, имеющих непустое пересечение
Введение к работе
Одной из важнейших фундаментальных задач современного естествознания является строгое количественное описание структуры природных объектов. Традиционный подход для аппроксимации изучаемой структуры предполагает использование геометрических фигур с целыми размерностями (точки, линии, поверхности и т.д.). Однако во многих случаях, с одной стороны, применение топологически не эквивалентных моделей приводит к потере значительной части информации, а с другой такой подход позволяет количественно описать лишь отдельные элементы, не учитывая свойств всей структуры в целом [10].
Новым подходом в решении задачи является описание структур с помощью использования методов фрактальной геометрии [22, 44, 43, 62]. В частности, концепция мультифрактального формализма [3, 10, 28] дает эффективный инструмент для изучения и количественного описания широкого многообразия неоднородных, иррегулярных, сложных систем. Этот подход также имеет очевидные преимущества перед стандартным статистическим, поскольку представляет информацию о локальных и о глобальных свойствах изучаемой системы [82].
Целью мультифрактального анализа является поиск методов для изучения и характеристики мультифрактальных мер [49]. В общей схеме анализа меры анализируются с помощью так называемого "мультифрактального спектра", который позволяет получить как геометрическую, так и вероятностную информацию о распределении точек, имеющих одинаковую сингулярность [103].
К сожалению, появление большинства ошибок в практических приложениях мультифрактального анализа связано с тем, что в отличие от идеальных фрактальных структур реальные природные системы являются самоподобными только лишь над конечным числом уровней масштабов. Поэтому разные меры могут дать почти одинаковые мультифрактальные спектры, и для сравнения распределений мер с мульти-фрактальной точки зрения этот метод не является достаточно корректным. Вследствие этого актуальной является тема разработки методов анализа не только распределения единственной меры, но и определении количественных характеристик
влияния двух разных распределений на геометрию друг друга.
Цели и задачи исследования
Целью диссертационной работы является разработка теоретических основ и реализация нового подхода к количественному описанию тонких структурных изменений, происходящих в сложных природных системах.
В процессе исследования решался ряд взаимосвязанных задач:
Систематизация и анализ теоретических основ фрактального и мультифрак-тального формализмов и приложений их к исследованию природных систем.
Развитие теоретических положений нового подхода к анализу геометрии распределений двух мер на основе строгого мультифрактального формализма, оценка взаимной хаусдорфовой и взаимной упаковочной размерностей, обсуждение частных случаев предложенного анализа — условного и "нового" относительного анализа.
Создание численных алгоритмов взаимного мультифрактального анализа распределений двух мер.
Разработка, реализация и отладка программы, осуществляющей взаимный муль-тифрактальный анализ применительно к исследованию 2D носителей информации (микрофотоизображений минеральных структур).
Тестирование работы численных алгоритмов взаимного мультифрактального анализа на классических фрактальных множествах, оценка погрешностей и ограничений, возникающих при переходе к дискретной аппроксимации.
Приложение метода взаимного мультифрактального анализа к задаче количественного описания изменений в минеральных структурах, происходящих под воздействием внешних факторов.
Методы исследования и фактический материал
Проведенные в диссертационной работе теоретические исследования основаны на методах фрактальной геометрии, строгом мультифрактальном формализме, разработанным Л. Олсеном, используют методы выпуклого анализа, дифференциальной геометрии, а также при доказательстве некоторых теорем используется техника доказательств К.-С. Ло и С.-М. Нгаи. Основным ядром численных алгоритмов являлся модифицированный метод равноячеечного разбиения. При реализации алгоритма мультифрактального и взаимного мультифрактального анализа, а также его частных случаев автором создана программа "MMA2D" в среде Compaq Visual Fortran
6.0 для Windows 98/ХР с использованием пакета визуализации многомерных данных Compaq Array Viewer 1.5. Апробация методики, а также тестирование разработанной программы, проводилось на модельных фрактальных агрегатах, сформированных в специальных компьютерных экспериментах. Результаты расчетов частного случая (классического мультифрактального анализа) сравнивались с результатами, полученными из литературных источников и программным продуктом MFRDrom99, переданным д.ф.-м.н. Г.В. Встовским (ИМЕТ РАН, г. Москва) для тестирования. Микрофотографии структур шунгитового вещества, использованные для апробации методики на реальных природных системах, предоставлены к.ф.-м.н. В.В. Ковалевским (Институт геологии КарНЦ, г. Петрозаводск).
