Введение к работе
Объект исследования - электромагнитное поле в геологических средах с зависимостью электропроводности и диэлектрической проницаемости от частоты.
Актуальность темы. Получение информации о строении геологической среды с помощью электромагнитных полей является важной составляющей геофизических методов поисков и разведки месторождений полезных ископаемых. При выполнении данных работ исследователи часто сталкиваются с явлениями зависимости электрических параметров пород от частоты (дисперсией). Поэтому существует необходимость в разработке методов моделирования электромагнитного поля в таких средах.
Моделирование нестационарных процессов при наличии дисперсии сталкивается с рядом проблем, так как коэффициенты уравнения должны зависеть от времени, а не от частоты. Для их решения используются разные подходы, которые можно разделить на два класса: методы в частотной области и методы во временной области. Переход в частотную область позволяет легко учитывать дисперсию, но создает трудности при получении решения как функции времени. Например, гармоническая задача подходит только для случая возбуждения электромагнитного поля сигналом, изменяющимся по синусоидальному (ко-синусоидальному) закону или суммой таких сигналов. Решение, соответствующее установившемуся гармоническому режиму, не позволяет учесть переходные процессы. Методы, основанные на преобразовании Фурье, требуют выполнения расчетов на некотором дискретном множестве частот, оптимальный выбор которых является задачей исследователя, после чего полученное численное решение должно быть переведено во временную область с помощью обратного преобразования Фурье.
Поэтому разработка новых эффективных методов учета дисперсии и необходимость создания соответствующего программного обеспечения остается актуальной. В данной работе частотная зависимость рассматривается при решении во временной области, что представляется естественным при моделировании нестационарных задач.
Цель работы - создание и реализация вычислительных схем на основе векторного метода конечных элементов для решения задач моделирования нестационарных электромагнитных полей в средах с зависимостью электропроводности и диэлектрической проницаемости от частоты.
Научные задачи исследования:
Разработать на базе векторного метода конечных элементов вычислительные схемы во временной области для моделирования электромагнитных полей в средах с дисперсией электропроводности и диэлектрической проницаемости.
На основе построенных вычислительных схем разработать программный комплекс, позволяющий проводить расчеты в трехмерных областях со сложной геометрией.
Методика исследований. Учет частотной зависимости электропроводности и диэлектрической проницаемости во временной области приводит к необходимости решения системы уравнений Максвелла, содержащей интегралы свертки. Так как векторный метод конечных элементов является одним из наиболее эффективных при решении электромагнитных задач, построение вьгаислительных схем производится на его основе. Векторные пространства Неделека позволяют естественно учитывать непрерывность тангенциальных и скачки нормальных компонент электромагнитного поля (Е, Н). Использование тетраэдральных конечных элементов дает возможность решать задачи в областях со сложной геометрией.
В литературе существует большое количество моделей зависимости электропроводности и диэлектрической проницаемости от частоты: Cole-Cole, Дебая, Лоренца, Друда, Carcione. Вычислительные схемы были построены для моделей Cole-Cole и Дебая, так как они наиболее часто используются. Разработанные вычислительные схемы легко адаптируются для других моделей.
Подтверждение полученных результатов осуществляется с помощью серии вьгаислительных экспериментов. Сходимость и устойчивость вьгаислительных схем исследована на задаче с известным полиномиальным решением и последовательности вложенных сеток. Аппроксимация источника-петли проверяется сравнением с аналитическим решением, полученным по закону Био-Савара-Лапласа. Правильность учета частотных зависимостей доказывается сравнением результатов с гармонической задачей.
Научная новизна и личный вклад: На основе векторного метода конечных элементов разработаны вычислительные схемы во временной области для моделирования полей в средах с дисперсией электропроводности (модель Cole-Cole) и диэлектрической проницаемости (модель Дебая). Они позволяют выполнять расчеты в областях со сложной формой границ подобластей и учитывать геометрические характеристики систем источник-приемник. Моделирование во временной обла-
сти дает возможность задавать произвольную зависимость от времени сигнала, возбуждающего электромагнитное поле.