Научная новизна
Научная новизна заключается в следующем:
Предложен новый подход к анализу распределений двух мер с мультифракталь-ной точки зрения.
Разработаны теоретические положения взаимного мультифрактального анализа.
Установлены основные свойства взаимных мультифрактальных спектров.
На основе предложенного подхода разработана и реализована методика выполнения взаимного мультифрактального анализа.
Предложенная теория впервые применяется к задаче количественного анализа изменений, происходящих в минеральных структурах шунгитового вещества под воздействием внешних факторов (термического окисления и ионного травления).
Практическая значимость работы
Разработанный в диссертационной работе подход к изучению взаимных влияний геометрий двух распределений мер позволяет уточнить и существенно дополнить представления о сложных эволюционных процессах, протекающих в структурах.
Результаты экспериментальных исследований структур шунгитового вещества до и после воздействия внешних факторов (термического окисления и ионного травления) могут быть использованы для установления корреляции между структурными отличиями и физико-химическими свойствами. Также предложенная методика представляет практический интерес при исследовании различных объектов с изменяющимися структурными характеристиками под воздействием разного рода фак-
торов, способствует получению интегральных количественных характеристик отличий и зависимостей исследуемых структур. Кроме того, отдельные теоретические результаты являются определенным вкладом в теорию фрактальной геометрии.
Публикации и апробация работы
Результаты выполненных исследований по теме диссертации опубликованы в пяти статьях и материалах тезисов докладов. Основные прикладные результаты исследования были представлены на конференциях: "Геология и геоэкология Фенноскан-дии, Северо-Запада и Центра России" (г. Петрозаводск, 2000 г., 2003 г.), "Новые идеи в науках о Земле" (г. Москва, 2001 г.). Основные выводы диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались при проведении междисциплинарных научных семинаров на кафедре физики твердого тела ПетрГУ и Институте геологии КарНЦ РАН в ходе выполнении исследований по проекту РФФИ 01-05-64228.
Основные результаты, выносимые на защиту
Разработанные теоретические положения взаимного мультифрактального анализа.
Численные алгоритмы взаимного мультифрактального анализа. Методика проведения взаимного мультифрактального анализа применительно к двумерным носителям информации.
Программа, реализующая разработанные методы и алгоритмы.
Результаты апробации методики на модельных фракталах и численных исследований изменений в структурах шунгитового вещества под воздействием внешних воздействий.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений, имеет общий объем 156 страниц машинописного текста, включая 25 листов приложений и библиографический список использованной литературы, содержащий 118 наименований.
Первая глава диссертационной работы носит вспомогательный характер. В ней приводится краткий исторический обзор развития идей мультифрактального анализа, анализ литературы, затрагивающей тему приложений мультифрактального подхода в геологии и материаловедении. Приведены основные понятия, определения и основы строгого мультифрактального формализма Л. Олсена. А также даны формулировки теорем о покрытиях, необходимые для доказательств ряда теорем главы 2.
Вторая глава посвящена разработке теоретических положений анализа одной меры относительно другой, базирующегося на идеях мультифрактального формализма Л. Олсена [91]. Установлены основные свойства взаимных мультифрактальных спектров. Подробно рассмотрены частные случаи взаимного мультифрактального анализа.
В третьей главе описываются численные алгоритмы взаимного мультифрактального анализа, свойства взаимных мультифрактальных характеристик и методика проведения взаимного мультифрактального анализа применительно к параметризации эволюции минеральных структур. Приводятся критерии отбора корректных взаимных мультифрактальных спектров, анализируются погрешности расчетов характеристик. А также кратко описывается программа, реализующая методы и численные алгоритмы предложенного подхода. Кроме этого, приводятся результаты экспериментальных исследований, специальным образом сгенерированных, структур модельных фракталов (модификаций треугольного ковра Серпинского) в случае совпадения носителей мер и в случае когда носители различны и имеют непустое пересечение.
В четвертой главе приведены результаты классического и взаимного мультифрактального анализа структур поверхностей шунгитового вещества (месторождения Нигозеро и Шуньга) до и после обработки (термического окисления и ионного травления). Показаны преимущества использования взаимного мультифрактального анализа для исследования тонких структурных отличий.
В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.
В приложении 1 представлены таблицы взаимных мультифрактальных характеристик, полученных для модельных фрактальных множеств.
В приложение 2 вынесены таблицы основных взаимных мультифрактальных характеристик, полученных для исследуемых природных структур.
Благодарности
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору С.С. Платонову за помощь в разработке и реализации методики. Бесценную помощь в освоении методов мультифрактального анализа оказали профессор Л. Олсен (Университет Сент-Андрюс, Великобритания, Университет Северного Техаса, США), профессор Дж. Леви - Вехел (Национальный институт исследований в области информатики и автоматики, руководитель проекта "INRIA", Франция), профессор Ц.-М. Нгаи (Университет Питсбурга, Пенсильвания, США), доктор Ю. Генюк (Университет Огайо, США). Очень полезными были дискуссии и обсуждения различных аспектов работы с д.ф.-м.н., профессором А.Д. Фофано-
вым, д.ф.-м.н., профессором А.В. Ивановым, д.ф.-м.н. , профессором В.В. Старковым, к.ф.-м.н Л.А. Алешиной, к.ф.-м.н. В.В. Мосягиным, к.ф.-м.н. Б.М. Широковым, к.ф.-м.н. М.М. Кручек (Петрозаводский государственный университет), д.г.-м.н. Ю.Л. Войтеховским, д.г.-м.н. В.Ф. Смолькиным, д.г.-м.н. П.М. Горяиновым, д.г.-м.н. Г.Ю. Иванюком (Геологический институт КНЦ РАН, г. Апатиты), к.г.-м.н. М.А. Фишманом (Институт геологии КомиНЦ РАН, г. Сыктывкар), д.ф.-м.н. Г.В. Встовским (ИМЕТ РАН, г. Москва), д.г.-м.н. С.А. Световым, к.г.-м.н. В.И. Кев-личем, к.г.-м.н. В.В. Ковалевским (Институт геологии КарНЦ РАН, г. Петрозаводск) и многими другими. Пользуясь случаем, автор выражает всем глубокую благодарность.
Хаусдорфова, упаковочная меры и размерности
Результаты выполненных исследований по теме диссертации опубликованы в пяти статьях и материалах тезисов докладов. Основные прикладные результаты исследования были представлены на конференциях: "Геология и геоэкология Фенноскан-дии, Северо-Запада и Центра России" (г. Петрозаводск, 2000 г., 2003 г.), "Новые идеи в науках о Земле" (г. Москва, 2001 г.). Основные выводы диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались при проведении междисциплинарных научных семинаров на кафедре физики твердого тела ПетрГУ и Институте геологии КарНЦ РАН в ходе выполнении исследований по проекту РФФИ 01-05-64228.
Основные результаты, выносимые на защиту 1) Разработанные теоретические положения взаимного мультифрактального анализа. 2) Численные алгоритмы взаимного мультифрактального анализа. Методика проведения взаимного мультифрактального анализа применительно к двумерным носителям информации. 3) Программа, реализующая разработанные методы и алгоритмы. 4) Результаты апробации методики на модельных фракталах и численных исследований изменений в структурах шунгитового вещества под воздействием внешних воздействий. Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений, имеет общий объем 156 страниц машинописного текста, включая 25 листов приложений и библиографический список использованной литературы, содержащий 118 наименований. Первая глава диссертационной работы носит вспомогательный характер. В ней приводится краткий исторический обзор развития идей мультифрактального анализа, анализ литературы, затрагивающей тему приложений мультифрактального подхода в геологии и материаловедении. Приведены основные понятия, определения и основы строгого мультифрактального формализма Л. Олсена. А также даны формулировки теорем о покрытиях, необходимые для доказательств ряда теорем главы 2. Вторая глава посвящена разработке теоретических положений анализа одной меры относительно другой, базирующегося на идеях мультифрактального формализма Л. Олсена [91]. Установлены основные свойства взаимных мультифрактальных спектров. Подробно рассмотрены частные случаи взаимного мультифрактального анализа. В третьей главе описываются численные алгоритмы взаимного мультифрактального анализа, свойства взаимных мультифрактальных характеристик и методика проведения взаимного мультифрактального анализа применительно к параметризации эволюции минеральных структур. Приводятся критерии отбора корректных взаимных мультифрактальных спектров, анализируются погрешности расчетов характеристик. А также кратко описывается программа, реализующая методы и численные алгоритмы предложенного подхода. Кроме этого, приводятся результаты экспериментальных исследований, специальным образом сгенерированных, структур модельных фракталов (модификаций треугольного ковра