Разработанные вычислительные схемы реализованы в виде программного комплекса для решения задач в трехмерных областях с использованием тетраэдральных сеток и векторных базисных функций первого и второго полных порядков.
Численно исследована сходимость вычислительных схем с векторными элементами первого и второго порядков второго типа.
Путем сравнения с гармонической задачей показано, что предложенные вычислительные схемы учитывают переходные процессы при включении/выключении источника возбуждения ПОЛЯ.
Исследовано влияние объекта с зависимостью электропроводности от частоты на измеряемое электрическое поле.
Проведено сравнение с программным комплексом Unv_QQ, разработанным в Институте нефтегазовой геологии и геофизики Антоновым Е. Ю.
Практическая значимость работы. Разработанные вычислительные схемы предназначены для расчета электрического поля в трехмерных областях со сложной геометрией при наличии подобластей с дисперсией электропроводности и диэлектрической проницаемости. Расширение возможностей моделирования позволяет повысить качество инверсии данных при выполнении нестационарных электромагнитных зондирований. Так как представленные вычислительные схемы применимы при низкочастотных и высокочастотных исследованиях, они могут быть использованы для улучшения интерпретации данных, получаемых георадаром.
К преимуществам также относится моделирование во временной области, что позволяет задавать при расчетах произвольную зависимость от времени сигнала, возбуждающего электромагнитное поле. В разработанных вычислительных схемах учитываются геометрические размеры систем источник-приемник и переходные процессы после включения (выключения) источника. При этом время, необходимое для решения задачи с дисперсией, незначительно отличается от времени решения такой же задачи с постоянными коэффициентами.
Результаты работы использовались в междисциплинарном интеграционном проекте СО РАН №6 «Теоретические основы принципиально новой технологии зондирования в нефтегазовых скважинах с использованием субнаносекундных электромагнитных импульсов» (2009-2011гг.).
Защищаемые научные результаты:
Разработаны и реализованы вычислительные схемы на базе векторного метода конечных элементов для моделирования трехмерных электромагнитных полей в средах с зависимостью электропроводности (формула Cole-Cole) и диэлектрической проницаемости (формула Дебая) от частоты.
Показано, что предложенные вычислительные схемы учитывают переходные процессы при включении источника возбуждения
ПОЛЯ.
Выполнено моделирование электромагнитных полей в сложно
построенных средах при произвольной зависимости возбуждаю
щего сигнала от времени с учетом геометрических размеров си
стем источник-приемник.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:
Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 2007);
XIII Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (Томск, 2007);
VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007);
V Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2008);
Международной научной конференции «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий» (Красноярск, 2008);
Всероссийской молодежной научной конференции с участием иностранных ученых «Трофимуковские чтения» (Новосибирск, 2008);
IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008);
Первой международной конференции «Актуальные проблемы электромагнитных зондирующих систем» (Киев, 2009);
Пятой всероссийской школе-семинаре имени М.Н. Бердичевского и Л.Л. Ваньяна по электромагнитным зондированиям Земли (Санкт-Петербург, 2011).
Публикации. По теме диссертационной работы было опубликовано 11 печатных работ [1 - 11], из них в ведущих научных рецензируемых журналах, определенных в перечне ВАК - 2 [4, 9].
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы (116 наименований). Работа изложена на 131 странице, включая 38 рисунков, 7 таблиц.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты
№09-05-00702, №09-05-12047-ОФИ-М).
Автор выражает искреннюю признательность за помощь и поддержку в подготовке работы научному руководителю д.т.н., профессору Элле Петровне Шуриной, а также руководству Института нефтегазовой геологии и геофизики им. А. А. Трофимука СО РАН и лично д.т.н., академику РАН Михаилу Ивановичу Эпову.