Серпинского) в случае совпадения носителей мер и в случае когда носители различны и имеют непустое пересечение. В четвертой главе приведены результаты классического и взаимного мультифрактального анализа структур поверхностей шунгитового вещества (месторождения Нигозеро и Шуньга) до и после обработки (термического окисления и ионного травления). Показаны преимущества использования взаимного мультифрактального анализа для исследования тонких структурных отличий. В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы. В приложении 1 представлены таблицы взаимных мультифрактальных характеристик, полученных для модельных фрактальных множеств. В приложение 2 вынесены таблицы основных взаимных мультифрактальных характеристик, полученных для исследуемых природных структур. Благодарности
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору С.С. Платонову за помощь в разработке и реализации методики. Бесценную помощь в освоении методов мультифрактального анализа оказали профессор Л. Олсен (Университет Сент-Андрюс, Великобритания, Университет Северного Техаса, США), профессор Дж. Леви - Вехел (Национальный институт исследований в области информатики и автоматики, руководитель проекта "INRIA", Франция), профессор Ц.-М. Нгаи (Университет Питсбурга, Пенсильвания, США), доктор Ю. Генюк (Университет Огайо, США). Очень полезными были дискуссии и обсуждения различных аспектов работы с д.ф.-м.н., профессором А.Д. Фофано вым, д.ф.-м.н., профессором А.В. Ивановым, д.ф.-м.н. , профессором В.В. Старковым, к.ф.-м.н Л.А. Алешиной, к.ф.-м.н. В.В. Мосягиным, к.ф.-м.н. Б.М. Широковым, к.ф.-м.н. М.М. Кручек (Петрозаводский государственный университет), д.г.-м.н. Ю.Л. Войтеховским, д.г.-м.н. В.Ф. Смолькиным, д.г.-м.н. П.М. Горяиновым, д.г.-м.н. Г.Ю. Иванюком (Геологический институт КНЦ РАН, г. Апатиты), к.г.-м.н. М.А. Фишманом (Институт геологии КомиНЦ РАН, г. Сыктывкар), д.ф.-м.н. Г.В. Встовским (ИМЕТ РАН, г. Москва), д.г.-м.н. С.А. Световым, к.г.-м.н. В.И. Кев-личем, к.г.-м.н. В.В. Ковалевским (Институт геологии КарНЦ РАН, г. Петрозаводск) и многими другими. Пользуясь случаем, автор выражает всем глубокую благодарность.
Взаимные спектры Лежандра и взаимные спектры Хентшель - Прокачиа
Как уже было отмечено в 2.7 относительные обобщенные мультифрактальные размерности DH(q) тождественно равны нулю в случае одинаковых мер и совпадения носителей мер.
При кажущейся простоте численного алгоритма взаимного мультифрактального анализа его реализация является достаточно сложной процедурой, связанной с появлением ряда трудностей. В частности, как и в случае классического мультифрактального анализа, наибольшая сложность связана с выбором подходящей шкалы масштабов, который влияет на значения экспоненты обобщенной статистической суммы, а тем самым и на полученные зависимости. Действительно, идеальные бесконечно вложенные фрактальные множества проявляют самоподобие над всеми уровнями масштабов. В отличие от идеальных фракталов реальные природные структуры являются самоподобными только лишь над ограниченным, определенным числом уровней. Более того, неправильный выбор шкал масштабов может нарушить правомерность и уместность фрактального подхода. В классическом мультифрактальном анализе для положительных значений параметра q выбор шкалы масштабов, как правило, не вызывает затруднений, однако для отрицательных q появляются проблемы, связанные с корректностью полученных спектров. В результате возникает достаточно сложная оптимизационная задача, состоящая в выборе наиболее подходящей максимально широкой шкалы размеров ячеек, дающая минимально допустимую погрешность вычислений емкостных размерностей и в тоже время, позволяющую получить корректные мультифрактальные спектры. На протяжении последних лет в литературе для случая классического мультифрактального анализа активно ведутся дискуссии по данному вопросу. Ряд авторов предлагает использовать вместо традиционного равноячеечного метода другие, например, технологию, основанную на применении вейвлетов (для одномерных носителей, например, в исследованиях временных рядов, TCP трафика [106], описания последовательности отказов во времени [12]), равномассового метода [85, 82], использование специально подобранных емкостей [84] и др. Для дву- и более мерных носителей до сих пор задача не имеет удовлетворительного решения.
Несмотря на недостатки равноячеечного метода, он тем не менее автором исследования был выбран в качестве основы для взаимного мультифрактального анализа минеральных структур по той причине, что этот метод позволяет напрямую связать теорию строгого взаимного мультифрактального формализма с приложением его к анализу природных систем, делая алгоритм прозрачным и доступным для понимания.
При экспериментальных исследованиях оказалось, что в ряде случаев изъяны метода, связанные с дискретной аппроксимацией структур можно избежать, например, с помощью модифицированного алгоритма Р. Риеди, применения циклических граничных условий или удачного подбора интервала (rmin; rmax) линейности шкалы масштабов. Ниже при описании методики анализа подробнее остановимся на этих методах.
Методика расчета взаимных мультифрактальных характеристик для двумерных изображений состоит из следующих этапов: 1) Предварительная подготовка изображений. 2) Генерация сеток (разбиений) и формирование мер. 3) Расчет взаимных мультифрактальных характеристик. 4) Проверка спектров на корректность. 3.3.1. Предварительная подготовка изображений Предварительная подготовка двумерных изображений изучаемых структур включает в себя дискретную аппроксимацию, т.е. перевод изображений в цифровую компьютерную форму, реализуемую при помощи современных средств ввода и предобработки изображений (цифровых видео-(фото)камер, сканеров и др.), дающих компьютерное изображение в виде графических файлов BMP-формата в режиме bitmap. К исходным изображениям предъявляются следующие требования. Исследуемые изображения должны быть одинакового размера, желательно максимально большими, и высококачественными — высококонтрастными, с отсутствием дефектов — царапин, затемнений, с четко различимыми элементами структур. При необходимости компьютерные изображения подвергаются дополнительной обработке с помощью современных компьютерных программ обработки изображений (Adobe Photoshop 5.0 и др.). На следующем этапе проводится оцифровка изображений, т.е. получение файла, содержащего массив размером N х N ячеек видеопамяти (пиксел). Каждый элемент массива принимает определенное значение, например, номер цвета для цветных или для черно-белых изображений одно из двух возможных значений — "1" в случае, когда цвет пиксела имеет плотность почернения выше определенного минимума и "О", если плотность почернения ниже заданного минимума. Данный файл является файлом исходных данных для программ, реализующих алгоритмы как традиционного, так и взаимного мультифрактального анализа.
Для каждого оцифрованного изображения всякому элементу массива исходного файла — пикселу сопоставляется определенное значение — мера пиксела. В качестве меры, например, для черно-белых изображений может служить вероятность того, что наугад выбранный пиксел — черный (т. е. соответствующий элемент массива равен единице) или белый (элемент массива равен нулю). По заданным размерам изображений (в дальнейшем будем иметь ввиду оцифрованные изображения) или дополнительным условиям проводимого эксперимента определяется размер наиболее мелких элементов разбиения, которые в дальнейшем будем называть элементарными ячейками нулевого уровня размера V Форма элементарных ячеек предполагается квадратной, поскольку одним из требований равноячеечного разбиения является равенство размеров ячеек по всем направлениям. Мера элементарной ячейки представляет собой сумму мер пикселов, принадлежащих данной ячейке, т. е., к примеру, для черно-белых изображений это — количество "черных" точек, расположенных в элементарной ячейке, отнесенное к общему числу точек изображения.
Используя разбиение пространства на элементарные ячейки и меру элементарных ячеек, в силу аддитивности меры, можно рассчитать меру более крупных ячеек размером 6k = к60, где к — натуральное, простое число такое, что N делится нацело на кбо, эти ячейки назовем элементарными ячейками первого уровня. Затем рассчитаем и меру ячеек размера 6п(щ = б 71 на каждом уровне разбиения п(к). Так как размеры изображений конечны, то значение параметра п(к) ограничено максимальным значением п(к)тах, для которого 6 )тах Лг, где N — количество элементов строки (или столбца) массива исходного файла (фактически, это длина стороны изображений в пикселах).
Далее для всякого числа п(к), п{к) Є {п(к)т-т,п(к)тах) случайным образом выбирается точка с координатами ж , у : 1 х N, 1 у N, являющаяся исходной точкой для построения сеток с размером ячейки 8п[щ (рис. 3.2), а затем строятся идентичные сетки для каждого из оцифрованного изображения. В дальнейшем, предполагая, что изображения покрываются одинаковыми сетками с одними и теми же координатами исходных случайно выбранных точек, будем говорить, что изображения покрыты сеткой (случайной сеткой) или для изображений построена сетка (случайная сетка). Если координаты исходной точки фиксированы, то в этом случае будем указывать на то, что сетка фиксированная.
Каждой ячейке построенной сетки поставим в соответствие два числа -- меру ячейки, определенную для одного изображения и меру этой же ячейки, определенную для другого. Последовательно пробегая по всем ячейкам сетки, имеющим непустое пересечение с обоими носителями мер и суммируя произведение меры ячейки одного изображения в степени q и меры аналогичной ячейки другого изображения в степени t, найдем значение Ml (q,t) для всех заданных величин q ж t.
Генерация сеток (разбиений), формирование мер и расчет взаимных мультифрактальных характеристик
Значения функции DJ /H(q1 k — q) — T u{q, k — q)/(q — 1), q ф 1 при также как и в первом примере, асимптотически стремятся к значениям относительной размерности Реньи (рис. 3.13 В и рис. 3.14), которые при больших значениях q уже отличны от нуля.
Экспериментальное сравнение поведения относительных размерностей в случае совпадения и непустого пересечения различных носителей мер (рис. 3.15) позволяет ввести количественные характеристики изменения изучаемой структуры. Чем больше кривая относительных размерностей Реньи отклоняется от оси Oq, тем большие изменения произошли в структуре, при условии, что носители мер имеют общие точки. При этом отклонение относительной размерности Реньи от оси Oq при q — -f-oo позволяет оценить корреляцию более плотных зон носителя меры fj, и разреженных зон носителя меры v и, наоборот, более разреженных областей supp/І и плотных участков supp v при q — — 00.
На графиках зависимостей взаимных локальных размерностей по сравнению с предыдущим случаем наблюдаются симметрично расположенные области спада до 1,13 ± 0, 3 — 1, 23 ± 0, 2 при q 0, t 0 для „,„(?, t) и до 0, 96 ± 0, 65 — 1,2 ± 0, 2 при q 0, t 0 для /Зд,і/(д, t) и подъема до значения 2, 32 ± 0,1 при q 0, t 0 для a l/(q, t) и до 2,48 ± 0, 2 q 0, t 0 для fi „(q, t) (рис. 3.16, а значения приведены в табл. 10 - 11 приложения 1). При этом коэффициенты корреляции линейной регрессии достигают приемлемых значений, за исключением небольших зон (рис. 3.17). По полученным результатам можно сказать, что в данном случае наибольшему влиянию на локальном уровне подвергаются участки на пересечении носителей мер, содержащие более плотные области носителя одной меры и менее плотные носителя другой меры.
Значения функции взаимного мультифрактального спектра /М,У( ?,) (рис. 3.11 В и табл. 12 приложения 1) представляют собой оценки размерностей фрактальных подмножеств множества supp дП supp и, которые вносят доминирующий вклад в моменты распределений при заданных параметрах q и t. График зависимости f i,(q,t) демонстрирует пик 1,54 ±0,01 в окрестности точки (0;0) (рис. 3.11 В, значения приведены в табл. 12 приложения 1), в то время как при совпадении носителей пик наблюдался вдоль прямой t = —q. Значение функции f „ в точке (0; 0) оценивает фрактальную размерность множества пересечения носителей мер. На графике также отмечаются подъемы значений функции до 0, 8 — 0, 9 ± 0,1 вдоль полупрямых q = 0, t Oat — 0, q 0. Более информативной, чем f iq, t), является зависимость функции fpj, от взаимных локальных размерностей аЛ„ и (3 и, связывающая локальную и глобальную информации о влиянии распределения мер друг на друга. К сожалению, в ходе выполнения настоящей работы автору не удалось найти программное обеспечение, позволяющее построить 3D график сложной функции двух аргументов, но судя по частным случаям - зависимостям функции fp)V(q,t) от a v(q,t) и fi v(q,t) для определенно заданных значений параметров q и t, можно сказать, что поверхность / „(ск, /3) (как и 2D график классического мультифрактального спектра Лежандра) имеет куполообразную форму.
Условные размерности Реньи (рис. 3.18), условные локальные размерности и оценки условных спектров Лежандра (рис. 3.20), сравнение их с классическими мульти-фрактальными спектрами, полученными для каждого множества, позволяют уточнить влияние распределения мультифрактальной меры от простого присутствия точек носителя другой меры.
В частности, поскольку при определении обобщенной статистической суммы при q — +оо, t = 0 основной вклад вносят ячейки, имеющие большую меру ц и положительную меру v, а при q — —оо, t = 0 ячейки с небольшой мерой /г и положительной мерой v, то функция D f показывает степень неоднородности носителя меры ц на пересечении носителей мер. Аналогично D показывает насколько неоднороден носитель второй меры и на supp \і П supp v. Поэтому на пересечении носителей мер носитель меры v (в данном случае множество точек, принадлежащих Serp2) имеет большую неоднородность, чем носитель ц (множество точек, принадлежащих Serpl) в разреженных частях, в плотных участках степени неоднородностей практически совпадают (рис. 3.18 В).
Отклонение условной размерности от классической мультифрактальной размерности Реньи позволяет получить информацию о том, насколько геометрическое распределение точек, принадлежащих носителю /л зависит от присутствия точек носителя другой меры в плотных (при q —У +оо) и более разреженных (q —у —оо) областях носителя меры /л. В данном случае (рис. 3.19) для положительных q я t отличий не наблюдается, а для отрицательных значений параметров сравнение условных размерностей с классическими позволяет судить о том, что носитель меры \л в большей степени зависит от присутствия точек supp v (отклонение 0,39), чем носитель меры v от supp (отклонение 0,1).
По сопоставлению значений условных локальных размерностей и условных спектров Лежандра (рис. 3.20) можно судить о локальном характере поведения каждой из мер в отдельности на пересечении носителей, об оценке хаусдорфовой размерности множеств пересечения, имеющих локальные размерности а и /? и об оценке статистического распределения условных локальных размерностей. Из сравнения условных локальных размерностей и условных спектров Лежандра для Serpl и Serp2 выяснилось, что на пересечении носителей мер участки более разреженных областей Serp2 имеют большую размерность (2,06 ±0,16) и встречаются чаще, чем более разреженные участки Serpl (локальная размерность достигает 1,93 ± 0,25), в зонах плотного размещения точек локальные размерности практически совпадают. Это означает, что на пересечении носителей мер локальная структура Serp2 более рыхлая по сравнению со структурой Serpl в областях с меньшей плотностью заселения точек, а в плотных зонах геометрии структур сопоставимы.
Случай различных носителей мер, имеющих непустое пересечение
Как известно, основные свойства вещества такие, как механические, химические, электрические, оптические и др. в значительной степени определяются его структурой. В исследованиях природных материалов возникает задача количественного анализа изменений, происходящих в минеральных структурах под воздействием как внешних, так и внутренних факторов. Существующие методы решения поставленной задачи основаны в основном на качественном визуальном анализе и используют сравнение параметров, характеризующих лишь отдельные элементы структур таких, как размеры и форму зерен, пористость, протяженность границ и др. Для сложных, неоднородных систем с тонкими структурными отличиями такой подход для количественного описания представляется недостаточными. Привлечение методов фрактального и мультифрактального анализа [7, 44, 47, 62, 78, 111, 112, 113, 117] позволило ввести количественные характеристики для описания исследуемых реальных сложных, внешне неупорядоченных структур в целом. С помощью мультифракталь-ных характеристик, вследствии появления разного рода вычислительных трудностей и достаточно больших погрешностей, довольно сложно количественно описать динамику изменения структур.
На примере анализа эволюции структуры шунгитового вещества под воздействием внешних факторов (термического окисления и ионного травления) проиллюстрируем возможности приложения взаимного мультифрактального анализа к поставленной задаче.
Шунгитом принято называть минеральное вещество, состоящее из аморфного углерода и сильно диспергированного графита, с примесью неорганических веществ. Вещество блестящего черного цвета, твердостью около 4, плотностью 1848-1980 кГ/м3 [38].
Шунгитоносные породы Карелии были открыты при изучении месторождения близ пос. Шуньга в середине XVIII века и свое название получили по географическому месторасположению. Известны наиболее крупные месторождения шунгитово-го сырья — месторождения в Карелии и в Восточном Казахстане.
Детальное исследование последних лет показало, что шунгитовое вещество (с содержанием углерода более 20%) обладает исключительной стойкостью в агрессивных средах, имеет высокую электропроводность, малую теплопроводность, является активным восстановителем, обладает каталитическими свойствами. Эти свойства позволяют использовать данный тип пород в производстве устойчивых к агрессивной среде материалов; электротермическом производстве композитных ферросплавов и проводящих материалов; производстве строительных материалов, способных экранировать радиоволны; литейном производстве в качестве заменителя кокса; в качестве наполнителя резин, полимеров; в качестве активного сорбента, для очистки воды и т.д.
Более того, с 1992 г. обозначился всплеск интереса к шунгитам в связи с открытием в них природных фуллеренов Сбо, используемых прежде всего в различного рода научно-исследовательских программах, в том числе нанотехнологических, военных и прикладных технологиях, медицине.
Кроме шунгитов природные фуллерены обнаружены в межзвездном веществе, в породах, испытавших воздействие метеоритов или подземных пожаров, т. е. веществах, которые были подвергнуты сильному энергетическому воздействию. В настоящее время основной путь получения фуллеренов - искусственный, достаточно дорогостоящий, к примеру в 1997 году розничная цена фуллеренов составляла 25-45 (Сбо) и 250-350 (С70) долларов за грамм и она существенно выше цены на золото и платину.
Единичные и зачастую случайные находки фуллеренов в шунгитах показали тот факт, что знание о структуре и свойствах шунгитового вещества не полны и требуют более детального исследования его молекулярной и надмолекулярной структуры, условий, способствующих естественному синтезу фуллеренов. Появилась надежда на вовлечение огромных запасов шунгитоносных пород в производство фуллеренов.
Последние исследования показывают, что наиболее характерная надмолекулярная структура шунгитового вещества - это глобулы размера 10-100 нм, имеющие преимущественную ориентацию, которая определяет анизотропию многих физических свойств шунгитов, таких как электрических, магнитных, оптических. Глобулы могут быть упакованы достаточно рыхло либо расположены в шахматном порядке с минимальным количеством межглобулярных пустот. [42]
Исследованию шунгитового вещества, его свойств уделяется огромное внимание как в институте геологии КарНЦ, так и в ПетрГУ (кафедра физики твердого тела).
Для изучения эволюции микроструктур шунгитового вещества в лаборатории шунгитов КарНЦ (рук. Ковалевский В.В.) были отобраны образцы шунгитов из различных месторождений и проведены электронномикроскопические исследования поверхностей, а также сделаны микрофотографии с помощью растрового электронного микроскопа РЭМ-200. Далее образцы выборок подвергались обработке (термическому окислению и ионному травлению), и также были проведены исследования и сделаны микрофотографии, которые впоследствии были любезно предоставлены автору для апробации методики. В качестве демонстрации приведем исследования изменения структур месторождений Нигозера и Шуньги.
Шунгит, месторождение Нигозеро. А. Исходная структура поверхности. (Nigl). В. Структура поверхности после термического окисления (Nig2). С. Структура поверхности после ионного травления (Nig3). Масштаб снимков 1 см = 1 мкм.
Микрофотографии изучаемых структур с помощью сканирования были переведены в графические черно-белые компьютерные изображения формата BMP, имеющие размер 512 х 512 пикселов, размер изучаемых участков составлял 4, 33 х 4, 33 мкм. При оцифровке изображений пикселам, имеющим уровень почернения выше 50% присваивалось значений "1" и "0" — в противном случае (уровень почернения менее 50%). Расчеты взаимных мультифрактальных характеристик проводились по стандартной схеме. С помощью модифицированного алгоритма Р. Риеди осуществлялась проверка полученных спектров для одновременно положительных и одновременно отрицательных значений q и t. В силу того, что исследуемые структуры расположены по всему объему изображений и наименьшие значения обобщенной статистической суммы достигаются в сетках, симметрично расположенных к данным изображениям, то использование построения случайных сеток в данном случае нецелесообразно. Для анализа изображений образцов Нигозерского месторождения использовался исходный набор масштабов {2,3,4,7,8,16,32,64,128,256}, а для изображений месторождения Шуньга — набор {2,3,4,7,8,9,16,27,32,49,64,81,128,256} при заданных параметрах q,t из отрезка [—20; 20] с шагом 1. Поиск корректных спектров проводился по всем поддиапозонам шкалы масштабов.
Похожие диссертации на Взаимный мультифрактальный анализ. Приложение к параметризации минеральных структур
